【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

【神々の】ガロア生誕 ..

173:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/07 21:57:12.33
命題 67
E/K と F/K を正規拡大(>>163)とする。
このとき、EF/K (>>132)は正規拡大である。

証明
>>166より、K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
E は (f_i)、i ∈ I の K 上の最小分解体(>>150)である。
各 f_i の Ω(>>82) における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
E = K(S) (>>91)である。

同様に K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (g_j)、j ∈ J があり、
F は (g_j)、j ∈ J の K 上の最小分解体である。
各 g_j の Ω における全ての根の集合を T_j とする。
T = ∪{T_j；j ∈ J} とおく。
F = K(T) である。

よって、EF = E(F) = K(S)(T) = K(S∪T) である。
よって、EF は (f_i)、i ∈ I と (g_j)、j ∈ J の K 上の最小分解体である。
よって、>>166より EF/K は正規拡大である。
証明終

174:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 03:07:55.16
命題 68
E/K と F/K を正規拡大(>>163)とする。
このとき、(E∩F)/K は正規拡大である。

証明
E∩F は体(>>82)である。
K ⊂ E∩F ⊂ E であり、E/K は代数的拡大(>>90)であるから
(E∩F)/K は代数的拡大である。

任意の α ∈ E∩F の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
f(X) の Ω(>>82) における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
E/K は正規拡大であるから α_1、．．．、α_n ∈ E である。
F/K は正規拡大であるから α_1、．．．、α_n ∈ F である。
よって、α_1、．．．、α_n ∈ E∩F である。
よって、(E∩F)/K は正規拡大である。
証明終

175:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 03:37:38.99
命題 69
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
E を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
F を σf(X) の最小分解体とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
f(X) の Ω(>>82) における全ての根を重複度を含めて α_1、．．．、α_n とする。
即ち f(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) である。
ここで、c ≠ 0 は f(X) の最高次の係数である。
このとき、E = K(α_1、．．．、α_n) である。
各 α_i は K 上代数的(>>89)であるから>>126より、E/K は有限拡大である。
よって、>>146より埋め込み τ：E → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
>>143より、環としての同型 ψ：E[X] → τ(E)[X] で g(X) ∈ E[X] のとき ψ(g(X)) = (τg)(X)
となるものが存在する。ここで、(τg)(X) は g(X) の各係数に τ を作用させたものである。
f(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) の両辺に ψ を作用させると、
σf(X) = σ(c)(X - τ(α_1))．．．(X - τ(α_n)) となる。
よって、τ(α_1)、．．．、τ(α_n) は σf(X) の Ω における全ての根である。
一方、E = K(α_1、．．．、α_n) であるから τ(E) = L(τ(α_1)、．．．、τ(α_n)) である。
よって、τ(E) は σf(X) の最小分解体である。
よって、F = τ(E) である。
証明終

176:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 03:45:56.54
命題 70
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
E を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
τ：E → Ω(>>82) を埋め込み(>>121)で σ の拡張となっているものとする。
このとき、τ(E) は σf(X) の最小分解体である。

証明
>>175の証明と同様である。

177:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 04:08:26.95
命題 71
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
E を (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)とする。
各 i に対して σf_i を f_i の各係数にσを作用させた多項式とする。
F を (σf_i)、i ∈ I の最小分解体とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
E/K は代数的拡大(>>90)であるから、
>>148より埋め込み τ：E → Ω(>>82) で σ の拡張となっているものが存在する。
各 f_i の Ω における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
E = K(S) である。
>>175の証明と同様にして各 i に対して τ(S_i) は σf_i の Ω における全ての根である。
τ(E) = L(τ(S)) であるが、τ(S) = ∪{τ(S_i)；i ∈ I} であるから
τ(E) は (σf_i)、i ∈ I の最小分解体である。
よって、F = τ(E) である。
証明終

178:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 04:11:58.44
命題 72
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
E を (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)とする。
各 i に対して σf_i を f_i の各係数にσを作用させた多項式とする。
τ：E → Ω(>>82) を埋め込み(>>121)で σ の拡張となっているものとする。
このとき、τ(E) は (σf_i)、i ∈ I の最小分解体である。

証明
>>177の証明と同様である。

179:１３２人目の素数さん
11/11/08 05:25:43.84
　　　　　　　ヽ|/
　　　　／￣￣￣｀ヽ、
　　　 /　　　　　　　　ヽ
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　　　| 　/￣⌒￣ヽ　U.| 　　・・・・・こいつ本当に馬鹿だ
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180:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 06:16:06.88
集合 S の濃度を |S| と書く。

181:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 07:24:35.06
L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
L/K の自己同型群を Aut(L/K) と書いた(>>123)。
|Aut(L/K)| (>>180) と [L : K] (>>87) の関係を調べよう。

まず L = K(α) となる α ∈ L がある場合を考える。
α の K 上の最小多項式(>>116) を f(X) とする。
f(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
|S| ≦ deg f(X) である。
>>165より |Aut(L/K)| = |S| である。
一方、>>120より deg f(X) = [L : K] であるから
|Aut(L/K)| ≦ [L : K] である。

|Aut(L/K)| = [L : K] となるのは f(X) が重根を持たない場合に限る。
f(X) が重根 β を持つとする。
f(X) = g(X)(X - β)^m、m ≧ 2 とする。
Ω (>>82)が複素数体のとき f(X) を複素関数とみて f’(X) を f(X) の導関数とする。
即ち h ∈ Ω、h ≠ 0 として f’(X) = lim[h → 0] (f(X + h) - f(X))/h
このとき、f’(X) ∈ K[X] である。

f’(X) = g’(X)(X - β)^m + mg(X)(X - β)^(m-1)
よって、f’(β) = 0 である。
f(X) は β の最小多項式であるから f’(X) は f(X) で割り切れる。
しかし、deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから、これは矛盾である。
よって、f(X) は重根を持たない。

Ω (>>82)が複素数体以外の場合にも f(X) の導関数は以下のように形式的に定義出来る。

182:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 12:08:00.68
定義 73
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 を A[X] の元とする。
f(X) の導多項式(derivative)とは次の多項式のことを言う。

na_nX^(n-1) + (n-1)a_(n-1)X^(n-2) + ．．．+ 2a_2X + a_1

f(X) の導多項式を Df(X)、df(X)/dx、f’(X) などと書く。

183:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 12:24:01.12
命題 74
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
D：A[X] → A[X] を f(X) ∈ A[X] にその導多項式(>>182) Df(X) を対応させる写像とする。
このとき、D は A-加群の準同型である。
すなわち、f(X)、g(X) ∈ A[X]、c ∈ A のとき。

1) D(cf(X)) = cD(f(X))

2) D(f(X) + g(x)) = D(f(X)) + D(g(X))

証明
直接に計算しても簡単であるが、次のようにも証明出来る。

1、X、．．．X^n、．．．は A-自由加群 A[X] の基底である。
よって、A-加群の準同型 ψ：A[X] → A[X] で
各 n に対して ψ(X^n) = nX^(n-1) となるものが一意に存在する。
明らかに ψ = D である。
証明終

184:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 12:44:40.12
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
D：A[X] → A[X] を f(X) ∈ A[X] にその導多項式(>>182) Df(X) を対応させる写像とする。
f(X)、g(X) ∈ A[X] のとき、次の等式を(f(X) と g(X) に関する)Leibnizの公式と言う。

D(f(X)g(X)) = D(f(X))g(X) + f(X)D(g(X))

185:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 13:08:40.55
命題 75
任意の f(X) ∈ A[X] を固定する。
f(X) と g(X) に関するLeibnizの公式(>>184)が成り立つような g(X) ∈ A[X] の集合を Λ(f(X)) と書く。
このとき、Λ(f(X)) は A[X] の A-部分加群である。

証明
記法を単純にするため f(X) や g(X) をそれぞれ f、g などと書くことにする。

1) c ∈ A、g ∈ Λ(f) とする。
D(fcg) = cD(fg) = c(D(f)g + fD(g)) = D(f)(cg) + fD(cg)
よって、cg ∈ Λ(f) である。

2) g, h ∈ Λ(f) とする。
D(f(g + h)
= D(fg) + D(fh)
= D(f)g + fD(g) + D(f)h + fD(h)
= D(f)(g + h) + f(D(g) + D(h))
= D(f)(g + h) + fD(g + h))

よって g + h ∈ Λ(f)
証明終

186:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 13:21:10.92
命題 76
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
任意の f(X)、g(X) ∈ A[X] に対してLeibnizの公式(>>184)が成り立つ。

証明
n と m を任意の整数 ≧ 0 とする。
D(X^(n+m)) = (n+m)X^(n+m-1)
D(X^n)X^m = nX^(n+m-1)
X^nD(X^m) = mX^(n+m-1)
よって、X^n と X^m に関してLeibnizの公式(>>184)が成り立つ。
よって、>>185の記法で X^m ∈ Λ(X^n) である。
>>185より、Λ(X^n) は A[X] の A-部分加群であるから Λ(X^n) = A[X] である。
よって、任意の f(X) ∈ A[X] に対して X^n ∈ Λ(f(X)) である。
再び>>185より、Λ(f(X)) は A[X] の A-部分加群であるから Λ(f(X)) = A[X] である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

187:１３２人目の素数さん
11/11/08 13:38:02.21
熊ーさんすげーな

188:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 14:04:49.75
命題 77
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
D：A[X] → A[X] を f(X) ∈ A[X] にその導多項式(>>182) Df(X) を対応させる写像とする。
一方、ψ：A[X] → A[X] を次の条件を満たす写像とする。

1) ψ は A-加群の準同型である。

2) 任意の f(X)、g(X) ∈ A[X] に対して
ψ(f(X)g(X)) = ψ(f(X))g(X) + f(X)ψ(g(X))

3) ψ(X) = 1

このとき ψ = D である。

証明
2) において f(X) = 1、g(X) = 1 とおくと ψ(1) = ψ(1) + ψ(1)
よって、ψ(1) = 0 である。
任意の整数 n ≧ 1 に対して ψ(X^n) = nX^(n-1) を n にかんする帰納法で証明しよう。

3) より n = 1 の場合は成り立つ。
n ≧ 2 として、ψ(X^(n-1)) = (n-1)X^(n-2) と仮定する。
2) より、ψ(X^n) = ψ(X)X^(n-1) + Xψ(X^(n-1)) = X^(n-1) + (n-1)X^(n-1) = nX^(n-1)

以上で任意の整数 n ≧ 1 に対して ψ(X^n) = nX^(n-1) が証明された。

よって、1) より ψ = D である。
証明終

189:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 14:17:41.84
定義 78
K を体(>>82)とする。
f(X) を定数でない K 係数の多項式とする。
α ∈ Ω (>>82) を f(X) の根とする。
このとき、f(X) = g(X)(X - α)^m、m ≧ 1、g(α) ≠ 0 となる g(X) ∈ K[X] が一意に存在する。
m = 1 のとき α を f(X) の単根と呼び、m ≧ 2 のとき α を f(X) の重根と呼ぶ。
m を α の f(X) における重複度と呼ぶ。

190:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 14:32:33.99
命題 79
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
α ∈ Ω (>>82) を f(X) の根とする。
α が f(X) の重根(>>189)であるためには f’(α) = 0 が必要十分である。

証明
必要性：
α が f(X) の重根であるとする。
f(X) = g(X)(X - α)^m、m ≧ 2、g(α) ≠ 0 となる g(X) ∈ K[X] が一意に存在する。
f’(X) = g’(X)(X - α)^m + mg(X)(X - α)^(m-1)
m ≧ 2 えあるから f’(α) = 0 である。

十分性：
α が f(X) の単根(>>189)であるとする。
f(X) = g(X)(X - α)、g(α) ≠ 0 となる g(X) ∈ K[X] が存在する。
f’(X) = g’(X)(X - α) + g(X)
よって、f’(α) = g(α) ≠ 0
証明終

191:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 15:08:07.39
命題 80
Ω (>>82)には最小の体(>>82) P が存在する。
P は有理数体 Q または Z/pZ に同型である。
ここで Z は有理整数環であり p はある素数である。

証明
環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。
ψ(Z) は Ω の最小の部分環である。
よって、ψ(Z) の Ω における商体 P は Ω の最小の体(>>82)である。

ψ(Z) は環として Z/Ker(ψ) に同型である。
よって、Ker(ψ) = 0 のときは P は有理数体 Q に同型である。

Ker(ψ) ≠ 0 のときは Ker(ψ) = nZ である。
ここで、n は有理整数 ≧ 2 である。
よって、ψ(Z) は環として Z/nZ に同型である。
Z/nZ は整域であるから n は素数である。
このとき、Z/nZ は可換体である。
よって、ψ(Z) は Ω の最小の体(>>82)であり、ある素数 p に対する Z/pZ に同型である。
証明終

192:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 15:16:33.40
定義 81
>>191より、Ω (>>82)には最小の体(>>82) P が存在する。
P を(Ω の)素体と言う。
>>191より、以下の二つの場合がある。

1) P は有理数体に同型である。
2) ある素数 p があり、P は Z/pZ に同型である。

1) のとき Ω の標数は 0 であると言う。
2) のとき Ω の標数は p であると言う。

Ω の標数を char(Ω) と書く。

193:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 16:21:18.49
定義 82
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f(X) の Ω(>>82) における全ての根が単根(>>189)のとき f(X) を分離的という。

194:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 16:35:40.75
命題 83
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f(X) が分離的(>>193)であるためには f(X) と f’(X) が互いに素であることが必要十分である。

証明
必要性：
f(X) と f’(X) が互いに素でないとする。
定数でない多項式 g(X) ∈ K[X] があり f(X) と f’(X) は g(X) で割り切れる。
g(X) の Ω(>>82)における根の任意の一つを α とする。
f(α) = 0 かつ f’(α) = 0 であるから、>>190より α は f(X) の重根である。

十分性：
f(X) が重根 α を持つとする。
>>190より f(α) = 0 かつ f’(α) = 0 である。
g(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とすると、f(X) と f’(X) は g(X) で割り切れる。
よって、f(X) と f’(X) は互いに素ではない。
証明終

195:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 16:43:06.20
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする
>>194より f(X) が分離的かどうかは f(X) と f’(X) の最大公約多項式 gcd(f(X), g(X)) を
求めれば分かる。
gcd(f(X), g(X)) はEuclidの互除法(例えばWikipedia参照)により K[X] における有限回の手続きで求まる。

196:１３２人目の素数さん
11/11/08 17:22:12.39
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197:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 20:12:08.93
Ω(>>82)の部分体とは必ずしも限らない可換体のことを抽象体と呼ぶことにする。

198:１３２人目の素数さん
11/11/08 20:18:08.72
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　　　　　　 ,i ::　　-=ﾆ=-　　-=ﾆ=- 　　i
　　　　　　　＼..　　　/ ｰ-' ヽ.　　　／
　　　　　　　　＼：：.| ト‐＝‐ｧ' |.：.／　　いい加減にしないかね？
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　　,r―--､,,＿ノ　r､三 η 　 L___,,..-―‐-､
　（　　　　　　　　〃ヽヽ //ヾヽ　　　　　　　）
　　ヽ　　｀ヽ、　　⊂ニ　◎　ニ⊃　　　 ,r''　　/
　　　ヽ　　｝ ` ｰ-ヾヽ// ヽヽ〃ー‐''７　　　/
　　　ヽ　.{　　　　ι' 三ヽ)　　　　{.　　/

199:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 20:23:02.55
定義 84
必ずしも可換とは限らない体のことを斜体(skew field)と呼ぶ。

200:１３２人目の素数さん
11/11/08 20:33:15.71
　　　　　　　_,,..--―--,,..
　　　　　／:::　　　　　　　　　＼
　　　　/:::"　　　　　　　　　　　　ヽ
　　　 ,i ::　　-=ﾆ=-　　-=ﾆ=- 　　i
　　　 ',　　　　　　　,　　　　　　　i
　　　　　ヽ　　　　　 } 　　　　　ﾊ　　　２００ゲット！
　　　　　　＼　　　 ′`　　　　　　＼
　　　　　　　　＼　　　　､　　　　　′ `ー- ､
　　　　　　　　　ヽ､　　　!　　　　　　　　　ヽ
　　　　　　　　　　　＼　　　ヽ　　　　　　　 ',
　　　　　　　　　　　　 >、　　　　　　 /　　　　　|
　　　　　　　　　　　　　ﾉ　　､ r､三 η　　　　　　|
　　　　　　　　　　　　/　　　〃ヽヽ //ヾヽ　　　　 |
　　　　　　　　　 /　　　⊂ニ　◎　ニ⊃ 　　　!
　　　　　　　　　 /　　　　ヾヽ// ヽヽ〃　　　 l
　　　　　　　　./　　　　　 ι' 三ヽ)　　　　 |

201:KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
11/11/08 20:48:30.72
体は可換のもののことで,可換でない体は存在しない.
R-{0}が積について可換群になる環Rを体(field)という.
R-{0}が積について群になる環Rを斜体という.
0≠1の仮定もあるかもしれない.非可換のもののみを斜体と呼ぶかもしれない.

202:１３２人目の素数さん
11/11/08 21:10:37.76
こんな所で学習ノートを公開するしかないのは哀れ越えてはた迷惑。

203:１３２人目の素数さん
11/11/08 21:26:39.80
くんまー

お前はまた論破されとるやないか

数学をナメとんかオラ

204:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 21:52:18.82
体は一般には乗法の可換性を仮定しない。
乗法の可換な体を可換体と呼ぶ。
これに反して英語の field は乗法の可換性を仮定するのが普通である。
乗法の可換性を仮定しない体のことを英語では division ring または skew field と呼ぶ。
しかし、英語で環のことを ring と言うが一般には乗法の可換性を仮定しない。
乗法の可換な環を commutative ring と呼ぶ。
英語ではこのあたり一貫性がない。

205:１３２人目の素数さん
11/11/08 21:56:29.07
>>Kummer
これだけは言っておく…

『学問をナメるな』

分かったか分かったら返事しろや

206:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 21:59:24.06
Wikipediaより：
単に「体」とよぶとき、その意味するものにはいくつかの流儀が存在する。
たとえば、可換である体を単に「体」 (field) と呼び、非可換なものを含めてよぶときは
多元体あるいは可除環（かじょかん、division ring, division algebra）
あるいは斜体（しゃたい、skew field）と呼ぶのはイギリス流（英語圏）である。
一方（ヨーロッパ）大陸流（ドイツ、フランス語圏）では、必ずしも可換でない体を単に「体」
(Körper, corps) とよび、可換であるときを特に可換体 (kommutativ Körper, corps commutatif)
とよぶ。ただし、歴史的経緯はどうあれ時代が下るにつれ英語圏の流儀に合わせる傾向は見られる。
またいずれの流儀においても、文脈に応じて「可換」「必ずしも可換とは限らない」「非可換」などを
冠することで明示的にこれらの概念を区別することがある。これらの区分のうち「非可換」なものの
指すべき範疇は文脈にまったく依存するものであることには留意が必要である。
たとえば「斜体」と呼ぶとき、それが可換体を含むのか含まないのかは文脈を踏まえなければ
定かではないし、「非可換体」が可換体を含む意味で用いられることもある。

207:１３２人目の素数さん
11/11/08 22:00:39.90
くんまー

素直に自分の過ちを認めろ

それが前に進む唯一のステップだ

見苦しいぞ

208:１３２人目の素数さん
11/11/08 22:04:25.67
禿山のにぎやかしと言うにはちとくどいな。
お勉強の公開は専用スレでやれクマ。

209:１３２人目の素数さん
11/11/08 22:04:49.68
そうだそうだ

210:１３２人目の素数さん
11/11/08 22:08:09.71
過疎スレの流用、有効活用のつもりなんだろ。

211:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 22:30:34.47
このスレでは環は単位元 1 を持つとする。
このとき 1 = 0 となる可能性を否定しない。
環の準同型は単位元を単位元に写すものとする。
A を環としたとき A の部分環は A の単位元を含むとする。
M を A 上の加群としたとき、任意の x ∈ M に対して 1x = x とする。

212:１３２人目の素数さん
11/11/08 22:38:17.84
いい年して今さら体論かよ。バカじゃねぇーかｗ

213:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 22:47:31.66
定義 85
Z を有理整数環とし、p を任意の素数とする。
有理数体または Z/pZ に同型な抽象体(>>197)を素体と呼ぶ。

214:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 22:53:13.62
定義 86
A を環とし、A は斜体(>>199) D を部分環(>>)として含むとする。
このとき環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。
Ker(ψ) は 0 または pZ である(p は素数)。
このとき A の標数をそれぞれ 0 または p と定義する。
A の標数を char(A) と書く。

D の中心 C は可換体であり、ψ(Z) は C に含まれる。
ψ(Z) の C における商体は素体(>>213)である。
これを A の素体と呼ぶ。
A の素体は char(A) = 0 のとき有理数体に同型であり、
char(A) = p ＞ 0 のとき Z/pZ に同型である。
A の素体は A の最小の部分斜体である。

215:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 22:57:01.96
>>214への補足

A の素体は A の中心に含まれる。

216:１３２人目の素数さん
11/11/08 23:35:16.85
ここでやってくれ。

体論 Part 1
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

217:１３２人目の素数さん
11/11/08 23:35:49.35
>>215
続きはここです。

218:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/08 23:58:22.65
命題 87(二項定理)
A を可換環とし、x, y を A の元とする。
このとき、任意の整数 n ≧ 0 に対して
(x + y)^n = Σ[0 ≦ k ≦n] C(n. k)x^ky^(n-k) となる。
ここで、C(n. k) = n!/(n-k)!k! である。

証明
良く知られているので省略する。

219:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 00:15:31.84
命題 88
A を可換環で抽象体(>>197)を部分環として含むとする。
さらに A の標数(>>214)は p ＞ 0 とする。
このとき A の任意の元 a, b に対して (a + b)^p = a^p + b^p である。

証明
>>218より、(a + b)^p = Σ[0 ≦ k ≦ p] C(p. k)a^kb^(p-k)

ここで、C(p. k) = p!/(p-k)!k! である。
即ち、C(p. k)k! = p!/(p-k)!
1 ≦ k ≦ p - 1 のとき p!/(p-k)! は p で割れるから C(p. k)k! ≡ 0 (mod p)
一方、k! は p で割れないから C(p. k) ≡ 0 (mod p) である。
よって、C(p. k)a^kb^(p-k) = 0 である。
よって、(a + b)^p = a^p + b^p である。
証明終

220:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 00:23:42.72
定義 89
A を可換環で抽象体(>>197)を部分環として含むとする。
さらに A の標数(>>214)は p ＞ 0 とする。
A の元 a に a^p を対応させる写像を ψ とする。
>>219より A の任意の元 a, b に対して (a + b)^p = a^p + b^p である。
さらに (ab)^p = (a^p)(b^p) であり、1^p = 1 であるから
ψ は A の自己準同型である。
これを A のFrobenius自己準同型と呼ぶ。

221:１３２人目の素数さん
11/11/09 00:28:28.52
こいつキチガイだろｗ

222:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 00:55:10.40
定義 90
K を体(>>82)とする。
K[X] における全ての既約多項式が分離的(>>193)なとき K を完全体と呼ぶ。

223:１３２人目の素数さん
11/11/09 01:05:28.75
おなかごろごろ、糞死体

224:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 01:11:29.28
命題 91
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば f’(X) ≠ 0 である。

証明
deg f(X) = n とし、
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 とする。
f’(X) = na_nX^(n-1) + (n-1)a_(n-1)X^(n-2) + ．．．+ 2a_2X + a_1 である。
a_n ≠ 0 であり、char(Ω) = 0 であるから na_nX^(n-1) ≠ 0 である。
よって、f’(X) ≠ 0 である。
証明終

225:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 01:23:01.38
命題 92
K を体(>>82)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば K は完全体(>>222)である。

証明
f(X) ∈ K[X] を任意の既約多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
>>224より、f’(X) ≠ 0 である。
deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから f’(X) は f(X) で割り切れない。
よって、f(X) と f’(X) は互いに素である。
よって、>>194より、f(X) は分離的(>>193)である。
よって、K は完全体(>>222)である。
証明終

226:β
11/11/09 01:42:00.57
　くだらん　塾の教科書でもかいてるのか？

227:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 09:30:46.00
>>214の修正
>このとき環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。

Z を有理整数環とすると、環準同型 ψ：Z → A が一意に存在し、
ψ(Z) は D に含まれる。

228:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 09:42:31.44
命題 93
K を標数 p ＞ 0 の抽象体(>>197)とする。
f(X) ∈ K[X] を多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら f(X) ∈ K[X^p] である。

証明
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 = Σa_iX^i とする。
f’(X) = Σia_iX^(i-1) = 0
よって、各 i、0 ≦ i ≦ n に対して ia_i = 0 である。
よって、a_i ≠ 0 のとき i は p の倍数である。
よって、f(X) は X^p の多項式である。
証明終

229:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 09:51:20.72
記法
A を標数(>>214) p ＞ 0 の可換環とする。
ψ を A のFrobenius自己準同型とする。
ψ(A) を A^p と書く。
さらに任意の整数 n ≧ 0 に対して ψ^n(A) を A^(p^n) と書く。
但し、n = 0 のとき ψ^n(A) = A とする。

230:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 10:03:34.80
命題 94
K を標数 p ＞ 0 の抽象体(>>197)で K = K^p (>>229) とする。
f(X) ∈ K[X] を多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら f(X) ∈ (K[X])^p (>>229) である。

証明
>>228 より f(X) = g(X^p) となる g(X) ∈ K[X] がある。
K = K^p であるから g(X) の各係数の p 乗根が K に存在する。
g(X) の各係数をその p 乗根で置き換えた多項式を h(X) とする。
>>219より (h(X))^p = g(X^p) である。
よって、f(X) = (h(X))^p ∈ (K[X])^p
証明終

231:１３２人目の素数さん
11/11/09 10:28:31.84
削除対象アドレス
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:130-138番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:142-156番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:159-166番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:171-178番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:180-195番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:197番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:201番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:204番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:206番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:213-215番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:218-220番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:222-225番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:224-230番)

削除理由・詳細・その他：
５．掲示板・スレッドの趣旨とは違う投稿
６．連続投稿・重複

232:１３２人目の素数さん
11/11/09 10:46:45.59
>>Kummer
ださっ…
しかも間違いだらけやし

233:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 10:47:53.27
命題 95
Ω(>>82)の標数(>>192)を p ＞ 0 とする。
K を体(>>82)とする。
a を K の元で K^p (>>229)に含まれないとする。
このとき任意の整数 e ≧ 0 に対して X^(p^e) - a は K[X] で既約である。

証明(Bourbaki)
f(X) = X^(p^e) - a とおく。
f(X) の Ω における任意の根を α とする。
可換環 Ω[X] の標数(>>214)は p であるから
>>219を繰り返し使って (X - α)^(p^e) = X^(p^e) - α^(p^e) = f(X)
α の K 上の最小多項式(>>116)を g(X) とする。
f(X) = g(X)h(X) となる h(X) ∈ K[X] がある。 g(X) はモニック(>>115)だから
h(X) の次数 ≧ 1 なら α は h(X) の根であるから h(x) は g(x) で割り切れる。
よって、f(X) = (g(X)^2)r(X) となる r(X) ∈ K[X] がある。
以上を繰り返して、f(X) = c(g(X))^q となる c ∈ K と整数 q ≧ 1 がある。
g(X) はモニック(>>115)だから c = 1 である。
よって、f(X) = (g(X))^q
q は p^e の約数であるから q = p^s となる整数 s で 0 ≦ s ≦ e となるものある。
g(X) の定数項を c とすると c^q = -a である。
a は K^p (>>229)に含まれないから q = 1 でなければならない。
よって、f(X) = g(X) である。
証明終

234:１３２人目の素数さん
11/11/09 10:50:19.59
経済学板の「経済学の数学の使い方が気持ち悪い」スレに行ってみて下さい。
経済学＝数学らしいです。　

235:１３２人目の素数さん
11/11/09 10:53:44.03
>>Kummer
被災者の方への謝罪は済んだのでしょうか？

236:１３２人目の素数さん
11/11/09 10:55:37.58
>>231
>５．掲示板・スレッドの趣旨とは違う投稿

ガロア生誕200周年記念スレなので彼の業績であるガロア理論を紹介しています。

237:１３２人目の素数さん
11/11/09 10:58:01.73
おまえは相手を無視して一方的に自分のノート貼ってるだけだ。
自分のブログか専用スレでやれ阿呆。

238:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 11:33:58.41
命題 96
Ω(>>82)の標数(>>192)を p ＞ 0 とする。
体(>>82) K が完全体(>>222)であるためには K = K^p (>>229)が必要十分である。

証明
必要性：
K ≠ K^p とする。
K の元 a で K^p に含まれないものがある。
>>233より X^p - a は K[X] で既約である。
X^p - a の Ω における任意の根を α とする。
可換環 Ω[X] の標数(>>214)は p であるから
>>219よりを X^p - a = (X - α)^p
よって、X^p - a は分離的(>>193)ではない。
よって、K は完全体でない。

十分性：
K = K^p とする。
f(X) を K[X] の任意の既約多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら、>>230より f(X) = (g(X))^p となる g(X) ∈ K[X] がある。
しかし、f(X) は既約だからこれは不可能である。
よって、f’(X) ≠ 0 である。
deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから f’(X) は f(X) で割れない。
f(X) は既約だから、f(X) と f’(X) は互いに素である。
よって、>>194より、f(X) は分離的(>>193)である。
よって、K は完全体である。
証明終

239:１３２人目の素数さん
11/11/09 11:36:41.24
>>237
書いてある内容に関する質問や誤りの指摘には返事をします。

240:１３２人目の素数さん
11/11/09 11:37:03.59
この特別な年にみんなでGalois理論を学ぶ事は非常に素晴らしい事だと思います。
僕はKummer氏にこのスレで続けて欲しいです。

241:１３２人目の素数さん
11/11/09 11:41:04.38
うんこ

242:１３２人目の素数さん
11/11/09 11:41:40.98
巣へｶｴﾚ

【Kummer's】代数的整数論024【Mathematical Note】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

243:１３２人目の素数さん
11/11/09 11:50:50.61
これが数学オタクの成れの果てだ
学生はよく見ておけよ、こんなやつになっちゃだめだ

244:１３２人目の素数さん
11/11/09 11:56:53.38
ポスト無し、就職無し、ペーパー書けない、出版出来ない・・・

245:１３２人目の素数さん
11/11/09 11:59:08.15
クマってTeX分からんらしいよ。

246:１３２人目の素数さん
11/11/09 13:20:50.10
命題 97(完全体でない例)
Ω(>>82)の標数(>>192)を p ＞ 0 とする。
K を体(>>82)とする。
t ∈ Ω を K 上超越的(>>89)とする。
このとき t は (K(t))^p (>>229)に含まれない。
よって、>>238より K(t) は完全体ではない。

証明
t ∈ (K(t))^p とする。
K[t] (>>91)の元 f と g があり t = (f/g)^p となる。
t は K 上超越的だから K[t] は多項式環 K[X] に同型である。
よって、f と g は t の多項式と見なしてよい。
よって、f と g は互いに素と仮定してよい。
よって、f^p と g^p も互いに素である。
t(g^p) = f^p であるから t は f^p で割れる。
よって、f は定数、即ち K の元である。
よって、t(g^p) も K の元であるが、これは不可能である。
証明終

247:１３２人目の素数さん
11/11/09 13:46:56.98
定義 98
K を体(>>82)とする。
α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>89)とする。
α の K 上の最小多項式(>>116)が分離的(>>193)なとき
α を K 上分離的であるという。

248:１３２人目の素数さん
11/11/09 13:55:22.53
定義 99
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
L の各元が K 上分離的(>>247)なとき L は K 上分離代数的または単に K 上分離的という。
このとき L/K は分離代数的または分離的という。
さらに L/K が有限なとき L/K は有限分離的という。

249:１３２人目の素数さん
11/11/09 14:45:11.10
次の命題はGaloisの方程式論において重要である。

命題 100
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f の Ω(>>82) における全ての根の集合を H = {α_1、．．．、α_n} とする。
ここで、α_1、．．．、α_n は互いに異なるとする。
L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91)とおく。
即ち L は f(X) の最小分解体(>>149)である。
σ を Aut(L/K) (>>123) の任意の元とすると σ は H の置換を引き起こす。
よって、群の準同型 ψ：Aut(L/K) → S(H) が得られる。
ここで、S(H) は H 上の置換全体のなす群、即ち H 上の対称群である。
このとき、ψ は単射である。
よって、Aut(L/K) は有限群であり、|Aut(L/K)| ≦ n! である。

証明
各 α_i ∈ H は f(X) の根だから f(α_i) = 0
よって、σ(f(α_i)) = f(σ(α_i)) = 0
よって、σ(α_i) ∈ H である。
よって、σ(H) ⊂ H
σ は単射で H は有限集合だから σ(H) = H である。
よって、σ は H の置換を引き起こす。
これから群の準同型 ψ：Aut(L/K) → S(H) が得られることは明らかである。
σ ∈ Ker(ψ) とする。
各 α_i ∈ H に対して σ(α_i) = α_i である。
L の任意の元 x は α_1、．．．、α_n の K 係数の有理式 P(α_1、．．．、α_n) で表されるから
σ(x) = σ(P(α_1、．．．、α_n)) = P(σ(α_1)、．．．、σ(α_n)) = P(α_1、．．．、α_n) = x
よって、σ = 1 である。
よって、ψ は単射である。
|S(H)| = n! であるから |Aut(L/K)| ≦ n! である。
証明終

250:数学要努力者里（サト） ◆PUHk/ACHXc
11/11/09 15:00:18.83
エバリスト・ガロワ（蠍座？）１０月２５分生まれとは知りませんでした。
本日、ヘルマンワイル先生（蠍座）の生誕記念。
野口英世先生（福島県ご出身）も本日。

俺も今日です。（某数学団体会費未納反省。某通信制大学、学費２期未納反省。）

251:１３２人目の素数さん
11/11/09 15:21:11.83
定義 101
分離的(>>248)な正規拡大(>>163)をGalois拡大という。
L/K がGalois拡大のとき Aut(L/K) (>>123) を L/K のGalois群と言い、G(L/K) と書く。

252:１３２人目の素数さん
11/11/09 15:25:52.56
なんで拡大を正規やら分離的やらに限定しないといけないの？

253:１３２人目の素数さん
11/11/09 15:34:51.84
命題 102
L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
このとき、次数１以上の f(X) ∈ K[X] があり、
L は f(X) の最小分解体(>>149)である。

証明
L/K は有限であるから L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91) と書ける。
各 α_i に対して f_i(X) を α_i の K 上の最小多項式(>>116)とする。
L/K は正規拡大であるから、各 f_i は L で分解する。
よって、f(X) = Πf_i(X) とおけば L は f(X) の最小分解体である。
証明終

254:１３２人目の素数さん
11/11/09 15:39:12.69
>>252
後で説明します。

255:１３２人目の素数さん
11/11/09 15:40:13.38
|￣|　∧∧
ﾆニニ(ﾟДﾟ∩ｺ
|＿|⊂　　ノ
　　 /　０
　　し´

えっ…と､
糞ｽﾚはここかな…､と
　∧∧　∧∧
∩ﾟДﾟ≡ﾟДﾟ)|￣|
`ヽ　　 /)ニニニｺ
　 |_　i～　 |＿|
　 ∪ ∪

　　∧∧ ミ　ﾄﾞｽｯ
　 (　　) ＿ｎ＿
　 /　　つ終了｜
～′　/´ ￣||￣
　∪∪　　　||_ε3
　　　　　　ﾞﾞﾞﾞ

256:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 15:42:10.76
以下のレスにハンドルを入れ忘れた。
後の検索に便利なように指摘しておく。
>>246
>>247
>>248
>>249
>>251
>>253

257:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 15:47:08.75
命題 103
L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
このとき、Aut(L/K) は有限群である。

証明
>>253より、次数１以上の f(X) ∈ K[X] があり、
L は f(X) の最小分解体(>>149)である。
よって、>>249より、Aut(L/K) は有限群である。
証明終

258:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 15:51:12.43
命題 104
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
このとき、G(L/K) (>>251) は有限群である。

証明
L/K は有限(>>87)な正規拡大(>>163)であるから>>257より G(L/K) = Aut(L/K) は有限群である。
証明終

259:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 20:26:20.55
命題 105
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
σf(X) ∈ L[X]を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
f(X) の Ω(>>82) における根全体の集合を S とする。
σf(X) の Ω における根全体の集合を S_σ とする。
このとき |S| = |S_σ| (>>180)である。

証明
E を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
F を σf(X) の最小分解体とする。
>>175より、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。

S = {α_1、．．．、α_r} とし、f(X) = Π(X - α_i)^(m_i) とする。
>>143より、環としての同型 ψ：E[X] → F[X] で
g(X) ∈ K[X] のとき ψ(g(X)) = τg(X) となるものが一意に存在する。
ここで、τg(X) は g(X) の各係数にτを作用させたものである。
σf(X) = ψ(f(X)) = Π(X - τ(α_i))^(m_i)
よって、S_σ = {τ(α_1)、．．．、τ(α_r)}
よって、|S| = |S_σ| である。
証明終

260:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/09 22:04:33.63
命題 106
K ⊂ M ⊂ L を体(>>82)の拡大列とする。
L/K が分離代数的(>>248)なら M/K と L/M も分離代数的である。

証明
M/K が分離代数的なことは自明である。
任意の α ∈ L に対して f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
f(α) = 0 で f(X) ∈ M[X] であるから α は M 上代数的(>>89)である。
g(X) を α の M 上の最小多項式(>>116)とする。
f(α) = 0 で f(X) ∈ M[X] であるから M[X] において f(X) は g(X) で割れる。
f(X) は分離的(>>193)であるから g(X) も分離的である。
よって、α は M 上分離的である。
よって、L/M は分離代数的である。
証明終

261:１３２人目の素数さん
11/11/10 08:49:30.28
　　　 ∩＿＿＿∩
　　　 | ノ　　　　　ヽ
　　　/　　●　　　● |　　　ちょっと通るクマ-ね
　　 |　　　　( _●_)　ミ
　　彡､　　　|∪|　　､｀
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262:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/10 09:04:52.73
定義 107
L/K を体の拡大(>>82)とする。
σ：K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
埋め込み：L → Ω で σ の拡張となっているものを σ-埋め込みと言う。
σ-埋め込み：L → Ω 全体の集合を E(σ、L/K) と書く。
σ が K の各元を動かさないとき E(σ、L/K) を E(L/K) と書く。
即ち、E(L/K) は K-埋め込み(>>122)：L → Ω 全体の集合である。

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