高校数学の質問スレ Part419

高校数学の質問スレ P ..

2:１３２人目の素数さん
22/05/20 23:00:10.20 OqV7vzMH.net
剰余定理で質問なんですけど、割り算で、余りの次数は商の次数よりも低くなりますか？

3:１３２人目の素数さん
22/05/20 23:02:04.80 oi654H9m.net
ここには面倒なルールは一切ありません。
自由に投稿しましょう。

4:１３２人目の素数さん
22/05/21 04:21:09.49 cSSYrRod.net
>>2
剰余の定理は、高次式を1次式で割った
商×1次式+余(定数)
を示すこと
次数は当然商より低いし、次数0とかなしとかとらえられる

5:１３２人目の素数さん
22/05/21 05:20:49.24 4TsQhaBr.net
URLﾘﾝｸ(cdn-ak.f.st-hatena.com)
θの計算方法がうろ覚えです
この式の場合、実際にθを代入して計算するとどういう途中式になるのでしょうか
たとえばr= 1 ,θ= 90° の場合
θは角度なのに()の中をどう代入するのか
sin90°が1なのは理解できるのですが
S = 1/2 × (90°- 1 )
となってしまうのですか？

6:１３２人目の素数さん
22/05/21 06:14:50 GwdsIp6q.net
>>4
xp(x)を(x－3)(x－2)^2で割った時の商をQ(x)、余りをR(x)とすると、
xp(x)＝(x－3)(x－2)^2Q(x)＋R(x)という式を作るのを目標にするという説明の後に、R(x)の次数<Q(x)の次数と書いてあったんですけど、余りの次数は商の次数よりも小さいとは限らませんよね？

7:１３２人目の素数さん
22/05/21 06:24:05.09 GwdsIp6q.net
>>4
(1)xの整式p(x)をx－3で割った余りは2、(x－2)^2で　割った余りはx＋1である。p(x)を(x－2)^2で割っ　た商をq(x)とするとき、q(x)をx－3で割った余り　を求めよ。
(2)p(x)は(1)と同じ条件を満たすものとする。この　とき、xp(x)を(x－3)(x－2)^2で割った余りを求め　よ。
問題文です

8:１３２人目の素数さん
22/05/21 08:01:50.41 cSSYrRod.net
>>6
紛らわしいな
正式のの計算なら、商の次数が余りの次数より小さいことはあり得るよ
それと剰余の定理は別の話
正式を一次式で割り込んだ時、余は定数になるよね
それで一次式が0になる変数の値の時、元の正式の値は余りの定数になることを、利用しろってこと

9:１３２人目の素数さん
22/05/21 08:29:23.38 z1x7gqQ5.net
>>5
そのHPの角度θの単位は度ではなくラジアン
つまり弧長/半径です
90度=π/2ラジアン

10:１３２人目の素数さん
22/05/21 08:32:55.61 cSSYrRod.net
>>7
答えを知りたいのか、ヒントを知りたいのか？
(1)の結果により
q(x)=r(x)(x-3)-2
と置けることがヒント

11:１３２人目の素数さん
22/05/21 13:24:23.53 PvQneS+V.net
複素数平面上の相異なる2点A(α)、B(β)を通る直線ABに原点から下ろした垂線の足をH(γ)とする。
γ=αβとなるために、α、βが満たすべき必要十分条件を求めよ。

12:１３２人目の素数さん
22/05/21 13:28:54.62 PvQneS+V.net
xについての方程式
x^2+(cost)x+sint=0…(*)
について、以下の問に答えよ。
（1）tが0≦t<2πを動くとき、方程式(*)が実数解を持つようなcostの範囲を求めよ。
（2）tが0≦t<2πを動くとき、方程式(*)の解が存在する複素数平面上の領域を図示せよ。

13:１３２人目の素数さん
22/05/21 13:33:07.82 jtYP0lkU.net
(2)って何の絵を描けばいいの？

14:１３２人目の素数さん
22/05/21 13:33:09.33 PvQneS+V.net
円に内接する六角形ABCDEFにおいて、3本の対角線AD,BE,CFは1点で交わり、かつ四角形BCEFは正方形であるという。
このとき、この六角形は正六角形と言えるか。

15:１３２人目の素数さん
22/05/21 13:34:00.28 PvQneS+V.net
>>13
失礼しました、方程式(*)の解が存在する複素数平面上の領域です。

16:１３２人目の素数さん
22/05/21 13:47:59.61 NL+dCxCj.net
>>3
できました
単調関数の可積分性。fを単調増加とする。Iの任意の分割に対してm=f(x(k-1))、M=f(xk)
0≦S(⊿)-s(⊿)=
Σ[k=1, m](f(xk)-f(x-1))(xk-x(k-1))
≦Σ[k=1, m](f(xk)-f(x-1))d(⊿)
=d(⊿)(f(b)-f(a))→0となるから
リーマンの可積分条件が満たされる。

17:１３２人目の素数さん
22/05/21 13:58:34.93 elf1lior.net
正解です。

18:１３２人目の素数さん
22/05/21 14:20:20.94 NL+dCxCj.net
>>14
できました
連続関数の可積分性。コンバクト集合I上で連続な関数fはI上で一様連続であることは証明済み。
従って任意の正数εに対して正数δが存在して|x-y|<δを満たす全てのx, y∈Iに対して|f(x)-f(y)|<εが成り立つ。
d(⊿)<δとなる任意の分割⊿をとると任意の区間|Ik|<δとなるので、x, y∈Ikの時, |f(x)-f(y)|<εとなる。
0≦Mk-mk=sup|f(x)-f(y)| (x, y∈Ik)<εとなる。
0≦S(⊿)-s(⊿)=Σ[k=1, m](Mk-mk)|Ik|<ε(b-a)→0。
ゆえにS(⊿)=s(⊿) (d(⊿)→0)
リーマンの可積分条件によりfはI上可積分である。

19:１３２人目の素数さん
22/05/21 15:04:50.74 GwdsIp6q.net
>>10
解説にR(x)の次数<Q(x)の次数となることに注意すると書いてあったので、xp(x)の次数が分からないのに、なんでそうなるのかを知りたかったです。

20:１３２人目の素数さん
22/05/21 15:38:18.20 IbYvDcG8.net
たぶん
・読み間違い
・解説を書いた奴が底抜けのバカ
のどっちか

21:１３２人目の素数さん
22/05/21 15:46:07 bk+VeqUG.net
>>19
で理解したのかな
>>4 と　>>8
でりかい

22:１３２人目の素数さん
22/05/21 15:46:21 bk+VeqUG.net
できるはず

23:１３２人目の素数さん
22/05/21 15:48:17 bk+VeqUG.net
ちなみに
xP(x)だと、P(x)より次数は一つ上がるね

24:１３２人目の素数さん
22/05/21 15:57:23 8BMkx4bc.net
質問です
f(x)=x^-1 (0<x)を積分するとF(x)=log(x)が得られるのは納得したのですがグラフから0<x<1の範囲でF(x)は負の値をとっています
F(x)はf(x)とx軸の面積の値ではないのですか？

25:１３２人目の素数さん
22/05/21 16:12:38 GwdsIp6q.net
>>21
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

26:１３２人目の素数さん
22/05/21 16:17:16 GwdsIp6q.net
>>25
解説の画像を載せたので、分かる方いらっしゃいましたら教えてほしいです

27:１３２人目の素数さん
22/05/21 16:36:09.38 PvQneS+V.net
>>12
傑作です
よろしくお願いいたします

28:１３２人目の素数さん
22/05/21 17:07:42.14 Sb4k2IeN.net
>>24
違います
符号付き面積です
x軸より下の部分はマイナス付きの面積が出ます

29:１３２人目の素数さん
22/05/21 17:24:43.11 NL+dCxCj.net
できました
リーマン・ルベーグの定理
I=[a, b]、fはI上可積分の時,
lim[t→∞]∫[a, b]f(x)sintadx、
sintxをcostxに変えても同様。
a=bの時, 自明。
a<bの時, 任意の正数εに対して正数δが存在して、d(⊿)<δとなるIの任意の分割⊿に対して
(1) 0≦S(⊿)-s(⊿)<ε/2となる。
fはI上可積分であるからfは有界である。すなわち正数Mが存在して
0≦|f|<Mとなる。a∈I。
今、(1)を満たす分割⊿を1つ固定する。t>0に対して
|costx|≦1、|sintx|≦1
|∫fsin|≦|Σ∫(f-fk)sin|+|Σ∫fksin|
≦Σ(Mk-mk)(xk-x(k-1))+
(M/t)|costxk-cost(k-1)|
≦(S(⊿)-s(⊿))+2mM/t
t0=4mM/εとおくとt≧t0で
|∫fsin|<ε/2+ε/2=ε
Σn/(n^2+k^2)=
Σ[k=1, n](1/n)(1/(1+(k/n)^2))
f(x)=1/(1+x^2)の区間I=[0, 1]をn等分して得られる分割⊿nに関するリーマン和の1つである。代表点ξk=k/nとした。
fはI上単調減少または連続であるから可積分である。積分を実行して、π/4。

30:１３２人目の素数さん
22/05/21 20:03:01.28 AgFpa+Ir.net
正解です。

31:１３２人目の素数さん
22/05/22 00:11:30.07 0fmBr18t.net
できました
指数関数の直交性。
複素数に対して内積を入れる。
F'=f、(F○φ)'(t)=F'(φ(t))φ'(t)
=f(φ(t))φ'(t)
φ(t)はJ上連続であるからf(φ(t))はI上連続で可積分であり、φ'(t)はI上可積分であるから
∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt
(積分区間は対応して変わる)
変数変換公式、置換積分法の公式
左辺の微分=fg'、
右辺の微分=g'f+gf'-gf'=g'f
部分積分法の公式
f(x)=(1/(x^2+2px+q))
D=0の時, -1/(x+p)
D>0の時, (1/2√(p^2-q))log|(x+p-√)/(x+p+√)|
D<0の時, {1/√(q-p^2)}Arctan((x+p)/√(q-p^2))

32:１３２人目の素数さん
22/05/22 01:12:44.43 0fmBr18t.net
>>27
できました
x^2/(x+1)^2(x-2)
x^2=A(x-2)+B(x+1)(x-2)+C(x+1)^2
A=-1/3, C=4/9, B=5/9
1/3(x+1)+(5/9)log|x+1|+(4/9)log|x-2|
1/(x^3+1)
1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)
A=1/3、B=-1/3、C=2/3
(1/3)log|x+1|-(1/6)log|x^2-x+1|
(1/√3)Arctan((2x-1)√3)

33:１３２人目の素数さん
22/05/22 01:14:27.53 +qXDKhxt.net
>>26
ちょっと解説忘れよう
 >>10 は理解できるか？

34:１３２人目の素数さん
22/05/22 01:20:34.87 +qXDKhxt.net
>>26
で、理解できたら
p(x)をr(x)含んだ式で書いてくれる

35:イナ
22/05/22 01:34:25.05 IUQ/9Pio.net
>>12(1)
D=cos^2t-4sint≧0
-2√sint≦cost≦2√sint
∴-2≦cost≦2
こうかな？

36:１３２人目の素数さん
22/05/22 02:07:52.36 4G8gOEyF.net
そいつは解説の「余りの次数<商の次数」の文言に疑義を呈しているのであって問題自体を教えてくれとは言ってないだろ
言い方は悪いが質問の意図すら理解できないヤツに「理解できるか？」と上から目線で講釈垂れられてるのはさすがに可哀想で見てられない

37:１３２人目の素数さん
22/05/22 04:47:12.91 5dQM5zgU.net
>>36
お前が教えてやれ

38:１３２人目の素数さん
22/05/22 05:15:15.55 5dQM5zgU.net
>>36
俺も質問者と同じ疑義持つよ
だけど解説に対して間違いだと言い切る根拠もない
だとしたら、解説考えるのやめて、別の解き方教えるのが良くない？

39:１３２人目の素数さん
22/05/22 05:21:41.12 2UPenvR9.net
>>38
割る数が3次式なので結局、式を変形して余りを2次式以下にしないといけないことは理解しています。しかし，どうしても余りの次数<商の次数という文言が気になりました。おそらく解決しないようなので、問題の解説自体は大丈夫です。

40:１３２人目の素数さん
22/05/22 05:23:27.88 5dQM5zgU.net
>>36
R(x)はたかだか2次式確定だけど
Q(x)が1次式であること、解く前に否定できる？

41:１３２人目の素数さん
22/05/22 05:24:04.82 2UPenvR9.net
>>39
理系数学入試の核心という定番の問題集なんで、流石に誤植というわけではいと思うんですけどね...

42:１３２人目の素数さん
22/05/22 05:25:39.41 5dQM5zgU.net
>>39
私も正直、疑義持ちます。
でも間違いと言い切る根拠がない。
だとしたら解説無視したらとしか言いようがない。

43:１３２人目の素数さん
22/05/22 05:33:09.13 2UPenvR9.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
いちおう答えも載せておきます。

44:１３２人目の素数さん
22/05/22 05:38:08.43 2UPenvR9.net
xp(x)かQ(x)の次数のどちらかを確定することができる方法があれば、解決できると思います。

45:１３２人目の素数さん
22/05/22 05:41:37.98 5dQM5zgU.net
>>44
どうなんだろね
解決できないんじゃない？
初めからわかるって、問題の意義なさないし
余りがたかだか2次式しか、言えないでしょ
問題が解けてるなら、正直言うことなし

46:１３２人目の素数さん
22/05/22 06:57:27.43 5dQM5zgU.net
>>36
でさ
お前、解説に即した解答してみろよ
可哀想で見てられないんだろ

47:１３２人目の素数さん
22/05/22 07:07:30.57 5dQM5zgU.net
参考書や問題集って、結構誤植や誤りってあるんだよ
でも、正面切って否定できる根拠がなければ、別の解き方教えるのが建設的なんだって
今回の場合、誤植ってレベルでなく誤りっぽいんだけど、それ証明する手間暇考えたら、別の解き方したらにしたほうがいいんじゃないかって、それだけの話さね

48:１３２人目の素数さん
22/05/22 08:21:44.44 5dQM5zgU.net
>>18
リーマンって言葉普通の高校生知らんぞ
それ高校数学の話か？

49:１３２人目の素数さん
22/05/22 09:24:02 SaGpQLT8.net
>>24
まず主題とは関係ない間違いとして、1/x(0<x)の原始関数F(x)は
F(x)=log(x)+C(Cは積分定数)だね

んで端的に説明すると、不定積分と定積分を混同してる
不定積分で出てくるのは、原始関数であり、これ自体は面積では無い

面積S=∫[a→b]f(x)dx=F(b)-F(a)だから

つまり面積の符号は、ある点におけるF(x)の符号じゃなくて、原始関数の増減で判断できる

log(x)は狭義単調増加するからF(b)-F(a)は正となって、1/xのグラフを書いた時に期待できる面積の符号が正であることとも合致する

50:１３２人目の素数さん
22/05/22 09:38:14 5dQM5zgU.net
小学生での四角形上の点の速度なんかの問題は
あれ、数学じゃなく、微積や物理の問題だよね

まだ、物理、数学に分化してないレベルだからしょうがないけど

51:１３２人目の素数さん
22/05/22 10:29:29 6Sjag5sj.net
>>26
できました

その解説は誤りである。
以下の解答により、商の次数が不要であることを示す。

mod (x-2)^2(x-3)で考える。
2つの条件より
p(x)≡-2(x-2)^2+x+1とおける。
∴xp(x)≡-2x(x-2)^2+x^2+x
≡-6(x-2)^2+x^2+x
=-5x^2+25x--24 (答え)

この解答には商が出現しない。
この問題は「p(x)を適当な多項式によって分類する問題(剰余類)の問題」なので商は関係ない。従ってその解説は誤りである。

52:１３２人目の素数さん
22/05/22 11:00:54.46 6Sjag5sj.net
>>24
できました
以下最後まで、x>0、0<a≦bとする。
関数f(x)=1/xは単調減少関数または連続関数なのでx>0の適当なコンパクト集合上で可積分である。
y=1/xとx軸、縦線x=a、x=bで囲まれた部分の面積は∫[a, b]dx/xで表される。→定積分。
この場合、コンパクト集合I=[a, b]というのが前提で、∫[a, b]f=-∫[b, a]fが成り立つ。
ご質問のケースではx>0において
logx=∫[1, x]dt/tから出発して、x>1では正、x<1では負、x=1では0になると考えると良い(不定積分の下端をx=1に固定する)。logxの符号は関数f(x)=1/xをコンパクト集合[1, x]で積分するか[x, 1]で積分するかの違いに相当する。コンパクト集合というのはここでは積分区間(有界閉区間)のこと。

53:１３２人目の素数さん
22/05/22 11:04:14.78 OR576ecB.net
ついやってもうたてへぺろな間違いじゃなくて、ものすごく頭の悪そうな間違いだよね

54:１３２人目の素数さん
22/05/22 11:33:18.09 5dQM5zgU.net
>>36 が何に憤りを覚えてんのか知らんが
可哀想と思うなら自分で教えろって
参考書に従った解答示せよ

55:１３２人目の素数さん
22/05/22 18:36:19 6Sjag5sj.net
できました

tan(x/2)=tとおく
dx=2dt/(1+t^2)、cosx=(1-t^
2)/(1+t^2)で変数変換する。
2(1-a)/(1+a)dt/
(1-a)^2/(1+a)^2 +t^2
2Arctan{(1+a)/(1-a) tan(x/2)}

tanx=tとおく
dx=dt/(1+t^2)で変数変換する。
(dt/b^2)/(a^2/b^2+t^2)
(1/ab)Arctan(btanx/a)

t=√(x-α)/(x-β)とおく
x-β=(α-β)/(-t^2+1)
dx=(α-β)2tdt/(1-t^2)^2で変数変換する
dx/t(x-β)=2dt/(1-t^2)
log|(√x-α+√x-β)/(√x-α-√x-β)|

56:１３２人目の素数さん
22/05/22 20:56:12.23 rbw8Nn8J.net
if関数の意味を教えて下さい
floorとはなんですか？また、どうして数式内に以上、以下があるのでしょうか？

57:１３２人目の素数さん
22/05/22 22:19:30.30 MPZjBhYc.net
m,nともに任意の自然数であるとき、
10^mn+10^n=1≡mod 10^n-1は値を問わず成り立ちますか?

58:１３２人目の素数さん
22/05/23 00:13:58 dNv8OJVf.net
>>56
エクセルの話かな
①if関数の意味を教えて下さい
→ある条件を設定して合致した時としなかった時で処理を変えてくれる関数

②floorとはなんですか？
→入力された値を任意の基準値の倍数に最も近い値へと端数処理してくれる関数

③どうして数式内に以上、以下があるのでしょうか？
→たとえば会計が1万円「以上」の場合10%割引
9999円「以下」の場合5%割引という条件設定して①で処理する
さらに割引後の金額をうん十円を切って端数をうん百円で揃えて提示したい時②の基準値を100に設定し処理すればよい

59:１３２人目の素数さん
22/05/23 00:58:35.29 dFeHLbX/.net
>>57
10^mn+10^n=1≡mod 10^n-1は値を問わず成り立ちますか?
→ 10^mn+10^n≡1 (mod 10^n-1)が成り立つかという質問でいいのかな
m=n=1のとき
10^1+10^1=20
mod 10^1-1=9
∴20≡2 (mod 9)
じゃないかな

60:１３２人目の素数さん
22/05/23 03:11:16 nCHnJNXh.net
sin1°、cos1°の少なくとも一方は無理数であることを証明せよ。

61:１３２人目の素数さん
22/05/23 08:27:19 gX92QYxJ.net
ともに有理数だと仮定するとtan1°が有理数となり
その倍角も有理数となるのでtan64°とtan4°も有理数となり
加法定理よりtan(64°-4°)=√3が有理数となるので矛盾

62:１３２人目の素数さん
22/05/23 09:19:04.54 MCzd2jTR.net
結局倍角公式の他に加法定理も使うなら、最初から使えばいいのに

63:１３２人目の素数さん
22/05/23 09:55:51.59 gX92QYxJ.net
確かに