分からない問題はここに書いてね 468

分からない問題はここ ..

933:１３２人目の素数さん
21/07/15 23:51:19.06 0wqMTe5b.net
原始関数を置換積分で求めることがありますが、質問があります。
例えば、 R で連続な関数 f(x) の原始関数 F(x) を求めたいとします。
F(x) =∫_{0}^{x} f(t) dt + C ですので、
∫_{0}^{x} f(t) dt を求めればいいことになります。
これを置換積分で求めるとします。
t = φ(s) と置換するとします。
∫_{0}^{x} f(t) dt = ∫_{φ^{-1}(0)}^{φ^{-1}(x)} f(φ(s)) *φ'(s) ds
と計算することになります。
そこで、質問です。
φ^{-1} の値域を S とします。
S が R の真部分集合であるとします。
∫_{0}^{x} f(t) dt = ∫_{φ^{-1}(0)}^{φ^{-1}(x)} f(φ(s)) *φ'(s) ds
で原始関数を計算するわけですが、左辺の積分範囲の上端の x は S の元でなければならないはずです。
ですので、この方法で計算できる原始関数の定義域は S ということになります。
不思議なことに、定義域が S である f の原始関数として得られた関数 F は R 全体でも通用します。
これはなぜなのでしょうか？
例えば、 R(z, w) が2つの文字 z, w の有理式であるとき、
∫ R(cos(x), sin(x)) dx を tan(x/2) = t とおいて、計算することがあります。
このとき、 x = 2*Arctan(t) の値域 S は (-π, π) です。
ですので、原始関数を求めるといっても S 上の原始関数を求めることができるだけのはずです。
ところが、得られた原始関数はそのまま R 全体で通用します。

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