面白い数学の問題おしえて～な 43問目

面白い数学の問題おしえて～な 43問目 at MATH

412:１３２人目の素数さん
24/04/17 18:58:35.79 aSdsQF24.net
=1が=nの間違いなのかと思ったけどね
「0でない」も謎だしテキトーに出したんかな

413:１３２人目の素数さん
24/04/19 19:57:21.72 SVQ+clD4.net
ab(c+d)+cd(a+b)=1
を満たす0でない整数の組(a,b,c,d)が
無限に存在することを示せ

414:１３２人目の素数さん
24/04/19 23:18:11.62 0gWkPqXI.net
　e_0 = n,
　e_1 = n+1,
　e_2 = n(n+1) + 1,
　e_3 = n(n+1){n(n+1)+1} + 1,
とおくと
　1/e_0 － 1/e_1 － 1/e_2 － 1/e_3 = 1/(e_0･e_1･e_2･e_3),
数学セミナー, vol.50, no.3 (2011/Mar)
　NOTE　　p.67-68

415:１３２人目の素数さん
24/04/20 00:12:03.34 qIDLaiOw.net
>>413
　a > 0,
　b =－a－1,
　c = ab－1,
　d =－abc +1,

416:１３２人目の素数さん
24/04/20 01:38:19.84 2Qt1hX0b.net
これって自演？w

417:１３２人目の素数さん
24/04/20 06:34:03.66 gciKSLUQ.net
前のレスの問題をこう解釈したら自明でしょと返したやつにレスつけたんでしょ

418:１３２人目の素数さん
24/04/21 18:24:24.30 34PQz0TW.net
>>414
　e_k = e_0･e_1 …… e_{k-1} + 1,
とおくと
　1/e_0 － 1/e_1 － …… － 1/e_m = 1/(e_0･e_1……e_m),
e_m のところだけ e_m－2 に変えれば
　1/e_0 － 1/e_1 － …… － 1/(e_m－2) =－1/(e_0･e_1……(e_m－2)),
で符号反転できます。これを使うんですね。

419:１３２人目の素数さん
24/04/25 14:37:50.14 IIPJu16B.net
別スレの問題の発展

n ≧ 2 とする。
平面上に平行線 l//m と l 上の２点 A,B が与えられている。
定規のみを用いて A,B の n-1個ある n 分点を作図する方法を与えてください。

420:１３２人目の素数さん
24/04/25 21:51:48.26 8ZtnUYo3.net
定規って直線引くだけだっけ？定規に長さメモれるんだっけ？

421:１３２人目の素数さん
24/04/25 22:37:58.53 JTmgmSn6.net
>>420
許されるわけないだろ

422:１３２人目の素数さん
24/04/26 00:49:00.00 Z49pjEP3.net
これでいいんかな
2点a,bの中点は以下のように作れる
これは適当に外点pを1つとり半直線apとbpを描く
それらと直線mとの交点をそれぞれa',b'とする
線分ab'とa'bの交点をqとすると半直線pqはab(そしてa'b')を2等分する
この要領でまず直線m側に2^k(>n)等分点を適当に作る
そこから適当にn分区間のn+1点を選び、その両端点をc,dとする
acとbdの交点rとしrを残りの(n-1)個の内点と結べば
それらの(n-1)本の半直線とlの交点はa,bをn等分する

423:１３２人目の素数さん
24/04/26 06:31:50.06 4FSkTY1U.net
素晴らしい👍
正解

424:１３２人目の素数さん
24/05/13 11:40:54.62 MCdwMjrh.net
(0,1)上の正値可測関数fに対して
fかつexp(f)がルベーグ可積分のとき、f*exp(f)はルベーグ可積分か？

425:１３２人目の素数さん
24/05/13 17:03:46.08 Gm42kBSQ.net
f(x) = -1/2log(x)
exp(f(x)) = x^(-1/2)
f'(x)exp(f(x)) = (-1/2)x^(-3/2)

426:１３２人目の素数さん
24/05/13 17:18:38.70 TgSoniHb.net
>>425
f’exp(f)ではなくて
fexp(f)ですね
*は微分ではなく掛け算です
紛れてすみません

427:１３２人目の素数さん
24/05/14 09:13:07.23 tQSh3F9o.net
a(x) ＝ e^{-x}((x＋2)log^2(x＋2))^{-1} / C,

C ＝ ∫[0,∞] e^{-x}((x＋2)log^2(x＋2))^{-1} dx

として a：[0,∞) → (0,∞) を定義する。
g(y)＝∫[0,y] a(x) dx (y≧0) とすれば、
g(0)＝0, g(∞)＝1 であり、g は狭義単調増加である。
g の逆関数を f とすれば、f：(0,1) → (0,∞) であり、

∫[0,1]f(x)dx＜∞, ∫[0,1]e^{f(x)}dx＜∞, ∫[0,1]f(x)e^{f(x)}dx＝∞

となることが分かる。

428:１３２人目の素数さん
24/05/14 13:45:52.41 Mig0Ipj0.net
>>427
素晴らしい
お見事です

429:１３２人目の素数さん
24/05/14 15:00:03.51 9S0/3Gdv.net
〔問題142〕
A+B+C=π のとき
　sin(2A) + sin(2C) － 2 sin(2B)
　= 2 cos(A) cos(B) cos(C) {2 tan(B)－tan(A)－tan(C)},
を示せ。

高校数学の質問スレ_Part435 - 142

430:１３２人目の素数さん
24/05/14 15:35:42.26 9S0/3Gdv.net
〔問題153〕
A+B+C=π のとき
　sin(2A) + 2C tan(A) － 2S = 0,
　ここに　C = cos(A)cos(B)cos(C),　S = sin(A)sin(B)sin(C),
を示せ。

高校数学の質問スレ_Part435 - 153

431:１３２人目の素数さん
24/05/14 15:37:22.58 9S0/3Gdv.net
↑かぶった。
　C ' = cos(A) cos(B) cos(C)
です。

432:１３２人目の素数さん
24/05/15 09:07:32.43 Un9oydXA.net
Cにπ-(A+B)を代入して計算するだけじゃん