Inter universal geometry と ABC予想(応援スレ)58

Inter universal geom ..

29:１３２人目の素数さん
21/08/01 19:30:39.91 w67oYbiw.net
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ｽﾚﾘﾝｸ(math板:948番)
”実数係数多項式
f(x)=a0+a1x+・・・anx^n”>>941を言っているの？
過去の議論で、実数係数多項式で議論すれば、十分だとありましたよね
忘れたの？
(引用終り)
下記引用英文の通りだね。ちょっと解説するよ
1．￣p(￣z)は、p(z)の複素共役で、p(z)がn次多項式だとすると、
　q(z)=p(z)*￣p(￣z)は、2n次多項式（ここに、記号￣は、複素共役を表す。）
2．q(z)が実係数であることは、xを実変数として書き換えると、
　複素共役￣q(x)＝￣p(￣x)*p(x)＝p(x)*￣p(￣x)＝q(x)
　つまり、￣q(x)＝q(x) となることから分かる（∵z=￣zならzは実数）
3．で、q(z)が根を持てば、それは p(z) or￣p(￣z)の根
4．q(z)は実係数で、q(z)＝0なら、その複素共役もq(￣z)＝0となる
（つまり、実係数の多項式が真の複素根zを持てば、その複素共役￣zになるというよく知られた事実を再確認した）
5．だから、実係数q(z)が、いま真の複素根αを持てば、z-αで割って、複素係数の式 q(z)/(z-α)が作れて、この式は複素共役根￣αを持つ
6．複素共役 αと￣αは双対だから、はいずれにせよ、実係数q(z)が真の複素数根を持つということと、複素係数のp(z)が真の複素数根を持つということは同値です
7．だから、実係数の多項式のみを考察すれば良いのです
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Fundamental theorem of algebra
Proofs
Some proofs of the theorem only prove that any non-constant polynomial with real coefficients has some complex root. This is enough to establish the theorem in the general case because, given a non-constant polynomial p(z) with complex coefficients, the polynomial
q(z)=p(z)*￣p(￣z)
has only real coefficients and, if z is a zero of q(z), then either z or its conjugate is a root of p(z).

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