微分形式の積分について

微分形式の積分につい ..

15:１３２人目の素数さん
21/07/18 01:05:34.87 dy288WCO.net
dfのI = [a, b]における積分は
∫_[a, b] df = f(b) - f(a)
となる。これは変数変換によらない。
df = A(x)dx
なら、
df/dx = A(x)であり、
∫_[a, b] df = ∫_[a, b] A(x)dx = f(b) - f(a)
である。これが微分積分学の基本定理である。

16:１３２人目の素数さん
21/07/18 01:22:07.61 Z+TalkD/.net
微分形式の変数変換は、重積分の変数変換に（符号の違いを無視して）一致しているので、こっちだけ覚えておけば計算はできる
だからもう、議論を逆にたどって、重積分を微分形式の計算規則だけを元に定義することも可能だと思う（もちろん積分する領域と関数は制限しないといけないが）んだけど、そういう教科書は無いの？

17:１３２人目の素数さん
21/07/18 01:25:07.52 Z+TalkD/.net
一変数のときとの一番大きな違いは、実用的な関数に限っても、不連続点の集合が無限になる（たとえば積分領域全体が2次元で、不連続点の集合は曲線など）ことがあるので、
その辺を議論するためには、結局測度を持ち出す必要が出てくるのか

18:１３２人目の素数さん
21/07/18 01:49:41.94 IFo19y6X.net
R^(n+1)のベクトル

v_1, ..., v_n
が張る超平行2n面体の体積を表す公式ってある？

19:１３２人目の素数さん
21/07/18 15:34:43.59 336wRyBX.net
>>16
fをR^n全体で連続でサポートがコンパクトなものに限れば、
fのサポートは十分大きな[a_1, b_1] × ... × [a_n, b_n]に含まれるから、
∫_R^n f dx = ∫_[a_n, b_n] ... ∫_[a_1, b_1] f(x_1, ..., x_n) dx_1 ... dx_n。
積分順序も交換可能（Fubiniの定理）

20:１３２人目の素数さん
21/07/18 17:48:03.46 yBK4wj3F.net
>>18
行列式

21:１３２人目の素数さん
21/07/18 22:07:29.28 6D9SQd6A.net
>>20
行列式でどう表現するんですか？
n = 1の時点ですでに√出てくるんですけど

22:１３２人目の素数さん
21/07/19 12:57:20.83 m7KRMhxf.net
n = 1 て v_1 だけってことか
ベクトルの絶対値なら√ 使うだろな

23:１３２人目の素数さん
21/08/17 21:20:30.32 b5bFRrOY.net
>>15
なるほど
これを一般化すると
∫_D dω = ∫_∂D ω　（dωの積分は、境界でのωの積分）
になるのか

24:１３２人目の素数さん
21/08/17 21:26:48.67 b5bFRrOY.net
ただこれだと完全形式の積分の意味しかわからない

25:１３２人目の素数さん
21/08/17 21:46:19.67 /CXCunHs.net
いや

26:１３２人目の素数さん
21/08/17 21:48:11.75 /CXCunHs.net
>>24
同じだ同じ
たとえば、
ω = (xdy - ydx)/(x^2 + y^2)
は、原点をわーって含む領域で完全ではないけど、これはθ = arctan(y/x)とおけば、
ω = dθ
と思える
つまり、ωの経路に沿った積分を「原始関数」だとみなせば、完全じゃない微分形式も多価関数の微分だと思える

27:１３２人目の素数さん
21/08/18 01:11:36.61 ovSdr4Ae.net
R → S^1
θ → (x, y) = (cosθ, sinθ)
の変数変換をすると、S^1上ではω = dfとなるfが存在しなかったのが、R上では
∫ dθ = θ1 - θ0
となるわけか

28:１３２人目の素数さん
21/08/18 01:19:09.93 ovSdr4Ae.net
任意のω∈Ω^k(X)に対して、局所微分同相写像
π: E→X
が存在して、π*ωが完全になるか？

29:１３２人目の素数さん
21/08/18 01:31:51.26 ovSdr4Ae.net
まずωが完全ならEとしてX自身と恒等写像を取ればいい

30:１３２人目の素数さん
21/08/18 01:50:20.17 ovSdr4Ae.net
そもそもωに依存しないんじゃないか
局所微分同相写像
π: E → X
でH^i(E) = 0 (i > 0)となるものがあるか？
複素多様体ではどうか？

31:１３２人目の素数さん
21/08/18 08:58:26.66 OHVymn4Z.net
>>28 >>30
普遍被覆空間

32:１３２人目の素数さん
21/08/18 09:01:32.76 rNYD9upW.net
Eにもπにも何の制限もないならE=pt、π=constでいいやん

33:１３２人目の素数さん
21/08/18 09:02:47.34 rNYD9upW.net
あ、局所同相ね
失礼しました

34:１３２人目の素数さん
21/08/18 10:29:08.70 UssAyBZx.net
>>31
微分構造保つ写像をとれる？

35:１３２人目の素数さん
21/08/18 10:33:21.10 Qi7/TRN8.net
被覆なんやから当たり前やん

36:１３２人目の素数さん
21/08/18 10:35:19.95 Qi7/TRN8.net
あ、ただ局所同相は問題ないけどいつでもホモロジーが消えるわけではないな

37:１３２人目の素数さん
21/08/18 11:32:18.06 UssAyBZx.net
そうか
1次は消えるけど、高次は消えるとは限らないか

38:１３２人目の素数さん
21/08/18 21:17:33.14 rKHanyui.net
さらにその被覆をとる

39:１３２人目の素数さん
21/08/27 01:02:33.68 49RKE/Iu.net
ファインマンの経路積分は
ある種の無限次元多様体上で
微分形式を考える必要がある

40:１３２人目の素数さん
21/08/27 10:29:42.87 Z8s+4ycY.net
>>38
普遍被覆でダメなら永遠にダメ

41:１３２人目の素数さん
21/08/27 10:53:51.66 10XorpIj.net
そもそも普遍被覆2回とっても１回目と変わらんからな