分からない問題はここに書いてね 468

分からない問題はここに書いてね 468 at MATH

1028:１３２人目の素数さん
21/07/17 18:54:08.23 Js3VOks3.net
>>952
　実数軸上の関数 f=f(x) であって、f(0)=0, f(1)=1 となるものの集合をℱとす
る。ℱの元fに対して、Ｉ=Ｉ[f] を
　　Ｉ[f] = ∫_0^1 [ f(x)^2 + {f '(x)}^2 ] dx
と定義する。Ｉを最小にするℱの元を求めたい。以下の設問に答えよ。ただし、本問題
において考える関数はすべていたるところ十分滑らかな関数とする。
(1) 任意の f, g∈ℱ と任意の t∈[0,1] に対して
　　Ｉ[(1-t)f + fg] ＝ (1-t)Ｉ[f] ＋ tＩ[g] － t(1-t)Ｉ[f-g]
　となることを示せ。
(2) 任意の g∈ℱ に対して、
　　　(d/dt)Ｉ[(1-t)f + tg] |_{t=0} = 0
　が成り立つような f∈ℱ を考える。fが満たすべき常微分方程式を導け。その
　際、次の事実を利用してよい。
　　関数Fが、G(0)=G(1)=0 となる任意の関数Gに対して、
　　　∫_0^1 G(x) F(x) dx = 0
　を満たすなら、x∈[0,1] に対して F(x)=0 である。
(3) 設問(2)で導いた常微分方程式の解はＩを最小にする。その理由を説明せよ。
(4) 設問(2)で導いた常微分方程式の解を求めよ。

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