【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

【神々の】ガロア生誕 ..

508:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/15 15:38:52.08
命題 201
L_1/K と L_2/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G_i = G(L_i/K)、i = 1、2 とおく。
E を L_1 と L_2 の合成体(>>291)とする。
G = G(E/K) とおく。
>>507より E/K はGalois拡大である。
このとき、L_1 ∩ L_2 = K であれば、>>507の λ：G → (G_1)×(G_2) は同型である。

証明
>>507より、λ は単射準同型であるから λ が全射であることを証明すればよい。
>>505より、任意の τ_1 ∈ G_1 に対して σ_1 ∈ G(E/L_2) で σ_1|L_1 = τ_1 となるものがある。
σ_1|L_2 = 1 だから λ(σ_1) = (τ_1、1) である。
同様に、任意の τ_2 ∈ G_2 に対して σ_2 ∈ G(E/L_1) で σ_2|L_2 = τ_2 となるものがある。
σ_2|L_1 = 1 だから λ(σ_2) = (1、τ_2) である。
このとき、λ(σ_1σ_2) = λ(σ_1)λ(σ_2) = (τ_1、1)(1、τ_2) = (τ_1、τ_2)
よって、λ は全射である。
証明終

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