高校数学の質問スレ Part420

高校数学の質問スレ P ..

1:１３２人目の素数さん
22/07/26 16:25:29.44 TaY+tQPd.net
【質問者必読！！】
まず >>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
URLﾘﾝｸ(mathmathmath.dotera.net)
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
　（トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
　でないと放置されることがあります。
　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
　それがない場合、放置されることがあります。
　（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレ Part419
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
高校数学の質問スレ Part418
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

2:１３２人目の素数さん
22/07/26 16:32:56.87 h3zNol6/.net
ここには面倒なルールは一切ありません。
自由に投稿しましょう。

3:１３２人目の素数さん
22/07/26 17:44:53.55 q6HKpH8J.net
a+b=cd,c+d=ab
を満たす非負整数(a,b,c,d)をすべて求めよ。

4:イナ
22/07/26 21:51:54.61 LpbnTEFH.net
>>3
1+5=2・3=6
2+3=1・5=5
(a,b,c,d)=(1,2,3,4)

5:イナ
22/07/26 21:53:58.86 LpbnTEFH.net
前 >>4訂正。
>>3
1+5=2・3=6
2+3=1・5=5
(a,b,c,d)=(1,5,2,3)

6:１３２人目の素数さん
22/07/26 22:04:37.54 t1Yj4R66.net
cを|c|≦1をみたす定数とするとき
関数　f(x)=sqrt(4-(x-c)^2) - sqrt(1-x^2)　は0≦x≦1で増加関数といえますか。

7:１３２人目の素数さん
22/07/26 23:30:32.04 wrEeoEmN.net
>>3
対称性からa>=b, c>=d で考える。
(i) b=0のとき
a=cd, c+d=0 で、a,b,c,dは非負の整数だからa=b=c=d=0
(ii) b=1のとき
a+1=cd, c+d=aよりaを消去して
c+d=cd-1
(c-1)(d-1)=2 , c-1>=d-1>=-1でc-1,d-1は整数より
(c-1,d-1)=(2,1)　つまり(c,d)=(3,2)　このときa=5
(iii) b=2のとき
a+2=cd , c+d=2aだから同様にして
(2c-1)(2d-1)=9
よって(c,d)=(5,1),(2,2)
(c,d)=(5,1)のときa=3、(c,d)=(2,2)のときa=2
(iii) b>=3 のとき
まず与えられ２つの式を足すと
a+b+c+d=ab+cd
(a-1)(b-1)+(c-1)(d-1)=2
b>=3より(a-1)(b-1)>=4となる。したがって上の式が成り立つためには(c-1)(d-1)<0でなければならず、c>=dからc>2、d=0が必要である。
d=0のときa+b=0, c=abよりa=b=c=d=0となるから不適。
以上からa<b、c<dの場合も考えると
(a,b,c,d)=(0,0,0,0),(1,5,2,3),(1,5,3,2),(2,3,1,5),(2,3,5,1),(3,2,1,5),(3,2,5,1),(5,1,2,3),(5,1,3,2),(2,2,2,2)

8:１３２人目の素数さん
22/07/27 00:12:25.43 D6bsQnvf.net
>>6
f'(x)={x√(4-(x-c)^2)-(x-c)√(1-x^2)}/{√(1-x^2)√(4-(x-c)^2)}
g(x)=x√(4-(x-c)^2)-(x-c)√(1-x^2)とおく。g(x)=0のとき
x√(4-(x-c)^2)=(x-c)√(1-x^2) 二乗して
4x^2-x^2(x-c)^2=(x-c)^2-x^2(x-c)^2
(2x)^2=(x-c)^2
(x+c)(3x-c)=0
x=-c,c/3
x=-cは常に成り立つが、x=c/3はc=0のと時のみ成り立ち、またこれはx=-cに含まれる。よってx=-cを解として考えればよい。
また、g(x)は連続関数であり、g(0)=c、g(1)=√(4-(1-c)^2)である。
(i) c=-1のとき
g(x)=0 となるのはx=1のみであり、またg(0)=-1である。よって0<x<1でf'(x)<0であるから単調減少である。
(ii) -1<c<0のとき
g(x)=0となるのはx=-c (0<-c<1)のみであり、g(0)<0、g(1)>0である。よって0<x<-cでf'(x)<0、-c<x<1でf'(x)>0から0<x<-cで単調減少、-c<x<1で単調増加である。
(iii) 0<=c<=1のとき
g(x)=0となるのはx=-c (-c<=0)のみであり、g(0)>=0、g(1)>0である。よって0<x<1でf'(x)>0だから単調増加である。

9:１３２人目の素数さん
22/07/27 00:23:02.32 rosh9apA.net
∫_(0→2π) (5 + 4 cos(x)) cos(n x)/(5 - 4 cos(x))dx　（nは自然数）
を計算せよという問題。
Mathematicaという計算機で計算するとおそらく答えは
10π/(3n) なんですが、やり方が全く分からずやきもきしております。
できる方いらっしゃったらよろしくお願いします。

10:１３２人目の素数さん
22/07/27 02:54:21.66 D6bsQnvf.net
10π/3nではない。例えばn=3のとき、答えは5π/6
∫_(0→2π) (5 + 4 cos(x)) cos(n x)/(5 - 4 cos(x))dx
=∫_(0→2π) 8cos(x) cos(n x)/(5 - 4 cos(x))dx
=∫_(0→2π) 10cos(n x)/(5 - 4 cos(x))dx
である。∵∫_(0→2π) cos(n x)dx =0
I_{n}=∫_(0→2π) (5 + 4 cos(x)) cos(n x)/(5 - 4 cos(x))dxとおく。
cos((n+2)x)=2cosx cos((n+1)x)-cosnxより
I{n+2}=∫_(0→2π) (5 + 4 cos(x)) (2cosx cos((n+1)x)-cosnx)/(5 - 4 cos(x))dx
=5/2 I_{n+1}-I_{n}
従って漸化式 I_{n+2}=5/2 I_{n+1}-I{n} が得られる。
特性方程式の解は2と1/2
よってI_{n+2}-1/2 I_{n+1}=2*(I_{n+1}-1/2 I_{n})
I_{1}=10π/3 、I_{2}=5π/3よりI_{n+1}=1/2 I_{n}
解くとI_{n}=10π/3*(1/2)^(n-1)
I_{1}とI_{2}はWolframAlphaを使ったが、t=tan(1/2*x)と置換すると頑張れば求められるかもしれない。

11:１３２人目の素数さん
22/07/27 03:37:03.08 otW/LIch.net
和積で結合して漸化式立てるだけ
nを整数とする。
I(n)=∫[0,2π]cosnx(5+4cosx)/(5-4cosx)dxとおく。これの一般項を求めたい。
I(n)=-∫[0,2π]cosnxdx+∫[0,2π]10cosnx/(5-4cosx)dx
ここで
J(n)=∫[0,2π]cosnxdx
K(n)=∫[0,2π]10cosnx/(5-4cosx)dxとする。
このときI(n)=-J(n)+K(n)であり、
またK(n+2)+K(n)=J(n+1)+5/2*K(n+1)
n≧0とするとJ(n+1)=0なので2K(n+2)-5K(n+1)+2K(n)=0...(★)となりK(0),K(1)が求まればK(n)の一般項がわかる。J(n)は簡単に求めれるので結局I(n)もわかる。
n<0のときはI(n)=I(-n)でn>0に帰着する。これでI(n)の一般項が求まる。（途中式は略）
ところでｳﾙﾌﾗﾑによると
I(0)=14π/3（K(0)=20π/3）
I(1)=10π/3
I(2)=5π/3
I(3)=5π/6らしい。
この値をつかって(★)を解くとK(n)=20π/3*2^|n|でI(n)も大体この値

12:１３２人目の素数さん
22/07/27 08:48:49.50 NpSK40xq.net
百人の囚人問題
URLﾘﾝｸ(mathlog.info)
ここの説明ではなく、ネットで見かけた
「ループ長が51以上の場合の場合の数は、100!/ループ長になる、なんとなれば、ループの順番をズラシたものが重複してるので、
全部の場合の数を重複度=ループ長で割ればよいから」
という説明がいまいちピンと来ないんだけど、正しいの？

13:１３２人目の素数さん
22/07/27 12:45:52.43 qHRe/weg.net
高校数学で広義単調増加(減少)と狭義単調増加(減少)とを積極的に区別した方がいい場面はありますか？？？？

14:１３２人目の素数さん
22/07/27 18:17:34.51 H4LP5WUI.net
x^2+2x+4=0のとき、x^3の値はただ一通りに定まることを示せ。

15:１３２人目の素数さん
22/07/27 18:40:34.77 D6bsQnvf.net
>>14
x^3=(x-2)*(x^2+2x+4)+8=0+8=8

16:１３２人目の素数さん
22/07/27 20:13:10.86 H4LP5WUI.net
>>15
天才
場合分けしないとは

17:１３２人目の素数さん
22/07/27 20:52:47.53 hP916Bh+.net
どこが天才だよ
x=2ω というのは０．１秒くらいで分かるだろ

18:１３２人目の素数さん
22/07/27 20:52:57.54 hP916Bh+.net
どこが天才だよ
x=2ω というのは０．１秒くらいで分かるだろ

19:１３２人目の素数さん
22/07/28 11:17:34.52 skeMxYWK.net
0<a<1のもとでf(θ)=(1-a^2)/{2π(1+a^2-2a*cosθ)}としたときの、∫(0→2π)f(θ-r)cosθdθをaとrの式で表せ。ただし、∫(-π→π)f(θ)dθ=1、∫(0→2π)g(θ)dθ=∫(c→c+2π)g(θ)dθ ※c:実数、g(θ):周期関数は証明なしに用いてよい。

20:１３２人目の素数さん
22/07/28 13:48:47.85 nxKT4ecd.net
>>19
φ=θ-rとおくと
∫(0→2π)f(θ-r)cosθdθ
=∫(-r→2π-r)f(φ)cos(φ+r)dφ　周期関数だから
=∫(0→2π)f(φ)cos(φ+r)dφ
=∫(0→2π)f(φ)(cosφcosr-sinφsinr)dφ
=∫(0→2π)cosr (1-a^2)/(2π) {-1/(2a)+(1/(2a)*(1+a^2)/(1+a^2-2a*cosφ))}dφ -∫(0→2π)sinr (1-a^2)/(2π)*sinφ/(1+a^2-2a*cosφ)dφ 題意より
=-cosr (1-a^2)/(2a)+cosr (1+a^2)/(2a)-(1-a^2)/(2π)*1/(2a)[log(1+a^2-2acosφ)](0,2π)
=acosr

21:１３２人目の素数さん
22/07/28 15:03:24.17 ymt2iG2f.net
a^2+b^2=c^2とする。
a^2+b^2とb^2+c^2をともに整数とするような正整数の組(a,b,c)は存在するか。

22:１３２人目の素数さん
22/07/28 15:54:55.15 ymt2iG2f.net
【訂正】
a^2+b^2=c^2とする。
a^2+b^2とb^2+c^2がともに平方数となるような正整数の組(a,b,c)は存在するか。

23:１３２人目の素数さん
22/07/28 19:48:13.80 bVX4iAWN.net
作問爺ウザイ

24:１３２人目の素数さん
22/07/28 19:59:59.08 USwtDsXb.net
ああもうだめだ
半径1の3次元球に外接する正二十面体の一辺の長ささえ計算できない
もう死んだ方がいいのかもしれない

25:１３２人目の素数さん
22/07/28 22:28:34 bVX4iAWN.net
70歳くらいまでは生きてていいよ。

26:１３２人目の素数さん
22/07/28 23:21:42.77 cJDKreRP.net
一松先生なら96歳の今でもそれくらいの計算は
できるのではないか

27:１３２人目の素数さん
22/07/29 00:42:55.40 BcbBpeIB.net
正二十面体を1つの平面で切断したとき、切り口が凸n角形になった。
このときnの最小値は（　ア　）であり、最大値は（　イ　）である。

28:１３２人目の素数さん
22/07/29 09:48:39.59 0p5kcEW2.net
>>27
(ア) 5かな
(イ) 北極と南極に頂点をおくと球の中心を通る赤道面には10個の
正三角形がある
接点はそれらの正三角形の重心を通るから隣り合う正三角形の重心を球の中心から見た角度は360°/10=36°のような気がするが
ここですでに間違えているような気がする

29:１３２人目の素数さん
22/07/29 10:09:30.04 jXoV6pV9.net
「とおくと」って言葉遣いが嫌い。
「とすると」でいいじゃん。
なんでジャーゴンを使おうとするの？

30:１３２人目の素数さん
22/07/29 10:26:46.06 zD/wyKvU.net
ドゥやセット辺りとサポーズやアシューム辺り区別をするため、かもしれない

31:１３２人目の素数さん
22/07/29 10:29:17.48 0p5kcEW2.net
ごめんなさい
いや、球と正二十面体を手で持って置いたつもりでした
ジャーゴンとは知りませんでした
すみません、ごめんなさい、誤ります、許してください

32:１３２人目の素数さん
22/07/29 10:37:24.13 eceE9b8e.net
>>29,31
>「とおくと」
なんてどこにも書いてないし。
配置のことだとわかるでしょ。謝る必要なんかないよ。

33:イナ
22/07/29 11:25:57.93 NeOwVvsM.net
前 >>5
(ア)5
(イ)10

34:１３２人目の素数さん
22/07/29 16:19:53.37 5kcSVpAY.net
以下の条件をすべて満たす関数f(x)の例を一つあげよ。
・すべての非負実数xに対してf(x)は微分可能
・I[t] = ∫[0,t] f(x) dxとおくと、I[t]はすべての非負実数tについて連続であるが、少なくとも１つのtについてI[t]は微分可能でない

35:１３２人目の素数さん
22/07/29 16:28:13.44 9dPqc1XX.net
>>32
ごめんなさい

36:１３２人目の素数さん
22/07/29 16:36:51.74 9dPqc1XX.net
>>32
人道上問題あるよね

37:１３２人目の素数さん
22/07/29 17:26:53.36 0p5kcEW2.net
赤道面には10個の正三角形があるけど
それらの正三角形の重心は赤道面にはないんだな
誤りました
さてどうするか

38:１３２人目の素数さん
22/07/30 12:31:28.10 KP8Nx/Oz.net
α^n=1の解が、複素数平面上で 1 を頂点の1つとする正n角形の頂点を表すことは自明として入試で用いてもいいですか？

39:１３２人目の素数さん
22/07/30 12:39:11.65 boDXlUQ+.net
>>38
問題によるのでは？

40:１３２人目の素数さん
22/07/30 19:12:37.79 PeWRRQzf.net
>>39
問題によれば自明として扱って良いととっていいでしょうか？

41:１３２人目の素数さん
22/07/30 19:53:51.98 0rlnPw9R.net
|2222^2022-2022^2222|は222桁以上の整数であることを示せ。

42:１３２人目の素数さん
22/07/30 20:24:39.83 RuAMSpof.net
2222^2222進数表示で222桁

43:１３２人目の素数さん
22/07/30 20:46:45.38 91nUc23I.net
>>40
それは一般論。
「たとえばこんな問題の場合はどうか」
と尋ねるのが筋だろう。

44:１３２人目の素数さん
22/07/30 20:51:30.24 0rlnPw9R.net
>>42
嘘を付くな

45:１３２人目の素数さん
22/07/31 01:13:35.93 mtWd/Edb.net
>>38
小設問の一番目が
『α^n=1の解は、複素数平面上で 1 を頂点の1つとする正n角形の頂点を表す。ただし、「ド・モアブルの定理」を証明無しに使ってはいけない。』
として、その証明を書いてみな。

46:１３２人目の素数さん
22/07/31 02:50:31.88 5sm9kcU6.net
3次式の因数分解の一意性を証明したいのですがどのようにしたら良いでしょうか。

47:１３２人目の素数さん
22/07/31 03:00:50.44 wVDWTwEO.net
>>11
お返事遅れました。解答ありがとうございます。
mathematicaで計算した部分も予想を読み間違えていました。
混乱させてしまっていたらすみません。
すっきりしました。ありがとうございます。

48:１３２人目の素数さん
22/07/31 08:48:32.05 X5ediXOV.net
>>46
問題を正確に述べていただければ丁寧にお答えできると思います。

49:１３２人目の素数さん
22/08/01 03:20:58.97 rPFvkHJS.net
何を示したら分解の一意性が証明できたことになるのか

50:１３２人目の素数さん
22/08/01 07:18:42 i7tVKWfH.net
>>46が満足しさえすればおｋ
正しさとか厳密さとか、最初から本気でどーでもいいのは明らか

51:１３２人目の素数さん
22/08/01 09:12:02.49 0c3xP5Im.net
そういうのを海老で鯛を釣るという

52:１３２人目の素数さん
22/08/02 06:46:36.33 pxPi1RgE.net
冷蔵庫を買うのですが、冷蔵庫入れ場に低い段差がつくられているので斜めにしていれることになります
仮に奥行き80cmの冷蔵庫を入れるとして、段差を乗り越えるために仰角30度は必要と仮定
冷蔵庫の上面または下面には二等辺三角形が発生するので、その高さを計算したところ46cmになりました
冷蔵庫入れ場の高さ－46cm＝冷蔵庫本体の最大高さ　ということであってますか？

53:１３２人目の素数さん
22/08/02 09:22:57.63 Mz/Zv+mt.net
f(x)=2x^3-(9k)x^2+(12k^2)x-5 がx>1においてつねに正になるような
定数kの範囲を求めよ。
偏差値55くらいの高校生にもわｋるように教えてください。。

54:１３２人目の素数さん
22/08/02 09:32:00.05 XdN9uWcE.net
偏差値55くらいの高校生なら増減表の書き方は
理解しているだろうから
それでやってみたらというしかない

55:１３２人目の素数さん
22/08/02 10:38:56.27 mmfgniPn.net
>>52
どういう計算してるの？
仰角30度なら、奥行き80cmの端の高さは40cmでしょ？
その時、冷蔵庫の角は冷蔵庫の高さ＋40cmよりも低くなるよ。
冷蔵庫の高さをhとすると、もうひとつの傾いた角の高さは
hcos30°=(√3/2)h と低くなってるので、それ＋40cmになる。
つまり、(√3/2)h+40 < 置き場の高さ　であれば入る。
ちなみに、底面の奥行きをx、段差をzとすると、奥行きの半分
のところに段差が来たときが最大の傾きになるので、その時の
傾きをθとすると、(x/2)sinα=z ⇒ sinα=2z/x
このときの角の高さは
hcosα+xsinα = h√{1-(2z/x)^2} + 2z で求まる。
ただし、気をつけないといけないのは、段差から奥の壁までの
距離がぴったりxだと入らない。奥に押し込んで段差を過ぎる
直前で角の奥行きはもっと長いのだから。このときの傾きを
βとすると、xsinβ=z となるが、奥行きはhsinβ =hz/x
となり、段差の高さよりh/x倍だけ余分に必要となる。

56:１３２人目の素数さん
22/08/02 10:41:05.49 mmfgniPn.net
×傾きをθとすると
○傾きをαとすると
あと、角は「かく」ではなくて「かど」と読んでね。

57:１３２人目の素数さん
22/08/02 10:48:06.85 mmfgniPn.net
すまん、もひとつ訂正
×奥奥行きはhsinβ =hz/x
　となり、段差の高さよりh/x倍だけ余分に必要となる。
○うしろの角の段差からの奥行きは xcosβ+hsinβ
=x√{1-(z/x)^2 + hz/x　となり、xより余分にとる必要がある。

58:１３２人目の素数さん
22/08/02 12:48:34 7YBqWR9F.net
Oを原点とするxy平面上の円C:x^2+y^2=1と曲線D:y=k/x(x>0)が相異なる2つの共有点P,Qを持つような正の実数kの範囲を求めよ。
また∠POQ=72°となるようなkの値を求めよ。

59:１３２人目の素数さん
22/08/02 13:35:50.22 mmfgniPn.net
>>55
そうそう、半分まで押し込んで、傾きを反転させる際に、
天井につっかえて反転できない可能性があるので、h+z
より天井が高くないといけない場合もあるな。

60:１３２人目の素数さん
22/08/02 13:49:07.51 mmfgniPn.net
ってか、天井がh+zより高くないとだめじゃんｗ

61:イナ
22/08/03 02:18:42.76 0aHV3zO+.net
前 >>33
>>58
0＜k＜1
sin9°cos9°=cos72°/2=sin18°/2=(√5-1)/8

62:１３２人目の素数さん
22/08/03 13:26:36.51 s+a2APsO.net
m^3+1=n^3+10^3
を満たす整数の組(m,n)を1組求めよ。

63:１３２人目の素数さん
22/08/03 13:29:33.33 s+a2APsO.net
I = lim[x→∞] ∫[0,x] (2^t+1)/(3^t+1) dt
とする。
n/3 < I < (n+1)/3を満たす整数nを求めよ。

64:１３２人目の素数さん
22/08/03 15:30:58.23 kHFlGJ7z.net
xy平面に点A(a,b)がある。
曲線C:y=x^3-x上の点P(p,p^3-p)と、AとPを通る直線をlとする。ただしPはAと異なるものとする。
lがCと相異なる3つの共有点を持つとき、pの取りうる値の範囲をa,bで表せ。

65:１３２人目の素数さん
22/08/03 15:45:22.86 kHFlGJ7z.net
放物線C:y=x^2と円D:x^2+(y-1)=r^2について、以下の問いに答えよ。
（1）CとDが相異なる4つの交点を持つようなrの範囲を求めよ。
（2）（1）のとき、以下の条件を満たすrをすべて求めよ。
「CとDの4つの交点から2つを選んでP,Qとし、∠POQ=60°とできる」

66:１３２人目の素数さん
22/08/03 16:07:18.41 2YtuSVY+.net
質問スレで何してるの？

67:１３２人目の素数さん
22/08/03 16:23:52.45 kHFlGJ7z.net
>>66
質問です。
問題を直接掲載することで端的な質問表現を可能にしています。

68:１３２人目の素数さん
22/08/03 16:24:24.67 2YtuSVY+.net
>>67
質問の内容はなんですか？

69:イナ
22/08/03 16:25:07.97 khCxiR+x.net
前 >>61
>>62
m=10,n=1のとき、
m^3+1=n^3+10^3
∴示された。

70:１３２人目の素数さん
22/08/03 16:27:17.41 kHFlGJ7z.net
>>68
62-65のいずれも分かりません。
方針だけでも教えて下さい。

71:１３２人目の素数さん
22/08/03 16:29:49.04 2YtuSVY+.net
>>70
>>1より抜粋
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。

72:１３２人目の素数さん
22/08/03 17:25:26 P3EiDjCt.net
>・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。

これ、10レスごとくらいに提示したほうがいいかもｗ

73:１３２人目の素数さん
22/08/03 20:15:31.35 Inwenvpj.net
>>63
n=7
I=2.6622212...
8/3=2.666666666666...
7/3=2.333333333333...
(2^t+1)/(3^t+1)>=2^t/3^tだから
I>1/log(3/2)=2.46630...　こんな感じで下は簡単に示せる。
上は8/3とIとの差が小さすぎて難しい。
マクローリン展開で0付近を近似し、ある程度大きいところでは(2^t+1)/3^tとすれば証明できるかも。

74:１３２人目の素数さん
22/08/03 21:20:16.50 Inwenvpj.net
>>64
y=sx+tがy=x^3-xと異なる3つの交点を持つための条件はa>-1かつt^2<4/27*(1+s)^3
(a,b),(p,p^3-p)を通るからsとtが求められて、それを代入して解けばいいんじゃないか

75:１３２人目の素数さん
22/08/03 21:56:41.41 y+8Wk9vP.net
n→∞のときの
(1/n)*{(1/2)^1+(2/3)^2+(3/4)^3+……+(n/(n+1))^n}
の極限値の求め方はどうすればいいですか

76:１３２人目の素数さん
22/08/03 22:05:37.43 Inwenvpj.net
>>65
(1)
y=x^2よりyの値が正であればxは2つ存在し、0だと1つ、負だと存在しない。
x^2+(y-1)^2=r^2に代入すると
(y-1/2)^2+3/4-r^2=0
f(y)=左辺は下に凸で軸がy=1/2
よって相違なる4つの交点を持つにはr^2>3/4
また、rが大きくなると0以下のところで交点を持つようになるが、そうすると相違なる4つの交点を持たなくなる。よってr^2<1
以上より√3/4<r<1
(2)
y=x^2上のある点と原点を結んだ直線がx軸に対してなす角度はその点のx座標の絶対値が大きいほど大きくなる。
したがって、∠POQの最小値は4つの交点のうち、y座標が大きい方の2つをP,Qとしたものである。rが大きいほどこの2つの点のy座標は大きくなるから、√3/4<r<1でrを動かすときよりもr=1の時の値の方が小さい。r=1ではy=1となるから、∠POQ=180°-2*45=90°となる。
したがって、∠POQ=60°となることはない。

77:１３２人目の素数さん
22/08/03 22:59:56 msk/W7Qi.net
相手するのがいちゃうからな～

78:１３２人目の素数さん
22/08/04 00:53:41 R5Qgsa7u.net
ほんと、それ

雑談スレがキチガイ同士のやりとりでいっぱいになってるのと似た状況

79:１３２人目の素数さん
22/08/04 10:47:38.71 GxXFfTDh.net
n≧3とする。
n個の整数nC1,nC2,...,nCn-1のすべてを割り切る最大の整数をd[n]とする。
（1）nが偶数のとき、d[n]を求めよ。
（2）d[n]としてありうる値をすべて求めよ。

80:１３２人目の素数さん
22/08/04 10:50:45.21 GxXFfTDh.net
方程式cos(3x)=cos(2x)の各実数解yに対して、それぞれcos(y)の値を求めよ。

81:１３２人目の素数さん
22/08/04 11:01:49.37 7PK7qzAm.net
質問スレで何してるの？

82:１３２人目の素数さん
22/08/04 11:07:02.98 GxXFfTDh.net
>>81
質問しております

83:１３２人目の素数さん
22/08/04 11:25:43.38 7PK7qzAm.net
質問の内容はなんですか？

84:１３２人目の素数さん
22/08/04 11:40:01.31 GxXFfTDh.net
>>83
79,80が分かりません。
解答の方向性を示していただきたく、よろしくお願いいたします。

85:１３２人目の素数さん
22/08/04 11:48:57.17 b6S7yPvm.net
>>84
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。

86:１３２人目の素数さん
22/08/04 11:57:59.67 GxXFfTDh.net
>>85
79はd[n]がnの式かどうか分かりません
80は方程式を展開して整理しようとすると行き詰まってしまいます

87:１３２人目の素数さん
22/08/04 13:05:45.71 ne+dQFZO.net
>>80
cos(3x)=cos(2x)より
3x=2x+2nπ もしくは (3x+2x)=2nπ
よってx=2nπ,(2/5)nπ つまりx=(2/5)nπ nは整数
cos(3x)=cos(2x)から y=cosx とおくと
4y^3-3y=2y^2-1
4y^3-2y^2-3y+1=0
(y-1)(4y^2+2y-1)=0
y=1,-1/4±√5 /4
よってcos(2/5 π)=-1/4＋√5 /4
cos(4/5 π)=-1/4-√5 /4

88:１３２人目の素数さん
22/08/04 13:25:46.93 ne+dQFZO.net
>>79
偶数の時は2009年の東大数学から 1か2
少なくとも素数の時はその素数で全て割れる

89:１３２人目の素数さん
22/08/04 14:29:33.21 FpX4MZvO.net
>>86
なんでそれ最初に書かないんですか？

90:１３２人目の素数さん
22/08/04 15:31:13 GxXFfTDh.net
>>87
これは72°だったんですね
気づきませんでした
ありがとうございました

91:１３２人目の素数さん
22/08/04 15:31:49 GxXFfTDh.net
>>88
東大数学に詳しいんですね
塾の先生ですか？
検索します
ありがとうございました

92:１３２人目の素数さん
22/08/04 15:32:10 GxXFfTDh.net
>>89
ご指摘ありがとうございます
今後の参考にいたします

93:１３２人目の素数さん
22/08/04 15:47:44 R5Qgsa7u.net
>>92
ここには、むやみに自作の問題を出してスレを荒らす輩がいるんだよ。

君がそうなのかそうでないのかはわからんが、そう思われたくなければ、
問題の出典とか、どこで行き詰まったのか具体的に書いたほうがいい。
そうすればレスも早くつく。

94:ボラ
22/08/04 19:15:09.89 JDQ/KH9p.net
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;>>65(1)円の式に放物線の;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;式を代入すると、;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;y+y^2-2y+1-r^2=0;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;D=1-4(1-r^2)＞0;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;∴√3/2＜r＜1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;/￣￣￣ ∩∩∩∩￣￣￣/＼;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;/　　　((-. - -｡-)) 　　/「;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;/　　　っц' υ⌒υ　　/／|;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖￣￣￣￣UUυυ￣￣￣‖　|;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖ 　□　□　□　□　□ 　‖　|;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖_________________‖／|;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ‖　|;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖ 　□　□　□　□　□ 　‖　|;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;／‖_________________‖／／|;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ‖　|;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖　 □　□　□　□ 　□　□ 　‖　|;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;／‖_____________________‖／／|;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣‖　|;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖　 □ 　□ 　□　□ 　□　□ 　□ 　‖彡ミ､;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖_________________________‖川` , `; ;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;‖/U⌒U､;;;;;
;;;;;;;;;∩∩;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;∩∩;;;;;;~U U~;;
;;;;;;;(_ _ )｀⌒つ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;(_ _ )｀⌒つ;;;;;;
;;;;;;;∪;;;;;∪;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;∪;;;;∪;;;;;;;;;;;;;;;;;
前 >>69

95:１３２人目の素数さん
22/08/04 22:46:46.46 bpmNUSHi.net
こんにちは。2141年からタイムスリップしたものです。現代の基準で難しいことは承知ですが、我々の時代では小学生の自由研究レベルなのでぜひ思考してみてください。
(問題)
宇宙誕生から3分間に起きた物理現象を数学で記述せよ。
それをこの実験室で再現して新たな宇宙を創造せよ。

96:１３２人目の素数さん
22/08/04 23:25:08.24 iLXqI+2q.net
関数f(x)とg(x)が、0≦x≦1において、
f'(x)<0, f''(x)<0
g'(x)<0, g''(x)>0
を満たしていてかつ f(0)>g(0), f(1)>g(1) を満たすとき
0≦x≦1においてf(x)>g(x) といえますか。
fは減少上凸、gは減少下凸なので、グラフを考えると明らかなカンジがするですが
証明はどうできるでしょうか。

97:１３２人目の素数さん
22/08/05 00:27:57.85 gtNV3+UT.net
>>96
0<=x<=1で h(x)=f(x)-g(x)とおく。
h’(x)=f’(x)-g’(x)
h”(x)=f”(x)-g”(x)<0 となる。
従ってh(x) は
単調増加
あるxまで単調増加でそこから単調減少
単調減少
の3通りがあり、結局最小値はmin(h(0),h(1))>0
以上から0<=x<=1でf(x)>g(x)が成り立つ。

98:１３２人目の素数さん
22/08/05 03:19:52.31 YO05bSBF.net
a,b,cの3人で競争します。
aが1着になる確率をP(a1)とします。
同様に、xがn着になる確率をP(xn)とします。
P(a1),P(a2),P(a3),P(b1),P(b2),P(b3),P(c1),P(c2),P(c3)が分かっているとします。
P(a1)+P(a2)+P(a3)=1 です。aをb,cに変えても同様です。
P(a1)+P(b1)+P(c1)=1 です。1を2,3に変えても同様です。
このとき、aが1着かつbが2着である確率P(a1 ∩ b2)を求めることは可能でしょうか？
P(a1)とP(b2)は独立事象ではないため P(a1)*P(b2) では求められないし、
条件付き確率P(a1|b2)もP(b2|a1)も問題からは分からないため、
求められない、が解だと思っているのですが合っているでしょうか？

99:１３２人目の素数さん
22/08/05 06:14:00.93 kyNYFvbA.net
その問題での根元事象は1着がx、2着がy、３着がzになる事象。その確率をQ(x,y,z)とすると例えば
P(a1)=Q(a,b,c)+Q(a,c,b)
とかの式が合計9個たてれてP(xn)が与えられてるから連立方程式がキレイに解けるなら各Q(x,y,z)が求められる(=P(xn)の式で書ける)
...とよかったんだけど実際は不定解になって一般にはどのQ(x,y,z)も定まらないからP(a1∩b2)=Q(a,b,c)の値はわからないが答えになると思う

100:１３２人目の素数さん
22/08/05 06:55:49.91 kyNYFvbA.net
>>75
a(n)=(1-1/n)^nとしたときのチェザロ平均だから1/eに収束するんだけどチェザロ平均は高校範囲じゃなさそうなので"チェザロ平均高校範囲"ぐらいで調べてくれ

101:98
22/08/05 08:11:40.03 YO05bSBF.net
>>99
やはり求められませんよね。
前提がたくさん与えられていて、いかにも解けそうで悩んでました。
ありがとうございます。

102:１３２人目の素数さん
22/08/05 11:20:03.50 Nv7hW8jv.net
xy平面上に放物線C:y=x^2と、x軸に平行な軸を持ち頂点がC上にありy^2の項の係数が正の放物線Dがある。
Dの頂点を実数pを用いて(p,p^2)とする。
（1）CとDの共有点の個数としてありうる値をすべて求めよ。
（2）CとDの共有点の個数が3となるようなpの範囲を求めよ。

103:１３２人目の素数さん
22/08/05 12:08:58 Nv7hW8jv.net
>>102
訂正:Dのy^2の項の係数は1です

104:１３２人目の素数さん
22/08/05 14:55:38.29 aVpBkdtC.net
質問スレで何してるの？

105:ボラ
22/08/05 15:54:01.91 ppPIkAkM.net
前 >>94
>>102-103
(1)2,3,4個
(2)p≒-0.8099438

106:ボラ
22/08/05 15:59:43.04 ppPIkAkM.net
前 >>105別解。
>>102-103
(1)2,3,4個
(2)p=-5/4

107:１３２人目の素数さん
22/08/05 16:18:16.35 dBPXJQGo.net
>>102
C: y=x^2
D: x=(y-p^2)^2+p とおける。yを消すと
x^4-2p^2x^2-x+p^4+p=0となる。この方程式の異なる実数解の個数が交点の個数に一致する。
x^4-2p^2x^2-x+p^4+p=0
(x-p)(x^3+px^2-p^2x-p^3-1)=0
x=p, x^3+px^2-p^2x-p^3-1=0
f(x)= x^3+px^2-p^2x-p^3-1とおくと
f(p)=-1≠0
f’(x)=3x^2+2px-p^2=(3x-p)(x+p)
f’(x)=0 でx=p/3, -p 一致するのはp=0
f(-p)=-1
f(p/3)=-32p^3 /27-1
f(p/3)でp=-3/(2*4^(1/3))
以上から
p<-3/(2*4^(1/3)) のとき
交点4
p= -3/(2*4^(1/3)) のとき
交点3
p>-3/(2*4^(1/3)) のとき
交点2

108:１３２人目の素数さん
22/08/05 16:21:18.96 dBPXJQGo.net
>>107
訂正　f(p/3)=0で

109:１３２人目の素数さん
22/08/05 16:56:34.00 n/VrNubg.net
>>100
a(n)=(n/n+1)^nですね間違えてて申し訳ない
それでもチェザロ平均(lim[n→∞]an=αならlim[n→∞]1/n*Σ[1,n]an=α)を使う方針で答えが1/eになるのは変わらないから許してほしい

110:１３２人目の素数さん
22/08/05 17:56:32.19 tVz7TphF.net
>>5
イナさんはTOEICのスコアはいくらですか？

111:１３２人目の素数さん
22/08/05 18:33:03 n/VrNubg.net
>>109
anはa(n)のことで最後の式はlim[n→∞]1/n*Σ[i=1~n]a(i)=αの書き間違いです
いろいろ間違えてて申し訳ない

112:１３２人目の素数さん
22/08/05 21:14:29.09 axpCCjZr.net
辺の長さが１：√３：２の三角形の九点円の中心をとり、それぞれの頂点と結んで三角形を３つに分けたところ、その中の一つが１：√３：２の三角形になっており、元の三角形と相似であることに気づきました
このような現象は他の三角形では起こるのでしょうか？

113:１３２人目の素数さん
22/08/05 22:34:47.60 Nv7hW8jv.net
3辺の長さが3連続する整数である三角形で、その外接円の半径が有理数であるものを考える。
それらの三角形全体からなる集合をSとする。
Sの要素をすべて求めよ。

114:１３２人目の素数さん
22/08/05 23:11:48.28 R942FodX.net
>>112
少なくとも直角三角形に限定すれば、1:√3:2 （頂角30度）の場合に限られることは明らか。

115:１３２人目の素数さん
22/08/06 02:14:16.02 3FeoSJRV.net
ソシャゲでたまにある引く度に商品が消えてく所謂ボックスガチャの話なんだけど
1回目だろうがn回目だろうが当たりの景品引く確率変わらんよね？

116:１３２人目の素数さん
22/08/06 03:28:28.50 wdWbadA8.net
>>113
3つの辺をn-1,n,n+1とおく。
三角形が存在するためには
|(n+1)-(n-1)|<n<(n+1)+(n-1)
2<n<2n よってn>=3
S=abc/(4R) とヘロンの公式から外接円の半径は
R=abc/√((a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b))と表される。今回、これが有理数になるためには分母のルートが外れればよい
分母=n√(3(n^2-4))
よって3(n^2-4)が平方数になればよい。
このとき、n^2-4は3×平方数の形で表される。
また、3([n/√3]-1)^2 < 3(n^2-4) < 3([n/√3]+1)^2
が成り立つ。(ガウス記号の性質から示せる。)
よって、有理数になるためにはn^2-4=3[n/√3]^2を解けばいい。
解は無限個
他の解答
3n^2-4=m^2
(n/2-m/(2√3))(n/2+m/(2√3))=1
解の1つはn=4,m=6
このとき(2-√3)(2+√3)=1
よって、n_{k}±m{k}√3=(2±√3)^kとなるようなnの漸化式を立てる。これは三項間のやつだから解ける。

117:１３２人目の素数さん
22/08/06 10:17:15.42 J+bJReQe.net
>>115
「所謂ボックスガチャ」と聞いて分かる人がここに何人いるやらｗ
俺もよくわからんが、クジをひくたびにハズレくじが減っていくという
ものであれば、クジを引くたびに当選確率は当然上がる。
最後に１枚だけ残れば当選確率は1になるし。

118:１３２人目の素数さん
22/08/06 11:10:41.95 J+bJReQe.net
何回目までにやめれば（賞金ー掛け金）の期待値が最大になるか
なんだろうけど、おそらく1回目でやめるのが最大なんだろうね。
回数を増やせば当選確率は上がるけど、掛け金も増えるからね。
ただ、何回かやったところから期待値計算すると、最後まで続ける
のが期待値が最大、に転じそう。
いずれにせよ、引くたびに次の当選確率が上がるので、ついつい
続けたくなる、という気持ちにつけこんだ悪質なクジといえるかも。

119:１３２人目の素数さん
22/08/06 12:18:13.83 oYziPJVo.net
>>116
教えていただきたいのですが、
n^2-4=3[n/√3]^2
の正整数解が無数にあることの証明はどのようにするのでしょうか？

120:ボラ
22/08/06 12:50:21.61 ij6rGbnT.net
前 >>106ここまではできて別解に挑んだ。
>>102-103
(2)p=-1/｛2(4の三乗根)｝
=-0.94494078742

121:ボラ
22/08/06 12:56:00.73 ij6rGbnT.net
前 >>120
>>110たしか二十何歳のとき初めて行ったボーリングのスコア、98と128。血圧か！

122:１３２人目の素数さん
22/08/06 13:04:00.23 Pfw96qyW.net
2n^2.

123:１３２人目の素数さん
22/08/06 13:08:37 3FeoSJRV.net
>>117
すまね書き方悪かった
景品大量にある中で複数人で引いていってそのまま引いた景品戻さないクジの話

124:１３２人目の素数さん
22/08/06 13:27:51 J+bJReQe.net
>>123
はずれ景品を戻さないんだから、欲しい景品が当たる確率が
そのたびに上がっていくのは同じこと。

125:１３２人目の素数さん
22/08/06 15:28:19.06 09tZmK2t.net
>>121
ボラさんは何年女を抱いてないですか？

126:１３２人目の素数さん
22/08/06 15:59:07.06 espryGFt.net
イナつて魚だったのか

127:ボラ
22/08/06 20:21:44.18 22Q6NqSw.net
前 >>121
>>125
Uncountable.

128:１３２人目の素数さん
22/08/07 09:32:00 VtR18cNt.net
mは1≦m≦99の整数の定数とする。
100次方程式
x^100-x^m+1=0
について、以下の問いに答えよ。

（1）この方程式は実数解を持たないことを示せ。

（2）以下が任意のmに対して成り立つかどうか調べよ。
「この方程式は絶対値が1の複素数解を持つ」

129:１３２人目の素数さん
22/08/07 11:24:09 VtR18cNt.net
m,nを正の整数とする。
2つの2次方程式
x^2+mx+n=0
x^2+mx-n=0
の少なくとも一方は整数でない解を持つことを示せ。

130:１３２人目の素数さん
22/08/07 11:27:15 7z9QqzgW.net
質問スレで何してるの？

131:１３２人目の素数さん
22/08/07 11:49:08 fqn16eXm.net
>>127
ボラさんは風俗とか行かないの？

132:１３２人目の素数さん
22/08/07 12:06:12 VtR18cNt.net
【訂正】
m,nを正の整数とする。
2つの2次方程式
x^2+mx+n=0
x^2+mx-n=0
がともに整数解を持つような(m,n)をすべて求めよ。

133:１３２人目の素数さん
22/08/07 12:06:31 VtR18cNt.net
>>130
質問させていただいております

134:１３２人目の素数さん
22/08/07 12:52:45 iQqo2612.net
>>132
命令するな

135:１３２人目の素数さん
22/08/07 13:01:52 7z9QqzgW.net
>>133
質問の内容はなんですか？
↓に注意してくださいね
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。

136:１３２人目の素数さん
22/08/07 14:34:44.48 t6SDFJ6+.net
これの14-10についてなんですが
模範解答の1≦n^1/nがどこから出てきたのか分かりません
自明なのですか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

137:１３２人目の素数さん
22/08/07 14:51:05.09 iWSxRE3w.net
>>136
f(x)=x^(1/n)が単調増加関数だから自明でいいんじゃない？

138:１３２人目の素数さん
22/08/07 14:53:02.71 t6SDFJ6+.net
>>137
なるほど
ありがとうございます

139:１３２人目の素数さん
22/08/07 17:55:56.84 o8Vwmrbu.net
追い出しの原理って初めてみた

140:１３２人目の素数さん
22/08/07 19:42:59.58 cn7gcVBt.net
>>132
x={-m±√(m^2-4n)}/2
と
x={-m±√(m^2+4n)}/2
がともに整数となる。
このときm^2+4nとm^2-4nはともに平方数で、m^2-4n=k^2とおくとm^2+4n=k^2+8nである。
k^2+8nも平方数となるから、
k^2+8n=(k+a)^2
と書けて（ただしaは1以上の整数）、
8n=a(2k+a)
右辺は8の倍数だからaは偶数である。
i)aが4の倍数4bのとき
n=b(k+2b)
ii)aを4で割った余りが2、a=4c+2のとき
2n=(2c+1)(2c+k+1)
よってkは奇数。
ここまで書けましたが以降が分かりません

141:１３２人目の素数さん
22/08/07 22:31:59.56 zcmy3KIy.net
その因数分解に持っていく方針だとnが一般的過ぎてわかんない気がするので解けないんじゃないかな
（途中まで省略して）
題意のようなm,nが存在するときある整数p,qが存在して
m^2-4n=p^2...(★),m^2+4n=(p+q)^2が成立する
このとき各式を引いて
8n=2pq+q^2
この式より少なくともqは偶数であることがわかりq=2rと書くと
4n=2pr+2r^2
これを(★)に代入して整理すると
m^2=(p+r)^2+r^2
よって(m,p+r,r)はピタゴラス数となりあるmが正であることに気をつけると整数u,vと正整数wをもって(m,p+r,r)=(w(u^2+v^2),2uvw,w(u^2-v^2))
もしくは
(m,p+r,r)=(w(u^2+v^2),w(u^2-v^2),2uvw)
と書けることがわかる
ここでnにこの値を入れるとどちらの場合でも
(m,n)=(w(u^2+v^2) ,w^2(u^2-v^2)uv)と書けることがわかる。nが正だからu,vは(u^2-v^2)uvが正になるようにしか選べないことに注意してこれらが必要条件。
これの十分性は簡単に示されるので結局答えは
(u^2-v^2)uvが正になるような(■)整数u,vと正整数wを用いて((m,n)=(w(u^2+v^2) ,w^2(u^2-v^2)uv))と書けるもの

142:１３２人目の素数さん
22/08/08 02:47:23.92 wjxCCh+p.net
>>128
(1)
(i) |x|>=1のとき
x^100-x^m>=0より、実数解はない。
(ii) -1<=x<1のとき
左辺>1-x^m>0より実数解はない。
以上から実数解を持たない。
(2)いえない。
反例m=3
絶対値が1の複素数はcosθ+isinθとおけるから
(cosθ+isinθ)^100-(cosθ+isinθ)^m+1=0が成り立つθを求めればよい。
(1+cos(100θ)-cos(mθ))+i(sin(100θ)-sin(mθ))=0
よって、1+cos(100θ)-cos(mθ)=0, sin(100θ)-sin(mθ)=0
sin(100θ)-sin(mθ)=0より、cos(100θ)=±cos(mθ)
(i) cos(100θ)=cos(mθ)のとき
1+cos(100θ)-cos(mθ)=0
1=0
よってθは存在しない。
(ii) cos(100θ)=-cos(mθ)のとき
cos(mθ)=1/2
mθ=π/3+2nπ,5π/3+2nπ よって
100θ=100(1+6n)π/(3m), 100(5+6n)π/(3m)
1+6nと5+6nは3で割ると1余るため、3の倍数ではない。
よってm=3のとき
100(1+6n)π/(3m), 100(5+6n)π/(3m)を既約分数で表すと分母はそれぞれ9になり、cos(100θ)が-1/2となることはないから不適。
以上からm=3では絶対値が1の複素数解は存在しない。

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