y=x²の異なる3つの接線でできる三角形が正三角形になる条件とは

y=x²の異なる3つの接線でできる三角形が正三角形になる条件とは at MATH

1:１３２人目の素数さん
24/02/03 21:07:32.89 xB/unv/t.net
接点の座標は自由に置いていいですよ
解けますか？俺が考えました

3:１３２人目の素数さん
24/02/04 19:01:14.59 H9dbLVCe.net
(s,s^2) における接線の傾きは 2s である。
g(x) = (x - sqrt(3))/(sqrt(3)x + 1)
とおくと、g(tan(θ)) = tan(θ+4π/3) となることに注意する。
よって、t = g(2s)/2, u = g(g(2t))/2 とそれぞれおくと、
(s,s^2), (t, t^2), (u, u^2) でのそれぞれの接線が順に4π/3 回転で写るために正三角形となる。
ただし、どれかの接線の傾きがy軸と平行になってしまう（ありえない）場合を除外することだけが
必要である。そのような都合の悪い場合は, どれかの接線の傾きが ±1/2 となる場合であり、接点の座標が
その半分の±1/4 である場合である。よって、3接点の x座標を適当に並べ替えたときに s, g(2s)/2, g(g(2s))/2 となって
これらの中に±1/4 が出ない場合である。

4:１３２人目の素数さん
24/02/04 19:04:29.61 H9dbLVCe.net
最後の除外を間違えた。±1/4 ではなく、±1/(2sqrt(3)) が除外されなければならない

5:１３２人目の素数さん
24/02/05 01:49:39.02 /elpsn8I.net
この手の「条件を求めよ」は問題として使えない。
せめて
「３接点の座標をs,t,u, X=s+t+u, Y=st+tu+us, Z=stuとするとき(X,Y,Z)の軌跡を求めよ」
とかにしないとダメ

2から表示