【東大・京大】整数問題【良問・難問】

【東大・京大】整数問 ..

24:大学への名無しさん
07/05/17 20:47:59 qQ7q1zESO
　異なる2つの素数p,qはp≠2,q＜2p-1をみたす。x^2-2px+q=0の実数解のうち大きい方をαとする。α^(2p-2)-1の整数部分はpで割りきれることを示せ。

25:大学への名無しさん
07/05/18 14:50:19 DsrZi2iAO
>>19
略解でいきます
2006前期
(1)
p^2 = q^2 + r^2
q,rいずれも奇数とすると
4k^2 = 4m^2 + 4m + 4n^2 + 4n + 2
で右辺が4の倍数にならず矛盾
(2)
q=2sとする。
p^2 = 4s^2 + r^2より(p - 2s)(p + 2s)=r^2∴p - 2s = 1 , p + 2s = r^2
よってr^2 + r - 132 = 0
r = 11
∴p + 2s=121
よって(61,60,11)(61,11,66)

26:大学への名無しさん
07/05/18 23:36:48 5HNzK9ZK0
良スレだな。
京大志望の受験生です。

出題
（８９年一橋）
三角形ＡＢＣにおいて、tanＡ、tanＢ、tanＣの値がすべて整数であるとき、それらの値を求めよ。

27:大学への名無しさん
07/05/20 00:14:41 Tr5hvDkj0
誰か>>16解いて～

28:大学への名無しさん
07/05/20 15:02:23 BHVsAJtgO
>>27
マスター・オブ・整数の「ファレー数列」のとこを見たら分かるよ

29:大学への名無しさん
07/05/20 16:28:18 /62RazKJO
(1)1/x+1/y=1/2をみたす自然数x,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(2)nを自然数、rを正の有理数とする。
このときΣ[n,k=1]1/x(k)=rをみたす自然数x(k)の組(x(1),･･･････,x(k))の個数は
有限であることを示せ。

30:大学への名無しさん
07/05/20 17:40:14 Tr5hvDkj0
>>28
質問じゃなくて、俺(>>27)は出題者

31:大学への名無しさん
07/05/20 19:22:19 tOduhxVvO
>>27-28>>30の流れにﾜﾛﾀが、良スレですな。

32:大学への名無しさん
07/05/20 19:31:17 gr4vlMoD0
3以上9999以下の奇数ａで
ａの2乗-ａ　が10000で割り切れるものをすべて
求めよ。

これの解答わかる人お願いします。

33:大学への名無しさん
07/05/20 19:50:02 XyvXxWQ60
625

34:大学への名無しさん
07/05/20 20:16:27 B/8YoaQe0
１、pが4K＋1の形の素数であるとき、pは2つの平方数の和として表されることを示せ。

２、8K＋7の形の自然数は、3つの有理数の平方の和として表すことができるか。

35:大学への名無しさん
07/05/20 20:28:34 qn8/xbXsO
正の無理数α、βが 1/α + 1/β ＝1 を満たすとき、どんな自然数m,nをとっても［mα］＝［nβ］が成り立たないことを示せ。

読みにくかったらスマソ

36:大学への名無しさん
07/05/20 20:32:30 ZADNHPNvO
なんかZ会通信の脳しわの整数→マスオブってながれが整数制覇の近道な気がしてきた。二刀流いる？

37:大学への名無しさん
07/05/20 20:45:04 Tr5hvDkj0
>>24
高校数学難問良問集
URLﾘﾝｸ(83.xmbs.jp)
からの剽窃だな？

38:大学への名無しさん
07/05/20 20:48:08 1VqMkhnYO
>>35 やったことある気がする！なんか最後は、l＜m+n＜l+1(lは整数)で矛盾みたいな感じだっけ？

39:大学への名無しさん
07/05/20 21:05:36 qn8/xbXsO
>>38
おｋ

40:大学への名無しさん
07/05/20 21:09:11 2IVrNq2e0
なんか激しく重複スレが立ったぞ。
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板)

41:大学への名無しさん
07/05/20 21:55:02 YHLCf+HCO
>>16
（1）
①の式を変形すると
5n/4＜k＜4n/3
これを満たすkが存在するには
4n/3-5n/4＞1
が必要であるから、n＞12である。
これはn≧7を満たす。
よって題意は示された■

（2）
①を満たさないnは
n≦12であるから、
条件②の範囲とあわせると
求めるnは
n＝7,8,9,10,11,12

証明問題って自信満々の文章になるから、まちがってたらはずかしいよな。

42:大学への名無しさん
07/05/20 22:10:47 2IVrNq2e0
>>41
4n/3-5n/4＞1
の部分が分からん。
別に左右は1以上離れてなくても間に整数は入りうるでしょ。

n=10とすると
5n/4=12.5
4n/3=13.33・・・
となって、k=13が存在する。

43:大学への名無しさん
07/05/20 22:37:47 2IVrNq2e0
n>12ならつねにkは存在する。
n≧7でダメなのはn=8, 9, 11, 12の4つだな。
エレガントな解答は思いつかん。

数字が小さいので全部調べきることができるが、
もっと数字を大きくして規則性を発見しないと解けないようなやつなら東大あたりでも出そうだな。
数学板にあったやつ。
2009/2008<k/n<2008/2007
となる整数kが存在しないような正の整数nの個数を求めよ

44:大学への名無しさん
07/05/20 22:57:53 Tr5hvDkj0
>>43
5/4＜14/11＜4/3

45:大学への名無しさん
07/05/20 23:58:03 BHVsAJtgO
ad - bc = 1のときa/b ＜ p ＜ c/dをみたす有理数pのうち分母が最小のものは

　p = (a+b)/(c+d)

ということ。

46:大学への名無しさん
07/05/21 00:09:14 tZcB/oYxO
>24
全く方針立たん…
でも試しに具体的数値入れたら割りきれるんだよな…

無理数の冪乗の整数部分なんかでこんなうまいこといくのか？

47:終わりクレジット
07/05/21 00:19:57 E4H8b0dIO
外点、内点、境界の証明がかなりムズい(>_<)デルタをとるとこはわかるが(>_<)
実数軸が数直線に書けない場合が辛い(>_<)

48:大学への名無しさん
07/05/21 00:51:05 in+NnN5lO
駿台文庫にテーマ別に問題集があって、その中に整数って書いてあるのがありました。

49:大学への名無しさん
07/05/21 07:58:30 3R5mMeZV0
>>41 >>42 >>43
不正解

50:大学への名無しさん
07/05/21 08:19:31 KtUkBbA90
だから8, 9, 12じゃないの？

51:大学への名無しさん
07/05/21 08:46:39 6SKVIqsP0
＞数学板にあったやつ
俺が16をアレンジして向こうに貼ったんだｗ

52:45 ◆MlUXVRgZQk
07/05/21 08:51:05 tZcB/oYxO
>49
じゃあ超略解で

5/4＜p/q＜4/3をみたす既約分数p/qは自然数m,n適当にとれば(5m+4n)/(4m+3n)と表される(証明略)
∴q≧7でダメなのは4m+3nで表せない数。4と3は互いに素なので12+1=13以上は全部表せる(証明略)。なので、8,9,12

>47
ん？どの問題のこと？

53:大学への名無しさん
07/05/21 08:54:49 KtUkBbA90
>>52
そいつキチガイだからほっといていいよ。

54:大学への名無しさん
07/05/21 09:11:36 in+NnN5lO
アナルファック

55:49 ◆p1h4H6Grtc
07/05/21 19:36:39 3R5mMeZV0
>>24
q＜2p-1より0＜p-√(p^2-q)＜1　∴0＜{p-√(p^2-q)}^(2p-2)＜1
また、{p+√(p^2-q)}^(2p-2)+{p-√(p^2-q)}^(2p-2)=2aとなる整数aが存在して、[α^(2p-2)-1]=2a-2となる。
ここでa-1≡q^(p-1)-1≡0(mod p)　(フェルマーの小定理)
よって[α^(2p-2)-1]はpで割り切れる。

56:大学への名無しさん
07/05/21 22:32:24 4Oorv7Zv0
age

57:大学への名無しさん
07/05/21 23:48:13 912oMq5x0
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58:大学への名無しさん
07/05/22 01:30:56 49wWuF520
こんなスレもあるぞ
ｽﾚﾘﾝｸ(jsaloon板)l50

59:大学への名無しさん
07/05/22 11:23:51 V9LzZXAvO
数列{a[n]}は
　a[n+2] = |a[n+1] - a[n]|
を満たす。
(1) a[1],a[2]が有理数ならば、a[k]=0となるkが存在することを示せ。

(2) a[1]=√3,a[2]=√2ならば、n≧3のとき
a[n]=x[n]√3+y[n]√2
をみたす整数x[n]、y[n]は0にならないことを示せ。

60:49 ◆p1h4H6Grtc
07/05/22 15:52:04 LrN11OO40
>>52
正解

61:大学への名無しさん
07/05/22 16:09:05 NiPddjn6O
3～6の間にcosθ×sin3θ－tan4θはいくつ入るか答えよ

62:49 ◆p1h4H6Grtc
07/05/22 22:29:00 6UHdlL1q0
>>59
これって(1)を利用して(2)を解ける？
別々に解けてしまったのだが・・・。

63:大学への名無しさん
07/05/22 22:55:53 DmcIBwID0
連続する８個の自然数の積で表される整数のうち、平方数となるものは存在するか？

64:大学への名無しさん
07/05/23 00:11:35 wv0cKwqt0
(3､5)(11､13)(17､19)(29､31)....などの素数の組を双子素数と言う
双子素数が無限にあることを証明せよ

65:大学への名無しさん
07/05/23 00:14:18 7/QyVC330
それは非常に難しいな。
整数問題って数学界屈指の難問まで簡単に出せるから始末が悪い。

66:大学への名無しさん
07/05/23 00:17:52 wv0cKwqt0
双子素数問題なんて未だに人類が証明してないくらいムズイからね

67:大学への名無しさん
07/05/23 00:40:18 moa7fvZH0
最大の素数が存在すると仮定し、全ての素数をかけて出来た数をpとする。
p+1はどの素数で割っても1余るので、1とp+1以外の約数を持たない。
よって素数の定義に合致するp+1は素数である。故に素数は無限に存在する。

ってのなら知ってるんだがなぁ……。

68:大学への名無しさん
07/05/23 00:41:54 87FdJw7rO
>>66
双子素数は証明されたんじゃないっけ？
まあ、どちらにせよ漏れらが証明できるわけがないんだけど。

69:大学への名無しさん
07/05/23 01:19:09 7/QyVC330
>>68
重大な誤りが発見されて論文提出者が自ら撤回したらしい。

70:大学への名無しさん
07/05/23 05:08:27 ToLs2JAR0
>>26
それ、本屋で代ゼミの荻野の最高峰への数学（？）。黒い奴を立ち読みしたときに見たな。
覚えてないんだけど（ぁ

71:大学への名無しさん
07/05/23 09:05:15 9x8bnkIkO
>62
（1）と（2）には関係はないです。別々の問題ですよ。

72:大学への名無しさん
07/05/23 10:13:38 ZZ5qSGS20
>>63
存在しない

73:大学への名無しさん
07/05/23 10:17:20 l4Xkio0d0
>>72
証明しろ！そのままの意味で受け取るな！ボケ！ｗ

74:大学への名無しさん
07/05/23 11:37:09 BnXiG+lYO
実に潔い数字だ。

75:大学への名無しさん
07/05/23 11:52:11 CL80qDlOO
>>61
今世紀最大の難問か？

76:大学への名無しさん
07/05/23 12:08:36 moa7fvZH0
tan1ﾟは有理数か。　[2006年　京都大学・理系第6問(後期)]

答えはググれば出てくる。