分からない問題はここに書いてね 468 at MATH
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218:132人目の素数さん
21/06/26 12:15:07.18 BRN9Xlq7.net
-4 gone

219:132人目の素数さん
21/06/26 13:58:01.63 cmVPiJMz.net
放物線C:y=x^2の焦点をFとする。
(1)C上を点P(p,p^2)が動くとき、FPが最小となるpをすべて求めよ。
(2)放物線D:y=-x^2-4の焦点をF'とする。C上を点Q(q,q^2)が、D上を点R(q+1,-(q+1)^2-4)が動くとき、折れ線FQRF'の長さを最小にするqをすべて求めよ。

220:132人目の素数さん
21/06/26 14:01:35.51 6cNbmOm/.net
n^2+p,(n+1)^2+p,(n+2)^2+p,
がすべて5の倍数になるような正整数の組(n,p)が存在するならば、1組求めよ。

221:132人目の素数さん
21/06/26 18:42:57.04 pkyPhk2y.net
白紙、何もしないが正解

222:132人目の素数さん
21/06/26 19:11:41.54 5jKAap3l.net
ただ5の倍数とわかる部分を=5kとおいていくだけで解決するな

223:132人目の素数さん
21/06/26 21:13:56.92 T78Hh2v6.net
P ⇒ Q を示すのに、
¬Q ⇒ ¬P
を示すことによって示すことがあります。これは背理法と同じですか?

224:132人目の素数さん
21/06/26 22:41:41.92 FOYkOaq1.net
違う
背理法は「 P ∧ ¬Q ⇒ 矛盾」を示す

225:132人目の素数さん
21/06/27 00:10:11.52 FH2u9gr8.net
¬Q ⇒ ¬P が示されたとすると、 P ∧ ¬Q ⇒ P ∧ ¬P = 矛盾となりますし、
P ∧ ¬Q ⇒ 矛盾が示されたとすると、¬Q ⇒ ¬P となるので同じことではないですか?

226:132人目の素数さん
21/06/27 00:48:58.03 movehHSD.net
>>220
 (n^2 + p) - 2{(n+1)^2 + p} + {(n+2)^2 + p} = 2,
が5の倍数…

227:132人目の素数さん
21/06/27 01:27:45.76 AJ+76age.net
>>225
矛盾はどこで生起してもいい。

228:132人目の素数さん
21/06/27 01:57:30.42 StpFy5Wj.net
>>225
証明できればどの方法も同じと思ってんの?
全部「証明する方法」と言う一つの方法なら名付ける必要はないな

229:132人目の素数さん
21/06/27 02:40:20.05 pOvyxu89.net
きついね

230:132人目の素数さん
21/06/27 04:15:29.93 DIGeOu+7.net
放物線C:y=x^2上の-1≦x≦1の部分を点Aが、1≦x≦2の部分を点Bが、それぞれ独立に動く。
線分ABの3等分点をAに近い方からP,Qとする。Pが存在しうる領域をD、Qが存在しうる領域をEとするとき、領域D∩E上の点のx座標の最大値および最小値を求めよ。

231:132人目の素数さん
21/06/27 05:34:36.86 TcPA+MyS.net
放物線C:y=x^2上に点A(-1,1)をとる。
実数p>-1に対してP(p,p^2)とするとき、線分長APをf(p)と定義する。
f(p)が極値を持つか調べ、極値を取る場合は対応するpをすべて求めよ。

232:132人目の素数さん
21/06/27 08:56:50.74 GwWRsDy8.net
n×n整数行列のなす環Mn(Z)の外部自己同型(可逆行列Aを用いてX→AXA^-1と書けないもの)は存在しますか?
あるとすれば、どんなものがあるんでしょうか

233:132人目の素数さん
21/06/27 09:04:45.24 GVwLNolM.net
>>231
{f(p)}^2=g(p)とおく。
g(p)=(p+1)^2+(p^2-1)^2
=p^4-p^2+2p+2
g'(p)=4p^3-2p+2
g'(p)=0⇔2p^3-p+1=0
⇔(p+1)(p^2-p+1)=0
p^2-p+1>0より、p>-1でg'(p)>0
よってg(p)は極値をもたないから、f(p)は極値をもたない。
【改題】
C:y=x^2上に定点A(a,a^2)をとる。ただしa<0とする。
Cのa<xの部分を動く点P(p,p^2)に対して、f(p)=APと定める。f(p)が極値を持つようなaの範囲を求めよ。

234:132人目の素数さん
21/06/27 09:52:11.73 Iunoszis.net
>>233
{f(p)}^2=g(p)とおく。
g(p)=(p-a)^2+(p^2-a^2)^2
=p^4+(1-2a^2)p^2+2ap+a^4+a^2
g'(p)=4p^3+2(1-2a^2)p+2a
g'(p)=0⇔2p^3+(1-2a^2)p+a=0
⇔(p+a)(2p^2-2ap+1)=0
よって「p=-a,p={(a±√(a^2-2))/2}」…(*)
a={(a±√(a^2-2))/2}を解くと、
a=±√(a^2-2)
a^2=a^2-2 となって解をもたない。
したがって(*)は少なくとも2つの解を持つ。
(i)(*)がちょうど2つの解を持つとき
a=±√2で、
(A)a=√2のとき
p=-√2,1/√2で、g'(p)の符号変化はp=-√2のときのみ起こる。
(B)a=-√2のとき
p=-√2,1/√2で、g'(p)の符号変化はp=1/√2のときのみ起こる。
p=-√2,1/√2で、g'(p)の符号変化はp=-√2のときのみ起こる。
(ii)(*)がちょうど3つの解を持つとき
a<-√2または√2<aであり、このときg'(p)の符号変化はちょうど3回起こる。
以上より、極値をもつのは
a≦-√2または√2≦aのとき
である。

235:132人目の素数さん
21/06/27 12:19:25.57 Qbo2UVI8.net
xy平面上の放物線C:y=x^2と、放物線D:x=y^2+cが相異なる4点で交わるとき、その交点をx座標の小さい順にP,Q,R,Sと表す。
CとDが相異なる4点で交わるように実数cが動くとき、比PR/QSの取りうる値の範囲を求めよ。

236:132人目の素数さん
21/06/27 12:31:58.14 Iunoszis.net
>>235
問題として成立していないので改題
xy平面上の放物線C:y=x^2と、放物線D:x=(y-c)^2+c^2が相異なる4点で交わるとき、その交点をx座標の小さい順にP,Q,R,Sと表す。
CとDが相異なる4点で交わるように実数cが動くとき、比PR/QSの取りうる値の範囲を求めよ。

237:132人目の素数さん
21/06/27 13:12:42.00 /wnXhY58.net
>>236
x=(y-c)^2-c^2としないと問題として成立しない。
x=(x^2-c)^2-c^2
x(x^3-2cx-1)=0
この方程式の実数解の個数を考える。
x≠0のとき、x^3-2cx-1=0⇔c=(x^3-1)/2x
y=cとy=(x^3-1)/2xはc>3/{2^(5/3)}のとき相異なる3点で交わる。
したがってこのとき、x=0も含め相異なる4点で交わる。
各交点の座標など出したくもない

238:132人目の素数さん
21/06/27 14:04:02.89 movehHSD.net
>>230
D:
 y ≦ 2 +4x +3xx    (-1/3≦x≦0)
 y ≦ (4 -4x +3xx)/2   (0≦x≦4/3)
 y ≧ (1 -2x +3xx)/2   (-1/3≦x≦1)
 y ≧ 2 -4x +3xx    (1≦x≦4/3)
E:
 (1 -2x +3xx)/2 ≦ y ≦ (3 +2x +3xx)/4,  (1/3≦x≦1)
 y ≦ 2(6 -8x +3xx)    (1≦x≦9/7)
 y ≦ (3 -2x +3xx)/4   (9/7≦x≦5/3)
 (複雑なので後略)
 A(-1/3,1/9) B(5/3, 25/9) のとき P(1/3,1)
 A(-1,1) B(1,1) のとき Q(1/3,1)
 A(1,1) B(4-√6, 22-8√6) のとき P(2-√(2/3), 8{1-√(2/3)})
 A(√(2/3), 2/3) B(3-2√(2/3), 35/3 -4√6) のとき Q(2-√(2/3), 8{1-√(2/3)})
∴ (1/3,1) と (2-√(2/3), 8{1-√(2/3)}) は D∩E に含まれる。
  1/3 ≦ x ≦ 2 - √(2/3) = 1.18350342


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