【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

【神々の】ガロア生誕 ..

507:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/15 15:20:24.98
命題 200
L_1/K、．．．、L_n/K をGalois拡大(>>251)とする。
G_i = G(L_i/K)、i = 1、．．．、n とおく。
E を L_1、．．．、L_n の合成体(>>291)とする。
このとき、E/K はGalois拡大である。
G = G(E/K) とおく。
σ ∈ G に (σ|L_1、．．．、σ|L_n) ∈ (G_1)×．．．×(G_n) を
対応させることにより写像 λ：G → (G_1)×．．．×(G_n) が定義される。
ここで σ|L_i、i = 1、．．．、n は σ の定義域を L_i に制限した写像である。
このとき、λ は単射準同型である。

証明
>>173(と n に関する帰納法)より、E/K は正規拡大である。
>>284と>>137(と n に関する帰納法)より、E/K は分離代数的である。
よって、E/K はGalois拡大である。

>>166より、任意の σ ∈ G(E/K) に対して σ|L_i ∈ G_i、i = 1、．．．、n となる。
よって写像 λ：G → (G_1)×．．．×(G_n) が定義される。
λ が準同型であることは明らかである。
σ ∈ G(E/K) が各 L_i の全ての元を固定すれば、σ は E の全ての元を固定する。
よって、σ = 1 である。
よって、λ は単射である。
証明終

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