IUTを読むための用語集資料スレ2

IUTを読むための用語集資料スレ2 at MATH

[前50を表示]
250:１３２人目の素数さん
22/06/07 13:26:57 Y0RvZ70I.net
>>248
中卒ニホンザル　他人の目を盗んで
微分が0にならない、検索しまくりwww
ヤコビアンも逆関数定理も分からん奴には
一生無縁だってwwwwwww

251:１３２人目の素数さん
22/06/10 16:10:41.88 0Da5gZei.net
>>248
追加
これいいね
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
複素解析特論I（つづき）
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平友規
平成 24 年 9 月 21 日
7 リーマン面の基本群・普遍被覆面
今回と次回で，「リーマン面の一意化定理」を証明する．
一口に「リーマン面」といっても，さまざまな構成方法がある．いわゆる格子トーラス T(ω1, ω2)
のようなものはかなり具体的に構成されたリーマン面の部類に入るほうで，たとえば「ガウスの定
理」でみたような例は，曲面に複素構造を与える時点で「ベルトラミ方程式を解く」といういささか
超越的（？）なプロセスを経る分，素性がよくわからない．こうした抽象性を緩和するために，与え
られたリーマン面と「同等な」モデル（模型）を作るのが「一意化定理」(uniformization theorem)
の役割だといってよい．大まかにその主張を述べておきたいので，まずふたつのリーマン面が「同
等」であることを定義する：
つづく

252:１３２人目の素数さん
22/06/10 16:11:05.08 0Da5gZei.net
>>251
つづき
定義（等角同型）．ふたつのリーマン面 S と R が等角同型 (conformally isomorphic) または単に
同型 (isomorphic) であるとは，ある正則（等角）な同相写像 h : S → R が存在するときをいう．
定理 7.1 (一意化定理) 任意のリーマン面は，次のような形のリーマン面 R と等角同
型である：
R = X/Γ
ただし X = C?, C, もしくは D であり，Γ は P SL(2, C) のある離散部分群．
まだ P SL(2, C) が X がどのように作用するのかが説明されていないので，現時点ではかなりあいま
い主張であるが，この X/Γ がモデルに相当するリーマン面である．とりあえず，「任意のリーマン面
は，ごくごく簡単なリーマン面を，P SL(2, C) という比較的素性のよくわかっている群の部分群で
割ったものと同等だ」という部分に意味がある．1 以下ではその構成方法を概観するが，その手順は
はあたかも，地球から地球儀を構成するかのようである．地表をくまなく歩いて地図帳を作り，それ
を使い慣れた材質に写し取りながら模型を構成していく．
まずは準備段階として，定理の証明に必要な「基本群と被覆空間」の用語を復習しつつ，リーマン
面の普遍被覆空間を構成する．2
8 リーマン面の一意化定理
一意化定理の証明を終わらせよう．手順としては，
8.2 商リーマン面の構成
8.3 リーマン面の一意化
単連結リーマン面の一意化定理. まず次の定理は証明無しで用いよう：
定理 8.5 (ケーベ，ポアンカレ) 任意の単連結リーマン面 X は，C?, C，もしくは D と
等角同型である．
証明は簡単ではない．まずコンパクトな場合（C? ）とそうでないでない場合に分け，さらにグリーン
関数が構成できる（D）かできない（C）かで区別される．
つづく

253:１３２人目の素数さん
22/06/10 16:11:55.08 0Da5gZei.net
>>252
つづき
9 タイヒミュラー空間の定義
今回の目標はとにかく，タ空間を定義することにある．最初に前回の補足として例外型・双曲型
リーマン面について解説したあと，言葉の準備（写像の持ち上げ，リーマン面上の擬等角写像）をし
て，定義に取り掛かる．定義の意味については，次回に．
以下，S, R をリーマン面とする．
9.2 写像の持ち上げ
9.3 リーマン面間の擬等角写像の定義
9.5 タイヒミュラー空間の定義
いよいよ，「リーマン面 S のタイヒミュラー空間」を定義する．とりあえず，形式的に定義を済ま
せてしまおう．
S とそのアトラス A を固定する．つぎに，別のリーマン面 R で，S からの向きを保つ擬等角写像
f : S → R が存在するようなもの全体を考える．もう少し形式的に，そのような f と R のペアとし
て (R, f) の形のもの全体を考えるのである．この写像 f をマーキング (marking) と呼び，(R, f) を
マークされたリーマン面 (marked Riemann surface) と呼ぶ．
その全体の集合に，次の同値関係を考えよう：
このとき，同値類の集合
T(S) = {(R, f)}/^T
を S のタイヒミュラー空間 (Teichm¨uller space) と呼ぶ．
このように定義を与えられても，大概の人にとっては意味不明であろう．たとえば，次のような疑
問点が生じる：
つづく

254:１３２人目の素数さん
22/06/10 16:12:29.20 0Da5gZei.net
>>253
つづき
10 タイヒミュラー空間とモジュライ空間
今回の目標は次の 2 点である：
・モジュライ空間を定義し，タイヒミュラー空間との関係を明らかにすること．
・これらの空間の具体例として，トーラスのタ空間とモ空間について概説すること．
・ Se からさらに S と同型なモデル S/G e を作る．
・ Se は X = C?, C, もしくは D と同型なので，モデル S/G e の構成方法をそのまま X で再現でき
る．そうして得られるモデルが S の一意化．
10.1 モジュライ空間
10.2 モジュラー群，あるいは写像類群
10.3 アトラスの分類とタイヒミュラー空間
10.4 トーラスのタイヒミュラー空間
タ空間の具体例として，トーラスのそれが上半平面
H := {x + yi ∈ C : y > 0}
と同一視できることについて概説しよう．15
11.1 単位円板 vs. 上半平面.
12.3 タ空間の複素構造
(引用終り)
以上

255:１３２人目の素数さん
22/06/10 17:51:00.04 0Da5gZei.net
>>251
追加
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
タイヒミュラー空間の基礎のキソ
名古屋大学大学院多元数理科学研究科
川平友規
第47回函数論サマーセミナー
2012年8月27日

256:１３２人目の素数さん
22/06/12 18:27:16.23 Vf6rE6Wr.net
URLﾘﾝｸ(www.cajpn.org)
複素解析学ホームページ
URLﾘﾝｸ(www.cajpn.org)
修士・博士論文アーカイブ
URLﾘﾝｸ(www.cajpn.org)
名古屋大学大学院
多元数理科学研究科修士論文
C / Z との擬等角同値性について
著者氏名　藤野弘基
指導教員　大沢健夫
2014年2月
謝辞
　川平友規先生には, 本研究の進展において重要となった “擬円板の性質
を用いる” というアイデアを頂きましたことを, 厚く御礼申し上げます.
第 1 章擬等角写像 1
1.1 曲線族モジュラス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 極値的距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 擬等角写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第1章擬等角写像
Ahlfors?Beurling [3]によって導入された極値的長さを考えることによっ
て, 擬等角写像が特徴付けられる. これは擬等角写像の幾何学的定義と呼
ばれ現在では一般的によく知られていることである. この章では極値的長
さの逆数として与えられる量, 曲線族モジュラスを用いて擬等角写像を定
義する. 曲線族モジュラスは曲線族全体の上で定義された外測度を定める
など, 極値的長さに比べ扱いやすい性質を多く持つ.

257:１３２人目の素数さん
22/06/12 20:46:33.75 Vf6rE6Wr.net
>>255
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Teichmuller space
It can be viewed as a moduli space for marked hyperbolic structure on the surface, and this endows it with a natural topology for which it is homeomorphic to a ball of dimension 6g-6 for a surface of genus g >= 2. In this way Teichmuller space can be viewed as the universal covering orbifold of the Riemann moduli space.
Contents
1 History
2 Definitions
2.1 Teichmuller space from complex structures
2.2 The Teichmuller space of the torus and flat metrics
2.3 Finite type surfaces
2.4 Teichmuller spaces and hyperbolic metrics
2.5 The topology on Teichmuller space
2.6 More examples of small Teichmuller spaces
2.7 Teichmuller space and conformal structures
2.8 Teichmuller spaces as representation spaces
2.9 A remark on categories
2.10 Infinite-dimensional Teichmuller spaces
3 Action of the mapping class group and relation to moduli space
3.1 The map to moduli space
3.2 Action of the mapping class group
3.3 Fixed points
4 Coordinates
4.1 Fenchel?Nielsen coordinates
4.2 Shear coordinates
4.3 Earthquakes
5 Analytic theory
5.1 Quasiconformal mappings
5.2 Quadratic differentials and the Bers embedding
5.3 Teichmuller mappings
6 Metrics
6.1 The Teichmuller metric
6.2 The Weil?Petersson metric
7 Compactifications
7.1 Thurston compactification
7.2 Bers compactification
7.3 Teichmuller compactification
7.4 Gardiner?Masur compactification
8 Large-scale geometry
9 Complex geometry
9.1 Metrics coming from the complex structure
9.2 Kahler metrics on Teichmuller space
9.3 Equivalence of metrics
10 See also
11 References
12 Sources
13 Further reading
つづく

258:１３２人目の素数さん
22/06/12 20:47:04.31 Vf6rE6Wr.net
>>257
つづき
History
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus g >= 2. The early study of Teichmuller space, in the late nineteenth?early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincare, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.
The main contribution of Teichmuller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmuller space (introduced by Bers).
The geometric vein in the study of Teichmuller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmuller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.
(引用終り)
以上

259:１３２人目の素数さん
22/06/12 23:01:59.33 Vf6rE6Wr.net
擬等角写像 Quasiconformal mapping
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Quasiconformal mapping
Contents
1 Definition
2 A few facts about quasiconformal mappings
3 Measurable Riemann mapping theorem
4 Computational quasi-conformal geometry

260:１３２人目の素数さん
22/06/12 23:11:50.47 Vf6rE6Wr.net
似ているが、ちょっと違う
Quasiregular map：between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally,・・
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Quasiregular map
In the mathematical field of analysis, quasiregular maps are a class of continuous maps between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally, between Riemannian manifolds of the same dimension, which share some of the basic properties with holomorphic functions of one complex variable.
Contents
1 Motivation
2 Definition
3 Properties
4 Rickman's theorem
5 Connection with potential theory

261:１３２人目の素数さん
22/06/12 23:24:14.69 Vf6rE6Wr.net
Punctured Torus Group
URLﾘﾝｸ(www.cajpn.org)
複素解析学ホームページ資料室
1998 Punctured Torus Groupに対するending lamination予想の解決（糸健太郎，小森洋平，須川敏幸，谷口雅彦）
目次・1-5章 PDF 1459KB URLﾘﾝｸ(www.cajpn.org)
6-9章 PDF 1452KB URLﾘﾝｸ(www.cajpn.org)
10-12章・参考文献 PDF 1546KB URLﾘﾝｸ(www.cajpn.org)

262:１３２人目の素数さん
22/06/18 16:30:24.72 KMJjixPB.net
q-parameter
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Computing integral points on X+ns(p)
Aur´elien Bajolet, Yuri Bilu?
, Benjamin Matschke??
November 24, 2020
Contents
1 Introduction 1
2 Modular curves, nearest cusps and q-parameters 4
2.2 The q-parameter at a cusp
For P ∈ Ωc we define the q-parameter qc(P) by qc(P) = e^2πiτ(P)

263:１３２人目の素数さん
22/06/18 21:10:45.93 KMJjixPB.net
リーマン面
URLﾘﾝｸ(www.th.phys.titech.ac.jp)
武藤研究室東京工大
URLﾘﾝｸ(www.th.phys.titech.ac.jp)
物理数学第一平成１８年度　学部　３学期
URLﾘﾝｸ(www.th.phys.titech.ac.jp)
第 13 章解析接続
Ｐ6
13.2 Riemann 面
多価関数に対して，その定義域を制限することによって，１価関数が定義できる。いま，こ
のように制限された定義域である複素平面を何枚か特別な方法でつなぎ合わせ，多価関数を新
たにそこで定義された１価関数であるように解釈することができる。このとき，このように拡
張された定義域のことを Riemann 面という。Riemann 面で新たに定義された関数は１価関
数であるので，１価関数の理論が適用できる。一般的に，関数 f(z) の Riemann 面は，z 平面
における f(z) の分岐点を結ぶように切れ込みを入れ，その切れ込みに沿って１つの複素平面
を別の複素平面につなぎ合わせて作られる。
1 log z の Riemann 面
複素平面を無限枚用意して，それぞれに，次のように番号をつける。
Rk 上における log z の値は
log z = log | z | + i arg z ( 2kπ <= arg z < 2(k + 1)π )
各平面 Rk（k = 0, ±1, ±2, ・・・）の実軸の
正の部分（分枝せっ線）を切り離し，
Rk の分枝せっ線の上岸を Rk+1 の分枝せっ線の下岸とつなぎ合わせる。
このようにしてつなぎ合わせた無限枚の複素平面 Rk （k = 0, ±1, ±2, ・・・）は連結した
１つの複素平面 R となる。
対数関数 log z ｂｪ，複素平面 R で定義されるとみなすと，関数 ω = log z は z と ω を１
対１に対応させる。この複素平面 R を log z の Riemann 面という。

264:１３２人目の素数さん
22/06/18 21:11:09.15 KMJjixPB.net
リーマン面2
URLﾘﾝｸ(coral.t.u-tokyo.ac.jp)
藤原研究室東大
URLﾘﾝｸ(coral.t.u-tokyo.ac.jp)
数学2 複素関数論とフーリエ解析
URLﾘﾝｸ(coral.t.u-tokyo.ac.jp)
第一部：複素関数論
第 8 章
解析接続とリーマン面
複素解析の最も重要な結論の 1 つ、解析接続について説明しよう。解析接
続によって、正則関数が或る領域たとえば実軸上で定義されたとき、関数の
定義域を拡張していく方法が与えられる。
8.2 解析接続とリーマン面
複素関数 f1(z) の正則領域が D1; f2(z) の正則領域が D2であり、D1と D2
の共通領域が D0であるとする（図 8.2）。D0内の任意の点 zで f1(z) = f2(z)
であれば、f1の D2内への自然な接続は f2である。f2(z) を f1(z) の D2への解
析接続（analytic continuation）という。
D1と D2の合併集合が単連結領域であるとき、D2における f1の解析接続
f2が可能であればそれは一意的である。

265:１３２人目の素数さん
22/06/22 18:01:21.90 2F1Gh5du.net
URLﾘﾝｸ(www2.meijo-u.ac.jp)
第 15 回整数論サマースクール
「種数の高い代数曲線と Abel 多様体」2007
報告集
目次
1. リーマン面と代数曲線 1
吉冨賢太郎 (大阪府立大学)
2. 代数曲線の Riemann-Roch の定理 15
小川裕之 (大阪大学)
3. Abel-Jacobi の定理 I 61
軍司圭一 (東京大学)
4. Abel-Jacobi の定理 II 81
尾崎学 (近畿大学理工学部), 梅垣敦紀 (早稲田大学高等研究所)
5. 種数 1 における理論 113
山内卓也 (広島大学)
6. 超楕円函数論 131
大西良博 (岩手大学)
7. シグマ関数の代数的表示 177
中屋敷厚 (九州大学)
8. Inversions of Abelian Integrals 191
難波誠 (追手門学院大学)
9. CM 型の Abel 曲面について 199
梅垣敦紀 (早稲田大学高等研究所)
10. 暗号理論に向けての因子の加法の計算法 211
志村真帆呂 (東海大学)
11. 代数曲線暗号とその安全性 223
松尾和人 (情報セキュリティ大学院大学)
12. アーベル多様体の有理等分点について 239
小川裕之 (大阪大学)
13. Algebraic Theory of Abelian Varieties via Schemes 247
小林真一 (名古屋大学)
14. 超楕円曲線のヤコビ多様体の形式群 265
西来路文朗 (広島国際大学)
15. アーベル多様体の Birch-Swinnerton-Dyer 予想についての話題 291
安田正大 (京都大学)

266:１３２人目の素数さん
22/06/23 07:06:46.29 a95T6DpP.net
>>490 補足と訂正
　P37 平面曲線 w＝f(z) から f(w,z)＝0 なる複素平面曲線（陰関数）への視点の転換がある
　（定義域と値域の区別がなくなる）
　（P38のヤコビアン判定法（下記陰函数定理）を使う）
　　↓
1）複素平面曲線（陰関数）への視点の転換は、良いが、
　ここは陰函数定理wikipediaの「例と導入」に説明があるとおり
　一価関数でない場合にも、曲線の一部に注目して、y＝g(x)なる微分可能関数の存在を示すことにある（y＝g(x)はwikipediaの表記）
　（P13 楕円曲線で、y^2＝x^3+ax^2+bx+c として、y^2＝・・のまま。これで、y＝の形になってない段階で、実質は陰関数ですね URLﾘﾝｸ(imgur.com) ）
2）なお、リーマン面の数学的定義では、特に定義域うんぬんの記述はないが、
　P36にあるように、位相空間X （ハウスドルフ）として、Ui∈X で、写像φi：Ui→C （Cは複素平面(P37記述より）)
　で、φiが正則写像（P37）であることを要求しているので
　Xは、写像φiの定義域です
3）なので、具体的な関数w＝f(z)(例えば寺杣P41超楕円曲線)を考えるとき、そのリーマン面とは、定義域を複素平面から位相空間X に拡張したものです
　（なお「自明なリーマン面の例として、複素平面Cの開集合が挙げられる」(P37)とあります）
詳しくは、寺杣 P36～37 を見てください
以上、補足と訂正でした

267:１３２人目の素数さん
22/06/23 07:07:31.38 a95T6DpP.net
>>266
誤爆すまん

268:１３２人目の素数さん
22/06/23 18:04:00.64 6okYm70B.net
URLﾘﾝｸ(flag3.github.io)
flag3 のページ
URLﾘﾝｸ(flag3.github.io)
基本群と被覆空間の Galois 理論
flag3 (@flag3833753)
2020 年 6 月 28 日 (最終更新日：2021 年 11 月 11 日)
概要
Galois 理論という，数学的対象の構造を Galois 群や基本群と呼ばれる群を用いて記述するという理論
があります．特に被覆空間の Galois 理論という，unloopable な位相空間上の被覆空間全体がなす圏を基
本群によって記述するという理論があります．これは体の Galois 理論という，体上の有限 étale 代数全体
がなす圏は絶対 Galois 群によって記述されることの類似になっています．本原稿では被覆空間の理論を紹
介したいと思います．前提知識として群論・位相空間論の初歩的な知識は仮定します．

269:１３２人目の素数さん
22/06/23 18:28:13.44 6okYm70B.net
URLﾘﾝｸ(pantodon.jp)
Algebraic Topology
被覆空間
基本群と被覆空間は密接な関係にある。また, ファイバー束や fibration の練習としても被覆空間を学ぶことは重要である。そのため, [玉20] では, 最初にファイバー束の toy model として被覆空間についてまとめた。また, 数学セミナーにも簡単な説明 [玉13] を書いた。
Riemann面など上では分岐被覆を考えることが多い。
分岐被覆 (branched covering)
具体的な問題からできる被覆空間は, monodromy と密接に関連している。
monodromy
被覆の概念は, 位相空間以外にも拡張されている。基本群に類するものがあれば, 関連して covering があると考えてよいだろう。例えば, 体のGalois理論など。
そのような状況を扱うための一般的な枠組みとして Grothendieck が SGA 1 [SGA103] で導入したのが, Galois category である。名前の通り, Galois理論と被覆空間の理論を統一して扱うことを目的とする。これにより scheme の étale fundamental group などが定義できる。
Galois categroy
ただ, このGrothendieck の枠組みに入らないものもある。

270:１３２人目の素数さん
22/06/25 10:39:31.42 rjLBI7WT.net
URLﾘﾝｸ(www.wannyan.net)
Scientific Doggie?数理の楽しみ
URLﾘﾝｸ(www.wannyan.net)
楕円積分と楕円関数
URLﾘﾝｸ(www.wannyan.net)
楕円積分と楕円関数

271:１３２人目の素数さん
22/06/25 11:24:41 rjLBI7WT.net
URLﾘﾝｸ(www.ist.aichi-pu.ac.jp)
「実 / 複素ゼータの世界」から「p 進ゼータの世界」へ ?
東京電機大学未来科学部 † 原隆 ‡
? 第 26 回整数論サマースクール『多重ゼータ値』報告集原稿 2018

URLﾘﾝｸ(www.ist.aichi-pu.ac.jp)
第26回整数論サマースクール報告集 2018
「多重ゼータ値」

272:１３２人目の素数さん
22/06/25 13:34:33.32 rjLBI7WT.net
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録
1073 巻 1998 年 1-48
RIGID 解析入門
加藤文元
九州大学大学院数理学研究科
この小論は 1998 年 5 月 6 日から同 8 日まで京都大学数理解析研究所にて開催さ ’
れた研究集会「リジッド幾何学と群作用」において筆者が行った講演「p 進解析入門
I、II」の報告として、その予稿をまとめ、更に幾つかの点について必要と思われる部
分を付足したものである.
CHAPTER 1
TATE による RIGID 解析.
1. 基本思想.
まず、簡単な例について複素解析的状況との比較から始めよう 1
複素解析の時と全く同様に解析学を展開しようと
すると、実は非常に本質的な問題が生じる. これを具体的に見てみよう:
即ち_、解析接続の原理_、つまり「一致の原理} (principle of unique continuation)」に関
する問題点である. よく知られている様に、K の距離位相は全不連結 (totally disconnected) である、即ち 2 点以上からなる部分集合は連結でない (例えば [Gouv^ea 1997,2.3.8] を参照). 特に任意の開集合は決して連結ではない 4. 従って、意味のある解析接
続の概念を得る事はこのままでは不可能である; ある点のまわりで局所的に巾級数で
書けても、その点以外の点のまわりでのその関数の性質は、それがどんなに近い点で
あっても、もとの点のまわりの性質とは全く関連が無い、という事になってしまう.
読者は、これらの問題は上記の関数の解析性の定義に現れた「局所的」という概念
がそもそもの災いの発端であると気付かれるだろう. 念のためもう -度整理すると:
つづく

273:１３２人目の素数さん
22/06/25 13:34:57.48 rjLBI7WT.net
>>272
つづき
(1) 既にある関数が「解析的」であるかどうかを、巾級数で書けるどいう「局所的」性質で特徴付ける事は十分意味のある事であるが、
(2) 逆にその「局所的」性質だけからでは意味のある「解析関数」を特徴付ける事は出来ない、
(3) なぜなら、位相があまりにも細かすぎるため解析接続の原理が有意義に働かないからである.
従って、この「局所的」という概念を改良する事が必要となる. これは (少なく
とも筆者にとっては) 非常にデリケートでわかりにくい話となってしまう可能性があ
るので、ここで問題点を今一度整理しつつ反省してみようと思う.
「局所的」を改良しようと思ったら、ある程度以上細かくなりす
ぎない様に、開被覆の取り方に制限を加えるという事が最も重要なポイントとなる.
そこで、この「開被覆の取り方に制限を加える」という事を実際に実行する際の
処方箋を、 Tate のアイデアに従って段階的に概観してみよう:
(引用終り)
以上

274:１３２人目の素数さん
22/06/25 13:36:16.46 rjLBI7WT.net
URLﾘﾝｸ(www2.meijo-u.ac.jp)
リジッド幾何学の概説
加藤文元
2008 年度代数学シンポジウムでの筆者の講演に基づいて報告致します.
1. はじめの一歩
歴史的には，リジッド幾何学は非アルキメデス的付値体上の解析幾何学と
してスタートした．
1.2. 非アルキメデス的函数論.
非アルキメデス的函数論においては，複素函数論の場
合とは本質的に異なった解析接続の理論を展開する必要がある．そして，こ
の点がリジッド幾何学における二つ目のキーワード「やや大域化された局所」
という考え方につながっていくポイントなのである．
2. リジッド幾何学の出発点
2.1. 歴史. 1961 年の Harvard 大学における J. Tate のセミナーにおいて，初
めてリジッド幾何学のアイデアが紹介された．このセミナーノートは Tate 本
人の承諾なしに回覧され，Inventiones から出版までされてしまった．この内容
を踏まえて，Grauert-Remmert が 1966 年に非アルキメデス的函数論に Tate の
アイデアを導入する．ここでは Weierstrass の準備定理の非アルキメデス版と
いった，函数論を展開する上での基本的な理論が展開されている．また，今日
でも使われている ‘affinoid’ という用語を初めて用いたのも彼らである．
つづく

275:１３２人目の素数さん
22/06/25 13:36:37.88 rjLBI7WT.net
>>274
つづき
「やや大域化された局所」の一つ
のわかりやすい現れとして，以下のものを挙げる：代数幾何学，複素解析幾
何学，そしてリジッド解析幾何学における「最も基本的な」空間とは何か？
・代数幾何学においては，それはアフィン直線 A1k= Spec k[T] であり，
・複素解析幾何学においては，単位開円盤 ? = {z ∈ C | |z| < 1} であろう．
・リジッド解析幾何学において，それは単位閉円盤
　D1K = {z ∈ K | |z| ? 1}.
である（前述の通り，これは開集合でもあることに注意）．
このような空間の取り方にも，複素解析的状況と代数幾何的状況との間の
「中間的な」局所の概念を持つ幾何学という，リジッド幾何学特有のあり方が
現れている．ただし，ここで大事な（そして技術的に難しい）ことは，ここ
で言う単位閉円盤には，単なる距離位相とは異なる位相を考えているという
ことである．これについては，なぜ「閉」円盤を考えるのが自然なことなの
か，ということも含めて，以下で説明を試みる．
3. 単位閉円盤
というわけで，Tate による古典的なリジッド幾何学の基本的なアイデアに
ついて，特に単位閉円盤という対象を通して説明しよう．
(引用終り)
以上

276:１３２人目の素数さん
22/06/25 14:23:33.30 rjLBI7WT.net
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
J-STAGEトップ/数学/55巻(2003)4号/書誌
Rigidanalyticgeometry
加藤文元
2003年55巻4号p.392-417
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
1導入
複素数体C上の代数幾何学では,複素解析的な視点や手法はしばしば有効である.主にSerreの
GAGA原理に基づいて,技術的な自由度のより大きな解析的手法を用いることは,代数幾何学の様々
な側面において大きな成功をもたらしてきた.端的に言って,表題のrigid解析幾何学は,この様な
解析的’理論をp-進数体などの非Archimedes的付値体上で行い,これらの体上の代数幾何学への有
効な応用を与える枠組みである.
本稿ではrigid解析の草創期から現代に至る発展を概観し,諸理論の間の関係を出来るだけ明らかに
することを目的とした.
さて,本論に入る前に導入として,幾つか事項をざっとまとめておこう.
・最初の困難:解析接続:一複素解析においてCの絶対値付値は,それによって‘収束巾級数'の
概念を得ることが出来るという意味で,最も基本的なものであった.完備非Archimedes的付値体K
においても,全く同様に収束巾級数の概念は得られる.従って,同様に解析函数の概念を得ることが
可能だと思われるかも知れない.しかし,ここにはKの位相的性質から来る根本的な困難がある.
困難その1:付値によるK上の距離位相は全不連結(totallydisconnected)であり,空でない開集
合は全て連結でない.いかなる開集合も,いくらでも多くの開集合(例えば開円盤)で分割出来てしま
う.従って,与えられた開集合上の6各点で収束巾級数に展開可能’という条件で正則函数を定義する
と,その全体は非常に巨大な集合となり,そのままで意味のある解析理論を構築することは出来ない.
つづく

277:１３２人目の素数さん
22/06/25 14:24:04.03 rjLBI7WT.net
>>276
つづき
困難その2:距離の非Archimedes性からわかることであるが,K内の任意の二つの開円盤は非自
明な交わりを持たない,つまり交わるなら一方が他方に包含される.もし巾級数Σα調が0<T<
∞を収束半径に持つとき,円盤{z∈K|z|くr}内のどの点で巾級数展開し直しても,その収束円
は元の円盤{z∈K|z|くr}に一致してしまう.
一つ目の困難は,正則函数を‘局所的’な条件で定義することは出来ないことを,二つ目は複素解析
におけるのと同様な解析接続’の考え方でも,良い正則関数の概念を得ることは出来ない,というこ
とを示唆している.
この様な困難は全く非Archimedes的解析に特有のものであり,その克服が非Archimedes的函数
論の構築には不可欠なことであった.その過程で重要なのは‘正しい正則函数の概念は何か’という問
題と同時に,より基本的な・正しい『連結領域』の概念は何か’という問題も考えられなければならな
かったという点である.これらは局所理論に止まっている限りは意味の無い問いであるが,そこから
出発して大域的な解析函数の理論を構築する際に回避出来ない問題であった.
・‘やや大域化された局所,の考え方:一この困難は非Archimedes的距離位相が‘細かすぎる’こ
とに由来している.
謝辞.本稿§5は藤原一宏氏の許可の下,2001年1月10日及び11日の藤原氏の北海道大学での講
演のノートを基にして記述した.藤原氏に感謝したい.また査読者の方々からは,文章構成などに関
して多くのお知恵を頂いた.査読者の方々に感謝したい.
(引用終り)
以上

278:１３２人目の素数さん
22/06/25 20:14:53.38 rjLBI7WT.net
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
田崎博之のページ
2023年3月末日に勤務している筑波大学を定年退職します。それに伴ってこのホームページは閉鎖します。その際、ホームページの全部または一部をどこかに移設しようと考えています。移設先や内容についてアドバイスやご意見等ありましたら、お知らせいただければ幸いです。
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
講義
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理物質科学研究科：微分幾何学I(月2)
ファイバー束
pdf : 講義資料(7月22日分まで)
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
第1章基本群と被覆空間

279:１３２人目の素数さん
22/06/25 23:10:27.85 rjLBI7WT.net
URLﾘﾝｸ(www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp)
Hiroshi Hirai
Associate Professor
Department of Mathematical Informatics,
Graduate School of Information Science and Technology,
University of Tokyo, Tokyo, 113-8656, Japan.
URLﾘﾝｸ(www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp)
R2 幾何数理工学
位相幾何: 被覆空間 [ノート][きれいなノートupdate]
URLﾘﾝｸ(www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp)
幾何数理工学ノート
位相幾何：被覆空間
平井広志
東京大学工学部計数工学科数理情報工学コース
東京大学大学院情報理工学系研究科数理情報学専攻
hirai@mist.i.u-tokyo.ac.jp
協力：池田基樹（数理情報学専攻 D1）
7 被覆空間
URLﾘﾝｸ(www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp)
幾何数理工学ノート
位相幾何：ホモロジーの計算
平井広志
東京大学工学部計数工学科数理情報工学コース
東京大学大学院情報理工学系研究科数理情報学専攻
hirai@mist.i.u-tokyo.ac.jp
協力：池田基樹（数理情報学専攻 D1）
8 ホモロジーの計算

280:１３２人目の素数さん
22/06/29 13:53:28 gXl0/xIG.net
IUTゴミ箱へ他人のpdfを収拾するとは
たいへん失礼です
ただちにおやめください

281:１３２人目の素数さん
22/07/03 07:29:50.61 ufzWvOVH.net
quantum Teichmuller Theory wiki で検索した結果下記
URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
Teichmuller theory nLab
Contents
1. Idea
2. Properties
Complex structure on Teichmuller space
Relation to moduli stack of complex curves / Riemann surfaces
3. Related concepts
4. References
3. Related concepts
Kodaira-Spencer theory
moduli space of curves
Grothendieck-Teichmuller group
quantum Teichmuller theory
p-adic Teichmuller theory
inter-universal Teichmuller theory
Outer space
for version in supergeometry see at super Riemann surface
URLﾘﾝｸ(hal.archives-ouvertes.fr)
HAL (フランス)
Handbook of Teichmuller theory, Volume III
Athanase Papadopoulos 1
1 IRMA - Institut de Recherche Mathematique Avancee
URLﾘﾝｸ(scholar.google.ae)
Rinat Kashaev
Associate Professor of Mathematics, University of Geneva
Quantum TopologyMathematical Physics
Quantization of Teichmuller spaces and the quantum dilogarithm
RM Kashaev
Letters in Mathematical Physics 43 (2), 105-115 引用246 1998年
URLﾘﾝｸ(sciencewise.info)
ScienceWISE
Mapping class group of a surface
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics, and more precisely in topology, the mapping class group of a surface, sometimes called the modular group or Teichmuller modular group, is the group of homeomorphisms of the surface viewed up to continuous (in the compact-open topology) deformation. It is of fundamental importance for the study of 3-manifolds via their embedded surfaces and is also studied in algebraic geometry in relation to moduli problems for curves.
つづく

282:１３２人目の素数さん
22/07/03 07:30:21.39 ufzWvOVH.net
>>281
つづき
The mapping class group can be defined for arbitrary manifolds (indeed, for arbitrary topological spaces) but the 2-dimensional setting is the most studied in group theory.
The mapping class group of surfaces are related to various other groups, in particular braid groups and outer automorphism groups.
Contents
1 History
2 Definition and examples
2.1 Mapping class group of orientable surfaces
2.2 The mapping class groups of the sphere and the torus
2.3 Mapping class group of surfaces with boundary and punctures
2.4 Mapping class group of an annulus
2.5 Braid groups and mapping class groups
2.6 The Dehn?Nielsen?Baer theorem
2.7 The Birman exact sequence
3 Elements of the mapping class group
3.1 Dehn twists
3.2 The Nielsen?Thurston classification
3.3 Pseudo-Anosov diffeomorphisms
4 Actions of the mapping class group
4.1 Action on Teichmuller space
4.2 Action on the curve complex
4.3 Other complexes with a mapping class group action
4.3.1 Pants complex
4.3.2 Markings complex
5 Generators and relations for mapping class groups
5.1 The Dehn?Lickorish theorem
5.2 Finite presentability
5.3 Other systems of generators
5.4 Cohomology of the mapping class group
6 Subgroups of the mapping class groups
6.1 The Torelli subgroup
6.2 Residual finiteness and finite-index subgroups
6.3 Finite subgroups
6.4 General facts on subgroups
7 Linear representations
(引用終り)
以上

283:１３２人目の素数さん
22/07/03 07:48:51.05 ufzWvOVH.net
>>281
関連
URLﾘﾝｸ(pantodon.jp)
Algebraic Topology: A guide to literature
Teichuller空間 Last updated on 2021-07-08
Riemann面に関係したことを考えるときには Teichuller空間は必ず必要になる。
・Riemann面のmoduli spaceは Teichmuller spaceのmapping class groupによる商空間
・Teichmuller空間はEuclid空間と同相であり, よって可縮
このことから, global qutientであるmoduli spaceを orbifoldとみなして考えるのは自然である。Harerと Zagier [HZ86] はそのorbifoldとしての Euler characteristicを計算している。そのDeligne-Mumford compactificationについては BiniとHarerが [BH]で求めている。
またRiemann面のmoduli spaceはmapping class groupの分類空間にかなり近いものであることも分かる。実際, Harerは[Har86]で, 「割る前」のTeichmuller空間を mapping class groupの作用を込めて考え, mapping class groupのvirtual cohomological dimensionの評価を得ている。
Teichmuller 空間の量子化は, Bonahon と Liu [BL] や Guo と Liu [GL] によると, Kashaev [Kas98] と Chekhov と Fock [FC99] により独立に発見されたらしい。 Quantum Teichmuller spaceについてまとめたものとしては, Teschner の [Tes], Chekhov の lecture note [Che], Guo による survey [Guo] などがある。
・quantum Teichmuller space
・Kashaev algebra
Guo と Liu の [GL]は, その2つのアプローチの間の関係を調べようという試みである。
[河野俊97]
河野俊丈. 曲面の幾何構造とモジュライ. 東京: 日本評論社, 1997.

284:１３２人目の素数さん
22/07/03 08:37:55.25 ZovL2Rda.net
IUT応援スレと資料スレは
7/15からIUTスレに統合いたします
コピペにつきましては
「特別支援スレ」純粋・応用スレ
のみで実行願います

285:１３２人目の素数さん
22/07/03 09:23:14.07 ufzWvOVH.net
メモ
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
中西敏浩
基本情報
所属島根大学総合理工学部数理科学科数理科学科教授
学位
理学博士(京都大学)
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
講演・口頭発表等
タイヒミュラー空間の測地的長さ関数による座標とその写像類群への応用
第31回東北複素解析セミナー 2017年
タイヒミュラー距離のなめらかさについて I
研究集会「2次微分の幾何とその周辺」 2017年
Generation of finite subgroups of the mapping class group of genus 2 surface by Dehn twists
第15回代数曲線論シンポジウム 2017年
擬等角写像の偏導関数のL^p可積分性
ベルトラミ方程式勉強会(part 1) 2017年
タイヒミュラー空間のトレース関数と写像類群の有理変換としての表現
広島大学トポロジー・幾何セミナー 2016年
Counting lattice points in the moduli space of curves
「位相的漸近式入門｣研究集会 2016年
種数2の閉曲面の写像類群の有限部分群の表示について
広島大学幾何・トポロジーセミナー 2016年

286:１３２人目の素数さん
22/07/03 09:23:44.24 ufzWvOVH.net
>>284
どうぞｗ

287:１３２人目の素数さん
22/07/03 15:49:30.44 VxFJyWOX.net
>>286
夜郎自ラヲ大ナリトス

288:１３２人目の素数さん
22/07/03 19:35:58.01 SAZLFOJG.net
>>284
過去も今後もIUTスレと無関係です。
隔離スレのIUT応援スレでどうぞ

289:１３２人目の素数さん
22/07/09 08:25:37.93 ETpiR2xz.net
リーマン面
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)はてなブログ/entry/definition-of-Riemann-surface
tsujimotterのノートブック
2020-02-04
リーマン面の定義
数学解析学リーマン面
最近、寺杣先生の「リーマン面の理論」という本を勉強しています。
tsujimotterはこれまで位相空間論や多様体の勉強をほとんどしてこなかったので、理解するのにだいぶ苦労しています。進捗は遅そうですが、少しずつでも読み進めようと思っています。
第一段階として、自分自身の理解の確認のためにリーマン面の具体例を構成していきたいと思っています。今回はその前段として「リーマン面の定義」を丁寧にまとめていきたいと思います。
なお、今回の記事では「わかりやすく伝える」という意図はあまりなく、ただただ実直に定義を理解しようという考えで書いています。その点はご理解ください。
定義
定義：リーマン面
X を第二可算公理を満たす位相空間で連結かつハウスドルフであるとする。
X のある開被覆 X=?i∈IUi と、各 i∈I に対して C の開集合への同相写像
φi:Ui→C
を考える。
X と {(Ui,φi)}i∈I の組が次を満たすとき、(X,{(Ui,φi)}i∈I) はリーマン面であるという：
任意の i,j∈I に対して、Ui∩Uj≠? ならば
φj*φ-1i:φi(Ui∩Uj)→φj(Ui∩Uj)
は正則関数
※単に「X はリーマン面である」ともいう。
長い条件でしたが、上記の条件をすべて満たすものがリーマン面です。リーマン面の具体例として対象 X を作る際には、対象 X がこの条件をすべて満たすかどうか確認する必要があります。私たちが示すべき目標を列挙したものといえます。
しかしながら、リーマン面の定義は、簡単なものではありません。条件がかなり多く、ただちに意味を捉えるのが難しいですね。丁寧に一つひとつ条件を確認しましょう。
つづく

290:１３２人目の素数さん
22/07/09 08:26:05.74 ETpiR2xz.net
>>289
つづき
① X は位相空間
まず、「X は位相空間である」ことを示す必要があります。位相空間の定義はここでは省略します。
「X は位相空間である」を示すためには、X の開集合系を決定するなどの方法があります。ほかにも、別の位相空間を定義してから、その位相空間から誘導される位相を考えることもあります。次回具体的な例を作る際には、後者の方法をとりたいと思いますが、具体的な方法についてはそのときに議論しましょう。
⑥ C の開集合への同相写像 φi:Ui→C
上で定めた開被覆の各開集合 Ui に対して、「C の開集合への同相写像 φi:Ui→C」とは、C のある開集合 Vi に対して、同相写像
φi:Ui→Vi
を考えるということですね。この Ui と φi:Ui→C の組 (Ui,φi) を座標近傍系といい、今考えている座標近傍系全体の集合 {(Ui,φi)}i∈I をアトラスといいます。
同相写像 φi の行き先は C ということで、C の各点には複素数の値が定まります。したがって、X の一部分に、φi を通して C による座標が貼り付けられるということです。
X の開被覆に属するすべての開集合に対して座標近傍系が定義されているので、X の各点に座標が定まったといえます。
また、座標近傍系は、今考えている特定の開被覆に対して定めれば十分であることに注意します。
ここは僕が最初に誤解したポイントでした。座標近傍系はあくまで「今考えている開被覆に対して」定めればよいのであって、その開被覆に属さないような「任意の開集合に対して」定める必要はないということですね。
なお、φi が同相写像であるとは、φi が次の３つの条件を満たすことをいいます。
・φi が全単射
・φi が連続写像
・φ-1i が連続写像
さらっと「同相写像である」と書いていましたが、条件を示すのが結構大変だとわかるでしょう。
つづく

291:１３２人目の素数さん
22/07/09 08:26:40.17 ETpiR2xz.net
>>290
つづき
⑦ φj*φ-1i:φi(Ui∩Uj)→φj(Ui∩Uj) は正則関数
上によって、X には各点に対して座標が定まったわけです。局所的には座標が定まっていますが、それが全体的に「うまくいっている」かどうか考える必要があります。
共通部分を持つ開被覆 Ui,Uj を考えたときに、Ui,Uj にはそれぞれ異なる座標近傍系 φi,φj が定まっています。つまり、共通部分 Ui∩Uj には φi,φj という2通りの座標近傍系が定まっているわけですね。リーマン面の条件⑦では、これらの座標近傍系の間の「整合性」を要請しています。
この整合性についてより詳しく説明したいと思います。Ui∩Uj を φi,φj によって写したものをそれぞれ φi(Ui∩Uj),φj(Ui∩Uj) と書くことにします。これらはどちらも C の開集合で、Ui∩Uj と同相です。
URLﾘﾝｸ(cdn-ak.f.st-hatena.com)
よって、次のような合成写像を考えることができます。φi の逆写像 φ-1i によって φi(Ui∩Uj) を Ui∩Uj に戻します。さらに、φj によって Ui∩Uj を φi(Ui∩Uj) に写します。この合成写像を
φj*φ-1i:φi(Ui∩Uj)-→-φ-1iUi∩Uj-→φjφj(Ui∩Uj)
とします。
URLﾘﾝｸ(cdn-ak.f.st-hatena.com)
構成からわかるように、φj*φ-1i は C の開集合から C の開集合への写像となっていますね。つまり、単なる複素関数になります。
条件⑦では、複素関数 φj*φ-1i が正則であることを要請しているというわけです。
リーマン面と多様体の関係
多様体のことを知っている人は、リーマン面の定義が多様体の定義に似ていることに気づいたと思います。
実際、上の定義で C となっているところを Rn に置き換えて、「正則関数」のところを「連続関数（あるいは無限回微分可能）」と置き換えると「n 次元多様体（あるいは n 次元可微分多様体）」の定義そのものになります。C は R2 だと思えて、正則関数は連続関数なので、リーマン面は2次元の多様体となります。
一方、C のところを Cn に置き換えると、これは n 次元複素多様体の定義となります。リーマン面は1次元複素多様体だということができます。
つづく

292:１３２人目の素数さん
22/07/09 08:27:14.10 ETpiR2xz.net
>>291
つづき
おわりに
以上がリーマン面の定義で主張していることの全容です。ある与えられた X がリーマン面であることを示すためには、上記の条件①～⑤がすべて成り立つことを言う必要があります。
次回は、このことを具体的に X=P1 で確認したいと思います。リーマン面の定義を丁寧にすべて確認していくのは、相当に骨が折れます。リーマン面の練習として、頑張って全部の条件を示したいと思います。
それでは今日はこの辺で。
(引用終り)
以上

293:１３２人目の素数さん
22/07/09 09:22:34.10 ETpiR2xz.net
>>291
>多様体のことを知っている人は、リーマン面の定義が多様体の定義に似ていることに気づいたと思います。
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多様体
多様体（たようたい、英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。
直感的な説明
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。地図の上の点は地球上の点に対応し、さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地図と対応させることによって非常に把握しやすくなる。
地球は球であり、世界地図を一枚の平面的な地図におさめようとすれば、南極大陸が肥大化したり、地図の端の方では一枚の地図の中に（連続性を表現するために）同じ地点が複数描き込まれたりする。世界地図をいくつかの小さな地図に分割すると、こういった奇妙なことはある程度回避できる。例えば、北極を中心とした地図、南極を中心とした地図、ハワイを中心とした地図、ガーナを中心とした地図…… などのように分割できる。そして隣り合った地図の繋がりをそれぞれの地図に同じ地域を含めることで表現すればよい。こうすることによって異なる地図同士では重複する部分が出てきてしまうものの、一枚の地図の中に同じ地域が 2 箇所以上描かれることをなくすことはできる。
地球と同じように多様体は好きなところに小さな地図（局所座標系）が描ける図形である。逆に、このような小さな地図を繋げていったら全体としてどのような図形ができあがるのか？という問題は位相幾何学の重要な問題の一つでもある。地図だけみれば地球をまねて作っているようなゲーム(例えば、ファミコン版のドラゴンクエストシリーズ[1])の世界が、実は球面ではなく平坦トーラスだったということもある。
つづく

294:１３２人目の素数さん
22/07/09 09:22:54.89 ETpiR2xz.net
>>293
つづき
多様体は性質のよい図形であり、多様体でない図形も多く存在する。円や球や多角形、多面体などは全て多様体として扱えるが、ペアノ曲線やフラクタルなどは適当な地図を描くことはできず、多様体にはならない。
定義
多様体の定義で重要な点は、多様体の上にいかにして座標系を貼り付けるか？ということと、どのような座標系を用いたとしても計算に違いが現れないようにすることである。多様体は計算したいときに座標を導入でき、しかもどのような座標系で計算したとしても違いがない、すなわち座標系に依存しないという非常に扱いやすい性質が追求された図形である。
ここでいう計算とは関数やベクトル、それらの微分、積分などのユークリッド空間の上で普通に行われているような座標を用いた計算のことである。
つづく

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