大学学部レベル質問ス ..
2:１３２人目の素数さん
24/04/07 11:20:31.57 jPRRrXSt.net
>>1
乙
3:１３２人目の素数さん
24/04/08 10:56:44.68 1pdBZ1ve.net
しょーもない質問も増えたし
無くてもよかったんじゃね？
4:１３２人目の素数さん
24/04/08 11:41:50.39 EN/Y2Mx7.net
お前がいらない
5:１３２人目の素数さん
24/04/09 22:55:44.96 Uq+KJOQ1.net
無限次元の線形空間においては
ルベーグ測度が存在しないらしいが
本当か？
6:１３２人目の素数さん
24/04/09 22:59:16.06 bn00L5s9.net
ルベーグ測度とは？
7:１３２人目の素数さん
24/04/09 23:00:37.47 fYI7fKbV.net
平行移動で不変
8:１３２人目の素数さん
24/04/09 23:06:10.28 bn00L5s9.net
これに書いてあるよ
無限次元の測度 山崎
ボレル測度は存在するが平行移動不変性を要求するとどうなるかという話
9:１３２人目の素数さん
24/04/09 23:27:43.57 bn00L5s9.net
爺さんに忠告、解析は知識を集めてもどうにもならんよ、地道に勉強するしかないのよ
10:１３２人目の素数さん
24/04/09 23:33:40.80 bn00L5s9.net
ほら、答え
Infinite-dimensional Lebesgue measure
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
11:１３２人目の素数さん
24/04/09 23:59:30.21 skajn/Jw.net
>>10
R^∞のことを>>5は聞いてるんじゃ無いの？
12:１３２人目の素数さん
24/04/10 06:36:54.21 Z8qgIFdP.net
>>11
それなら8に書いてあるよ、お前が答えてもいいんやで
13:１３２人目の素数さん
24/04/10 06:43:25.91 Z8qgIFdP.net
この爺さん、質問するけど答えにはレスしない。理解できない、理解する気もないんだと思うよ
14:１３２人目の素数さん
24/04/10 06:53:49.80 Z8qgIFdP.net
752 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/01/15(月) 20:10:13.54 ID:5uzjt4O+
X: 局所コンパクトハウスドルフ空間
μ: X上のラドン測度 i.e.
X上のボレル測度
任意のボレル集合Eは外部正則 i.e.
μ(E) = inf{μ(U); U⊃E 開集合}
任意の開集合Uは内部正則 i.e.
μ(U) = sup{μ(K); K⊂U コンパクト}
任意のコンパクト集合Kに対して、μ(K) < ∞
この時、測度有限の集合の可算和となる集合Eは内部正則
これが示せない
15:１３２人目の素数さん
24/04/10 16:49:42.94 Z8qgIFdP.net
>>11
無元次元の線形空間はR^∞なのか？
16:１３２人目の素数さん
24/04/10 18:34:08.09 Z8qgIFdP.net
無限次元ユークリッド空間におけるルベーグ測度は、一般的には存在しません。ルベーグ測度は、有限次元のユークリッド空間において、直積測度の極限として定義されます。しかし、無限次元空間では直積測度の極限を一般的には取ることができません。
ただし、無限次元のユークリッド空間においても、特定の条件下ではルベーグ測度を定義することが可能です。たとえば、Hilbert空間など、特定の構造を持つ無限次元空間において、ルベーグ測度を定義する手法が考案されています。しかし、これらの定義は一般的なものとは異なり、厳密な意味でのルベーグ測度としては扱いづらい場合があります。
そのため、無限次元ユークリッド空間における測度論的な議論では、通常は他の測度や積分論の手法が用いられます。
17:１３２人目の素数さん
24/04/11 14:23:29.15 9Yprb0EX.net
やっぱり、質問の投げ逃げだろ
18:１３２人目の素数さん
24/04/12 06:00:46.82 DzpxgOg4.net
経路積分の数学的厳密化
19:１３２人目の素数さん
24/04/12 07:09:43.93 OMM4Turi.net
質問なのか、感想なのか、ポエムなのか？
20:１３２人目の素数さん
24/04/12 07:59:51.17 07uDbJky.net
>>18
厳密では？
21:１３２人目の素数さん
24/04/12 09:49:08.44 OMM4Turi.net
経路に測度は入りません、キリィ
22:１３２人目の素数さん
24/04/12 10:55:38.57 07uDbJky.net
>>21
どうして？
経路ってRとかの像じゃないの？
23:１３２人目の素数さん
24/04/12 11:05:08.90 OMM4Turi.net
>>22
経路積分とは何かね？
24:１３２人目の素数さん
24/04/12 11:08:57.01 OMM4Turi.net
物理屋のいう経路積分とはこういうもの
URLﾘﾝｸ(www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp)
25:１３２人目の素数さん
24/04/12 11:38:33.26 OMM4Turi.net
厳密な場の理論は出来てないので無理、できたらミレニアム賞getｗ
26:１３２人目の素数さん
24/04/12 11:56:27.89 07uDbJky.net
>>23
ベクトル解析では
v:R→R^n
f:R^n→R
limΣf(v(t))Δv(t)
だろ
27:１３２人目の素数さん
24/04/12 11:58:07.55 07uDbJky.net
>>25
>厳密な場の理論
物理はどうでもいいけど
ベクトル解析では
スカラー場は
f:R^n→R
ベクトル場は
f:R^n→R^m
だろ
28:１３２人目の素数さん
24/04/12 12:26:55.65 OMM4Turi.net
>>26
経路積分ではない
29:１３２人目の素数さん
24/04/12 12:28:16.76 OMM4Turi.net
今のレートだと一億五千万円、税金はかかるのだろうか？
30:１３２人目の素数さん
24/04/12 12:34:27.80 EJkwA63Z.net
線積分ではない
31:１３２人目の素数さん
24/04/12 14:53:36.65 OMM4Turi.net
>>27
お前が経路積分をそういうものだというのはお前の勝手だが、18のとは違うと思うよ
32:１３２人目の素数さん
24/04/12 15:15:48.02 OMM4Turi.net
>>27
何の問題を解いているのだろう？
33:１３２人目の素数さん
24/04/12 15:17:31.09 OMM4Turi.net
>>27
場に反応しただけか
34:１３２人目の素数さん
24/04/12 15:25:52.13 OMM4Turi.net
Path integral formulation
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Expectation valuesの式がファイマン積分
35:１３２人目の素数さん
24/04/12 16:18:05.34 OMM4Turi.net
18は経路積分と言いたかっただけだろう
36:１３２人目の素数さん
24/04/12 22:10:11.27 YKEu9Ylq.net
>>30
なるほど
ウィキペディアによると物理の話なんね
ちょっと勉強してみるかな
37:１３２人目の素数さん
24/04/12 22:19:24.54 OMM4Turi.net
これがお薦め
An Introduction To Quantum Field Theory Peskin
38:１３２人目の素数さん
24/04/12 22:27:57.64 YKEu9Ylq.net
ちょっと読んだけどウィキペ
すごく簡単に言うと変分法の逆みたいな？
変分法は関数による微分みたいな感じなので
関数（経路）による積分て感じなのかなと
39:１３２人目の素数さん
24/04/12 22:29:40.56 OMM4Turi.net
これにて一見落着
40:１３２人目の素数さん
24/04/12 23:17:39.96 OMM4Turi.net
wikiで分かったつもりになれるなんておっちゃんみたいだ
41:１３２人目の素数さん
24/04/13 00:02:12.47 psQpLej4.net
ざっくりいうと“確率の足し合わせ方”
例えば
2点を移る動点
毎秒今のところにとどまる確率が2/3、他方に移る確率が1/3
5秒後同じ点にいる確率は？
経路 確率
留留留留留 32/243
留留留移移 8/32
...
で32通りある経路ごとに確率を計算して足し合わせたら答え
同じ事を場の量子論でやりたい
場の変化の経路ごとに確率(密度)を定めてそれを積分したらある状態から別の状態へ移る確率を計算できるようにしたい
できますか？経路の全体のなす空間に“測度”を定義できますか？
42:１３２人目の素数さん
24/04/13 00:03:21.39 psQpLej4.net
経路 確率
留留留留留 32/243
留留留移移 8/243
...
ね
43:１３２人目の素数さん
24/04/13 00:07:13.66 yt+A+y0K.net
>>41
>経路の全体のなす空間に“測度”を定義できますか？
やっぱそういうことをしたいってことよね
測度定義する必要ないってのがそのファインマンの
なんかよくわからん無理矢理な定義式なんでしょ
綺麗にやるには測度かも知らんが無理かもね
経路に条件つけて減らしたり
何かしらの普遍性を捨てるしかないんじゃないかな
44:１３２人目の素数さん
24/04/13 00:12:32.39 yt+A+y0K.net
測度は領域に対して非負実数を対応させて
ある種の普遍性があるようなものだけど
関数空間（経路の空間）の可測集合みたいなのに
実数は足りなさすぎじゃないかな
45:１３２人目の素数さん
24/04/13 00:37:55.00 psQpLej4.net
しなくていい分けない
しなけりゃいけないけどできないから困ってる
それと君理解がいい加減すぎる
46:１３２人目の素数さん
24/04/13 00:55:28.62 yt+A+y0K.net
>>45
>しなくていい分けない
なにをしないの？
47:１３２人目の素数さん
24/04/13 00:58:12.17 yt+A+y0K.net
ウィキペディア読んだだけだからね
やりたいことは変分法の逆みたいな
変数の代わりに関数（経路）による
積分みたいなことだろうなぐらいの
表面的な印象なだけ
48:１３２人目の素数さん
24/04/13 01:49:36.41 3h90ghTw.net
>>47
測度論は知ってるのに汎関数とか超関数とかを知らないような変な認識の人だね。
49:１３２人目の素数さん
24/04/13 07:59:15.71 yt+A+y0K.net
>>48
それも知ってはいるけど？
経路積分がどう言うことをしようとしているか
表面的なところが分かったって書いただけ
深煎りは自分にはできないのでこのくらい
50:１３２人目の素数さん
24/04/13 12:55:50.41 j2T99260.net
藤原先生の解説
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
文献10に経路に測度は入らないことが書いてある
51:１３２人目の素数さん
24/04/13 16:55:56.38 qS8vFjXa.net
指数p=7のフェルマー予想の証明について書かれた本またはpdfなどありませんでしょうか。
よろしくお願いします。
52:１３２人目の素数さん
24/04/13 19:15:41.19 fXQxoHCw.net
FLT は regular prime について正しい
で7はregular prime のハズ
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
53:１３２人目の素数さん
24/04/13 19:55:57.94 6Bo6KEY6.net
test
54:１３２人目の素数さん
24/04/13 20:09:55.06 6Bo6KEY6.net
不定積分の計算について質問です。
∫ x dx を求めたいとします。
x = sin(t) と置換してこの不定積分を求めます。
t ∈ [-π/2, π/2] で sin(t) は単調増加関数ですので、逆関数が存在します。
被積分関数 x の定義域は I = [-1, 1] で考えます。
問題は、 I 上で x の原始関数を求めよという問題になります。
∫ x dx = ∫ sin(t) * cos(t) dt = ∫ (1/2) * sin(2*t) dt
= -(1/4) * cos(2*t) = -(1/4) * (1 - 2 * sin^2(t))
= (1/2) * x^2 - 1/4
と I 上で不定積分（原始関数）が求まりました。
(1/2) * x^2 - 1/4 は自然に R へ拡張可能です。
この関数を R 上で微分してみると x になります。
I 上での原始関数を求めたのですが、それから容易に R 上での原始関数が求まってしまいました。
不思議なのですが、これはどうしてでしょうか？
55:１３２人目の素数さん
24/04/13 20:47:23.35 dn43dBFP.net
解析関数だから
56:１３２人目の素数さん
24/04/14 06:35:01.96 Ijf/w18T.net
>>55
ありがとうございます。
有理関数の分母の多項式が沢山の零点を持つにも関わらず、ある閉区間 I 上での不定積分を求めると、有理関数の分母の多項式の零点以外の点の集合上の不定積分に自動的になるのも同じ理由ですか？
57:１３２人目の素数さん
24/04/14 06:40:13.30 Ijf/w18T.net
あ、 ∫ 1/x dx を閉区間 I ⊂ (0, ∞) 上で求めると、 log(x) になりますが、閉区間 I ⊂ (-∞, 0) 上で求めると log(-x) になりますので、自動的とまでは言えませんね。
log(|x|) とまとめて書くことはできますが。
58:１３２人目の素数さん
24/04/14 08:40:32.02 PjCYsUYz.net
>>57
x>0のlogxを解析接続するとx<0でlog(-x)±iπになるよ
積分定数は任意だからx<0で実数関数にするならlog(-x)
59:１３２人目の素数さん
24/04/14 08:44:55.82 PjCYsUYz.net
+C
60:１３２人目の素数さん
24/04/14 12:11:52.96 C//rrIKi.net
>>54
変数変換できる条件は？R全体で変数変換できれば不定積分は一致するだろ
61:１３２人目の素数さん
24/04/14 12:22:37.46 C//rrIKi.net
不定積分は局所的な微分の逆演算とも言える
62:１３２人目の素数さん
24/04/14 14:04:10.20 rM+DZ9CN.net
◆当選確率1/10000000 の宝くじ
10枚を1日で購入するのと
1枚づつ10日に分けて購入するのとで
当選確率に差はありますか？
63:１３２人目の素数さん
24/04/14 14:18:10.59 C//rrIKi.net
何が違うの？
>10枚を1日で購入するのと
>1枚づつ10日に分けて購入するのとで
64:１３２人目の素数さん
24/04/14 14:19:56.75 PjCYsUYz.net
>>60
ああそうね考えてみたら
x=sintの変数変換が-1≦x≦1に限定というのも実関数の場合で
不定積分は別に実関数限定ではないのでxの範囲が限定されているわけでもないのか
x=(e^it-e^-it)/2i
e^2it-2ixe^it-1=0
e^it=ix±√(1-x^2)=i(x±√(x^2-1))
x>1 ⇔ t=π/2+is (s:0→∞)
x<-1 ⇔ t=-π/2+is (s:0→-∞)
65:１３２人目の素数さん
24/04/14 14:29:56.91 PjCYsUYz.net
>>64
>x>1 ⇔ t=π/2+is (s:0→∞)
>x<-1 ⇔ t=-π/2+is (s:0→-∞)
sの向き上下逆だった
66:１３２人目の素数さん
24/04/14 15:12:35.23 PjCYsUYz.net
それも間違い
どっちでもいい
67:１３２人目の素数さん
24/04/14 15:30:26.53 C//rrIKi.net
ヤコビアンdx/dt=cost=0の点が離散的なのでたまたま繋がるという話だと思うけど
どうでもいいけど
68:１３２人目の素数さん
24/04/14 16:52:55.56 PjCYsUYz.net
>>67
別に繋げなくてもいいよ
でも繋げた方がRからRって感じ
69:１３２人目の素数さん
24/04/14 16:55:14.77 C//rrIKi.net
関数の拡張なんだから繋げる話だろ
70:１３２人目の素数さん
24/04/14 16:57:41.44 C//rrIKi.net
関数は定義域込みで関数だろ、定義域変えたら別の関数だろ
71:１３２人目の素数さん
24/04/14 17:13:06.60 C//rrIKi.net
不定積分は発見的解法なので細かいことに拘ってもしょうがないｗ
72:１３２人目の素数さん
24/04/14 17:28:07.92 PjCYsUYz.net
>>70
別の関数でも同じsint
定義も同じ
sint=(e^it-e^-it)/2i
実数関数としても定義行きは
[-π/2,π/2]でも[π/2,3π/2]でもどうでもいい
Cの部分集合としての定義域はちぎれてても
どうせC→S^1×Rで繋がるし
73:１３２人目の素数さん
24/04/14 17:50:44.53 C//rrIKi.net
>>72
一般的な話
74:１３２人目の素数さん
24/04/14 20:57:20.11 PjCYsUYz.net
>>73
何が？
75:１３２人目の素数さん
24/04/14 21:19:23.96 C//rrIKi.net
>>74
関数
76:１３２人目の素数さん
24/04/14 21:23:31.08 C//rrIKi.net
杉浦だと不定積分は関数の定義域を決めてる
77:１３２人目の素数さん
24/04/14 21:31:23.67 C//rrIKi.net
>>54
これも決めてるか、微小区間[-δδ]でいいんだろ、何が問題なんだろ
78:１３２人目の素数さん
24/04/14 21:34:22.64 C//rrIKi.net
やっぱりただ繋がる、拡張可能という話
この場合そもそも変数変換出来ない点が離散的なのでうまくつながる
79:１３２人目の素数さん
24/04/14 21:38:16.31 C//rrIKi.net
一点で
80:１３２人目の素数さん
24/04/14 21:41:58.75 C//rrIKi.net
変数変換ができなくても元の関数は連続なので定積分は連続
81:１３２人目の素数さん
24/04/14 21:48:36.83 C//rrIKi.net
もっともらしい答えができた
82:１３２人目の素数さん
24/04/14 21:51:50.63 C//rrIKi.net
定積分とはa+∫(a,x)f(t)dtの事ね
83:１３２人目の素数さん
24/04/14 22:10:19.76 C//rrIKi.net
訂正
定積分はF(x)=F(a)+∫(a,x)f(t)dtの事ね
不定積分はF(x)+C
84:１３２人目の素数さん
24/04/15 05:21:46.01 P/3paSHA.net
定積分を拡大解釈して線積分だと思えばf(x)=1/xの場合も扱える。
線積分による解析接続を考える。x=0が特異点なのでx<=0に切断を入れてlog(x)のリーマン面を考えて・・・
85:１３２人目の素数さん
24/04/17 07:27:16.40 /+kMqt7h.net
構成可能宇宙LがZFCのモデルになるとWikipediaに書かれているけど
モデルって集合じゃなくてクラスでもいいの？大丈夫？
86:１３２人目の素数さん
24/04/17 08:40:57.88 /+kMqt7h.net
そもそもだけど
集合の全体VはZFCのモデルってことにならない？
ならモデルがあれば無矛盾とか意味なくね？
87:１３２人目の素数さん
24/04/17 09:09:56.24 hNB8LMCq.net
はい
88:１３２人目の素数さん
24/04/17 09:13:07.84 /+kMqt7h.net
>>87
どれを？
・モデルって集合じゃなくてクラスでもいいの？大丈夫？
・集合の全体VはZFCのモデルってことにならない？
・モデルがあれば無矛盾とか意味なくね？
どれも？
89:１３２人目の素数さん
24/04/18 20:57:37.86 1HCdRk8H.net
n ≤ mとする
R^mのn本のベクトルv1, ..., vnによって作られる平行2n面体の体積を求めたい
<, >はR^mの標準内積とする
n = 1の場合
|v1| = √<v1, v1>
n = 2の場合
|v1| |v2| sinθ
= |v1| |v2| √(1 - cosθ^2)
= √((|v1| |v2|)^2 - <v1, v2>^2)
n = mの場合
det(v1, ..., vm)
n = 3, 4, ..., m - 1 の場合も表せますか？
90:１３２人目の素数さん
24/04/18 21:12:51.77 nfv7f4/r.net
v_1, v_2, ..., v_kで作られる平行2k面体の体積をV_kとして、
V_{k+1} = V_k * |v_{k+1}| sinθ
θは、v_{k+1}とspan(v_1, v_2, ..., v_k)のなす角
91:１３２人目の素数さん
24/04/18 21:22:09.71 2pphKSMZ.net
>>89
√det(vi・vj)の定数倍で求められたはず
92:１３２人目の素数さん
24/04/18 21:35:03.08 2pphKSMZ.net
いや定数倍は必要ないか
V=√det(vi・vj)
93:１３２人目の素数さん
24/04/18 21:35:27.30 9DQ6O8eP.net
orthogonalize |span<u1,...,uk>|=|span<v1,...,vk>|=Π|vi|, vi⊥vj
94:１３２人目の素数さん
24/04/18 21:35:47.35 9DQ6O8eP.net
>>89
>n = mの場合
>det(v1, ..., vm)
|det(v1, ..., vm)|
95:１３２人目の素数さん
24/04/18 23:07:24.75 mdEEl9Ps.net
まじかよ
計量テンソルすごすぎ
96:１３２人目の素数さん
24/04/18 23:10:44.02 kJ3iUlrW.net
位相空間Xから距離区間Yへの連続写像のなす空間C(X,Y)での基本近傍系の定義で
Un(f)＝{g∈C(X,Y)|sup{d(f(x),g(x)|x∈X)}≦cである0≦c＜1/nが存在する}
と本に書かれているのですが、これを単に
{g∈C(X,Y)|sup{d(f(x),g(x)|x∈X)}＜1/n}
書いても同じように見えます
何か差があるんでしょうか
97:１３２人目の素数さん
24/04/18 23:53:34.42 dsqoe2BW.net
証明は？
98:１３２人目の素数さん
24/04/18 23:54:57.09 dsqoe2BW.net
まず定義を書いてみろ
99:１３２人目の素数さん
24/04/19 00:00:05.20 cMZorH98.net
同じに1票
100:１３２人目の素数さん
24/04/19 00:06:23.25 IjOHgCsK.net
>>97
supは単なる実数か∞なのでそれがc<1/n以下である事と1/nより小さい事は同値
で良いと思うんですが、わざわざ複雑にこう書いてあると不安で
101:１３２人目の素数さん
24/04/19 00:25:30.60 +AwSHIQv.net
<ではなく≦で書きたかった？くらいしか想像できない
102:１３２人目の素数さん
24/04/19 00:34:40.11 Quh2+IY5.net
>>100
お前の解答じゃ不安になるよ
103:１３２人目の素数さん
24/04/19 01:06:02.04 Quh2+IY5.net
X上の一様収束位相か強いな、ともかく教科書の定義を確かめてみろ
XとYの位相、C(X,Y)の位相
104:１３２人目の素数さん
24/04/19 01:34:44.03 Quh2+IY5.net
答え
同じ、理由はYの位相は距離dでも距離cd（c>0）でも同じだから
105:１３２人目の素数さん
24/04/19 02:03:26.32 Quh2+IY5.net
訂正
理由 ただの言い換えだから
106:１３２人目の素数さん
24/04/19 02:45:14.63 5Y+3hMG0.net
>>96
その本の書き方だと確かに同じだけど、本当はcがgに依存しない定数にしたかったのかもね
それなら例えばd(f,g_k)が1/nに単調増加に収束する関数列g_kを考えれば同じでないことがわかる
107:１３２人目の素数さん
24/04/19 07:22:51.45 Quh2+IY5.net
距離dがwell-definedでないけどいいんかいな
108:１３２人目の素数さん
24/04/19 09:12:00.64 Quh2+IY5.net
訂正
これがC(X,Y)の基本近傍系になっていないということ
Un(f)＝{g∈C(X,Y)|sup{d(f(x),g(x)|x∈X)}≦cである0≦c＜1/nが存在する}
109:１３２人目の素数さん
24/04/19 09:17:28.90 Quh2+IY5.net
普通はC(X,Y)の位相はXの各点収束、コンパクト集合上の一様収束位相を考える。
Yをコンパク化すればよさげだけどそれは別の話
110:１３２人目の素数さん
24/04/19 10:08:55.45 fnpmo5F/.net
局所一様
111:１３２人目の素数さん
24/04/19 12:01:00.32 LRTc4MN8.net
>>89
これ、A = (v1, ..., vn)として
|det(<vi, vj>)_i,j| = det(A)^2
になると思うんだけど、どうやって示すかわかりますか？
行展開して帰納法とかで行けるかなと思ったけど、イマイチ上手くいかない……
112:１３２人目の素数さん
24/04/19 12:09:29.36 xdKaEuQ8.net
(<vi, vj>)_i,j = tA A (tAはAの転置)
113:１３２人目の素数さん
24/04/19 14:01:43.19 gJaoQg4K.net
ああそっか、なるほど
114:１３２人目の素数さん
24/04/19 17:55:40.25 Quh2+IY5.net
ReidのUndergraduate Algebraic Geometryの「Woffle」
WeilのBasic Number Theoryの「Coronidis loco」
ってどういう意味ですか？
115:１３２人目の素数さん
24/04/19 18:51:11.69 O+qjvmNv.net
連投の上にマルチ
無視
116:１３２人目の素数さん
24/04/19 19:44:17.18 GNt+VXOo.net
黒木玄さんがXに
「
杉浦光夫『解析入門Ⅰ』p.175
【(*) lim_{t→0} sin t/t = 1
～円弧の長さを例えば積分で定義したとしても, その積分を計尊するのに(*)を用いなければならぬのでは循環論法になってしまう】
は完全な誤り。この誤りが訂正されずに影響力を持ち続けたことは日本の数学関係者の恥だと思います。
」
と書いています。
「(*)を用いずにその積分を計算すればもちろん循環論法にはならないが、その積分を計算するのに(*)を用いるとすると循環論法になってしまう」という当たり前のことを言っているだけではないでしょうか？
117:１３２人目の素数さん
24/04/19 20:08:09.09 xfPwK7Ze.net
>>115
自治厨は黙ってろ
118:１３２人目の素数さん
24/04/19 20:39:26.49 bZSXXXrr.net
>>115
普通の人は無視してるよね
119:１３２人目の素数さん
24/04/19 21:47:45.03 ndwhXd7q.net
96ですが回答ありがとうございます
やっぱり同じですよね
supがちゃんと定まるかという問題はYの距離dをmin{1,d}に取り直して有界にしてから
扱う感じで本では書いてるのでそこは取り直す必要があるのはそのとおりですね
120:１３２人目の素数さん
24/04/19 21:50:28.06 cMZorH98.net
「用いれば巡回論法になる」
と
「用いなければならぬので巡回論法になる」
は別
121:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:13:08.18 GNt+VXOo.net
>>120
杉浦さんが書いているのは、
「用いなければならぬので」
ではありません。
「用いなければならぬのでは」
です。
つまり「用いなければならないとすれば」の意味です。
122:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:14:08.44 GNt+VXOo.net
結論として、黒木玄さんの日本語の読解力の問題だと考えます。
123:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:16:36.26 Jkmc/YBW.net
他人が文章を誤読したかどうかが、数学と何の関係がある？
自分が解析学を理解できていればそれでいいだろう
124:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:21:25.54 GNt+VXOo.net
黒木さんはあのページを読んだときに、
「別にべき級数を使って定義しなくても厳密に定義できるのに」
と心の中で思ったのだと思います。
欠陥を発見したと思って喜んで
>>116
のような投稿をしたのだと推測します。
杉浦さんはべき級数を使わなくては厳密に三角関数を定義できないとは言っていないにもかかわらずです。
125:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:21:59.68 bZSXXXrr.net
>>123
それよね
126:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:23:58.32 bZSXXXrr.net
>>124
慮ってないで本人に聞いたら？
127:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:24:26.12 cMZorH98.net
人の読解力に難癖つける文章で意味合いが変わってしまうような不正確な引用するとか神経疑う
128:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:25:58.99 Quh2+IY5.net
>>119
それは後出しに、問題は正確に書いてね
129:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:35:00.82 Quh2+IY5.net
雑魚は否定形で考える、プロは肯定形で考える、これマメな
130:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:40:42.11 GNt+VXOo.net
ところで、
積分で定義した円弧の長さを計算するときに、(*)を用いたいという状況に普通なるものなんですか？
131:１３２人目の素数さん
24/04/19 22:41:57.21 GNt+VXOo.net
杉浦さんはそのあたりの細かい説明は全くしていないわけですが。
132:１３２人目の素数さん
24/04/19 23:08:43.57 cMZorH98.net
asin(x) = ∫[0,x]1/√(1-t^2)dt
の計算で t=sin(u) を使って dt=cos(u)du と行くなら循環論法になるかもしれないがいくらでも回避できる
133:１３２人目の素数さん
24/04/19 23:31:54.46 bZSXXXrr.net
別に証明じゃ無いんだから
循環論法上等でしょ
計算結果を得るだけなら
134:１３２人目の素数さん
24/04/20 00:40:38.04 J1PXzz2M.net
【ネット数学界の王】黒木玄【東北大学】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:241番)
マルチじゃん
135:１３２人目の素数さん
24/04/20 00:47:09.12 xnwGmxju.net
>>134
この投稿がマルチというお笑い
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:242番)
136:１３２人目の素数さん
24/04/20 06:36:09.54 jXYbXyFa.net
↓みたいにやっていけば、「円弧の長さを例えば積分で定義したとしても, その積分を計算するのに(*)を用いな」くてもいいですよね。
t ∈ [-1, 1] に対して、
l(t) := ∫_{x}^{1} 1 / √(1 - t^2) dt
と定義する。右辺は広義積分である。
π := l(-1) で定義する。
l : [-1, 1] → [0, π] は単調減少関数であるから逆関数が存在する。
cos(x) := l^{-1}(x) for x ∈ [0, π] で定義する。
sin(x) = √(1 - cos^2(x)) for x ∈ [0, π] で定義する。
d/dx l^{-1}(x) = 1 / [d/dt l(t)] = 1 / [- 1 / √(1 - t^2)] = -√(1 - t^2) = -sin(x)
137:１３２人目の素数さん
24/04/20 06:42:18.84 jXYbXyFa.net
>>136
はMichael Spivak著『Calculus Fourth Edition』での厳密な三角関数の定義を真似して定義しました。
Spivakさんは円弧の長さではなく扇形の面積を使って三角関数を定義しています。
>>136
をこれ以降どうすればいいかはSpivakさんの本に書いてあります。
138:１３２人目の素数さん
24/04/20 06:51:26.80 jXYbXyFa.net
Spivakさんが円弧の長さではなく扇形の面積を使ったのは、
曲線の長さを使った場合、曲線の長さが ∫_{a}^{b} √(1 + (f'(x))^2) dx となる（と定義される）という事実を使う必要がありひと手間余計にかかるからだと思います。
扇形の面積ならば、「面積が積分で表される」という積分を使う上で絶対に避けて通れない説明は既に本文でしてあるので手間がかからないためだと思います。
実際にはSpivakさんは演習問題の中で曲線の長さについても導かせていますが。
139:１３２人目の素数さん
24/04/20 06:59:52.30 jXYbXyFa.net
で、いくら杉浦光夫さんでも
>>136
くらいの定義は思いつくと思います。
ですので、杉浦光夫さんはやはり「その積分を計算するのにd/dx sin(x) = cos(x)という結果を用いたくなるが、そうすると循環論法になってしまう」という当たり前のことを言っているだけだと結論できると思います。
ですので、黒木玄さんの指摘は的外れだと感が増す。
140:１３２人目の素数さん
24/04/20 07:01:17.85 jXYbXyFa.net
>>139
訂正します：
で、いくら杉浦光夫さんでも
>>136
くらいの定義は思いつくと思います。
ですので、杉浦光夫さんはやはり「その積分を計算するのにd/dx sin(x) = cos(x)という結果を用いたくなるが、そうすると循環論法になってしまう」という当たり前のことを言っているだけだと結論できると思います。
ですので、黒木玄さんの指摘は的外れだと考えます。
141:１３２人目の素数さん
24/04/20 07:07:06.09 jXYbXyFa.net
一方で、『解析入門I』の読者の中に「べき級数を使わないと三角関数は厳密に定義できないのか」と勝手に思い込む人もまれにはいるのではないかと思います。
そうは言っても、p.175の記述が「影響力」を持ったなど一度としてないと思います。
142:１３２人目の素数さん
24/04/20 07:07:59.07 jXYbXyFa.net
>>141
訂正します：
一方で、『解析入門I』の読者の中に「べき級数を使わないと三角関数は厳密に定義できないのか」と勝手に思い込む人もまれにはいるのではないかと思います。
そうは言っても、p.175の記述が「影響力」を持ったことなど一度としてないと思います。
143:１３２人目の素数さん
24/04/20 07:13:00.98 jXYbXyFa.net
杉浦光夫さんは「まえがき」に以下のように書いています。
「
三角函数や指数函数はよく知られているが、その解析的性質を系統的に明快な形で導くには、函数の適当な解析的表示を用いることが必要である。本書では、指数函数 e^x と cos(x), sin(x) の整級数による表示を出発点とした。これが最も分り易いと考えたからである。
」
別にべき級数を使った方法が唯一無二の方法だなどとは少しも思っていないということはこの文章から明らかです。
144:１３２人目の素数さん
24/04/20 07:16:30.94 jXYbXyFa.net
高校式の素朴な定義は厳密でないからそのやり方はしたくなかった。
厳密な定義の中で一番シンプルなのはべき級数による定義であるからそれで定義した。
という単純な話だと考えます。
145:１３２人目の素数さん
24/04/20 07:21:42.61 jXYbXyFa.net
cos(x) := l^{-1}(x) for x ∈ [0, π] も一つの「解析的表示」であるわけです。
146:１３２人目の素数さん
24/04/20 07:22:52.70 jXYbXyFa.net
>>145
のようなものも選択肢としてあるけれどもも分り易いと考えるべき級数による表示を採用した
というだけのことだと思います。
147:１３２人目の素数さん
24/04/20 07:24:03.80 jXYbXyFa.net
>>146
訂正します：
>>145
のようなものも選択肢としてはあるけれども、最も分り易いと考えるべき級数による表示を採用した
というだけのことだと思います。
148:１３２人目の素数さん
24/04/20 09:42:07.98 J1PXzz2M.net
やっぱり馬鹿アスペ
149:１３２人目の素数さん
24/04/20 10:29:28.57 J1PXzz2M.net
学部3年次の数学の重要性
33 ：１３２人目の素数さん[]：2024/04/19(金) 16:13:07.36 ID:GNt+VXOo
日本の大学の数学科の学生は、海外の大学の数学科の学生に大学在学中に大きく差をつけられてしまうという話があります。
日本の大学の数学科の時間割を見れば、どうしてか明らかですよね。
150:１３２人目の素数さん
24/04/20 11:12:59.51 J1PXzz2M.net
高卒アスペの思い込み
151:１３２人目の素数さん
24/04/20 12:03:55.03 J1PXzz2M.net
馬鹿アスペの不思議
・日本語の本が読めないくせに英語の本を読める
・働いていないのにたくさん本が買える
・10年微積分、線型代数をやってる
・碌な根拠がないのに思い込みで書き込む
152:１３２人目の素数さん
24/04/20 12:28:38.56 J1PXzz2M.net
・プ板ではお前にはプログラムの才能がないと馬鹿にされる
・トポロジーの問題出してはこんなの問題じゃねーと馬鹿にされる
・それでもめげずに微積分の本の荒探して著者をdisる、でも馬鹿にされる
153:１３２人目の素数さん
24/04/20 13:23:27.64 J1PXzz2M.net
・物理板では高校の教科書に関する質問をして馬鹿にされていた。
154:１３２人目の素数さん
24/04/21 00:00:06.13 cfCfP9mo.net
知恵おくれなんだろ
かわいそう
155:１３２人目の素数さん
24/04/21 19:25:39.60 bkEIE1VW.net
いつ見ても他人の書き間違いは鬼の首を取ったような書き込みしかしないね
その一方で自分の書き込みは何度も何度も訂正、他人に厳しく自分に激甘な無能
156:１３２人目の素数さん
24/04/21 21:23:18.53 FJE3Y/e4.net
悔しいのー
157:１３２人目の素数さん
24/04/21 22:14:21.84 1NVvPu5b.net
アルキメデスの原理について質問です
解析入門で
lim[n→∞] n＝＋∞ とアルキメデスの原理は同値であると書いてありました
lim[n→∞] n＝＋∞
⇔ n→＋∞ ( n→∞ )
ですが意味不明です
この本では ∞ と＋∞ は意味が違うのですか？
158:１３２人目の素数さん
24/04/21 22:57:32.06 5H1s1l3h.net
lim a[n] = ∞
⇔ ∀A ∃N ∀n>N a[n] > A
159:１３２人目の素数さん
24/04/21 22:59:05.37 SItRut0X.net
lim n=無限 と アルキメデスの原理 の正確な論理式を書いてみ
160:１３２人目の素数さん
24/04/22 00:59:47.55 zxprsYqE.net
>>157
>この本では ∞ と＋∞ は意味が違うのですか？
違うかも
Nで無限大とRで無限大
自分も区別してる
161:１３２人目の素数さん
24/04/22 01:00:15.76 zxprsYqE.net
ま
アルキメデスの原理があるから同一視できるけどね
162:１３２人目の素数さん
24/04/22 10:07:00.91 db+Q1RnZ.net
>>160
なるほど自然数の中での話と実数の中での話ですか
よく分かりました
163:１３２人目の素数さん
24/04/22 20:42:40.99 JKIwWYmh.net
有限体に非自明な位相を入れて位相体にすることは可能ですか？
164:１３２人目の素数さん
24/04/23 11:24:41.23 NewIaZsH.net
笠原晧司著『対話・微分積分学』
広義積分のところで、有界な関数は、有界閉集合上で積分ができると暗に仮定しています。
全くのデタラメですよね。
被積分関数を連続としても、積分を考える有界閉集合の境界が異常な集合である場合、積分は存在しませんよね。
165:１３２人目の素数さん
24/04/23 11:54:18.57 R4F/26Ve.net
>>163
自明な位相って？密着とか離散とか？
166:１３２人目の素数さん
24/04/23 11:56:32.19 xDbaTufO.net
>>163
任意の体 K に対して、離散位相を入れれば位相体になる。
167:１３２人目の素数さん
24/04/23 12:40:50.61 41WKpU+0.net
代数で与えられた環と同型なものを有限体の直積で表せみたいな問題ってどう解けばいいんですか？
・準同型定理以外の解法があるのか
・準同型の場合写像はどう見つけるのか
を主に教えてほしいです
168:１３２人目の素数さん
24/04/23 12:53:21.15 R4F/26Ve.net
>>167
具体的に書いて
169:１３２人目の素数さん
24/04/23 13:35:47.72 UsN0sHfK.net
具体的に書くとレポート問題の出所が割れるので書く気は毛頭ありません
170:１３２人目の素数さん
24/04/23 14:16:21.31 xDbaTufO.net
丸投げみたいな
171:１３２人目の素数さん
24/04/23 14:35:56.99 xDbaTufO.net
解答にデパートの商品券を添付する
172:１３２人目の素数さん
24/04/23 14:45:55.42 xDbaTufO.net
>>163,167
同じ人物だろ、好きにやってくれ
173:１３２人目の素数さん
24/04/23 15:07:18.96 3InE1zFC.net
3辺の長さ a,b,c を与えられた三角形の面積 S を考えます
例えば
a=16, b=17, c=17, S=120 (∵ ヘロンの公式 とか)
a=16, b=25, c=39, S=120 . . .
ここで湧いた疑問
3辺と面積が全て整数値になる三角形についての法則だか公式なんてのはありますか？
174:１３２人目の素数さん
24/04/23 15:41:20.11 SfKsj3Z9.net
直角三角形に限定しても非常に深い問題になる
「合同数 保型形式」で検索
175:１３２人目の素数さん
24/04/23 16:57:25.03 3InE1zFC.net
ありがとうございます
今の知識だけだとかなり厳しいですが、いつか理解できるようにがんばります
176:１３２人目の素数さん
24/04/23 17:50:19.84 xDbaTufO.net
ヘロンの三角形
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
177:１３２人目の素数さん
24/04/23 17:56:33.26 xDbaTufO.net
>>164
おっさん頭大丈夫か、読み物にケチつけてｗｗｗ
178:１３２人目の素数さん
24/04/23 19:32:55.00 Udd1V0QT.net
>>165-166
もちろん非自明な位相とは密着でも離散でもないものです
>>172
167は別の人です
179:１３２人目の素数さん
24/04/23 21:03:03.78 xDbaTufO.net
>>164
読んだか？
数学解析 溝畑
180:１３２人目の素数さん
24/04/23 23:42:02.61 QJz/3Sbe.net
よろしくお願いします。
X≠∅かつf:X→Yが単射⇒fに左逆写像が存在する
の一般的な教科書の証明では、空でないXから適当なa∈Xを１つ選んで逆写像を構成していますが、この空でないXからaを１つ選んで行われる証明は、全体としては論理式Ψ:=(x∈X)として、∃xΨとΨ[a/x]からの帰結に対して∃除去を行っていると考えて良いですか？
181:１３２人目の素数さん
24/04/24 00:25:02.53 m0i89ept.net
いい
182:１３２人目の素数さん
24/04/24 11:47:09.79 uDlIcIF2.net
fのR(f)上の逆が存在
183:１３２人目の素数さん
24/04/24 11:58:29.37 9Vg1zXac.net
>>179
溝畑さんの本はどこがいいのかさっぱり分かりません。
笠原晧司著『対話・微分積分学』
収束級数に 「0 を挿入しても和が変わらないことは自明ではない。」などと書いています。
自明ですよね。
184:１３２人目の素数さん
24/04/24 12:00:18.36 uDlIcIF2.net
>>183
馬鹿には分からんよ
185:１３２人目の素数さん
24/04/24 12:06:40.66 9Vg1zXac.net
溝畑茂著『数学解析下』に、確か微分形式が登場しますが、厳密に定義したりしてませんよね。
あまり本質的なことではないかもしれませんが、変数の数も確か 2 かせいぜい 3 で説明していたと思います。
186:１３２人目の素数さん
24/04/24 12:12:48.72 9Vg1zXac.net
変数の数が 2 と言えば、斎藤毅著『微積分』がそうですね。
この本ですが、内容を絞って、その範囲で厳密に（三角関数の定義のところで初等幾何学の定理を使っていますが）説明するという本だと思います。
そういう本って需要があるんですかね？
どうせ難しめの本なのだから内容をもっと豊富にしたほうが良かったと思います。
187:１３２人目の素数さん
24/04/24 16:26:00.03 uDlIcIF2.net
>>186
お前が数学に寄与できるのは本を買うことだけだｗ
188:１３２人目の素数さん
24/04/24 17:39:52.50 oH2qzlTZ.net
>>180
>一般的な教科書の証明では、空でないXから適当なa∈Xを１つ選んで逆写像を構成していますが
そうなの？g:f(X)→Xが自然に作れるというだけでは？
g:Y\f(X)→{a}のこと？
189:１３２人目の素数さん
24/04/24 23:16:21.62 E9rg9eyQ.net
>>188
左逆というだけでは言葉が足りませんでした、すみません。
g:Y/f(X)→{a}の方の構成のほうです。
f(X)→Xのほうは冪集合公理と内包公理など、もちろん置換公理でも作れることは分かるのですが、g:Y/f(X)→{a}のほうのa∈Xを非構成的に一つ選ぶってどの公理を使ってるんだ？って分からなくなってしまって。
いわゆる∃除去なのかなと思いました。
他の方もコメントありがとうございます。
190:１３２人目の素数さん
24/04/24 23:31:17.13 Iozj5k0V.net
t∈X ⇒ G = { <y,x> | <x,y>∈F ∨ ∀x <x,y>∉F,x= t }⇒ GF = id_X
191:１３２人目の素数さん
24/04/25 00:29:44.34 pX4XWiTo.net
>>190
t∈Xをどうやって導くか悩みました
∃x(x∈X)→t∈X
とは言えないと思ったので
192:１３２人目の素数さん
24/04/25 00:58:56.70 zlRFLPXQ.net
X≠Φ → ∃t t∈X
+
∃除去
193:１３２人目の素数さん
24/04/26 00:14:36.94 Nnj4aAHS.net
>>183
無限和に結合律が成り立たん例があるんだから自明なわけねーだろ
194:１３２人目の素数さん
24/04/26 04:05:18.00 aZTGk7MC.net
高校数学の理解が十分じゃない状態で
大学レベルの集合の勉強ってできますか？
高校の範囲全部やるのきついです
195:１３２人目の素数さん
24/04/26 04:31:42.93 XLnjWpWo.net
>>193
0 を有限個挿入しても、途中で
s_i = s_{i+1} = … = s_{i+j}
みたいになるだけで、極限が変わらないことは自明です。
196:１３２人目の素数さん
24/04/26 09:15:33.35 rd9MBnK/.net
吐処姦双性器に更新がちょい来てる
197:１３２人目の素数さん
24/04/26 09:43:49.43 2Qt0qUjZ.net
>>194
出来るかどうかで言えば出来る
そもそも日本の高校数学は数学の必要条件ではない、大学の定員数に振り分けるための篩(ふるい)でしかなく、解ける必要はないし有名大学に入る必要もない
まあ、あなたの周りにこんなことを言う人はいないかもしれない
大抵は「こんな簡単な高校数学も出来ないのに」とか言ってきて、あなたは俺よりその周りを信用して諦めるかもしれないな
そういう人の方が圧倒的に多いから、結果として日本の数学者の大半は、高校数学の理解が十分な人しか残らない
198:１３２人目の素数さん
24/04/26 09:51:29.64 2Qt0qUjZ.net
俺自身は数論だけど、やってみて分かったことは、入試の整数問題とか関係ないということ(出来るのが悪いというわけでもない)
やって実際に使わないのが分かったし、海外の学部レベルのノートなんか見てると、組み合わせ(2C1みたいなの)から丁寧に説明してたりする
だから集合でもなんでも同じだろう
惜しむらくは、それを知らない人のほうが圧倒的に多いことだが
199:１３２人目の素数さん
24/04/26 09:57:41.64 Vr+ZVz0N.net
>>194
再学習なら大学の数学からやったほうが効率がいい。ただ、計算練習はやっといた方が理解は早まるかもしれないという程度。
200:１３２人目の素数さん
24/04/26 10:03:02.22 2hUfT5rH.net
別に再学習であってもなくても効率は良い
問題は再学習でない場合、大学数学だけをやると何故か不利な立場に立つことになるということだが
201:１３２人目の素数さん
24/04/26 10:13:40.40 Vr+ZVz0N.net
>>200
理由は？
>不利な立場に立つこと
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