【東大・京大】整数問題【良問・難問】

【東大・京大】整数問 ..

1:大学への名無しさん
07/05/15 18:05:33 f8K2KEmi0
自分が今までに問題集や過去問、模試などで出会い印象深かった整数問題の良問難問をみんなで出しあって解くスレ
難関校で数多く出題されるが、バリエーションに富み難問も多く対策しにくい、そんな整数問題を攻略しよう
確率や数列がらみの問題でもおｋ

2:大学への名無しさん
07/05/15 18:25:53 Id83J79T0
俺は一橋だがこれは期待

3:大学への名無しさん
07/05/15 18:33:27 c8ytg4/M0
「とにかく覚える」
整数問題に強くなるには、とにかく知識を増やすこと
実は努力がものをいう美味しい分野である

4:大学への名無しさん
07/05/15 19:42:03 JeIebHxLO
難しくはないが１問
任意の自然数nについてn^9－n^3は常に９で割りきれることを示せ

5:大学への名無しさん
07/05/15 21:30:57 xGj7pE4C0
整数といえば京大

6:大学への名無しさん
07/05/15 22:05:46 aNF/BfWyO
東大生がなんか林組っていうヤクザに
マインドコントロール機械をつかわれたみたい

7:大学への名無しさん
07/05/15 22:09:40 6Vgmlv5TO
数学、日本史は一橋が秀逸

国語、英語は東大

京都は変態

よって一橋の整数をとこう

8:大学への名無しさん
07/05/15 22:11:23 6Vgmlv5TO
日本史選択だったから日本史と書き込んでしまったｗ
社会だ社会

9:大学への名無しさん
07/05/15 22:27:01 HqGeyCrm0
よし。
それでは入試問題コレクターの私が、
これから一橋大学の整数問題を過去40年分に渡って出題することにする。
皆の者、奮起して解いてくれたまえ。

10: ◆MJgxGHIqRE
07/05/15 22:35:00 HqGeyCrm0
名前欄は単なるトリップであり、解答とは関係ない。

2007一橋大・前期
mを整数とし、f(x)=x^3+8x^2+mx+60とする。
(1)　整数aと、0ではない整数bで、f(a+bi)=0をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。
ただし、iは虚数単位である。
(2)　(1)で求めたすべてのmに対して、方程式f(x)=0を解け。

2007一橋大・後期
直角をはさむ二辺の長さがa, bの直角三角形がある。内接円の半径をrとする。
(1)　rをa, bで表せ。
(2)　a, bは整数とし、r=5とする。このようなa, bの組をすべて求めよ。

11:大学への名無しさん
07/05/15 22:43:56 dco7ya1GO
互いに素である二つの整数をｍ、ｎとおくと

から始める問題いっぱいといたのに。ちぇっ、出なかったよ。

12:大学への名無しさん
07/05/15 22:45:03 OIt1f+qn0
何この面白そうなスレ

京大生だけど参加していい？

13:大学への名無しさん
07/05/15 23:04:28 41kwx7hW0
m=-43; x=2+-i, -12
m=22; x=-1+-3i, -6

14:大学への名無しさん
07/05/15 23:08:52 STUekkoM0
3m+5nで表せない自然数を全て求めよ。(m,nは自然数)　（大阪)
これが解けないやつは落ちます。

15:大学への名無しさん
07/05/15 23:11:21 2XS1Nn+y0
某スレより引用

自然数nに対してa_{n+2}=a_{n+1}+a_nを満たす数列{a_n}のうち、
a_1=1, a_2=1であるものを特に{F_n}とおく。
a_1, a_2がどのような整数であっても、{a_n}の項の中に素数pの倍数であるものが存在するための
必要十分条件は、F_mがpの倍数となる最小のmが（　）であること。

16:大学への名無しさん
07/05/15 23:54:10 5Rh2Xr8D0
出題

自然数nについて、以下のような条件を定める。
条件①
不等式5/4＜k/n＜4/3を満たす自然数kが存在する。
条件②
n≧7である。

(1)条件①を満たすnはすべて条件②を満たすことを示せ。
(2)条件②を満たすが、条件①を満たさないnをすべて求めよ。

17:大学への名無しさん
07/05/16 00:24:19 ox4sWa8BO
>>14
k＝3m+5nとおく。
この時lを自然数とおくと、k+l＝3(m+2l)+5(n-l) と表せるからn-l≧1⇔n≧l+1の時kに対してk+lが存在することになる…①
n＝1の時、k＝3m＋5＝3(m+1)+2 であるからkは8以上の3で割って余りが2になる自然数になり得る…②
n＝2の時、k＝3(m+3)+1 であり①よりそれぞれのkに対してk+1も存在するから、kは13以上の3で割って余りが1か2になる自然数になり得る…③
n＝3の時、k＝3(m+5) よりkは18以上の3の倍数になり得る…④
②③④全ての条件を満たさない数は、1、2、3、4、5、6、7、9、10、12、15、でありこれが答え

18:大学への名無しさん
07/05/16 07:06:36 yqpDbVKmO
>>12
俺発見ｗ
俺は昨日、本文欄に解答まで打ち込んだけど送信するのやめた。

19: ◆MJgxGHIqRE
07/05/16 22:29:51 vqPO+amZ0
>>13
正解。

2006一橋大・前期
次の条件（a）, （b）をともにみたす直角三角形を考える。ただし、斜辺の長さをp,
その他の2辺の長さをq, rとする。
（a）　p, q, rは自然数で、そのうちの少なくとも2つは素数である。
（b）　p+q+r=132
（1）　q, rのどちらかは偶数であることを示せ。
（2）　p, q, rの組をすべて求めよ。

2006一橋大・後期
正の整数nに対して、n=k+2lをみたすような0以上の整数の組（k, l）の個数をa_nとする。
また、n=p+2q+3rをみたすような0以上の整数の組（p, q, r）の個数をb_nとする。
（1）　a_nをnで表せ。
（2）　nが6の倍数のとき、b_nをnで表せ。

20:大学への名無しさん
07/05/16 23:06:09 1vgBPfG30
整数問題めっちゃ苦手だ・・・。
これ得意になると、数学を押さえたような気がする。

21:大学への名無しさん
07/05/17 01:36:41 isMsp8Sl0
>>17 正解。

22:大学への名無しさん
07/05/17 07:49:30 jMEVZU+aO
東工大の整数問題もなかなか難しいんだぜ

23:大学への名無しさん
07/05/17 07:58:58 QvStief10
今年の京都の整数はいい問題

24:大学への名無しさん
07/05/17 20:47:59 qQ7q1zESO
　異なる2つの素数p,qはp≠2,q＜2p-1をみたす。x^2-2px+q=0の実数解のうち大きい方をαとする。α^(2p-2)-1の整数部分はpで割りきれることを示せ。

25:大学への名無しさん
07/05/18 14:50:19 DsrZi2iAO
>>19
略解でいきます
2006前期
(1)
p^2 = q^2 + r^2
q,rいずれも奇数とすると
4k^2 = 4m^2 + 4m + 4n^2 + 4n + 2
で右辺が4の倍数にならず矛盾
(2)
q=2sとする。
p^2 = 4s^2 + r^2より(p - 2s)(p + 2s)=r^2∴p - 2s = 1 , p + 2s = r^2
よってr^2 + r - 132 = 0
r = 11
∴p + 2s=121
よって(61,60,11)(61,11,66)

26:大学への名無しさん
07/05/18 23:36:48 5HNzK9ZK0
良スレだな。
京大志望の受験生です。

出題
（８９年一橋）
三角形ＡＢＣにおいて、tanＡ、tanＢ、tanＣの値がすべて整数であるとき、それらの値を求めよ。

27:大学への名無しさん
07/05/20 00:14:41 Tr5hvDkj0
誰か>>16解いて～

28:大学への名無しさん
07/05/20 15:02:23 BHVsAJtgO
>>27
マスター・オブ・整数の「ファレー数列」のとこを見たら分かるよ

29:大学への名無しさん
07/05/20 16:28:18 /62RazKJO
(1)1/x+1/y=1/2をみたす自然数x,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(2)nを自然数、rを正の有理数とする。
このときΣ[n,k=1]1/x(k)=rをみたす自然数x(k)の組(x(1),･･･････,x(k))の個数は
有限であることを示せ。

30:大学への名無しさん
07/05/20 17:40:14 Tr5hvDkj0
>>28
質問じゃなくて、俺(>>27)は出題者

31:大学への名無しさん
07/05/20 19:22:19 tOduhxVvO
>>27-28>>30の流れにﾜﾛﾀが、良スレですな。

32:大学への名無しさん
07/05/20 19:31:17 gr4vlMoD0
3以上9999以下の奇数ａで
ａの2乗-ａ　が10000で割り切れるものをすべて
求めよ。

これの解答わかる人お願いします。

33:大学への名無しさん
07/05/20 19:50:02 XyvXxWQ60
625

34:大学への名無しさん
07/05/20 20:16:27 B/8YoaQe0
１、pが4K＋1の形の素数であるとき、pは2つの平方数の和として表されることを示せ。

２、8K＋7の形の自然数は、3つの有理数の平方の和として表すことができるか。

35:大学への名無しさん
07/05/20 20:28:34 qn8/xbXsO
正の無理数α、βが 1/α + 1/β ＝1 を満たすとき、どんな自然数m,nをとっても［mα］＝［nβ］が成り立たないことを示せ。

読みにくかったらスマソ

36:大学への名無しさん
07/05/20 20:32:30 ZADNHPNvO
なんかZ会通信の脳しわの整数→マスオブってながれが整数制覇の近道な気がしてきた。二刀流いる？

37:大学への名無しさん
07/05/20 20:45:04 Tr5hvDkj0
>>24
高校数学難問良問集
URLﾘﾝｸ(83.xmbs.jp)
からの剽窃だな？

38:大学への名無しさん
07/05/20 20:48:08 1VqMkhnYO
>>35 やったことある気がする！なんか最後は、l＜m+n＜l+1(lは整数)で矛盾みたいな感じだっけ？

39:大学への名無しさん
07/05/20 21:05:36 qn8/xbXsO
>>38
おｋ

40:大学への名無しさん
07/05/20 21:09:11 2IVrNq2e0
なんか激しく重複スレが立ったぞ。
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板)

41:大学への名無しさん
07/05/20 21:55:02 YHLCf+HCO
>>16
（1）
①の式を変形すると
5n/4＜k＜4n/3
これを満たすkが存在するには
4n/3-5n/4＞1
が必要であるから、n＞12である。
これはn≧7を満たす。
よって題意は示された■

（2）
①を満たさないnは
n≦12であるから、
条件②の範囲とあわせると
求めるnは
n＝7,8,9,10,11,12

証明問題って自信満々の文章になるから、まちがってたらはずかしいよな。

42:大学への名無しさん
07/05/20 22:10:47 2IVrNq2e0
>>41
4n/3-5n/4＞1
の部分が分からん。
別に左右は1以上離れてなくても間に整数は入りうるでしょ。

n=10とすると
5n/4=12.5
4n/3=13.33・・・
となって、k=13が存在する。

43:大学への名無しさん
07/05/20 22:37:47 2IVrNq2e0
n>12ならつねにkは存在する。
n≧7でダメなのはn=8, 9, 11, 12の4つだな。
エレガントな解答は思いつかん。

数字が小さいので全部調べきることができるが、
もっと数字を大きくして規則性を発見しないと解けないようなやつなら東大あたりでも出そうだな。
数学板にあったやつ。
2009/2008<k/n<2008/2007
となる整数kが存在しないような正の整数nの個数を求めよ

44:大学への名無しさん
07/05/20 22:57:53 Tr5hvDkj0
>>43
5/4＜14/11＜4/3

45:大学への名無しさん
07/05/20 23:58:03 BHVsAJtgO
ad - bc = 1のときa/b ＜ p ＜ c/dをみたす有理数pのうち分母が最小のものは

　p = (a+b)/(c+d)

ということ。

46:大学への名無しさん
07/05/21 00:09:14 tZcB/oYxO
>24
全く方針立たん…
でも試しに具体的数値入れたら割りきれるんだよな…

無理数の冪乗の整数部分なんかでこんなうまいこといくのか？

47:終わりクレジット
07/05/21 00:19:57 E4H8b0dIO
外点、内点、境界の証明がかなりムズい(>_<)デルタをとるとこはわかるが(>_<)
実数軸が数直線に書けない場合が辛い(>_<)

48:大学への名無しさん
07/05/21 00:51:05 in+NnN5lO
駿台文庫にテーマ別に問題集があって、その中に整数って書いてあるのがありました。

49:大学への名無しさん
07/05/21 07:58:30 3R5mMeZV0
>>41 >>42 >>43
不正解

50:大学への名無しさん
07/05/21 08:19:31 KtUkBbA90
だから8, 9, 12じゃないの？

51:大学への名無しさん
07/05/21 08:46:39 6SKVIqsP0
＞数学板にあったやつ
俺が16をアレンジして向こうに貼ったんだｗ

52:45 ◆MlUXVRgZQk
07/05/21 08:51:05 tZcB/oYxO
>49
じゃあ超略解で

5/4＜p/q＜4/3をみたす既約分数p/qは自然数m,n適当にとれば(5m+4n)/(4m+3n)と表される(証明略)
∴q≧7でダメなのは4m+3nで表せない数。4と3は互いに素なので12+1=13以上は全部表せる(証明略)。なので、8,9,12

>47
ん？どの問題のこと？

53:大学への名無しさん
07/05/21 08:54:49 KtUkBbA90
>>52
そいつキチガイだからほっといていいよ。

54:大学への名無しさん
07/05/21 09:11:36 in+NnN5lO
アナルファック

55:49 ◆p1h4H6Grtc
07/05/21 19:36:39 3R5mMeZV0
>>24
q＜2p-1より0＜p-√(p^2-q)＜1　∴0＜{p-√(p^2-q)}^(2p-2)＜1
また、{p+√(p^2-q)}^(2p-2)+{p-√(p^2-q)}^(2p-2)=2aとなる整数aが存在して、[α^(2p-2)-1]=2a-2となる。
ここでa-1≡q^(p-1)-1≡0(mod p)　(フェルマーの小定理)
よって[α^(2p-2)-1]はpで割り切れる。

56:大学への名無しさん
07/05/21 22:32:24 4Oorv7Zv0
age

57:大学への名無しさん
07/05/21 23:48:13 912oMq5x0
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58:大学への名無しさん
07/05/22 01:30:56 49wWuF520
こんなスレもあるぞ
ｽﾚﾘﾝｸ(jsaloon板)l50

59:大学への名無しさん
07/05/22 11:23:51 V9LzZXAvO
数列{a[n]}は
　a[n+2] = |a[n+1] - a[n]|
を満たす。
(1) a[1],a[2]が有理数ならば、a[k]=0となるkが存在することを示せ。

(2) a[1]=√3,a[2]=√2ならば、n≧3のとき
a[n]=x[n]√3+y[n]√2
をみたす整数x[n]、y[n]は0にならないことを示せ。

60:49 ◆p1h4H6Grtc
07/05/22 15:52:04 LrN11OO40
>>52
正解

61:大学への名無しさん
07/05/22 16:09:05 NiPddjn6O
3～6の間にcosθ×sin3θ－tan4θはいくつ入るか答えよ

62:49 ◆p1h4H6Grtc
07/05/22 22:29:00 6UHdlL1q0
>>59
これって(1)を利用して(2)を解ける？
別々に解けてしまったのだが・・・。

63:大学への名無しさん
07/05/22 22:55:53 DmcIBwID0
連続する８個の自然数の積で表される整数のうち、平方数となるものは存在するか？

64:大学への名無しさん
07/05/23 00:11:35 wv0cKwqt0
(3､5)(11､13)(17､19)(29､31)....などの素数の組を双子素数と言う
双子素数が無限にあることを証明せよ

65:大学への名無しさん
07/05/23 00:14:18 7/QyVC330
それは非常に難しいな。
整数問題って数学界屈指の難問まで簡単に出せるから始末が悪い。

66:大学への名無しさん
07/05/23 00:17:52 wv0cKwqt0
双子素数問題なんて未だに人類が証明してないくらいムズイからね

67:大学への名無しさん
07/05/23 00:40:18 moa7fvZH0
最大の素数が存在すると仮定し、全ての素数をかけて出来た数をpとする。
p+1はどの素数で割っても1余るので、1とp+1以外の約数を持たない。
よって素数の定義に合致するp+1は素数である。故に素数は無限に存在する。

ってのなら知ってるんだがなぁ……。

68:大学への名無しさん
07/05/23 00:41:54 87FdJw7rO
>>66
双子素数は証明されたんじゃないっけ？
まあ、どちらにせよ漏れらが証明できるわけがないんだけど。

69:大学への名無しさん
07/05/23 01:19:09 7/QyVC330
>>68
重大な誤りが発見されて論文提出者が自ら撤回したらしい。

70:大学への名無しさん
07/05/23 05:08:27 ToLs2JAR0
>>26
それ、本屋で代ゼミの荻野の最高峰への数学（？）。黒い奴を立ち読みしたときに見たな。
覚えてないんだけど（ぁ

71:大学への名無しさん
07/05/23 09:05:15 9x8bnkIkO
>62
（1）と（2）には関係はないです。別々の問題ですよ。

72:大学への名無しさん
07/05/23 10:13:38 ZZ5qSGS20
>>63
存在しない

73:大学への名無しさん
07/05/23 10:17:20 l4Xkio0d0
>>72
証明しろ！そのままの意味で受け取るな！ボケ！ｗ

74:大学への名無しさん
07/05/23 11:37:09 BnXiG+lYO
実に潔い数字だ。

75:大学への名無しさん
07/05/23 11:52:11 CL80qDlOO
>>61
今世紀最大の難問か？

76:大学への名無しさん
07/05/23 12:08:36 moa7fvZH0
tan1ﾟは有理数か。　[2006年　京都大学・理系第6問(後期)]

答えはググれば出てくる。