面白い問題おしえて～な十八問目

面白い問題おしえて～ ..

539:１３２人目の素数さん
11/09/03 19:31:05.21
>>537
それとね、>419のような問題は「関数方程式」と仰々しい名前が
ついていて、ググるといくつか問題が見つかる。

ここのページの[2003杏林大・医]の問題とか。
URLﾘﾝｸ(izu-mix.com)

これも関数方程式。
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)

どの問題も、「(x,y)に依存して関数fが決まる」などという解釈では解かず、
"α＝β∩γ" 流の解釈で問題を解いていることが分かるだろう。

540:１３２人目の素数さん
11/09/03 19:34:23.54
>>537
だいたいね、「(x,y)に依存して関数fが決まる」という解釈をするなら、
そのfは「f」と表記すべきではなく、「 f_{x,y} 」のように表記し、
"fはx,yに依存してます" ということが明確に伝わるようにしなければいけない。

このことを踏まえて、君のような解釈が可能になるように
>>419の問題を書き直すと、次のようになるんだぞ。

問題：x,yに依存して決まる写像 f_{x,y}：R → R は、

「任意のx,yに対して f_{x,y}(y)^2 ＝ 2*f_{x,y}(x)－1 」

を満たすとする。このような写像 f_{x,y} (x,y∈R) を全て求めよ。

>419をこのように変更しないと、君のような解釈は可能にならない。
で、この問題を解こうとしたら、今度こそ君の解釈で解くことになるのだが、
その場合、>>515は解答になっておらず、どのみち君は間違ってる。

541:１３２人目の素数さん
11/09/03 19:42:51.84
>>252

B. 4341. Find all pairs f(x), g(x) of polynomials of real coefficients such that f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1.

542:１３２人目の素数さん
11/09/03 19:59:16.70
>>538
先に「fが定数関数である」ということを示していれば、
x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
その後x = y、x ≠ yでの十分性が示されれば、題意が満たされることになる。

>>540
fがx, yに依存しない関数だとは問題に記述されていない。

543:１３２人目の素数さん
11/09/03 20:06:42.84
>>542
＞fがx, yに依存しない関数だとは問題に記述されていない。
依存するとも記述されてない。そして、そういう記述が
無い場合、「依存しない」と解釈するのが通例。

実際、>>539で挙げたリンク先の問題でも、写像fが
x,yに依存するか否かについては問題文に書かれていないにも
関わらず、どれも「依存しない」という解釈で解かれている。

544:１３２人目の素数さん
11/09/03 20:18:14.17
＞先に「fが定数関数である」ということを示していれば、
＞x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
＞全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
＞その後x = y、x ≠ yでの十分性が示されれば、題意が満たされることになる。
既に>>540で「 f_{x,y} 」と書いたのだから、この表記法を使いなさい。

で、「依存する」という解釈で問題を解く場合、君のその主張はデタラメである。
なぜか？x＝yを代入すると

f_{x,x}(x)^2＝2*f_{x,x}(x)－1

となるから、f_{x,x}(x)＝1 (∀x∈R)となる。例えば、f_{0,0}(0)＝1だし、
f_{1,1}(1)＝1だし、f_{-1,-1}(-1)＝1である。でも、これでは

「f_{0,0}(3)の値は？f_{1,1}(2011)の値は？f_{-1,-1}(-3/7)の値は？」

といったことは分からない。x＝yの場合の計算だけでは、これらの値は判明しない。
つまり、x＝yの条件下では

「x＝y＝tのとき、f_{x,y}(t)＝1である」

ということが言えるだけであり、

「x＝yのとき、全てのtでf_{x,y}(t)＝1なのか？」

ということについては何も言えない。
つまり、x＝yの場合のf_{x,y}は、「全領域で1である」とは
言い切れない。よって

＞x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
＞全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
君のこの主張はデタラメ。

545:１３２人目の素数さん
11/09/03 20:47:09.51
>>544
>>542書いた内容はfはx, yに依存しないとして考えた場合
α = β∪γとして考えれば>>542の流れで考えるのは正しい。

>>542で書いた内容は>>540で書いた内容
＞全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数fが存在すると考える場合
を全く踏まえたものではないので>>544は全く私の考えるところではない。

α = β∪γを考える場合には
＞全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数fが存在すると考える場合
のように考えている可能性があるのではないかと言っているまで。

546:１３２人目の素数さん
11/09/03 20:54:53.09
>>545
＞>>542書いた内容はfはx, yに依存しないとして考えた場合
＞α = β∪γとして考えれば>>542の流れで考えるのは正しい。

それはデタラメ。「fはx,yに依存しない」と解釈しつつ「α＝β∪γ」を
成り立たせることは出来ない。

「fはx,yに依存しない」と解釈するのなら、自動的にα＝β∩γ
となってしまい、α＝β∪γとなることは有り得ない。

547:１３２人目の素数さん
11/09/03 20:59:47.21
＞>>544は全く私の考えるところではない。

「 "fはx,yに依存する" と考えた場合の問題については、私の考えるところではない」

ということだな。つまり、君もやはり

「fはx,yに依存しない」

と解釈していたわけだな。だったら、自動的にα＝β∩γが成り立つ。
α＝β∪γにはならない。君は間違ってる。

548:１３２人目の素数さん
11/09/03 21:06:27.11
最近の高校では論理と集合について詳しく授業しないのだろうか？
だとするとこれは忌々しき事態だな

549:１３２人目の素数さん
11/09/03 21:07:08.50
>>547
それは違う。だから>>515でも
＞x ≠ yのときxとyを交換した
＞f(x)^2 = 2f(y)-1…②
＞が成立する((場合がある))
と言っている。
全ての領域で関数fが成立しなければならないと考えた場合に
>>516の訂正をした。

α=β∪γの場合は>>439と>>456のように関数を特定できないと言っている。

550:１３２人目の素数さん
11/09/03 21:11:03.47
>>549
＞α=β∪γの場合は>>439と>>456のように関数を特定できないと言っている。

うん、確かにね、「α＝β∪γ」という等式が "成り立つのであれば"、
君の言うとおりなんだよ。x≠yの場合も考慮しなくちゃいけないんだよ。

でもね、「α＝β∪γ」という等式は　成　り　立　た　な　い　のだよ。
特に、「fはx,yに依存しない」と解釈した場合は、自動的に

α＝β∩γ

になってしまうんだよ。だからね、君が言ってることはピントが
ずれてるわけ。

551:１３２人目の素数さん
11/09/03 21:12:50.72
俺が言っていること、分かるかな？

俺「fがx,yに依存しないと解釈するなら、自動的にα＝β∩γが成り立つから、
　　α＝β∪γなんて考える必要がない」

君「α＝β∪γが成り立つなら、x≠yの場合も考慮しなくちゃいけない」

↑君の言ってることは正しい。α＝β∪γが成り立つなら、x≠yの場合も
　考慮しなくちゃいけない。そのとおりだ。
　だがね、君が心配している「α＝β∪γ」という等式は、
　そもそも　成　り　立　た　な　い　ので、最初から考える必要が無いんだよ。

552:１３２人目の素数さん
11/09/03 21:18:19.15
>>550
>>551
で書かれた内容は全て理解している。分かりきったことを再三再四繰り返されてもね。
fがx, yの値によって複数存在すると考える考え方だってあるわけ。それぐらい分かるでしょ。
答えが最後まで出る問題の取り方でないと、おかしいと考えるのは短絡的。

553:１３２人目の素数さん
11/09/03 21:26:25.95
>>552
＞fがx, yの値によって複数存在すると考える考え方だってあるわけ。それぐらい分かるでしょ。
意味不明。その書き方では、何が言いたいのか分からない。

「fがx,yの値によって複数存在する」

とはどういうことか？

「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」

という意味か？それとも、

「f(x)は複数の値を取り得る。つまり、f(x)＝1であり、かつf(x)＝2であるようなケースがある」

という意味か？それとも、全く別の意味か？詳しく解説してくれ。

554:１３２人目の素数さん
11/09/03 21:28:01.26
>>552
とりあえず、

「 α＝β∩γとして考えれば、>>523 の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない」
「 α＝β∩γとして考えれば、>>419 の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない」

ということは理解してるんだよな？

＞で書かれた内容は全て理解している。
そうか。理解しているのか。つまりは

「α＝β∩γが成り立ち、α＝β∪γは成り立たない」

ということを理解しているというわけだな。
だったら、>>419の証明において、「x≠yの場合の計算が必要ない」ことも
理解しているというわけだな。

君、何がしたいの？

555:１３２人目の素数さん
11/09/03 21:31:03.33
今北産業

556:１３２人目の素数さん
11/09/03 21:37:11.04
>>555
>>419を
理解できない
馬鹿がいる

557:１３２人目の素数さん
11/09/03 22:09:37.51
ある連続関数fに対して
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1」が成立するなら
任意のx∈Rに対してf(x)=1である。
そして関数f(x)=1に対して
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1」が成立して、
f(x)=1は連続関数である。

必要性も十分性も説明できてると思うが、何を議論してるんだ？

558:１３２人目の素数さん
11/09/03 22:25:20.34
>>553
＞「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」
の方に決まっている。
＞f(x)＝1であり、かつf(x)＝2
なんていう関数が存在するわけない。

＞「α＝β∩γが成り立ち、α＝β∪γは成り立たない」
だから問題のとらえ方で、>>531のようになるっていっている。
他人の文章を把握するのに大変に問題があると考えられる。
こちらが、言っていないないようを勝手に解釈して批判するのを止めていただきたい。

>>519の証明が奇妙なのは、(C) => (Q)の条件が現れないこと。
また>>519では
＞[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。
となっていてfが(B)を満たすとなっているのにも関わらず、何故それ以外の場合を考慮しなければ
ならないのか？

＞[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たす
となっているが、α=β∩γであれば、これはいえない。

なお>>522+>>523については理解しているので繰り返さないようにお願いしたい。

559:１３２人目の素数さん
11/09/03 22:28:32.59
>>557
＞任意のx∈Rに対してf(x)=1である。
これを示す方法について、普通は

・(A)でx＝yとすると(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x)

と議論して、それでメデタシメデタシだと思うんだ。
>>419では、まさにこのやり方を使ってる。

で、ワケの分からん人が1人いて、その人は

「このやり方では、x＝yの拘束条件を課した状態での計算しかしていない。
　x≠yのときもf(x)＝1(∀x) 以外に解が無いのかは分からないから、
　x≠yの場合の計算も必要だ」

などと意味不明な供述を繰り返していた(例：>>432, >>439, >>447, >>480等々)。
で、>>531のレスを読む限りでは、実はこの人は、>>419の問題を

「標準的では無い解釈の仕方で解釈している」

可能性が強いことが分かった。では、どんな解釈の仕方をしているのか？
それが、話を聞いてもよく分からない。……というのが今のところ。

560:１３２人目の素数さん
11/09/03 22:37:37.93
>>559
＞「このやり方では、x＝yの拘束条件を課した状態での計算しかしていない。
＞　x≠yのときもf(x)＝1(∀x) 以外に解が無いのかは分からないから、
＞　x≠yの場合の計算も必要だ」
x ≠ yのときに
f(y)^2＝2*f(x)－1 => f(x) = 1
というのがないから奇妙と考えられる。その点>>515はそれが明示されているから
分かりやすい。

561:１３２人目の素数さん
11/09/03 22:38:23.04
>>558
＞だから問題のとらえ方で、>>531のようになるっていっている。
つまり、次のように言いたいのだな？

・問題の捉え方によって、α＝β∪γが成り立つこともあるし、
　α＝β∩γが成り立つこともある。

・α＝β∩γが成り立つような解釈の仕方を採用すれば、
　>>419の証明は正しく、x≠yの場合の計算は必要ない。

・α＝β∪γが成り立つような解釈の仕方を採用すれば、
　>>419の証明ではダメで、x≠yの場合の計算も必要である。

では、君に質問する。少なくとも 419 ～ 480 においては、君は

「 >419の証明ではダメだ。x≠yの場合の計算が足りない」

と言っていた。つまり、少なくとも 419 ～ 480 においては、君は

「α＝β∪γが成り立つような解釈の仕方」

を採用していたことになる。
では、君が採用していた解釈の仕方を教えてほしい。
どういう解釈をしていたのだね？

「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」

という解釈の仕方を採用していたのかね？それとも、別の解釈の仕方かね？

562:１３２人目の素数さん
11/09/03 22:46:46.55
>>561
>>531の
＞α = β∪γ(全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数fが存在すると考える場合)
であり、

＞「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」
というふうに解釈していた。

563:１３２人目の素数さん
11/09/03 23:03:35.74
＞fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる
よう分からんがその解釈だと

そのfは「あるx,yが存在してf(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数」であって
「任意のx,yについてf(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数」ではないのでは？

564:１３２人目の素数さん
11/09/03 23:08:52.05
>>563
>>540のような問題を想定していたのだろう。

565:１３２人目の素数さん
11/09/03 23:11:00.56
>>560
＞x ≠ yのときにf(y)^2＝2*f(x)－1 => f(x) = 1
＞というのがないから奇妙と考えられる。

α＝β∩γが成り立つような解釈を採用していた場合、
そこはちっとも奇妙ではないし、正しい証明になっている。

α＝β∩γが成り立つ解釈を採用しつつも、その部分が

「釈然としない」「やはり奇妙である」

と感じられてしまうのなら、それは、
君の理解が追いついてないということ。

というか、そこが奇妙に感じられるなら、
>>522+>>523 も奇妙に感じて然るべきである(実際、君は
奇妙に感じているのかもしれないが)。

君は、もう少し論理とか集合とか勉強するべきではないか。

566:１３２人目の素数さん
11/09/03 23:15:39.41
>>562
理解した。

ということは、君は今まで、こういう「関数方程式」の問題を
1問も解いたことが無かったわけだ。
>>539のリンク先を見れば分かるように、こういう問題では
「依存しない」と解釈するのが通例だから、一回でも
こういう問題を解いたことがあれば、それ以降、「依存する」
という解釈を採用することは無いはずである。
従って、君はこういう問題を解いたことが無い。あるいは、
こういう問題に触れたことはあるが、問題の趣旨を
ちゃんと理解していなかった。

ならば、君が今回のような解釈をしてしまったのは、もう仕方が無い。
俺はそこを責めないし、むしろ君は責められる筋合いは無い。

ただし、君が今後こういう問題に遭遇したら、
「依存する」という解釈は使わず、通例どおりに
「依存しない」方の解釈を採用することをお勧めする。

567:１３２人目の素数さん
11/09/03 23:16:52.78
>>564
ふ～ん。
でもそれだとR^3からRへの3引数関数だと思うがな
まあ、そう解釈してましたと言われればそれまでだけど

568:１３２人目の素数さん
11/09/03 23:36:26.69
ここから先は解釈の違いが生まれないような問題文の作り方について議論することにして
その上で>>562に質問なのだが

>>419の問題文を次のように書き換えた場合、それでも>>562のような解釈をしますか？

問題：次の条件（A）を満たすような連続関数 f：R → R を全て求めよ。

「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)

569:１３２人目の素数さん
11/09/03 23:51:07.88
いい加減バカ同士の言葉遊びスレじゃないことに気付かないかなぁ

570:１３２人目の素数さん
11/09/04 01:41:24.32
>>514
解釈の違いについて、どちらがより論理的なのかを語るのは
論理の積み重ねの外の話だと思うが。
スッキリするかどうか（見通しが良くなるかどうか）なども
論理的な構築が正しいかどうかの外の話だろうし
よりエレガントな解答というのも、論理的に正しいかどうかとは別の話。

571:１３２人目の素数さん
11/09/04 01:51:38.81
>>569
スマン。俺の方はそろそろ自重しておく(俺は>>566である)。

>>568
そういう話は、根本的な解決策は無いように思う。
今回のようなケースは滅多に無いはずだから、
あまり気にしなくてもいいのでは。

572:１３２人目の素数さん
11/09/04 02:48:49.02
x,yを実数として、X=x+y+xy, Y=(x+y)xy　とするとき、(X , Y)の存在する領域をxy平面上に図示せよ。

573:１３２人目の素数さん
11/09/04 07:48:56.99
>>566
実はそれだけの解釈ではなく
(x, y)の範囲に依存して、fが複数存在する場合もあるのではないかと、考えた。
例えば
x < 0の場合にはf1
x = 0の場合にはf2
x > 0の場合にはf3
など。
この問題のような問題を解いたことは遠い昔にあってそのときの解答は>>515の
ようなものだった。

>>558の
＞＞[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。
＞となっていてfが(B)を満たすとなっているのにも関わらず、何故それ以外の場合を考慮しなければ
＞ならないのか？

＞＞[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たす
＞となっているが、α=β∩γであれば、これはいえない。
という２点については答えられていない。

また、α＝β∩γを仮定しているからといって、γを検証しないのは納得がいかない。
γが存在しない場合もあり得るかもしれないわけで、その場合はα=φ(空集合)
となり得る場合もある。
αが存在するかは、問題では設定されていない。

574:１３２人目の素数さん
11/09/04 08:10:31.87
必要性の証明の中で
十分性の証明の中の結果＝αは空集合ではない。
を紛れ込ませている。

575:１３２人目の素数さん
11/09/04 11:08:18.39
>>573-574
君はこれからは「依存しない」という解釈で解くのだから、
それらの疑問点については、もう君が自力で納得できるはずだが。

俺は「そろそろ自重する」と書いたので、あまり君とレスを続けてはならない。

どうしても>>558が気になるなら、そのレスについては、
もう俺の方から撤回する。またやり取りが長くなってしまう。
少なくとも君は>>522+>>523の方は理解しているらしいから、
とりあえずはそれで十分である。

576:１３２人目の素数さん
11/09/04 11:14:40.33
あと、君はどうも、「 S → T 」という形の命題について
よく理解していないようだから、少しコメントしておく。
「 S → T 」という形の命題は、Sが偽のとき常に真である。たとえば、

「 0＝1ならば、5は素数である」は真であるし、
「 0＝1ならば、5は素数でない」もまた真である。

(「仮定が偽　命題」でググるとよい)

また、「 S → T 」の証明方法は、2通りあることを知ってほしい。

(1) Sが真だと仮定し、その仮定のもとで、Tを導く。
(2) Sが真だと仮定し、その仮定のもとで、矛盾を導く。

(1)は問題ないだろう。(2)はどうか？
これは、「Sが偽」を証明しようとしているのだ。
もしこれが証明できたら、自動的に「 S → T 」は真となる。
なぜなら、Sが偽のとき、「 S → T 」という形の命題は常に真だからだ。
まあ、(2)の方法は、普通は使わないが、別に間違ってはいないのだ。

577:１３２人目の素数さん
11/09/04 11:35:45.98
最後に、君向けの問題を出しておく。

問題1：写像 f：R → Rで、
(A)「任意のx,y∈Rに対して f(x)^7－3*f(x)^5*f(y)^2＋f(x)^4*f(y)^3＋f(x)^3*f(y)^4－3*f(x)^2*f(y)^5＋f(y)^7 ＝0 」
を満たすものを全て求めよ。(もちろん、fはx,yに "依存しない" として解くべし)

問題2：nは自然数とする。実数a_1,a_2,…,a_nは Σ[i＝1～n]a_i ≠ 0 を満たすとする。写像 f：R → Rで、
(A)「任意のx,y∈Rに対して Σ[i＝1～n] a_i*f(x)^i*f(y)^{n+1-i} ＝ 0 」
を満たすものを全て求めよ。(もちろん、「依存しない」の解釈で解くべし)

答えだけ言ってしまうと、どちらも「f(t)＝0 (∀t)」すなわち
「fは定数関数で、その値は0」という関数のみが答えになる。

これらの問題は、おそらく>>515のやり方では解けない。
x≠yの場合を計算しようとしても、事実上、計算できないはず。
特に問題1では、(A)式はxとyについて対称なので、xとyを入れ替えても全く同じ式が出現してしまい、
何の進展も無い。また、(A)式自体をf(x),f(y)について分離して解くようなことも、まず無理だろう。

従って、これらの問題を解こうとしたら、>>419のように解くか、
あるいは、>>522+>>>523のように解くしかないはずである。
あまり>515のような方法にこだわるのは、やめた方がよいと思う。

では、さようならﾉｼ