微分形式の積分について

微分形式の積分について at MATH

21:１３２人目の素数さん
21/07/18 22:07:29.28 6D9SQd6A.net
>>20
行列式でどう表現するんですか？
n = 1の時点ですでに√出てくるんですけど

22:１３２人目の素数さん
21/07/19 12:57:20.83 m7KRMhxf.net
n = 1 て v_1 だけってことか
ベクトルの絶対値なら√ 使うだろな

23:１３２人目の素数さん
21/08/17 21:20:30.32 b5bFRrOY.net
>>15
なるほど
これを一般化すると
∫_D dω = ∫_∂D ω　（dωの積分は、境界でのωの積分）
になるのか

24:１３２人目の素数さん
21/08/17 21:26:48.67 b5bFRrOY.net
ただこれだと完全形式の積分の意味しかわからない

25:１３２人目の素数さん
21/08/17 21:46:19.67 /CXCunHs.net
いや

26:１３２人目の素数さん
21/08/17 21:48:11.75 /CXCunHs.net
>>24
同じだ同じ
たとえば、
ω = (xdy - ydx)/(x^2 + y^2)
は、原点をわーって含む領域で完全ではないけど、これはθ = arctan(y/x)とおけば、
ω = dθ
と思える
つまり、ωの経路に沿った積分を「原始関数」だとみなせば、完全じゃない微分形式も多価関数の微分だと思える

27:１３２人目の素数さん
21/08/18 01:11:36.61 ovSdr4Ae.net
R → S^1
θ → (x, y) = (cosθ, sinθ)
の変数変換をすると、S^1上ではω = dfとなるfが存在しなかったのが、R上では
∫ dθ = θ1 - θ0
となるわけか

28:１３２人目の素数さん
21/08/18 01:19:09.93 ovSdr4Ae.net
任意のω∈Ω^k(X)に対して、局所微分同相写像
π: E→X
が存在して、π*ωが完全になるか？

29:１３２人目の素数さん
21/08/18 01:31:51.26 ovSdr4Ae.net
まずωが完全ならEとしてX自身と恒等写像を取ればいい

30:１３２人目の素数さん
21/08/18 01:50:20.17 ovSdr4Ae.net
そもそもωに依存しないんじゃないか
局所微分同相写像
π: E → X
でH^i(E) = 0 (i > 0)となるものがあるか？
複素多様体ではどうか？

31:１３２人目の素数さん
21/08/18 08:58:26.66 OHVymn4Z.net
>>28 >>30
普遍被覆空間

32:１３２人目の素数さん
21/08/18 09:01:32.76 rNYD9upW.net
Eにもπにも何の制限もないならE=pt、π=constでいいやん

33:１３２人目の素数さん
21/08/18 09:02:47.34 rNYD9upW.net
あ、局所同相ね
失礼しました

34:１３２人目の素数さん
21/08/18 10:29:08.70 UssAyBZx.net
>>31
微分構造保つ写像をとれる？

35:１３２人目の素数さん
21/08/18 10:33:21.10 Qi7/TRN8.net
被覆なんやから当たり前やん

36:１３２人目の素数さん
21/08/18 10:35:19.95 Qi7/TRN8.net
あ、ただ局所同相は問題ないけどいつでもホモロジーが消えるわけではないな

37:１３２人目の素数さん
21/08/18 11:32:18.06 UssAyBZx.net
そうか
1次は消えるけど、高次は消えるとは限らないか

38:１３２人目の素数さん
21/08/18 21:17:33.14 rKHanyui.net
さらにその被覆をとる

39:１３２人目の素数さん
21/08/27 01:02:33.68 49RKE/Iu.net
ファインマンの経路積分は
ある種の無限次元多様体上で
微分形式を考える必要がある

40:１３２人目の素数さん
21/08/27 10:29:42.87 Z8s+4ycY.net
>>38
普遍被覆でダメなら永遠にダメ

41:１３２人目の素数さん
21/08/27 10:53:51.66 10XorpIj.net
そもそも普遍被覆2回とっても１回目と変わらんからな