面白い問題おしえて〜な 十八問目
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450:132人目の素数さん 11/09/01 18:47:12.99 >>422 残念ながら >[1.2] (A)でy=xと置くと(f(x)−1)^2=0となるから、f(x)=1 (∀x∈R)でなければならない。 >[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f:R → R が存在するならば、f(x)=1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。 の部分が間違っている。 [1.2]で行ったのは(A)を満たす関数fの存在性であり、この時点では(A)を満たすfの一意性はまだ示していない。 451:132人目の素数さん 11/09/01 18:54:04.26 >>449 君が誰なのかわからない。君は>>447なのか? もしそうだったら、俺はちゃんと>>447に答えてるよ。 なぜなら、>>448自体が答えだからだ。もっと簡単な例を出そうか? 問題:写像 f:{1,2} → R で、 「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2=2*f(x)−1 」 … (A) を満たすものを全て求めよ。 (注意:この写像fは、定義域が{1,2}だから、f(1),f(2)が決まれば、それで写像fは決まる) 解答: (A)を満たす写像 f:{1,2} → R が存在すると仮定する。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。 (x,y)=(1,1)を代入して f(1)^2=2*f(1)−1, (x,y)=(1,2)を代入して f(2)^2=2*f(1)−1 (x,y)=(2,1)を代入して f(1)^2=2*f(2)−1, (x,y)=(2,2)を代入して f(2)^2=2*f(2)−1 特に、(x,y)=(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、f(1)=f(2)=1となる。 よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)=f(2)=1でなければならない。 逆に、f(1)=f(2)=1という写像f:{1,2} → Rについて考える。このとき (x,y)=(1,1)を代入して f(1)^2=1, 2*f(1)−1=1, (x,y)=(1,2)を代入して f(2)^2=1, 2*f(1)−1=1 (x,y)=(2,1)を代入して f(1)^2=1, 2*f(2)−1=1, (x,y)=(2,2)を代入して f(2)^2=1, 2*f(2)−1=1 だから、いずれの場合もf(y)^2=2*f(x)−1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。 以上により、(A)を満たす写像 f:{1,2} → R はf(1)=f(2)=1 という写像のみである。[終]
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