面白い数学の問題おしえて～な 43問目

面白い数学の問題おし ..

71:イナ
24/01/09 19:50:01.91 0NEsoApG.net
前 >>70最大値を更新した。
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-√2/｛(2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=√2
2-h=1/2
h=2-1/2
=3/2
2h=3
2h-h^2=3-9/4
=3/4
V=(π/3)(3/4)(3/2)
=3π/8
S=π(3/4)+π√｛(3/4)・3｝
=(3/4)π+(3/2)π
=9π/4
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(3×4)/(8×9)
=1/6
=0.1666……

次ページ

続きを表示

1を表示