分からない問題はここに書いてね 468

分からない問題はここに書いてね 468 at MATH

944:１３２人目の素数さん
21/07/16 07:11:03.92 xjPP89jX.net
>>897
整数解を持つとは「整数解を少なくとも一つ持つ」と解釈すると：
整数解をrとして、片方の解をsとする。するとr＋s＝ーaからsも整数となる(結局「解が両方とも整数である」という解釈と一致する)
k＝rsとおくとk＝rs＝n＾2/(2n＋1) → n＾2ー2nkーk＝0
rとsは整数だからkも整数である。
nは整数なので判別式は平方数である → 4k＾2＋4k＝h＾2
h＾2は2で割り切れるから、hは偶数の数である→h＝2gとおく。すると上記の方程式はk＾2＋k＝g＾2となる。
kが例えば正の数とするとk＾2＜k＾2＋k＝g＾2＜(k＋1)＾2と不等式が成り立つ。しかしk^2と(k＋1)＾2は連続する平方数なので、その間にg＾2なんて数は存在しない。kが負の場合は同じような方法でk＝ー1が解となる。残りはk＝0の場合、この場合はg＝0と解があるので、これもOK。
なのでk＝0とk＝ー1しか解はない。k＝0とk＝ー1をn＾2ー2nkーk＝0に代入するとn＝0とn＝ー1なるので、nが正の整数の場合は元の方程式が整数解を持つような整数aは存在しない。

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