全ての素数の積が正整数でない事の証明

全ての素数の積が正整数でない事の証明 at MATH

1:１３２人目の素数さん
23/08/13 23:02:40.01 hUxCdVCu.net
全ての素数の積Nが正整数だと仮定するとN+1はどの素数で割っても1余る正整数となるがこれはN+1を素因数分解できる事に矛盾する
背理法からNは正整数でない
っていう証明が正しくないとか言って噛みつかれてんだけど
これが理解できないのって背理法をちゃんと理解できてないからなのかね

2:１３２人目の素数さん
23/08/14 00:41:27.91 /REIAu8J.net
＞N+1はどの素数で割っても1余る正整数
この時点でN+1は素数であるってことでしょ
＞N+1を素因数分解できる
できません

3:１３２人目の素数さん
23/08/14 01:23:19.24 7uPgNClG.net
>>3
別にN+1が新しい素数になるから矛盾って言ってもいいが

4:１３２人目の素数さん
23/08/14 01:23:38.89 7uPgNClG.net
>>2だったわ

5:１３２人目の素数さん
23/08/14 07:55:31.73 /REIAu8J.net
>>3
そうだな、何を間違えてたんだろう俺は
しかし、
>>1は素数が無数にあることの証明によくでてくるやつ
「全ての素数の積N」を仮定したのが間違い（「素数は有限個しかない」という仮定を既に含んでしまっている）
なのであって、Nが正整数であるかどうかはどうでもいい

6:１３２人目の素数さん
23/12/16 19:04:44.40 Nj6cpf0B.net
＞N+1が新しい素数になるから矛盾
この論理は誤り。
Ｎ＋１が有限個ある「素数」で割り切れないというだけだから。
議論の仮定で、素数は有限個であるとしているのに、
「あたらしい素数」という言い方は仮定を自分自身で否定している
から論法として不備。

7:１３２人目の素数さん
23/12/16 19:08:47.19 Nj6cpf0B.net
それと証明を外れていえば、
Ｎ＋1は有限個あると仮定した素数のどれでも割り切れないだけであって、
新しい素数になるばかりとは限らず、新しい素数の1個以上の積に
なるだけ。たとえば新しい素数P'の2乗とか，
P'_1 P'_2 とか、 P'_1 P'_2 P'_3 などになる可能性もある。

8:１３２人目の素数さん
23/12/17 09:14:10.36 jbrGD74P.net
＞議論の仮定で、素数は有限個であるとしているのに、
＞「あたらしい素数」という言い方は仮定を自分自身で否定している

「素数は有限個しかない」という仮定を採用しているのなら、
その後で「あたらしい素数」が出現した時点で、
当初の仮定を自分自身で否定したことになる。
つまり、「素数は有限個しかない」という仮定は間違っていたことになる。
言い換えれば、背理法が成功したことになる。
従って、最終的な結論は「素数は無限にある」ということになる。

論法として不備があるわけではない。

9:１３２人目の素数さん
23/12/17 09:22:34.88 jbrGD74P.net
・仮定 P を採用する。
・その後で、P に抵触する結論が導かれる。

この場合、

「 P を採用しておきながら自分自身で P を否定しているのだから、
　論法として不備がある」

のではなくて、ただ単に

「冒頭で採用した仮定 P が間違っていた」

ということ。つまり、背理法が成功したということ。
従って、この場合に得られる最終的な結論は
「￢P が成り立つ」ということ。

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