【数学】数学の超難問「ＡＢＣ予想」は証明されたか　京大・望月教授の論文掲載へ、理解できるのは世界で１０人？ [しじみ★]

【数学】数学の超難問「ＡＢＣ予想」は証明されたか　京大・望月教授の論文掲載へ、理解できるのは世界で１０人？ [しじみ★] at SCIENCEPLUS

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20/05/29 16:35:25.63 CAP_USER.net
京都大は４月、同大数理解析研究所（数理研）の望月新一（もちづき・しんいち）教授が、長らく未解決だった数学の超難問「ＡＢＣ予想」を証明したと発表した。数理研が編集する国際専門誌「ＰＲＩＭＳ」に掲載する。予想は今後新たな「定理」として生まれ変わるが、海外の研究者からは批判も出ており、論戦が活発化しつつある。望月氏の論文は独創的な理論を駆使しており、世界でも内容を理解できているのは１０人程度とされる。
　▽ＡＢＣ予想とは
　ＡＢＣ予想は、整数の足し算と掛け算の関係にまつわる予想で、１９８５年に欧州の２人の数学者が提唱した。内容はこうだ。共通の約数（公約数）を持たない自然数Ａ、Ｂと、これを足した数Ｃが登場する。Ａ、Ｂ、Ｃを素因数分解（素数の掛け算に分解）し、出てきた素数を１回ずつ掛けた数Ｄとする。ＤとＣを比較した場合、Ｃのほうが大きいことはほとんどないという。
　例えばＡが１１、Ｂが２５だった場合、Ｃは３６になる。Ａは素数なので素因数分解しても１１、Ｂは５の２乗、Ｃは２の２乗掛ける３の２乗となる。２乗は「２回登場した」と考えるので、これらの素因数全てを１回ずつ掛けると（１１×５×２×３）とＤが計算できて、その値は３３０だ。これはＣよりも大きい。
　一方、Ａが１、Ｂが８、Ｃが９のような場合はＣの方が大きくなるが、こういうケースはそう多くはないというのがＡＢＣ予想だ。
　▽別の宇宙
　当たり前のことを言っているようにも思えるが、証明するのは難しい。望月氏は、新たに構築した「宇宙際タイヒミューラー理論」に関する４編、約６００ページに及ぶ論文で、結論の一つとしてＡＢＣ予想が証明できるとした。「宇宙際」とは、国と国の関係を示す「国際」のように、異なる数学の宇宙の間の関係を扱う理論という意味。タイヒミューラーは扱う対象は違うが似たような考え方をしたドイツの数学者の名前から取った。
　ＡＢＣ予想は不等式で表される。不等号の片方が三つの数の足し算に関係した量、もう一方は同じ三つの数の掛け算にまつわる量だ。両者の大小関係について述べるために、足し算と掛け算の関係に立ち入らざるを得なくなっている。
　足し算と掛け算の関係を明らかにすることは、両者が絡み合った既存の数学の枠組みだけでは難しく、望月氏の理論では、足し算と掛け算の関係を変形させたもう一つの枠組み、いわば“別の宇宙”を用意した。
それぞれの宇宙の中では問題なく計算が実行できるが、結果を比較しようとすると食い違いが出てしまう。それぞれの宇宙で「３０センチの定規」とされているものの長さが違う、そんな状況だ。
　ただし異なる宇宙の間では、通信が可能だ。互いの姿を完全に知ることはできないが、相手がどの程度自分と違っているかという情報を得て、相手のイメージを描く。二つの異なる宇宙間でそれぞれ出した計算結果の大小関係を、この特殊な通信を通じて探る。ＡＢＣ予想における不等式の証明に利用したのだ。
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