純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

純粋・応用数学・数学 ..

1092:１３２人目の素数さん
23/01/24 20:13:50.25 IuvYdwjm.net
数学者として10代のうちにガロア理論の構成要素である体論や群論の先見的な研究を行った。
ガロアはガロア理論を用い、ニールス・アーベルによる
「五次以上の方程式には一般的な代数的解の公式がない」
という定理（アーベル-ルフィニの定理）の証明を大幅に簡略化し、
また、より一般にどんな場合に与えられた方程式が代数的な解の表示を持つか
についての特徴付けを与えた。
また、数学史上初めてカテゴリー論的操作によって自らの理論の基礎を構築している。

1093:１３２人目の素数さん
23/01/24 20:15:01.20 IuvYdwjm.net
群論は数学の分野において重要であるだけでなく、
数学以外、例えば物理学では相対性理論や量子力学などを
厳密に（形式的に）記述するツールとして用いられる。
また、計算機科学、特に理論計算機科学において
ガロア体、特に位数2のガロア体 F2 は
最も多用される数学的ツールのひとつである。

1094:１３２人目の素数さん
23/01/24 20:16:24.35 IuvYdwjm.net
このように代数学で重要な役割を果たすガロア理論は、現代数学の扉を開くとともに、2
0世紀、21世紀科学のあらゆる分野に絶大な影響を与えている。
しかし、ガロアの業績の真実と重要性、先見性は
当時世界最高の研究機関であったパリ科学アカデミーを初め、
カール・ガウスやオーギュスタン・コーシー、カール・ヤコビ
と言った歴史に名を残した同時代の大数学者達にさえ理解されず、
生前に評価されることはなかった。
群論の基礎概念とも言える集合論がゲオルク・カントールによって提唱され、
ガロア理論へと通じる数学領域が構築されるのでさえ、
ガロアによるガロア理論構築の50年も後のことである。

1095:１３２人目の素数さん
23/01/24 20:17:39.49 IuvYdwjm.net
ガロアの遺書となった友人宛の手紙には、
後の数学者たちにとって永年の研究対象となる理論に対する着想が
「僕にはもう時間がない」 (je n'ai pas le temps) という言葉と共に書き綴られている。
例えば代数的には解けない五次以上の方程式の解を与える、
楕円モジュラー関数による超越的解の公式の存在を予言し、
そのアイデアを記している。
なお、この手法はガロアの死後50年の時を経て
シャルル・エルミートによって確立される。

1096:１３２人目の素数さん
23/01/24 20:19:22.82 IuvYdwjm.net
ガロアについては、群論の内容が難解な事もあり、
一般にはその激動の生涯の方がよく知られている。
その数学的業績は死後40年経ってから注目を集めるようになったが、
一方で生涯や人物像に関しては長年顧みられることがなかった。
ガロアの生涯に関する最初の本格的な研究の成果は、
1896年に発表された高等師範学校（Ecole Normale Superieure）の
歴史学教授ポール・デュピュイの約70ページの論文
「エヴァリスト・ガロアの生涯」（La vie d'Evariste Galois）
であった。
デュピュイはガロアの母方の親戚や、姉の遺族、
および当時まだ存命だったガロアの学友の証言を得た上で、
様々な資料をまとめ上げてこの論文を完成させた。
また、有名なガロアの15歳頃の肖像画も、姉の遺族が所有していたものが
デュピュイによって同時に発表されている。
この論文は、後世における全てのガロアの生涯研究における原典となり、
現代まで影響を与えている。

1097:１３２人目の素数さん
23/01/24 20:22:38.09 IuvYdwjm.net
1832年、遺書の中でGaloisは、
素数 pに対し周期の p等分にともなうモジュラー方程式はp+1次であるが、
p=5,7,11のときには、 1次下げてp次方程式に遺元でき、
p>11のときはこの選元は不能であると述べた。

1098:１３２人目の素数さん
23/01/24 20:24:52.10 IuvYdwjm.net
1846年のJ.Math Pures Applに Galoisの全集が発表されたが
そのすぐ後にHermiteは Jacobiへの手紙の中でこれに触れている
(3つの手紙がJ.reine angevJ.Maｔｈ 40(1850)に公表。日付なしの2番目の末尾)。

1099:１３２人目の素数さん
23/01/24 20:26:30.84 IuvYdwjm.net
Bettiは 1852年にCaldsの結果の注釈と完全化の論文を書き、
翌1853年に論文「楕円関数のモジュラー方程式の次数低下について」を発表し、
上記のGａｌoisの言明を証明した。
(BettiについてはKiernan 181 p.106,Gray lll p.181,182から孫引き)。

1100:１３２人目の素数さん
23/01/24 20:32:06.54 IuvYdwjm.net
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23/01/24 20:34:33.25 IuvYdwjm.net
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