高校の数学で扱う定義を大学の内容で証明している本

高校の数学で扱う定義を大学の内容で証明している本 at MATH

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50:１３２人目の素数さん
24/02/01 17:14:53.63 09UvSJmW.net
被覆とはある集合Mに対してある集合族X=∪(α∈A) MαによってM⊂Xとなる時、XをMの被覆と言う。被覆するということですね。
小さい被覆を細かい被覆、大きい被覆を粗い被覆と言いますね。
X=∪Mα, Y=∪NβがMの被覆の時、
(Mα)∩M、(Nβ)∩M、(Mα)∩(Nβ)もMの被覆になりますね。
被覆というのは被覆する方も被覆される方も集合なので、写像によっていろいろ式が出てきますね

51:１３２人目の素数さん
24/02/01 17:29:12.36 dDzxL5Rn.net
>>50
正直言って開被服で包み込むのには性的興味を覚える

52:１３２人目の素数さん
24/02/01 17:40:45.44 09UvSJmW.net
私は数学で性的に興奮するということはありませんが、被覆かつ分離的かつ任意のMα≠∅の時、直和分割と言いますね。これは良い性質でしようね。

53:１３２人目の素数さん
24/02/02 12:21:15.77 r1zGgm0p.net
大小関係とか包含関係とか。
関係はx￮yまたはx△yのいずれか一方のみが成り立つ。ここで△は￮の否定とします。
ある関係が成り立つまたはある関係が成り立たないのどちらか。
対応→逆対応、写像→逆写像、関係→逆関係とか全部同じなんですね。x∈M、y∈Nの時よりもx∈M、y∈M、x￮y∈Mとすると一挙に話が具体的に見えてきますね。

54:１３２人目の素数さん
24/02/02 13:39:16.55 r1zGgm0p.net
同値関係～
x～x、x～y⇒y～x、x～y∧y～z⇒x～zの3つを反射律、対称律、推移律と言いますね。x～yほx≡y modRとも書きます。
商集合というのがでてきて和集合、差集合、積集合、商集合が揃いましたね。
同値関係にあるxとyを同じものと見做すということですね。
商集合N=M/Rは同値類の集合ですね。同値関係や同値というのはよく出てきます。
代表元と代表系。話がまとまってきましたね。

55:１３２人目の素数さん
24/02/04 01:16:19.77 DfRcG2BH.net
随伴する写像というものを考えます。図式で考えます。同値関係にある元どうしを同一視する。
充満な部分集合とか両立する条件とか難しくなりました。
記号R≻G、G≺R、RはSよりも細かい。SはRよりも粗いと言います。
M/R≺M/SならばSはRと両立する
これで理解します。

56:１３２人目の素数さん
24/02/05 11:42:48.69 6NxeS0G+.net
順序の公理x≤x、x≤y∧y≤z⇒x≤z、x≤y∧y≤x⇒x=y
記号は≤ではありませんが。
この関係を順序関係と言います
順序集合(M, ≤)または台

57:１３２人目の素数さん
24/02/05 12:05:08.03 6NxeS0G+.net
順序関係の例が続きます。
順序関係を定義する、導入するのですね。
Hasseの図式。順序集合。R≺R'。同値関係。擬順序集合、双対的。定義が続きますね。
順序集合同士にも単射、全射、全単射が存在しますね