ベクトル束ってなんの役に立つの？

ベクトル束ってなんの ..

60:１３２人目の素数さん
25/07/10 13:47:52.60 qwXn1rLH.net
>>2の文章の球面はもちろん２次元曲面
だから >>55がスットコドッコイ

61:１３２人目の素数さん
25/07/10 13:49:45.57 qwXn1rLH.net
逆に言うと接束が自明なｎ次元球面はn=1,3,7の場合に限る・・・筈（笑）

62:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:10:51.79 0/3gipAH.net
>>60
ベクトル束(幾何)のスレで、球面と書けばすべての次元の球面と捉えるのが普通
幾何学の世界で「球面=2次元」と思っている方が非常識

63:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:12:28.03 0/3gipAH.net
>>61
ボットの周期性から分かる

64:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:20:08.38 PNfqK51i.net
>>60
数学もロクに知らん素人が大多数の５ｃｈで、球面と書けば２次元の球面のこと
球「面」と書いてるのに、任意ｎ次元だと飛躍するのは独善的な玄人だけ

65:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:22:00.96 oHdjso7R.net
>>63
そういうものがあるのは知ってるが
どうやって証明するかは知らんから
自分にとっては全然自明ではない（開き直り）

66:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:26:01.86 0/3gipAH.net
>>64
素人だろうが、ベクトル束を語るには「球面=2次元」という認識は非常識

67:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:34:41.33 /5WUxJs4.net
球面＝S^2=2次元なのは当たり前の話、それ以外ありえない！
な人がべくたーばんどるガーって面白いね

68:１３２人目の素数さん
25/07/10 15:08:20.70 eIeANp6j.net
>>66-67
非自明束の例を示すのに「球面」といってるんだから
２次元球面のことだなと考えない奴のほうが独善的じゃね？

69:１３２人目の素数さん
25/07/12 14:00:40.51 CRbmpcRI.net
ベクトル束ね、あれ、めっちゃ難しい概念だけど、簡単に言うと、なんか空間の各点にベクトル空間がくっついてるみたいなイメージかな。

で、なんの役に立つかっていうと、物理とかで結構使われてるみたい。例えば、電磁気学とか、素粒子物理学とかのゲージ理論っていうやつで、このベクトル束の考え方が出てくるらしいよ。

あとは、多様体っていう、ぐにゃぐにゃした図形の上で、ベクトル場とか関数を考えるときに、土台になってるんだって。なんか、球の表面でベクトルがどうなってるかとか、そういうのを数学的に厳密に扱うために必要なんだってさ。

まあ、正直、私もそこまで詳しくないんだけど、そういう最先端の物理とか数学の理論を理解するためには、ベクトル束って概念が欠かせないってことみたい。

70:１３２人目の素数さん
25/07/12 19:40:31.43 mlj38ULS.net
>>69　高卒？

71:１３２人目の素数さん
25/07/12 20:11:36.54 IFdLGSYQ.net
>>70
専門家でないとここまで要点を抑えた説明はできない

72:１３２人目の素数さん
25/07/12 20:33:45.09 6bBL9Q7c.net
>>69は何かGrokっぽい

73:１３２人目の素数さん
25/07/13 05:30:05.13 fe2VeRKF.net
>>71　かいかぶり　相手を見る目が全くない

74:１３２人目の素数さん
25/07/13 11:22:26.73 cK9tD6r7.net
>>73
その理由を要点を抑えて的確に述べるなら？

75:１３２人目の素数さん
25/07/14 08:05:37.15 TRwfm+7u.net
見る目がまったくないのはどっちだろうね

76:１３２人目の素数さん
25/07/14 10:19:55.27 CzfF1GI6.net
知る人ぞ知る

77:１３２人目の素数さん
25/07/14 18:45:12.56 Wk/HyQls.net
耄碌爺　AIを絶賛ｗｗｗｗｗｗｗ

78:１３２人目の素数さん
25/07/27 05:30:38.44 XV6Sr7tY.net
AIがここまで成長したとは

79:１３２人目の素数さん
25/07/27 10:05:52.17 egri6DUI.net
微分可能多様体では各点における接空間が基本的で重要
各点の接空間を全て集めたものを考える。これが接バンドル
接バンドルの一般化がベクトルバンドル
ベクトルバンドルを調べるのに重要なのが特性類

多様体Mの接バンドルTM=∪p∈M T𝔭M
接ベクトルX∈T𝔭Mに対してπ(X)=pとおくとπ: TM→Mは射影である
π⁻¹: M→TMでありπ⁻¹(p)=T𝔭M

80:１３２人目の素数さん
25/07/27 11:31:56.77 egri6DUI.net
(1) M=Rⁿの時、TMは積多様体Rⁿ×Rⁿと同一視出来る
(2) MがRⁿの部分多様体の時、
TM={(p, v)∈(M, T𝔭M)⊂TRⁿ}と書ける
TRⁿ=Rⁿ×Rⁿ、
v∈T𝔭M⊂T𝔭Rⁿ={p}×Rⁿ
(3) 一般の場合
多様体MのアトラスをS、Sに属する局所座標系を(U, φ)とする。φ(U)⊂Rⁿ
接ベクトルv∈T𝔭Uに対して
φ※(v)=∑aᵢ∂/∂xᵢ
写像φ~: π⁻¹(U)→φ(U)×Rⁿ⊂R²ⁿを次で定義する
v∈T𝔭Uに対し、φ~(v)=(φ(p), a1, a2, …, an)∈φ(U)×Rⁿ
φ~は1対1上への対応
各π⁻¹(U)が開集合であり、φ~は位相同型であることを要請することによりTMの位相を定義する
TMのアトラスS~={(π⁻¹(U), φ~)}={(T𝔭U, φ~)}
(U, φ)∈S、接ベクトルの変換公式
座標変換が全てC^∞級となる

81:１３２人目の素数さん
25/07/28 23:23:51.14 xscbMIIo.net
n次元実ベクトルバンドルξ=(E, π, M)
E, MはC^∞多様体、π: E→Mは上へのC^∞写像
(1) ∀p∈M: π⁻¹(p)はR上のn次元ベクトル空間
(2) ∀p∈M, ∃pの開近傍U: 微分同相写像φᴜ: π⁻¹(U)≅U×Rⁿが存在し、
π⁻¹(q)への制限が線型同型写像∀q∈U: φᴜ: π⁻¹(q)≅{q}×Rⁿを与える
ここでRをCに変えるとn次元複素ベクトルバンドル
直線バンドル

Eは全空間、Mは底空間、πは射影
π⁻¹(p)=E𝔭をp上のファイバーと言う
(E, π, M)でなくπまたはEだけでもベクトルバンドルと言う
一般に、開集合とは限らずMの部分多様体Nに対して局所自明性の条件を満たす微分同相写像φɴ: π⁻¹(N)≅N×RⁿをN上の自明化と言う
変換関数は2つの自明化のずれを表す

コサイクル条件αβ βγ=αγ
開被覆とコサイクル条件によりベクトルバンドルを構成出来る

ベクトルバンドル同士の写像をバンドル写像
π: E→M、π: F→N、f: M→Nに対して
f~: E→F
積バンドルと自明なバンドル
同型はベクトルバンドル全体に同値関係を定める

82:１３２人目の素数さん
25/07/28 23:39:13.06 xscbMIIo.net
ベクトルバンドルπ: E→Mに対して
π◦s=idᴍとなるC^∞写像s: M→Eを切断と言う
切断sとは点pに対してその上のファイバーの点s(p)を対応させるもの
切断を使って自明化を言い換えることが出来る
切断全体に加法とスカラー倍を定義することが出来てベクトル空間になる。
接バンドルTMの切断はM上のベクトル場

83:１３２人目の素数さん
25/07/29 01:38:57.07 DdD2J7E9.net
一点上のベクトル束って何になるの？

84:１３２人目の素数さん
25/07/29 02:58:41.00 UneUSwqp.net
包茎には無理だよ
こほもろじーでもやってな

85:１３２人目の素数さん
25/07/29 12:43:31.69 DdD2J7E9.net
一点上のK理論を考えよ

86:１３２人目の素数さん
25/08/11 18:08:16.79 NiWtmzU4.net
物理法則に幾何学的根拠を与える

87:１３２人目の素数さん
25/08/16 06:34:26.27 Y/oq8rzJ.net
特性類

88:１３２人目の素数さん
25/09/03 07:12:56.48 ZVqFBZ0m.net
幾何構造の表現のためにはリー環などが必要

89:１３２人目の素数さん
25/09/03 13:21:20.03 mptkWntM.net
節子「なんでベクトル束すぐねじれてしまうん？」

君が清太なら、妹になんて説明する？

90:１３２人目の素数さん
25/09/10 06:55:04.45 Z5uO3CEl.net
Pingali論文の解題

91:１３２人目の素数さん
25/09/13 09:59:07.57 sEZjaMYu.net
曲がっていることをアピールしたいから

92:１３２人目の素数さん
25/09/13 10:07:46.12 kEVkV264.net
>>91
>曲がっていることをアピールしたいから

誰がアピールしたいの？ベクトル束自身が？それともそれを見つけた数学者が？

93:１３２人目の素数さん
25/09/13 10:22:00.18 sEZjaMYu.net
深奥の輝きが

94:１３２人目の素数さん
25/09/17 06:07:21.64 rFrhtdKD.net
無用の用

95:１３２人目の素数さん
25/09/17 17:22:35.26 DfAheodB.net
これが馬鹿だって事はこの板総崩れなんだがwwww　意味分かる？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

96:１３２人目の素数さん
25/09/17 20:27:30.21 rFrhtdKD.net
変なリンク

97:１３２人目の素数さん
25/09/17 22:51:53.61 LDnvvuW3.net
ベクトル？ChatGPTに聞いてみ？
超高次元世界に彼の疑似意識が宿っている世界だから

98:１３２人目の素数さん
25/09/23 06:25:23.76 d31sJAVw.net
3次曲線が楕円曲線であることを発見したのは
ワイルズだと答えてきた

99:１３２人目の素数さん
25/09/27 17:04:27.31 0ayz0qNU.net
曲率の正値性の理解

100:１３２人目の素数さん
25/10/07 07:39:40.40 QKxjOwHm.net
微分幾何には不可欠

101:１３２人目の素数さん
25/10/15 06:42:39.49 Pc1PRBho.net
ファイバー束は基本的

102:１３２人目の素数さん
25/10/31 08:43:17.77 e84FC0yc.net
完全交差の判定条件