【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

【神々の】ガロア生誕 ..

219:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 00:15:31.84
命題 88
A を可換環で抽象体(>>197)を部分環として含むとする。
さらに A の標数(>>214)は p ＞ 0 とする。
このとき A の任意の元 a, b に対して (a + b)^p = a^p + b^p である。

証明
>>218より、(a + b)^p = Σ[0 ≦ k ≦ p] C(p. k)a^kb^(p-k)

ここで、C(p. k) = p!/(p-k)!k! である。
即ち、C(p. k)k! = p!/(p-k)!
1 ≦ k ≦ p - 1 のとき p!/(p-k)! は p で割れるから C(p. k)k! ≡ 0 (mod p)
一方、k! は p で割れないから C(p. k) ≡ 0 (mod p) である。
よって、C(p. k)a^kb^(p-k) = 0 である。
よって、(a + b)^p = a^p + b^p である。
証明終

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