分からない問題はここに書いてね 468

分からない問題はここに書いてね 468 at MATH

1:１３２人目の素数さん
21/06/17 20:18:50.48 lnjH0V31.net
さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね 467
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
(使用済です: 478)
数学@5ch掲示板用
☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
URLﾘﾝｸ(mathmathmath.dotera.net)
☆激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
URLﾘﾝｸ(web.archive.org)
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)

2:１３２人目の素数さん
21/06/17 20:30:21.97 TGp5XK7v.net
時限爆弾が10個送られてきた。
いずれも60分以内に爆発することは判明しているが、それ以外に情報がない。
爆発までの時間を一様分布と想定して、3個が爆発するまでの時間の期待値を求めよ。
答：　300/11=27.27分

3:１３２人目の素数さん
21/06/17 20:35:14.28 TGp5XK7v.net
>>2
これは5個での値だった。3個だと180/11。

4:１３２人目の素数さん
21/06/17 20:36:16.16 lvhk/aVu.net
以前プロおじが出した問題をプロおじ向けに改題したものです
よろしくお願いいたします
プロおじに「あなたは尿瓶洗浄係ですか」という質問を五回する。ただし、
プロおじは、「はい」か「いいえ」と答える前にさいころを振り
1 または2の目が出たときは正直に答え、3または4の目が出たときはうその答えを言い、
5または6の目が出たときは1/2の確率で正直に答えるものとする。

5: (1) プロおじが尿瓶洗浄係のとき、「はい」と答える回数が3である確率を求めよ。 (2) 「はい」と答える回数が3であるとき、プロおじが尿瓶洗浄係である確率を求めよ。

6:１３２人目の素数さん
21/06/17 22:31:52.43 FjTsY/eT.net
>>3
おい尿瓶ジジイ
別の板までマルチポストするな、引っ込んでろ

7:１３２人目の素数さん
21/06/17 23:20:45.52 WswkpqIt.net
(4)ってどういうことでござんすか
Mが対角行列なら解けるけどわかんなあああああい
うわああああ
984 １３２人目の素数さん sage 2021/06/17(木) 01:38:30.10 ID:AosbIRus
(4)は
|x| < max{|固有値|}において
L(I -xM)N
=L(I+Mx+(Mx)^2+... )N
=LM^0N + lMNx + LM^2Nx^2+..
=c1 + c2x + c3x^2 +..
ですな
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

8:１３２人目の素数さん
21/06/18 04:20:33.54 VvmIkHeC.net
s,t,p,qを実数の定数とする。
xy平面上の放物線C:y=x^2+ax+bがx軸のs≦x≦tの部分とただ一つの点で交わり、同様にp≦x≦qの部分とただ一つの点で交わるという。
(1)実数a,bの満たす関係式を求めよ。
(2)a,bが(1)の条件を満たしながら動くとき、Cが通る領域をDとする。Dと直線y=t(-∞<t<∞)の交線の端点の座標をs,t,p,qで表せ。

9:１３２人目の素数さん
21/06/18 06:51:04.01 jJtCPzqc.net
s,t,p,q の大小関係がないと解く気が起こらない…
>>5
　シー珍品にしようよ。

10:１３２人目の素数さん
21/06/18 08:25:34.51 SMzIlaC2.net
>>5
尿瓶ジジイ＝尿瓶洗浄係＝職種の言えない医療従事者
開業医スレを荒らしに言って入院勧告を受けているのが尿瓶洗浄係

11:１３２人目の素数さん
21/06/18 08:28:55.81 yv+o55lN.net
>>9
尿瓶ジジイ＝トケジ＝プロおじw

12:１３２人目の素数さん
21/06/18 09:08:43.30 WnFSc8Xp.net
>>5
期待値の算出法でも投稿すればいいのに。
定義通りに計算すれば出てくる。

13:１３２人目の素数さん
21/06/18 12:30:38.37 eh1zlDVL.net
s,t,p,qは実数の定数で、s≦t<0≦p≦qとする。
xy平面上の放物線C:y=x^2+ax+bがx軸のs≦x≦tの部分とただ一つの点で交わり、同様にp≦x≦qの部分とただ一つの点で交わるという。
(1)実数a,bの満たす関係式を求めよ。
(2)a,bが(1)の条件を満たしながら動くとき、Cが通る領域をDとする。Dと直線y=t(-∞<t<∞)の交線の端点の座標をs,t,p,qで表せ。ただし交線が2つ以上の線分に分かれる場合、各線分の端点すべてについて述べること。

14:１３２人目の素数さん
21/06/18 12:31:33.08 eh1zlDVL.net
>>12
s≦t≦0≦p≦qの間違いです、すいません

15:１３２人目の素数さん
21/06/18 13:16:10.99 tYTboDZs.net
表に 5 または 10、裏に 2 または 3 の数字が書いてあるカードが 13 枚ある。
その内訳は、以下のようになっているものとする。
表に 5 が書いてあるカードの枚数 = 6
表に 10 が書いてあるカードの枚数 = 7
裏に 2 が書いてあるカードの枚数 = 9
裏に 3 が書いてあるカードの枚数 = 4
カードを1枚引くときの、表の数字を X とし、裏の数字を Y とする。
E(X + Y) を求めよ。
E(X + Y) = E(X) + E(Y) が成り立つ。
この式を用いて、計算すればよい。

表に 5 が書いてあり、裏に 2 が書いてあるカードの数、
表に 5 が書いてあり、裏に 3 が書いてあるカードの数、
表に 10 が書いてあり、裏に 2 が書いてあるカードの数、
表に 10 が書いてあり、裏に 3 が書いてあるカードの数。
これらが分かっていないにもかかわらず、 X + Y の平均が求まるのって不思議に感じるのですが、不思議に感じるのは正しい感覚ですか？

16:１３２人目の素数さん
21/06/18 13:41:29.79 1TEFPw6W.net
>>14
> 不思議に感じるのは正しい感覚ですか？
逆に聞くけどさ、正しい感覚への憧れがあるの？もっと普通になりたいと思うの？
だったら回線切って、いろんなところに出向いて店員さんとでもいいから会話した方がいいぞ

17:１３２人目の素数さん
21/06/18 14:10:02.36 Xfezzw6f.net
「期待値の線型性」にちょっとした驚きがあることは自然なことだと思うな

18:１３２人目の素数さん
21/06/18 14:11:46.65 gy72L7Rq.net
マルチしてたのかよ

19:１３２人目の素数さん
21/06/18 14:30:09.24 mWUH7RNm.net
>>11
マルチポストするな尿瓶ジジイが。

20:１３２人目の素数さん
21/06/18 14:30:38.67 tYTboDZs.net
>>16
やはり不思議ですよね。

21:１３２人目の素数さん
21/06/18 15:27:35.18 M1IYKoOJ.net
不思議に思う事が「正しい感覚」かどうか尋ねられても答えようがないよね
 >>16の言う「自然な感覚」ならば理解できるけど

22:１３２人目の素数さん
21/06/18 16:23:05.44 jJtCPzqc.net
>>12
(1)
　aa - 4b ≧ 0,　　　　(実根をもつ)
　t ≦ -a/2 ≦ p,　　　(軸のx座標)
　
　s^2 + as + b ≧ 0,
　t^2 + at + b ≦ 0,
　p^2 + ap + b ≦ 0,
　q^2 + aq + b ≧ 0,

23:１３２人目の素数さん
21/06/18 17:47:30.36 lTQnYJ8E.net
時限爆弾が100個送られてきた。
いずれも60分以内に爆発することは判明しているが、それ以外に情報がない。
爆発までの時間を一様分布と想定する。
爆弾が到着してから10分以内に爆発する爆弾の数の95%信頼区間を有効数字３桁で求めよ。

24:１３２人目の素数さん
21/06/18 19:01:45.40 NUaNBqw+.net
>>22
nCr(a,b)の定義を述べ、以下の（1）～（3）を計算せよ。
定義に基づくと計算不可能である場合は、計算不可能と記せ。
（1）4C2(8,3)
（2）nCr(7,2)
（3）nC1(2a,a)

25:１３２人目の素数さん
21/06/18 19:16:13.28 N9mseVWv.net
>>14
表裏のカードの配分が決まってないから独立としか言いようがないわな
逆に決まってたら独立じゃない

26:１３２人目の素数さん
21/06/18 20:18:20.61 wkvb3cRD.net
これを証明したいのですが、どのように証明すればいいでしょうか
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

27:１３２人目の素数さん
21/06/18 21:04:46.99 jJtCPzqc.net
〔系 A.1〕
　n個の "互いに独立" な正規確率変数 X_1, X_2, …, X_n が "同一
　の" 正規分布 N(μ,σ^2) に従う時、加重和 Σ[i=1,n] (c_i X_i) は
　正規分布 N(M,S^2) に従う。ここに
　M = μΣ[i=1,n] (c_i)^2,　S^2 ＝ σ^2 Σ[i=1,n] (c_i)^2.

28:１３２人目の素数さん
21/06/18 21:16:42.79 jJtCPzqc.net
n=2 の場合から μ と σ^2 の加成性が分かる。
n>2 は nについての帰納法で出る。
n=2 のとき
軸の回転
　Y1 = (c1 X1 + c2 X2)/c,
　Y2 = (-c2 X1 + c1 Y2)/c
　c = √{(c1)^2 + (c2)^2},
これは直交変換だから
　f(X1)f(X2) = f(Y1)f(Y2),
Y2で (-∞, ∞) で積分すれば、Y1の分布が出る。

29:１３２人目の素数さん
21/06/18 22:16:52.61 M1IYKoOJ.net
>>21
s=-1 t=-0.1 p=0.1 q=1 a=-0.3 b=-0.5 とすると、
a^2-4b=2.09>0：成立
t≦-a/2≦p ... -0.1≦0.15≦0.1：不成立
s^2+as+b=0.8≧0：成立
t^2+at+b=-0.46≦0：成立
p^2+ap+b=-0.52≦0：成立
q^2+aq+b=0.2≧0：成立
つまり条件未達なのにx^2-0.3x-0.5=0の2実根は-0.573と0.873で題意を満足しています。
条件を広げる必要があるのでは？(どこをどう広げるべきなのか分からないけれど)

30:１３２人目の素数さん
21/06/18 22:23:00.70 dUD46s6V.net
軸の条件抜くだけやん

31:中学生
21/06/18 22:31:57.32 BZm2CHcz.net
正八面体の対面が平行である証明を教えてください！
ベクトルとか座標平面ではなく、空間幾何として解いていただくとありがたいです

32:１３２人目の素数さん
21/06/18 22:56:57.54 dUD46s6V.net
立方体ABCD-EFGHの6面の重心を結んで正八面体が得られるからコレについて言えれば良い
ABCD,AEFB,AEHDの重心をPQRとして平面PQRが対角線AGと垂直である事を示せば良い
A中心に2倍に相似変換して平面CFHと対角線AGが垂直である事を示せば良い
C,F,Hから直線AGに下ろした垂線の足をU,V,Wとする
△ACGはAC:CG=√2:1の直角三角形で△AUC、△CUGはコレと相似だから線比よりAU:UG=2:1, すなわちUはAGを2:1に内分する点である
V,Wについても同様であるからU=V=W
特にUを通りAGに垂直な平面上にC,F,Hが乗るとわかる
よって平面CFHとAGは垂直

33:１３２人目の素数さん
21/06/19 00:03:50.38 qkL8CkN+.net
>>27
すみません、文系の統計レベルでもこの証明になる感じでしょうか。
加重和の期待値、分散は使いませんか？

34:１３２人目の素数さん
21/06/19 00:26:25.63 /fMPlG8T.net
>>30
隣接辺への鏡映変換を2度行うから平行になる

35:１３２人目の素数さん
21/06/19 01:56:47.20 Izf7+Y5w.net
>>32
n=2 だけでいいなら、畳み込んだ方が簡単かも知れません。
　c1 X1 + c2 X2 = Y
とおき
　g(Y) = ∫[-∞,∞] f(X1) f((Y-c1X1)/c2) dX1 = …

>>27 では
正規分布N(μ,σ^2) の分布関数が
　f(X) = a e^(-(X-μ)^2/(2σ^2)),　　　a = 1/√(2πσ^2),
であり、直交変換では　(X1-μ)^2 + (X2-μ)^2 = (Y1-M)^2 + (Y2)^2 となるため
　f(X1)f(X2) = f(Y1-M)f(Y2),
となることを利用しました。(*)
n>2 への拡張もできるし、
分子軌道(MO)法計算ソフト"GAUSSIAN" でも使われているらしいです。

なお、初めから正規分布になることが分かっていれば、
　平均値と分散だけ計算して完了です。

36:１３２人目の素数さん
21/06/19 02:58:54.95 f1l0lA4K.net
尿瓶プロおじ懲りないね

37:１３２人目の素数さん
21/06/19 10:13:28.92 qkL8CkN+.net
>>34
平均値と分散は加重和のやつを計算するということですか？
正規分布になることが分かってる状態です。

38:１３２人目の素数さん
21/06/19 10:27:57.15 IdOfjWky.net
>>36
プロおじそんなこともわからないんだ…

39:１３２人目の素数さん
21/06/19 10:37:40.64 qkL8CkN+.net
>>37
僕はガイジなの🥺

40:１３２人目の素数さん
21/06/19 11:14:32.07 pW8kC5f5.net
>>38
知障の手帳upしろ

41:１３２人目の素数さん
21/06/19 11:49:51.31 LhMrC8Uk.net
>>30
正八面体の六つの頂点を、N-ABCD-Sとします。(外接球を考え、Nは北極、Sは南極、ABCDは赤道上の正方形)
四角形NASCは四辺が等しいのでひし形　→　NA∥SC
同様に四角形NBSDもひし形　→　NB∥SD
NA∥SC　かつ　NB∥SD　→　NABを含む平面∥SCDを含む平面

42:１３２人目の素数さん
21/06/19 11:56:47.53 qkL8CkN+.net
>>39
自称だからない🥺

43:１３２人目の素数さん
21/06/19 12:33:06.30 QDYC1aE8.net
この問題の(1)って
焦点をFとして
F1 P + F2 P = 2a
|F1 P - F2 P| = 2a
が与式になるを示せばいいだけ？
あと、>>6　も教えていただけると助かります
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

44:１３２人目の素数さん
21/06/19 12:53:16.89 Yf/a7uHS.net
>>30
合同な正偶数角錐の底面合わせて立体を作ると平行な面の組み合わせができる
って補題行けそうだけど
正八面体は点対称な立体だから必ず平行な面の組み合わせができる
とか

45:１３２人目の素数さん
21/06/19 13:30:03.34 iWPphUFG.net
【難しかったので改題】
s,t,p,qは実数の定数で、s≦t≦0≦p≦qとする。
xy平面上の放物線C:y=x^2+ax+bがx軸のs≦x≦tの部分とただ一つの点で交わり、同様にp≦x≦qの部分とただ一つの点で交わるという。
(1)実数a,bの満たす関係式を求めよ。
(2)a,bが(1)の条件を満たしながら動くとき、Cが通る領域をDとする。D上の点を(x,y)とすると、yには最小値が存在することを示し、その値をa,b,s,t,p,qのうち必要なもので表せ。

46:１３２人目の素数さん
21/06/19 15:21:26.41 whu1B+jw.net
>>42
それおもろいなぁ
(1)はそう
そのせつもんの文章なら
「楕円とはある定数tと焦点F,F'の距離の和FP+F'Pがtに等しくなる点の軌跡」
と定義されてるので求められてるのは
∃t FP+F'P = t ⇔ x^2/a^2+y^2/b^2 = 1
tが存在すれば2aである事が必要なのもすぐ出るから実質
FP+F'P=2a⇔x^2/a^2+y^2/b^2=1
そんな難しくない、てか(1)はネットにアホほど転がってますがな

47:１３２人目の素数さん
21/06/19 15:23:06.22 whu1B+jw.net
>>44
もう答え出てたんじゃなかったっけ？

48:１３２人目の素数さん
21/06/19 15:55:23.44 aEJvEOq2.net
　　何かの問題だったと思うが、条件　　a,b,c　は正の実数で
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a^2≦b^2+c^2
b^2≦c^2+a^2
c^2≦a^2+b^2
を満たすとき、次の不等式が成立することを示せ。また、等号成立条件は何か。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（a+b+c）（a^2+b^2+c^2）（a^3+b^3+c^3）／（a^6+b^6+c^6）　≧　４
　　　　　検討した結果
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x^6+y^6 ≦　7/2
　　を言えばいいというところまでたどり着いたが、あってるかどうか分からない上に、中々正解が出ません。かなり難しい問題だと思うのでどうにかしてください。

49:１３２人目の素数さん
21/06/19 15:58:40.11 aEJvEOq2.net
　　　　　上の条件は
　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　≦　x^2+y^2
x^2 ≦　y^2+1
y^2 ≦　x^2+1
　　という条件の下である。この領域の図を書くと、　　単位円と　y=xの交点　　ないしは　　y=x　が境界条件になるが、おそらく　y=x　のときが解である。

50:１３２人目の素数さん
21/06/19 17:42:25.44 Izf7+Y5w.net
(略証)
aa = A,　bb = B,　cc = C　とおく。題意より
　0 ≦ A ≦ B+C,　0 ≦ B ≦ C+A,　0 ≦ C ≦ A+B,
（a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3) - 4(a^6+b^6+c^6)
≧ (a^2+b^2+c^2)^3 - 4(a^6+b^6+c^6)　　　　(コーシー)
= (A+B+C)^3 - 4(A^3+B^3+C^3)
= 3A(B+C-A)^2 + 3B(C+A-B)^2 + 3C(A+B-C)^2 + 6(B+C-A)(C+A-B)(A+B-C)　　(*)
> 0,
(*) Ravi変換を利用するのが便利…
もし {B+C-A, C+A-B, A+B-C} のうちの2つ以上が0ならば、それらの和も0,
∴ ABC = 0,　abc = 0,
となり、題意に反する。

51:１３２人目の素数さん
21/06/19 17:47:57.28 aEJvEOq2.net
>>49

　　　コーシー、ホルダー、イエンセンなどの定理は知らなかったら終わりであり、こうした既知定理を使う手法は醜悪とされているので
　　　　もっとエレガントなものを頼む。　　　

52:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:12:40.34 iWPphUFG.net
a,b,cを正の実数とするとき、
{(a+b+c)^2}{(c/ab)+(a/bc)+(b/ca)}
の取りうる値の範囲を求めよ。

53:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:15:24.98 TAgIXne2.net
そうだね、知を積み重ねる学問は知らなかったら終わりだから醜悪だね
なので >>50は数学に限らず学問そのものに興味を持たなくてもいいんだよ

54:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:24:27.88 whu1B+jw.net
そもそもこの程度自力でできない時点で数学的脳力なんかたかがしれとるわな

55:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:25:26.45 aEJvEOq2.net
　　　　平成時代の学生は、コーシーなどを習っていないから反則
　　　マジクソだな
　　　　　必要な既知定理は、ＡＭＧＭくらいしか学ばせなかったせいで数学教育が崩壊したんだよ

56:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:27:30.53 aEJvEOq2.net
　　　　つうか文部科学省が　　学習指導要領から　　幾何　　関数等式　　整数　　組合せなどを削除した上、更に滅茶苦茶になり
　　　東大生ですら、数オリのレベルは解けない時代にしてしまったせいでこうなっている

57:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:30:20.86 Izf7+Y5w.net
コーシーのところをラグランジュ恒等式で表わせば
(a+b+c) (a^3+b^3+c^3) - (aa+bb+cc)^2
　= ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2
　≧ 0,
等号成立は a=b=c.

58:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:33:11.21 aEJvEOq2.net
>>56
　　a=b=c では等号が成立しないから誤り
　　コーシーを使う、ないし、知っているという卑怯な方法を使ってるから上では正解が出ているが
　　　　コーシーやホルダーはほとんどの人が習ってないから反則

59:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:37:52.02 whu1B+jw.net
wwwwwwwww

60:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:45:48.79 aEJvEOq2.net
　　　　不等式に関する　コーシーが示した定理でもその一部は知ってる人は知ってるが、　イエンセンやホルダーは無理
　　　　　　　また、東大生レベルになると、　　そういう大きな定理でなく
　　　　　　　　　　　　　　　a^2+b^2+c^2　≧　ab + bc + ca
　　くらいしか知らない。後は　　相加相乗

61:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:54:47.83 O37V/skE.net
横文字の読みにケチつけるのも何だけど、あれは普通ヘルダーって読むんじゃない

62:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:56:09.07 Izf7+Y5w.net
>>51
　a=b=c の場合は 27a だから、正の実数(すべて)
>>54
　習ってないから分からんでもいい、という不思議な考えは
　入試にしか通用しないマジクソだと思うよ。
　出所は　受験産業(塾・予備校)あたりかな。
>>55
　つうか文部科学省が削除したおかげで知ってる者が少ないから、
　簡単なのにマウント取りやすくなった。
>>57
>　　a=b=c では等号が成立しないから誤り
要確認

63:１３２人目の素数さん
21/06/19 19:00:02.76 aEJvEOq2.net
>>47
　一番最初のこの式で　a=b=cとしても、４にならないから間違い

64:１３２人目の素数さん
21/06/19 19:02:18.84 GGU6pU0E.net
まともな受験業界は「習ってないからできなくてもいい」とは決して言わない
「出ないからできなくてもいい」とは言うが

65:１３２人目の素数さん
21/06/19 19:06:50.02 whu1B+jw.net
数オリどうこういう以前に高校で習う普通の技術ができませんがなww

66:１３２人目の素数さん
21/06/19 19:07:38.34 aEJvEOq2.net
　　　　教育の元締めの文科省が、　　数オリに出るものを全部削っているのだから、特殊な学校や予備校で習ったところでどうにもならない
　　　　数オリの問題が解けるのは　　灘高校や開成高校の一部の人とばれている　　国民のほとんどの人は　この種の問題を見ても理解できない

67:１３２人目の素数さん
21/06/19 19:24:42.00 aEJvEOq2.net
>>63
　　さすがに東大、京大、一ツ橋　などなどでは幾何学は出ないが、　　整数論は出るからな
　　　　　組合せ論かどうかは分からないが、それに近い物が、　平成１４年東大文系数学第４問に出た
　　あと、１９９８年に　東大理系後期が、　　グラフ理論という、組合せ論で、しかも超難問を出してしまい、予備校講師はフランスの数学教授から解答を聞いて
　　　模範解答を作成できたという　　　　

68:１３２人目の素数さん
21/06/19 20:00:58.62 aEJvEOq2.net
　　>>49
　　　受験ではコーシーシュワルツの不等式として知られているが、この問題は簡単ではなく、コーシーシュワルツで華麗に変形してやらないといけない
　　　　　不等式にも簡単な部類はあるが、コーシーシュワルツを使うことに気づかないと解けないこの問題はかなりの難問
　　　コーシーを使わない解き方が求められる

69:１３２人目の素数さん
21/06/19 20:03:25.10 ilxqumAW.net
放物線C:y=x^2上の点P(p,p^2)における接線をlとする。lを反時計回りに30°回転させた直線をm、mとCとの交点のうちPでないものをQとする。またQを通りPQに直交する直線をn、nとCとの交点をRとする。
3点P,Q,Rが三角形をなすとき、△PQRの面積の最小値を求めよ。

70:１３２人目の素数さん
21/06/19 20:37:02.46 Wu0TQSwg.net
へんな問題文

71:１３２人目の素数さん
21/06/19 21:13:02.16 Izf7+Y5w.net
Q(q, qq),　R(r, rr) とおく。
L:　　y = 2px - pp,
m:　　y = (p+q)x - pq,
n:　　y = (q+r)x - qr,
tan(30゜) = 1/√3　より
p + q = (2p + 1/√3)/(1 - 2p/√3) = m,
q + r = -1/m,
p - q = 2p - m,
q - r = 1/m + 2(m-p),
r - p = -1/m -m,
⊿PQR = |(p-q)(q-r)(r-p)|/2 = …
かな

72:１３２人目の素数さん
21/06/19 21:45:21.44 whu1B+jw.net
そもそもなさそうな気しかしない

73:１３２人目の素数さん
21/06/19 22:03:56.84 QDYC1aE8.net
　>>42
この問題の(2)からどうやってときますか？

74:１３２人目の素数さん
21/06/19 22:17:49.02 whu1B+jw.net
>>72
(2)はx=acosθ、y=bsinθ、df/dθ=f^としてy'=y^/x^=-(b/a)cotθを代入して確認
(3)はx=c coshθ、y=dsinh(θ)で同じ作業
(4)は(***)を解いて
y'' = (-x^2+y^2+u^2 ± √((x^2-y^2-u^2)^2-4x^2y^2))/(xy)‥①
のうち第一象限でy'がマイナスの方が楕円だから±が−の方が楕円、+の方が双曲線
よって(***)の各(x,y)を通る双曲線と楕円は解と係数の関係から常に直交するとわかる
そして領域xy≠0で①の右辺はリプシッツ連続だから解があれば唯一
よって求める方程式は①の±がプラスの方
(5)は双曲線

75:１３２人目の素数さん
21/06/19 22:22:32.52 whu1B+jw.net
訂正
(***)を解いてのとこは
y'=...
ね、2次方程式の解の公式

76:１３２人目の素数さん
21/06/19 22:37:26.00 QDYC1aE8.net
>>73
ありがとうございます
(2)は代入してy'を代入してどんな形になることを示せばいいの？

77:１３２人目の素数さん
21/06/19 23:13:28.19 tl2lK6Fl.net
もちろんゼロ

78:１３２人目の素数さん
21/06/19 23:35:43.82 tl2lK6Fl.net
xy(y')^2+(x^2-y^2-u^2)y' -xy
= abcosθsinθ(-b/a cotθ)^2 + (a^2cos^2θ-b^2sin^2θ-u^2)(-b/a cotθ)-absinθcosθ
= abcosθsinθ(-b/a cotθ)^2 + (a^2sin^2θ-b^2cos^2θ)(-b/a cotθ)-absinθcosθ
= b/a cotθ( b^2 cos^2θ + a^2sin^2θ - b^2cos^2θ - a^2 sin^2θ)
=0
(3)も一緒

79:１３２人目の素数さん
21/06/19 23:51:50.62 QDYC1aE8.net
>>77
何度も申し訳ないのだけど、=0になることがどうしてEuに属する任意の楕円がこの微分方程式を満たすことをになるの？

80:１３２人目の素数さん
21/06/20 00:00:23.13 KZE6Olb+.net
だってEUに属する楕円とはa^2-b^2=u^2を満たす定数によってx=a^2cosθ、y=bcosθとパラメータ表示できる関数ですがな
このパラメータ表示された関数が(1)の(*)を満たすことは一瞬でわかりますがな
実際x,yが(*)を満たす変数の時、新しい変数θをθ=acos(x/a)で定めればy=±bsinθが確定する
-のほうはθ→-θと置換すればy=bsinθの場合だけ確認すればいいとわかる

81:１３２人目の素数さん
21/06/20 00:15:00.78 D/WuJVBA.net
>>79
(*)はそもそもEuを満たす楕円の集合であってこの式を満たすx yをパラメータ表示して、(***)に代入して等式が成り立てばそれで、Euに属する楕円がこの微分方程式を満たすっていうことか
そういうことか、基本がわかってなかった

82:１３２人目の素数さん
21/06/20 00:24:46.59 KZE6Olb+.net
まぁもちろんパラメータ表示使わずに
変数(x,y)が(*)を満たす⇔y=±b√(1-((x/a)^2)
を利用して(***)に代入してゴリゴリやってもできるけどな
いい計算練習にはなるかもしれないけどやはりそれでよしとしていたのではちょっとな

83:１３２人目の素数さん
21/06/20 01:07:43.42 cnZVxdX7.net
>>61

　　　数学は簡単というか、ここでやってる奴は所詮知識なんだよな　　昭和時代という恵まれた時代にあらかた勉強したから、コーシーでもなんでも
使えるわけで
　　　　　　　平成の若者は、そもそも学習指導要領から不等式なども削られているから、そこらへんの元高校生は、そんなん知らん

84:１３２人目の素数さん
21/06/20 01:26:34.35 an3t7Ks+.net
誰か放物線y=x^2を使った傑作問題を考えてください

85:１３２人目の素数さん
21/06/20 01:38:47.18 cnZVxdX7.net
　　　（a+b/n）^(1/n) が何に収束するかを検討したら　　e^(a/b)　　という美しい式になりました。
　　　　　これを利用し、　ｎ＾(1/n) →　１　を証明したいと思うが、　a=0　とおけばよい。すると、　最初の式から、n^(1/n)→1がいえる。
　　　　この推論は正しいか。

86:１３２人目の素数さん
21/06/20 01:48:23.11 KZE6Olb+.net
バカだなぁ

87:１３２人目の素数さん
21/06/20 03:54:19.04 1XoPw825.net
>>42
(1)　楕円
　e = (1/a)√(aa-bb),　　　(離心率)
　F1 (-ae, 0)
　F2 (ae, 0)
とおくと
(F1P)^2 = (x+ae)^2 + y^2 = (a+ex)^2 + bb{(x/a)^2 + (y/b)^2 -1}
(F2P)^2 = (x-ae)^2 + y^2 = (a-ex)^2 + bb{(x/a)^2 + (y/b)^2 -1}
点P(x,y) は楕円上の点だから
　(x/a)^2 + (y/b)^2 - 1 = 0,
　F1P = a+ex,
　F2P = a-ex,
よって
　F1P + F2P = 2a,

88:１３２人目の素数さん
21/06/20 03:56:44.81 1XoPw825.net
>>42
(1)　双曲線
　f = (1/c)√(cc+dd),
　F1 = (-cf, 0)
　F2 = (cf, 0)
とおくと
(F1P)^2 = (x+cf)^2 + y^2 = (fx+c)^2 - dd{(x/c)^2 - (y/d)^2 -1},
(F2P)^2 = (x-cf)^2 + y^2 = (fx-c)^2 - dd{(x/c)^2 - (y/d)^2 -1},
点P(x,y) は双曲線上の点だから
　(x/c)^2 - (y/d)^2 - 1 = 0,
　F1P = fx+c,
　F2P = fx-c,
よって
　|F1P - F2P| = 2c,

89:イナ
21/06/20 04:53:58.44 //EbZ0I8.net
>>83
考えた。
傑作だ。
答えはある。まだ解いてないだけで。

90:１３２人目の素数さん
21/06/20 05:47:37.01 1XoPw825.net
>>70
　p = -5/(2√3) = -1.443375673
　q = r = 1/√3 = 0.577350269
　m = -(√3)/2 = -0.866025403
のとき
　⊿PQR = 0.

91:１３２人目の素数さん
21/06/20 10:53:12.23 3LEPME35.net
0^0=eとなるような0^0の妥当な定義を与えよ。

92:１３２人目の素数さん
21/06/20 11:26:32.34 fpW7qxhc.net
キモいのが湧いてきた

93:１３２人目の素数さん
21/06/20 11:40:38.08 Q3hS75zk.net
>>83
任意の放物線が互いに相似であることを示して

94:１３２人目の素数さん
21/06/20 11:43:38.33 Q3hS75zk.net
互いに相似っていうか2つの任意の放物線が相似って表現の方がいいか

95:１３２人目の素数さん
21/06/20 11:47:57.30 MG7itG+h.net
>>92
有名事実ではないか
多少は工夫した問題を作成せよ

96:１３２人目の素数さん
21/06/20 12:46:21.17 aE9TXCL8.net
>>94
思いつかない

97:１３２人目の素数さん
21/06/20 13:08:52.19 TcDhz1EC.net
すごく面倒くさい問題
xy平面上の2点A(t,0),B(t+1,3)をひとつの対角線とする正方形Tを考える。
Tと領域D:y≧x^2が共通部分を持つように実数tが動くとき、その共通部分の面積の最大値を求めよ。

98:１３２人目の素数さん
21/06/20 14:27:25.94 D/WuJVBA.net
>>73
(4)の楕円に直行する曲線の微分方程式は、(***)の楕円の微分方程式の逆数にマイナス掛けたやつだよね？
(5)ってどうやって解きますか

99:１３２人目の素数さん
21/06/20 15:04:26.17 T3v6J9nz.net
算数の速さや割合の問題って、代数を使って解けるものなのでしょうか？

100:１３２人目の素数さん
21/06/20 15:24:19.78 fCf5r1xG.net
すみませんこの問題の答えを教えてください
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

101:１３２人目の素数さん
21/06/20 15:31:23.86 De00mPCW.net
　　　　>>90
　　　顔真っ赤になって必死に考えたのだろうが、　（b/n）^(1/n) は、　bのｎ乗根／ｎのｎ乗根
　　　　ｎ→∞で、分子は１に収束し、分母は１に収束する

102:１３２人目の素数さん
21/06/20 15:53:13.81 De00mPCW.net
>>84は何か考え違いをしたと思うが
　（a+b/n）^(1/n)　　は　１に収束する。
　　　このことから、a=0 b=1としても１に収束するから、　ｎのｎ乗根は１に収束する。

103:１３２人目の素数さん
21/06/20 16:00:41.36 De00mPCW.net
　　　nのｎ乗根が１に収束することの論証は一般に簡単なものは知られていないから、（a+b/n）^(1/n)が１に収束することからこれをいうのは華麗である
　　以下、　（a+b/n）^(1/n)　　は　１に収束することを論証する
　　　　（a+ab/an）^(1/n)＝　a^(1/n)*(1+b/n)^(1/n)　　　★
b/n=1/kとおくと、　　1/n=1/bk よって　　★　＝　a^(1/n)*(1+1/k)^(1/bk) ｎ→∞のときに　　ｋ→∞だから
　　　　★　→　１＊e^0 =1　
　　　よって、（a+b/n）^(1/n)　は１に収束する。

104:１３２人目の素数さん
21/06/20 16:05:41.34 De00mPCW.net
　　　　これの味噌は　　結局　　（１＋1/k）^k →　eを利用したものだが、この既知結果が良く�

105:mられているので、これを通しての論証は華麗である　　他にも　　（1/n）^(1/n)のn→∞の収束値は、　　1./n=kとおいて、　　k^k が　　k→０を見るということにもなるが、関数　　y=x^xがx=0で１ということは　　　　　直観的には知られていても、なぜそうなるのかというと、難しい議論が必要である。

106:１３２人目の素数さん
21/06/20 16:07:02.80 GkOyKAgr.net
>>96
どなたかこれお願いします

107:１３２人目の素数さん
21/06/20 16:10:32.77 PGBQ0FOy.net
>>96
面倒くさいし、代数的に解けない
t=-0.46844122 のとき 4.6995256

108:１３２人目の素数さん
21/06/20 17:22:09.89 nHxKFylL.net
>>97
いや(***)の方程式は楕円と双曲線が両方解として出てくる
それを示せが(2)と(3)
だから(5)について改めて解く必要はない
もうすでに(2)と(3)で解が2個見つかってて常微分方程式のかいの一意性(今回の場合は局所的にリプシッツ連続になってる事)を利用して高々解が２つしかない事からわかる

109:１３２人目の素数さん
21/06/20 17:34:47.03 De00mPCW.net
　　　微分積分のアイデア自体はいたるところで使われていますが、積分が何の役に立つんですか
　　　　　面積を計算したかったら　どんな複雑な図形でも、点をランダムにたくさん落とし、その点の個数の割合で計算するという方法が知られている
　　　積分の公式を使ってシコシコ計算するより、こちらの方が直截で、美しいように見える

110:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:04:53.92 D/WuJVBA.net
>>106
そっかそっか

111:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:12:15.86 De00mPCW.net
　　　数学は現代の日本人にとって難しいというより
　　　　　　　　　　自分でやる　　　　→　　　　公理の構築からしてほぼ不可能
　　　　　　　　　　色々な定理も含めガリガリ勉強しズルをする　　　→　　　バカでもできる

112:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:12:58.63 aLctkghf.net
>>107
それ近似値しか出ないですよね

113:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:18:45.44 De00mPCW.net
>>110

　　生活に応用するなら近似値でもおおいにけっこう　　　なんで厳密な実数値を出す必要があるのか分からない
　　　　それに被積分関数が知られていないものもあるし

114:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:25:26.55 q7bjrae/.net
生活に応用したいなら勝手にやってれば？

115:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:30:52.24 yisf4jgs.net
そっかあ

116:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:32:43.49 fd8tQw49.net
複雑な図形だと点をランダムに落とす以前に正確に図を作る手間が大変なのでは
てか一つ次元あげて体積の計算だとどうするの？

117:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:33:23.80 De00mPCW.net
　　結局すごい定理はすごい定理からしか出てこないんだよな　　だからすごい定理を証明したかったらすごいことを知らないといけないから絶望

118:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:34:48.40 De00mPCW.net
>>114

　　　余計に便利　　　３次元空間の体積なんか普通計算できないから、　　モンテカルロ法でパソコンに計算させた方が早い

119:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:40:10.19 q7bjrae/.net
この人もπと3.14の違いがわからない人なのかな

120:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:44:20.11 Dq2CdIxm.net
まぁ意味がわからないならやる必要はない

121:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:46:23.03 De00mPCW.net
　　　パソコンで、一辺が２の正方形の中に入っている単位円を描き、この正方形の中にランダムで点を落とし、点が円内に落ちた個数をＡ、円外に落ちた個数をＢとし
　　　　点が円内に落ちる確率　Ａ／（Ａ＋Ｂ）で　πを求めるプログラムを構成せよ。

122:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:48:51.30 q7bjrae/.net
>>119
πと3.14が違うってのはわかる？

123:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:51:24.17 De00mPCW.net
　　一辺２の正方形の中にある単位円があって、その円の中に点が落ちる確率は、　π／４　　　　面積論的確率論

124:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:52:40.24 q7bjrae/.net
>>121
πと3.14が違うってのはわかる？

125:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:53:50.86 Dq2CdIxm.net
パソコン使うのはいいとして、モンテカルロでやろうというのがアホ丸出し
所詮バカはパソコン使わせてもバカ

126:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:59:22.65 De00mPCW.net
　意味不明な文章　　　モンテカルロ法をバカにしているだけ　　アホ丸出し

127:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:04:29.41 gbgMyFMF.net
>>119
> k=10000000
> mean(runif(k,-1,1)^2+runif(k,-1,1)^2<1)*4
[1] 3.141934

128:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:08:12.68 Dq2CdIxm.net
>>124
なんでモンテカルロでやる？
ふちに近いとこメッシュ法でやればいいやろ？
バーカ

129:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:12:38.22 Pl1e+6mw.net
モンテカルロ法は数学ではない
板違い

130:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:13:54.63 De00mPCW.net
>>125

　　　プログラム言語は何？　　ＢＡＳＩＣではできないのか？

131:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:21:10.00 gbgMyFMF.net
>>128
R
種々の分布に従う乱数が標準装備されていて便利

132:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:25:57.34 De00mPCW.net
　　センター試験でも採用されているＢＡＳＩＣでは、１０００００００くらいを超えるともう計算しなくなる。
　　　　桁数をいくらでも増やしても計算できる言語はないか

133:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:41:52.24 gbgMyFMF.net
>>116
不等式で判定できるのはモンテカルロしやすいけど
軌跡の面積や体積は無理じゃないかなぁ？

134:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:48:50.02 De00mPCW.net
>>125

　　これが何を意味しているのか分からんが、ｋを増やしていけばいくらでもπに近づくんじゃねえのか。
　　　　また、この乱数計算を大きくしていくとπになるという数学的証明はできないのか。

135:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:57:08.79

136:D/WuJVBA.net

137:１３２人目の素数さん
21/06/20 20:13:39.32 jA2rtNGF.net
>>132
できるよ
大数の法則

138:１３２人目の素数さん
21/06/20 20:18:09.00 1XoPw825.net
>>42
>>72
(2)　楕円
　(x/a)^2 + yy/(aa-uu) = 1　　(a>u>0)　　…　(*)
これをxで微分すると
　2x/aa + 2yy'/(aa-uu) = 0,
よって
　1/aa = (x+yy')/(uux),
　1/(aa-uu) = - (x+yy')/(uuyy'),
これらを (*) に入れてaを消すと
　(xy'-y)(x+yy') - uuy' = 0　　… (***)
(3)　双曲線
　(x/c)^2 - yy/(uu-cc) = 1　　(u>c>0)　　… (**)
これをxで微分すると
　2x/cc - 2yy'/(uu-cc) = 0,
よって
　1/cc = (x+yy')/(uux),
　1/(uu-cc) = (x+yy')/(uuyy'),
これらを (**) に入れてcを消すと
　(xy'-y)(x+yy') - uuy' = 0　　… (***)
(4)
(***) で　y → z,　y' → -1/z'　とすると
　(xz'-z)(x+zz') - uuz' = 0,
つまり (***) と同じ。

139:１３２人目の素数さん
21/06/20 20:20:36.74 cyz8vMnb.net
放物線C:y=x^2上に2定点A(1,1),B(b,b^2)をとる。ただしb<1とする。
b<p<1をの範囲を変化する実数pに対し、C上の点P(p,p^2)を考える。
（1）∠APBが最小となるpをbで表せ。
（2）pは（1）の値とする。点PにおけるCの接線は、直線ABと平行であるか。結論と理由を述べよ。

140:１３２人目の素数さん
21/06/20 20:22:07.76 De00mPCW.net
　　　放物線を題材にした問題は　　東大入試　　模擬試験に無数にあるが　もう出尽くしてるだろ
　　　　　仮にあったとしても、驚異的なものはない

141:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:09:05.73 b+WkcIjj.net
>>135
それだと(4)はダメやな
直交するかもしれんしか言えてない

142:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:10:52.89 1XoPw825.net
>>99
(問題)
　Aさんは、バス停Cを午前８時に出発して一定の速度で学校Dま
で走った。Bさんは午前８時 15分に学校Dを出発して、Aさんと
同じ道を通って一定の速さでバス停Cまで走ったところ、Aさんが
学校Dに着いた後でバス停Cについた。下図は、午前８時ｘ分
における2人の間の道のりをｙ m として、Bさんがバス停Cにつくまで
のｘとｙの関係を表わしたグラフである。
　このとき、下の問いに答えなさい。ただし、Bさんは学校Dを出
発するまでは動かなかったものとし、また学校に着いたAさ
んは、その後学校Dから動かなかったものとする。
　図　<省略>
(1) 2人が出会ってからAさんが学校Dに着くまでの間について、
　ｙをｘの式で表わしなさい。ただし変域は示さなくてよい。
(2) 2人がまだすれ違っていなくて、2人の間のキョリが 540m のとき
　　Bさんはバス停Cから何mの地点にいるか求めなさい。
(3) Aさんが学校Dに着いてから Bさんがバス停Cに着くまでの間について、
　ｙをｘの式で表わしなさい。ただし変域は示さなくてよい。

143:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:23:50.04 +1YOZlwq.net
バス停と学校にわざわざ名前をつけたのはなぜだろう

144:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:30:58.35 3784H03J.net
バス停は同じところですか
学校は同じところですか
って質問する奴が出るのを防いだ

145:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:38:53.60 1XoPw825.net
(概要)
　バス停C - 学校D のキョリ　1920 m
　Aさんの速度　80 m/分
　Bさんの速度　100 m/分
y =　1920 -　80x　　(0<x<15)
　=　3420 - 180x　　(15<x<19)
　= -3420 + 180x　　(19<x<24)
　= -1500 + 100x　　(24<x<34.2)
x= 0,　　a=0,　b=1920,
x=15,　　a=1200,　b=1920,
x=19,　　a=b=1520,
x=24,　　a=1920,　b=1020,
x=34.2　　a=1920,　b=0.

146:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:55:15.89 wq/iUjte.net
>>133
y' = dy/dx
dF/dx = y'(∂F/∂y) + (∂F/∂y')(dy'/dx)
∂F/∂y - (d/dx)(∂F/∂y')

147: = 0　(2.3) ∴　dF/dx = y'd(∂F/∂y')/dx + (∂F/∂y')(dy'/dx) d(y'(∂F/∂y'))/dx = (∂F/∂y')(dy'/dx) + y'd(∂F/∂y')/dx ∴　(∂F/∂y')(dy'/dx) = d(y'(∂F/∂y'))/dx - y'd(∂F/∂y')/dx ∴　dF/dx = d(y'(∂F/∂y'))/dx　∴　d(F - y'(∂F/∂y'))/dx = 0

148:１３２人目の素数さん
21/06/20 22:00:47.06 nmncFR+G.net
Bさんの謎：
Bさんはなぜバス停に行ったのだろうか
Aさんの様子を見に行っただけなら、途中で会った後にUターンして一緒にダッシュするはず
だが、Aさんが遅刻しまいと必死で走ってる様子にお構いなく、バス停まで行ってしまった
急にサボりたくなったのなら、もう少し待って、朝の出席の後で帰るのが自然
体調の急変なら保健室に行くはず
あと考えられる線は
・二人とも当日が休校日なことを忘れていた（Bさんは8時15分に気付いた）
・Bさんは学校に着いた直後にウンコを漏らした
辺りか

149:１３２人目の素数さん
21/06/20 22:52:06.59 VH8RYVya.net
>>99
>>142に説明と答えがほぼ全て書いてある
理解出来たらマルチしてる方のレスも終わらせてね

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