面白い問題おしえて～な十八問目

面白い問題おしえて～ ..

419:１３２人目の素数さん
11/09/01 03:38:20.28
>>415にもう1つ質問をしておこう。

問題：連続関数 f：R → R で、

「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
[1.1] (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈R) とする。この関数は(A)を満たすことが簡単に
　　　確認できる。しかもfは連続関数であり、fの値域はRだから f：R → R である。
[4.1] 以上により、(A)を満たす連続関数 f：R → R は「f(x)＝1 (∀x∈R)」のみである。[終]

この解答について、>>415はどう思うか？

「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]～[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている」

と主張するのか？

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