【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

【神々の】ガロア生誕 ..

530:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/16 14:30:49.74
命題 214
p を Ω(>>82)の標数(>>214)と異なる素数とする。
K を体(>>82)とする。
a ∈ K とし、X^p - a は K において根を持たないとする。
このとき、X^p - a は K[X] において既約である。

証明
>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を持つ。
X^p - a の Ω における根の一つを α とする。
α は K に含まれないから α ≠ 0 である。
よって、α、αζ、．．．、αζ^(p-1) は X^p - a の相異なる根である。
X^p - a = g(X)h(X) とする。
ここで、g(X) と h(X) は K[X] のモニックな多項式で、1 ≦ deg g(X) ＜ p とする。
g(X) の根は αζ^i の形であるから g(X) の定数項を b とすると、
b = ±(α^kζ^m) である。ここで、k = deg g(X) である。
この両辺を p 乗する。α^p = a、ζ^p = 1 であるから、
p が奇素数であれば b^p = ±a^k である。
p = 2 なら b^p = a^k である。
p が奇素数で b^p = -a^k のとき (-b)^p = -b^p = a^k
よって、どの場合でも c^p = a^k となる c ∈ K がある。

Γ = K^* (>>522)とおき、Γ^p = {x^p； x ∈ Γ} とおく。
Γ^p は Γ の部分群である。
π：Γ → Γ/Γ^p を標準的な準同型とする。
即ち、π(x) = x (mod Γ^p) である。
α = π(a) とおく。
X^p - a は K において根を持たないから α ≠ 1 である。
一方、α^p = π(a^p) = 1
よって、群 Γ/Γ^p の元として α の位数は p である。
しかし、c^p = a^k より α^k = 1 である。
1 ≦ k ＜ p であるから、これは矛盾である。
証明終

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