分からない問題はここに書いてね 468

分からない問題はここに書いてね 468 at MATH

918:１３２人目の素数さん
21/07/14 18:53:48.52 6/lW/bVc.net
>>871
∫[0,r](∫[0,r] e^(-tx) sinx dt)dx = ∫[0,r](∫[0,r] e^(-tx) sinx dx)dt
両辺の内側の積分を計算して r→∞ の極限を取ると
∫[0→∞] sinx/x dx = ∫[0→∞] 1/(1+t^2) dt = π/2
別解:
sin((2n+1)x)/sinx = 1+2Σ[k=1,n]cos(2kx) (加法定理と帰納法より)
この両辺を(0,π/2)で積分
∫[0,π/2] sin((2n+1)x)/sinx dx = π/2
ここで (2n+1)x=t と置くと
左辺 = ∫[0,π(2n+1)/2] sint/((2n+1)sin(t/(2n+1))) dt
= ∫[0,π(2n+1)/2] {sint/t}*{sin(t/(2n+1))/(t/(2n+1))} dt
(中略)
→∫[0,∞] sint/t dt (n→∞)

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