【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

【神々の】ガロア生誕 ..

173:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/07 21:57:12.33
命題 67
E/K と F/K を正規拡大(>>163)とする。
このとき、EF/K (>>132)は正規拡大である。

証明
>>166より、K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
E は (f_i)、i ∈ I の K 上の最小分解体(>>150)である。
各 f_i の Ω(>>82) における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
E = K(S) (>>91)である。

同様に K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (g_j)、j ∈ J があり、
F は (g_j)、j ∈ J の K 上の最小分解体である。
各 g_j の Ω における全ての根の集合を T_j とする。
T = ∪{T_j；j ∈ J} とおく。
F = K(T) である。

よって、EF = E(F) = K(S)(T) = K(S∪T) である。
よって、EF は (f_i)、i ∈ I と (g_j)、j ∈ J の K 上の最小分解体である。
よって、>>166より EF/K は正規拡大である。
証明終

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