高校数学の質問スレ P ..
819:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:21:17.02 J175HYtP.net
>>793
包除原理を適用するだけでは？
>>794
φはEuler関数かな？
φは乗法的関数なので a = p_1^{a_1} * ... * p_k^{a_k} と素因数分解すると,
Σ[d|n] φ(n/d) = Π_{i=1}^{k} (Σ[d|p_i^{a_i}] φ(p_i^{a_i} / d))
が得られる.
Σ[d|p_i^{a_i}] φ(p_i^{a_i} / d) は帰納法的に p_i^{a_i} に等しいことが示せる.
よって, Σ[d|n] φ(n/d) = n である.
820:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:27:20.64 J175HYtP.net
>>795
乗法的関数が証明できるので, φ(p^a) = p^a - p^{a-1} を確認すればok.
>>796
2. と同様の議論をする. n=Π_{i=1}^k p_i^{a_i} と素因数分解でき,
Σ[d|p_1^{a_1}] μ(d) = 0 となるので,
Σ[d|n] μ(d) = Π_{i=1}^k (Σ[d|p_i^{a_i}] μ(d)) = 0.
821:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:33:53.33 J175HYtP.net
>>797
乗法的関数でもこれは成り立たないのでは？
（メビウスの反転公式の式を間違えた？）
822:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:44:36.93 Kob8sbcV.net
>>自作問題を質問と称して出題することは荒らしですか？
>
>もちろん荒らしです。
>何度言われてもやる人がいますが、人間のクズです
823:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:44:52.31 Kob8sbcV.net
>>809
> μ(d)) = 0.
>810 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 20:33:53.33 ID:J175HYtP
824:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:44:57.97 Kob8sbcV.net
>>809
>809 1 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 20:27:20.64 ID:J175HYtP
825:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:45:20.49 Kob8sbcV.net
>>800
>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
あはははは
荒らし行為はやめてください！
826:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:45:27.26 Kob8sbcV.net
あはははは
荒らし行為はやめてください！
827:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:45:40.45 Kob8sbcV.net
>>810
>これは成り立たないのでは？
>（メビウスの反転公式
828:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:46:15.80 Kob8sbcV.net
すなわち既約剰余系の数がφ(n)
ay+bx=k、(a, B)=1
ay+bbx=abより
φ(a)φ(b)=φ(ab)となる。
例えば3y+5x=15のすると
829:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:46:25.48 Kob8sbcV.net
>>817
>すなわち既約剰余系の数がφ(n)
>ay+bx=k、(a, B)=1
>ay+bbx=abより
>φ(a)φ(b)=φ(ab)となる。
>
830:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:46:36.34 Kob8sbcV.net
>>805
>>>何度言われてもやる人がいますが、人間のクズです
>806 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 20:13:36.50 ID:Kob8sbcV
>>>783
>＞あはははは
>>荒らし行為はやめてください！
>>では質問します
>
>荒らしてるのはお前だと何度言えばわかる
>807 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 20:13:45.8
831:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:46:46.82 Kob8sbcV.net
>>812
>
>> μ(d)) = 0.
>>810 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 20:33:53.33 ID:J175HYtP
>813 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 20:44:57.97 ID:Kob8sbcV
>>>809
>>809 1 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 20:27:20.64 ID:J175HYtP
>814 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 20:45:20.49 ID:Kob8sbcV
>>>800
>>あはははは
>>荒らし行為はやめてください！
>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
>815 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 20:45:27.26 ID:Kob8sbcV
>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
832:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:47:09.34 Kob8sbcV.net
>>808
>よって, Σ[d|n] φ(n/d) = n である.
>809 3 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 20:27:20.64 ID:J175HYtP
833:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:47:31.17 Kob8sbcV.net
>>804
>>>自作問題を質問と称して出題することは荒らしですか？
>>
>>もちろん荒らしです。
>>何度言われてもやる人がいますが、人間のクズです
834:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:47:40.31 Kob8sbcV.net
>>804
>>>自作問題を質問と称して出題することは荒らしですか？
>>
>>もちろん荒らしです。
>>何度言われてもやる人がいますが、人間のクズです
>>804
>>>自作問題を質問と称して出題することは荒らしですか？
>>
>>もちろん荒らしです。
>>何度言われてもやる人がいますが、人間のクズです
>>804
>>>自作問題を質問と称して出題することは荒らしですか？
>>
>>もちろん荒らしです。
>>何度言われてもやる人がいますが、人間のクズです
835:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:48:17.10 Kob8sbcV.net
前>>220
>>195
17ぐらいの値になりそうな気がするけど、どうしてtanθで置換したのか、どうやって∫dθ/cos^3θが出たかがなぞ。
1/2-t=sinθと置換して-dt=cosθdθ
dt=-cosθdθ
√｛1-(1/2-t)^2｝=cosθ
∫[θ=π/2→π/6]と∫[θ=π/6→0]を積分する。
置換しないtの部分は5π/3だと思う。
836:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:48:25.36 Kob8sbcV.net
17ぐらいの値になりそうな気がするけど、どうしてtanθで置換したのか、どうやって∫dθ/cos^3θが出たかがなぞ。
1/2-t=sinθと置換して-dt=cosθdθ
dt=-cosθdθ
√｛1-(1/2-t)^2｝=cosθ
∫[θ=π/2→π/6]と∫[θ=π/6→0]を積分する。
置換しないtの部分は5π/3だと思う。
837:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:48:32.78 Kob8sbcV.net
>>823
>
>>>>自作問題を質問と称して出題することは荒らしですか？
>>>
>>>もちろん荒らしです。
>>>何度言われてもやる人がいますが、人間のクズです
>>>804
>>>>自作問題を質問と称して出題することは荒らしですか？
>>>
>>>もちろん荒らしです。
>>>何度言われてもやる人がいますが、人間のクズです
>824 名前:あぼーん
838:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:48:53.12 Kob8sbcV.net
>>272
>誰かさんのオナニースレと化してるね、ここ
>
>終わってるわ
839:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:49:12.13 Kob8sbcV.net
>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
あはははは
荒らし行為はやめてください！
>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
あはははは
荒らし行為はやめてください！
840:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:49:24.70 Kob8sbcV.net
>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
あはははは
荒らし行為はやめてください！>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
あはははは
荒
841:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:49:36.95 Kob8sbcV.net
>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
あはははは
荒らし行為はやめてください！>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
あはははは
荒らし行為はやめてください！>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
あはははは
荒らし行為はやめてください！
>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
あはははは
荒らし行為はやめてください！
>あはははは
>荒らし行為はやめてください！
あはははは
荒らし行為はやめてください！
842:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:50:11.95 Kob8sbcV.net
>>自作問題の出題は許されるのでしょうか？
>
>許されません。そんなことをするのはキチガイの所業です。
>自作問題スレは他にあるので、そちらに投稿してください。
793 1 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 19:56:14.28 ID:kMESd9FZ
1
a, b, c, …はどの2個も互いに素であるとする。
843:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:50:24.24 Kob8sbcV.net
>>自作問題の出題は許されるのでしょうか？
>
>許されません。そんなことをするのはキチガイの所業です。
>自作問題スレは他にあるので、そちらに投稿してください。
793 1 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 19:56:14.28 ID:kMESd9FZ
1
a, b, c, …はどの2個も互いに素であるとする。
844:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:50:35.61 Kob8sbcV.net
>>自作問題の出題は許されるのでしょうか？
>
>許されません。そんなことをするのはキチガイの所業です。
>自作問題スレは他にあるので、そちらに投稿してください。
793 1 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 19:56:14.28 ID:kMESd9FZ
1
a, b, c, …はどの2個も互いに素であるとする。>>自作問題の出題は許されるのでしょうか？
>
>許されません。そんなことをするのはキチガイの所業です。
>自作問題スレは他にあるので、そちらに投稿してください。
793 1 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/25(日) 19:56:14.28 ID:kMESd9FZ
1
a, b, c, …はどの2個も互いに素であるとする。
845:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:51:14.92 Kob8sbcV.net
>>810
x=a1+m1tとおける
a1+m1t≡a2 modm2
m1t≡a2-a1 modm2
(m1, m2)=Gとすると
π^2√3-2∫[t=0→1/2]π｛√1-(1/2-t)^2-√3/2｝^2｝dt
1/2-t=cosθとおくと、
-dt=-sinθdθ
dt=sinθdθ
π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθsinθdθ
=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθ^2dθ
=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2](1/2-cos2θ/2)dθ
=π^2√3-2π[θ=π/3→π/2][θ/2]-2π[θ=π/3→π/2][sin2θ/4]
=π^2√3-π^2/6-π√3/4
=14.0893726833……
846:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:51:26.81 Kob8sbcV.net
>>811
x=a1+m1tとおける
a1+m1t≡a2 modm2
m1t≡a2-a1 modm2
(m1, m2)=Gとすると
π^2√3-2∫[t=0→1/2]π｛√1-(1/2-t)^2-√3/2｝^2｝dt
1/2-t=cosθとおくと、
-dt=-sinθdθ
dt=sinθdθ
π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθsinθdθ
=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθ^2dθ
=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2](1/2-cos2θ/2)dθ
=π^2√3-2π[θ=π/3→π/2][θ/2]-2π[θ=π/3→π/2][sin2θ/4]
=π^2√3-π^2/6-π√3/4
=14.0893726833……
847:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:51:47.66 Kob8sbcV.net
m1t≡a2-a1 modm2
(m1, m2)=Gとすると
π^2√3-2∫[t=0→1/2]π｛√1-(1/2-t)^2-√3/2｝^2｝dt
1/2-t=cosθとおくと、
-dt=-sinθdθ
dt=sinθdθ
π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθsinθdθ
=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθ^2dθ
=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2](1/2-cos2θ/2)dθ
=π^2√3-2π[θ=π/3→π/2][θ/2]-2π[θ=π/3→π/2][sin2θ/4]
=π^2√3-π^2/6-π√3/4
=14.0893726833……
848:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:51:57.24 Kob8sbcV.net
>m1t≡a2-a1 modm2
>(m1, m2)=Gとすると
>π^2√3-2∫[t=0→1/2]π｛√1-(1/2-t)^2-√3/2｝^2｝dt
>1/2-t=cosθとおくと、
>-dt=-sinθdθ
>dt=sinθdθ
>π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθsinθdθ
>=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθ^2dθ
>=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2](1/2-cos2θ/2)dθ
>=π^2√3-2π[θ=π/3→π/2][θ/2]-2π[θ=π/3→π/2][sin2θ/4]
>=π^2√3-π^2/6-π√3/4
>=14.0893726833……
849:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:52:04.04 Kob8sbcV.net
>>837
>>m1t≡a2-a1 modm2
>>(m1, m2)=Gとすると
>>π^2√3-2∫[t=0→1/2]π｛√1-(1/2-t)^2-√3/2｝^2｝dt
>>1/2-t=cosθとおくと、
>>-dt=-sinθdθ
>>dt=sinθdθ
>>π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθsinθdθ
>>=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθ^2dθ
>>=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2](1/2-cos2θ/2)dθ
>>=π^2√3-2π[θ=π/3→π/2][θ/2]-2π[θ=π/3→π/2][sin2θ/4]
>>=π^2√3-π^2/6-π√3/4
>>=14.0893726833……
850:１３２人目の素数さん
22/09/25 20:52:24.28 Kob8sbcV.net
>>837
>>m1t≡a2-a1 modm2
>>(m1, m2)=Gとすると
>>π^2√3-2∫[t=0→1/2]π｛√1-(1/2-t)^2-√3/2｝^2｝dt
>>1/2-t=cosθとおくと、
>>-dt=-sinθdθ
>>dt=sinθdθ
>>π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθsinθdθ
>>=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2]sinθ^2dθ
>>=π^2√3-2π∫[θ=π/3→π/2](1/2-cos2θ/2)dθ
>>=π
851:１３２人目の素数さん
22/09/26 01:51:17.06 d28flYvP.net
哀れすぎる
連投荒らししか能がないとは
852:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
出題君のことならその通り
かててくわえて、自問自答とか哀れすぎ
853:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
1問質問失礼します
複素数平面上の5点O(0),A(1),B(α),C(α^2),D(1/α)について、以下の問いに答えよ。
（1）O,A,B,C,Dがすべて異なる点となるようなαの条件を求めよ。
以下、αは（1）の条件をみたすとする。
（2）3点O,A,Bを通る円が点Cも通るようなαの値をすべて求めよ。
（3）O,A,B,C,Dをすべて通る円が存在するようにαをとることはできるか。
854:１３２人目の素数さん
22/09/26 13:30:15.88 FQne3KRF.net
>>842
α≠0,1であることが必要…①
このとき、α^2≠0,1
さらにα=α^2⇔α=0,1より、
α≠0,1のときα≠α^2も成り立つ…②
またα≠0,1のとき1/α≠0,1も成り立ち、このとき1/α=α⇔α^2=1だから
α≠0,1のとき1/α≠αも成り立つ…③
また1/α≠α^2⇔α≠1,ω,ω^2…④
①～③より求める条件は
α≠0,1,ω,ω^2…（答）
855:イナ
22/09/26 15:19:03.31 yw3rhSzQ.net
前>>736
>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
(i)(ii)より、
体積=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝=2π
d=cosα,sinα=√(1-d^2)
dの2次方程式を解けばなにかわかるかも。
856:１３２人目の素数さん
22/09/26 16:12:11.31 qtYTCS1L.net
>>844
出題君が真摯にレスをつけてくれるといいねｗ
857:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:38:32.15 d28flYvP.net
>>842
（2）以降が予想以上に大変です
座標平面に置き換えましたが計算地獄でした
どなたか図形的考察や（高校レベルの）複素数特有の計算を用いて、高校生でも無理なく解ける解法をお示しください
よろしくお願いいたします
858:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:41:56.80 qtYTCS1L.net
>>846
イナさんの解答にレスしてやれよ
おまえ、それでも人間か？
859:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:43:02.01 qtYTCS1L.net
841 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/26(月) 08:58:24.19 ID:qtYTCS1L
出題君のことならその通り
かててくわえて、自問自答とか哀れすぎ
860:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:43:48.59 qtYTCS1L.net
>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2
861:dcos^2θ+cos^3θ)dθ =2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝ =2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝ =2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝ =2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝ =-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝ (i)(ii)より、 体積=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝=2π d=cosα,sinα=√(1-d^2) dの2次方程式を解けばなにかわかるかも。
862:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:44:01.20 qtYTCS1L.net
名前:イナ ◆/7jUdUKiSM Mail:sage 投稿日:2022/09/26(月) 15:19:03.31 ID:yw3rhSzQ
前>>736
>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
(i)(ii)より、
体積=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝=2π
d=cosα,sinα=√(1-d^2)
dの2次方程式を解けばなにかわかるかも。
863:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:44:18.89 qtYTCS1L.net
>>844
出題君が真摯にレスをつけてくれるといいねｗ
864:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:44:29.09 qtYTCS1L.net
>>844
出題君が真摯にレスをつけてくれるといいねｗ
865:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:44:53.78 qtYTCS1L.net
841 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/26(月) 08:58:24.19 ID:qtYTCS1L
出題君のことならその通り
かててくわえて、自問自答とか哀れす
866:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:45:10.39 qtYTCS1L.net
>>847
>>>846
>イナさんの解答にレスしてやれよ
>おまえ、それでも人間か？
867:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:45:37.92 qtYTCS1L.net
852 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/26(月) 19:44:29.09 ID:qtYTCS1L
>>844
出題君が真摯にレスをつけてくれるといいねｗ
853 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/26(月) 19:44:53.78 ID:qtYTCS1L
841 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/26(月) 08:58:24.19 ID:qtYTCS1L
出題君のことならその通り
かててくわえて、自問自答とか哀れす
868:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:45:58.23 qtYTCS1L.net
>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
869:１３２人目の素数さん
22/09/26 19:46:04.81 qtYTCS1L.net
>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
870:１３２人目の素数さん
22/09/26 22:35:41.48 d28flYvP.net
n≧1とする。
n+1個の整数
2^0,2^1,...,2^n
から無作為に異なる2つの整数を選んで足し合わせてできる整数を、3で割ったときの余りが1となる確率p_nをnで表せ。
871:１３２人目の素数さん
22/09/26 22:52:11.41 qtYTCS1L.net
(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
872:１３２人目の素数さん
22/09/26 22:52:24.67 qtYTCS1L.net
>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
873:１３２人目の素数さん
22/09/26 22:55:40.01 8cD5Fi3E.net
出題者からなんのレスもないのに、一生懸命解答しようとする
イナさんには敬服します。
おしむらくは、解答が短すぎること。
もっと長い解答でレスを要求しつづけましょう。
874:１３２人目の素数さん
22/09/26 22:57:29.68 8cD5Fi3E.net
>前>>736
>>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
>(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
>例えばLはy=-dでよい。
>(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
>体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
>t=sinθとおくとdt=cosθdθ
>体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
>=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
>=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
>=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
>=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
>=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
>(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
>体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
>t=sinθとおくとdt=cosθdθ
>体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
>=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
>=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
>=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
>=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
>=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
>=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
>(i)(ii)より、
>体積=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝=2π
>d=cosα,sinα=√(1-d^2)
>dの2次方程式を解けばなにかわかるかも。
875:１３２人目の素数さん
22/09/26 22:58:00.23 8cD5Fi3E.net
>>849
>>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
>(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
>例えばLはy=-dでよい。
>(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
>体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
>t=sinθとおくとdt=cosθdθ
>体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
>=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
>=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
>=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
>=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
>=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
>(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
>体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
>t=sinθとおくとdt=cosθdθ
>体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
>=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
>=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
>=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
>=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
>=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
>=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
>(i)(ii)より、
>体積=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝=2π
>d=cosα,sinα=√(1-d^2)
>dの2次方程式を解けばなにかわかるかも。
876:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
>>793
ａ, b, ｃ, …, ｋまでは成り立つと仮定して
llx/l]個を新たに取り除く。
しかしその中のal, bl, …の倍数は既に除かれているので加える
abl、acl, …の倍数は除く
…というのとをやっていくと
lのときも正しいことが分かる。
x=nとすると
n(1-1/a)(1-1/b)…=φ(n)となる。
877:１３２人目の素数さん
22/09/27 00:20:14.02 wbHUtqvc.net
>>794
約数をd₁, d₂, …, dₙとすると
φ(n/d₁)+…+φ(n/dₙ)
φ(n/d₁)はd₁の倍数のうち他の約数とは互いに素なものの個数を表す。よってこの和はnになる。
n=15とすると
d₁=1、d₂=3, d₃=5、d₄=15で
φ(1)+φ(3)+φ(5)+φ(15)
=1+2+4+8=15=n
15
5 10
3 6 9 12
1 2 4 7 8 11 13 14
878:１３２人目の素数さん
22/09/27 00:33:06.55 wbHUtqvc.net
>>796
Σμ(d)=1-k+(k//2+ …(-1)ᵏ
=Σ[i=0, k](k//i)(-1)^i
=(1-1)ᵏ=0
平方因子を含めば当然になる。
879:１３２人目の素数さん
22/09/27 01:20:42.55 wbHUtqvc.net
>>797
Σμ(n/d)G(d)
においてG(d)=Σ[δ/d]F(δ)とおくと
Σμ(n/d)F(δ)=F(n)=Σμ(n/d)G(d)
(>>796を使った)
880:１３２人目の素数さん
22/09/27 01:29:08.88 wbHUtqvc.net
>>795
F(n)=φ(n)の時, G(n)=nだから
φ(n)=Σμ(d)(n/d)
=n-n(1/p+1+q+…)-(1/pq…)…
=n(1-1/p)…となる。
881:１３２人目の素数さん
22/09/27 02:06:46.18 wbHUtqvc.net
1の原始n乗根は何個あるか
882:１３２人目の素数さん
22/09/27 02:06:52.58 bRD/OLHR.net
𝟙*φ = 𝟙*φᵉᵁᴸ
→μ*(𝟙*φ) = μ*(𝟙*φᵉᵁᴸ)
→(μ*𝟙)*φ = (μ*𝟙)*φᵉᵁᴸ
→φ = φᵉᵁᴸ
883:741
22/09/27 07:54:29.79 EFY7TwyJ.net
>>745
お答えくださってどうもありがとう！
884:１３２人目の素数さん
22/09/27 09:20:15.80 CMRjnN5K.net
>>861
>出題者からなんのレスもないのに、一生懸命解答しようとする
>イナさんには敬服します。
>
>おしむらくは、解答が短すぎること。
>もっと長い解答でレスを要求しつづけましょう。
885:１３２人目の素数さん
22/09/27 09:20:47.01 CMRjnN5K.net
>(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
>(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
>例えばLはy=-dでよい。
>(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
>体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
>t=sinθとおくとdt=cosθdθ
>体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
>=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
>=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
>=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
>=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
>=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
>(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
>体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
>t=sinθとおくとdt=cosθdθ
>体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
>=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
886:１３２人目の素数さん
22/09/27 09:21:22.54 CMRjnN5K.net
>出題君のことならその通り
>かててくわえて、自問自答とか哀れすぎ
887:１３２人目の素数さん
22/09/27 09:21:41.61 CMRjnN5K.net
>出題君のことならその通り
>かててくわえて、自問自答とか哀れすぎ
>出題君のことならその通り
>かててくわえて、自問自答とか哀れすぎ
>出題君のことならその通り
>かててくわえて、自問自答とか哀れすぎ
>出題君のことならその通り
>かててくわえて、自問自答とか哀れすぎ
888:１３２人目の素数さん
22/09/27 09:22:05.62 CMRjnN5K.net
>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
(i)(ii)より、
体積=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝=2π
d=cosα,sinα=√(1-d^2)
dの2次方程式を解けばなにかわかるかも。
889:１３２人目の素数さん
22/09/27 09:22:17.31 CMRjnN5K.net
レスしてやれよ！ｗ
>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
(i)(ii)より、
体積=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝=2π
d=cosα,sinα=√(1-d^2)
dの2次方程式を解けばなにかわかるかも。
890:１３２人目の素数さん
22/09/27 09:22:45.83 CMRjnN5K.net
せっかっくイナさんが詳しい解答書いてくれてるんだ。
レスしてやれｗ
>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
(i)(ii)より、
体積=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝=2π
d=cosα,sinα=√(1-d^2)
dの2次方程式を解けばなにかわかるかも。
891:１３２人目の素数さん
22/09/27 09:22:55.02 CMRjnN5K.net
>>878
>せっかっくイナさんが詳しい解答書いてくれてるんだ。
>レスしてやれｗ
>
>>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
>(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
>例えばLはy=-dでよい。
>(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
>体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
>t=sinθとおくとdt=cosθdθ
>体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
>=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
>=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
>=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
>=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
>=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
>(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
>体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
>t=sinθとおくとdt=cosθdθ
>体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
>=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
>=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
>=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
>=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
>=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
>=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
>(i)(ii)より、
>体積=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝=2π
>d=cosα,sinα=√(1-d^2)
>dの2次方程式を解けばなにかわかるかも。
892:１３２人目の素数さん
22/09/27 09:23:32.03 CMRjnN5K.net
864 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/26(月) 23:48:10.67 ID:3NZ1an0O
(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
>(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
>例えばLはy=-dでよい。
>(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
>体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
>t=sinθとおくとdt=cosθdθ
>体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
>=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
>=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
>=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
>=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
>=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
>(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
>体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
>t=sinθとおくとdt=cosθdθ
>体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
>=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
>=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
>=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
>=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
>=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
>=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
>(i)(ii)より、
>体積=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝=2π
>d=cosα,sinα=√(1-d^2)
>dの2次方程式を解けばなにかわかるかも。
893:１３２人目の素数さん
22/09/27 09:24:44.05 CMRjnN5K.net
レスしてやれよ。
出しっぱなしかよｗ
>>737(1)回転体の通過領域がちょうど重なるから明らかに最小となる。
(2) 求める距離をd、円Cをx^2+y^2=1とすると、
例えばLはy=-dでよい。
(i)回転体をx=t(-1≦t＜-√(1-d^2),√(1-d^2)＜t≦1)で切った断面は円環で、
体積=2π〔∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d+√(1-t^2)｝^2dt-∫[t=-1→-√(1-d^2)]｛d-√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=-π/2→α](d+cosθ)^2cosθdθ-∫[θ=-π/3→-α](d-cosθ)^2cosθdθ
=4π∫[θ=-π/2→-α]dcos^2θdθ
=4dπ∫[θ=-π/2→-α](1/2+cos2θ/2)dθ
=4dπ[θ=-π/2→-α][θ/2+sin2θ/4]dθ
=4dπ(-α/2+π/4+sin2α/4)
=-2dαπ+dπ^2+dπsin2α
(ii)回転体をx=t(-√(1-d^2)≦t≦√(1-d^2))で切った断面は円で、
体積=2π∫[t=-√(1-d^2)→0]｛d+√(1-t^2)｝^2dt
t=sinθとおくとdt=cosθdθ
体積=2π∫[θ=α→0](d+cosθ)^2cosθdθ
=2π∫[θ=α→0](d^2cosθ+2dcos^2θ+cos^3θ)dθ
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+2d(1/2+cos2θ/2)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛d^2cosθ+d+dcos2θ)+4cosθ/3-cos3θ/3｝
=2π∫[θ=α→0]｛(d^2+4/3)cosθ+d+dcos2θ-cos3θ/3｝
=2π[θ=α→0][｛(d^2+4/3)sinθ+dθ+dsin2θ/2-sin3θ/9｝
=-｛(d^2+4/3)sinα+dα+dsin2α/2-sin3α/9｝
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