IUTを読むための用語集資料スレ2

IUTを読むための用語集資料スレ2 at MATH

[前50を表示]
200:１３２人目の素数さん
22/02/03 07:10:16.37 azzG9pAA.net
「これ良いね」「これ良いね」言って貼ってるけど
それ等の何が具体的にどう良いんだよ摘まみ食い野郎

201:１３２人目の素数さん
22/02/04 16:10:27.26 2uUUa+ra.net
だった自分でなんか書いてみろよ
書けないなら、10年ROMれ

202:１３２人目の素数さん
22/02/06 12:08:54.90 dcjQr8w9.net
これ分かり易いね
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)はてなブログ/entry/affine-scheme-2
tsujimotterのノートブック
2019-05-07
アフィンスキームとは何だろうか(2)
前回はアフィンスキームの定義に向けて、環のスペクトルとザリスキー位相という概念を紹介しました。位相が入ったので、環のスペクトルが位相空間になりました。
今日は、位相空間の上の構造層がテーマです。最終的には、アフィンスキームを定義するところまでいきたいと思います。
本記事の目次：
4. 構造層
代数多様体のアナロジー
構造層の定義
具体例：X = Spec(Z) の場合
前層と層
用語の定義
5. アフィンスキームの定義
アフィンスキームの具体例1：Spec(Z)の場合
アフィンスキームの具体例2：Spec(O_K)の場合（代数体の整数環）
アフィンスキームの具体例3：Spec(K)の場合（体の場合）
おわりに
参考文献
次回はこちら

203:１３２人目の素数さん
22/02/06 13:08:03.55 dcjQr8w9.net
これ分かり易いね
URLﾘﾝｸ(tsujimotter)はてなブログ/entry/affine-scheme-1
tsujimotterのノートブック
2019-05-06
アフィンスキームとは何だろうか(1)
第１部（本記事）：
1. 代数幾何の基本
2. 環のスペクトル
3. ザリスキー位相
第２部（5/7公開予定）：
4. 構造層
5. アフィンスキームの定義
第３部（5/8公開予定）：
6. アフィンスキームの射
7. アフィンスキームの射の具体例
8. まとめ

204:１３２人目の素数さん
22/02/10 11:24:21.71 GluAcDmn.net
遠アーベル幾何学の進展星裕一郎数学'74巻1号2022年1月
より、IUT関連記述抜粋
P15
6　アルゴリズム的遠アーベル幾何学と単遠アーベル幾何学
2節での基本‘予想，の内容は，遠アーベル代数多様体はその基本完全系列から‘復元’される，とい
うものであった．そして，その定式化である2節の相対遠アーベル性や3節の絶対遠アーベル性は，
どちらも，二つの(遠アーベル的であろう）代数多様体'X'と'Y'が用意された際の，それらの間の
同型射と，それらの基本群の間の連続同型射との関係を問題としている．
つまり，この定式化による‘遠アーベル性'の研究とは，大雑把に言えば，
適切な代数多様体のなす圏に制限された'π1'という関手の充満性や忠実性といった性質の研究であると要約される．
そして，この場合，議論にしばしば登場する‘群論的，という用語は，
‘基本群の間の任意の連続同型射で保たれる，という性質を意味する．
望月は，基本‘予想'における‘復元'とは何か，という問を改めて見つめ直し, [60], {61], [63]に
おいて， ‘アルゴリズム的な観点による遠アーベル幾何学'，
そして，より狭義な枠組みとしての単遠アーベル幾何学(mono-anabelian geometry)という考えを提唱した．
その上,上述の‘充満性･忠実性の観点によるこれまでの遠アーベル幾何学'を双遠アーベル幾何学(bi-anabelian geometry)と呼び，
これら‘二つの遠アーベル幾何学，に区別を与えた．
アルゴリズム的な観点による遠アーベル幾何学とは，簡単に言ってしまえば，以下のような内容を
持つ遠アーベル幾何学の研究のことである．
アルゴリズム的遠アーベル幾何学与えられた代数多様体Xに対して，抽象的な位相群π1(X)を
‘入力データ'として，そして，代数多様体Xに付随する幾何学的対象(例えばXそれ自体）を‘出力データ'とする‘純位相群論的アルゴリズム'を確立せよ．
そして，単遠アーベル的輸送(mono-anabelian transport) (例えば[65]を参照)という枠組みで
のその純位相群論的復元アルゴリズムの研究が，単遠アーベル幾何学である．遠アーベル幾何学の大
きな応用である宇宙際タイヒミュラー理論{66]-[69]では, このアルゴリズム的遠アーベル幾何学や
単遠アーベル幾何学が中心的な役割を果たすのである．

205:１３２人目の素数さん
22/02/11 18:06:33.74 seCJnoFl.net
>>204
>遠アーベル幾何学の進展星裕一郎数学'74巻1号2022年1月
>より、IUT関連記述抜粋
IUTは、本丸天守閣でしょうか
今風ならば、鬼滅の無限城でしょう
星遠アーベル幾何学の進展は、
城下町の様子やお城の配置、
本丸や天守閣の様子の記述はあるが
お城内部の立ち入った記述はない
しかし、外堀と内堀は埋められ
お城の様子も概略は記されている
これを読んでから
IUTを読めば
IUTを理解するのに
良いと思う
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
『鬼滅の刃』
3.5 無限城編（16巻 - 23巻）

206:１３２人目の素数さん
22/02/11 20:01:36.67 seCJnoFl.net
>>204
>遠アーベル幾何学の進展星裕一郎数学'74巻1号2022年1月
>より、IUT関連記述抜粋
円分物（cyclotome）が、出てくる
が、”cyclotome”は、数学用語としては未定着（独自用語）のようであり
また、”円分物”も同様に、未定着（独自用語）のようである（円分物≠円分体です）
下記など、ご参照
URLﾘﾝｸ(dictionnaire.reverso.net)
Definition cyclotome francais | dictionnaire francais definition synonymes Reverso
（注：”cyclotome”仏語は、数学用語にあらず）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
絶対 Galois 群による数体の復元
星裕一郎 (京都大学数理解析研究所)
2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である.
P1
? K を体, r を正整数とする. K× を K をその乗法構造によって可換モノイドと考えたもの,
K× def= K \ {0} を K の非零元のなす群 (特に, 自然な同型 (K×)? ?→ K× が存在する),
μ(K)def = (K×)tor ⊆ K× を K の中の 1 の巾根のなす部分群,
μr(K)def= μ(K)[r] ⊆ K× を K の中の 1 の r 乗根のなす部分群とする. また, K が標数 0 の代数的閉体のとき,
Λ(K)def= T(μ(K))
(つまり, “^Z(1)”) と書き, これを K に付随する円分物と呼ぶ.
P16
3.6. 大域的円分物の復元, 局所大域円分剛性同型*9
この同型射を局所大域円分剛性同型と呼ぶ.
*9 円分物の間の適切な同型は円分剛性同型と呼ばれ, 遠アーベル幾何学において重要な役割を果たしてきた.
例えば, [1] で与えられている PSC 型遠半グラフの理論から生じる円分剛性同型は幾何的な円分物の
間の同型射であり, 組み合わせ論的遠アーベル幾何学において基本的な存在となっている. また, 別の例
として, [6] で得られている単テータ環境の理論から生じる円分剛性同型が挙げられ, これは, 望月新一氏
による宇宙際 Teichm¨uller 理論で非常に重要な役割を果たしている.
つづく

207:１３２人目の素数さん
22/02/11 20:02:46.88 seCJnoFl.net
>>206
つづき
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory) By 星裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
目次
§ 0. 序
§ 1. 円分物
§ 2. フロベニオイドの円分剛性同型
URLﾘﾝｸ(setsuri-nihon.net)
摂理研究所/キリスト教福音宣教会
宇宙際タイヒミュラー理論入門を読んでみた。その3
2017年12月21日2017年12月24日
前回までのあらすじ
長らく書いていなかったので、これまでのあらすじを書いていこうと思います。
星裕一郎さんの論文の最初に「円分物」と呼ばれるものが出てきます。これはTate捻りZ^(1)と呼ばれるものである、と論文には書かれています。いくつかの定義が書いてあったのですが、その一つがこちらでした。
略
しかし、改めて読むとこれが何を意味するのかよくわからないな…(´・ω:;.:…と思いました。
そこで、今日はこれを図で見ながらもう少し詳しく説明していきたいと思います。
逆極限を図で説明してみた
どうして、こんなややこしいことをしているのか
簡単に言うと、この表記が真価を発揮するのはΩが他の代数閉体の時です。
例えば、Ωとして考えられるのは、代数的数全体(つまり、有理数係数のn次方程式の解となる数全体)^Qやp進数体Q_pの代数閉包等です。
これらはCと違ってバラバラ(離散的)になっていますので、円を「描く」ことが出来ません。
また、例えばQ_pで|z|_p=1を満たす数というとpで割り切れない(pベキの倍数で表せない)数全体なので、これが円というのはなんとなく違う感じがします。
実は、数論幾何学や代数幾何学において「円周」というのはとても重要な図形です。Cの場合はそれがきれいな円で表せたのですが、それ以外の代数閉体でも表現できないか？というのが「円分物」の存在理由かと私は思います。
実際、lim_←nμ_{n}(Ω)なら、似たような性質が成り立つことが示せるのではないか…と思っています。詳しくは分かりませんが…。
つづく

208:１３２人目の素数さん
22/02/11 20:03:07.84 seCJnoFl.net
>>207
つづき
URLﾘﾝｸ(freestylewiki.xyz)
[数学,IUT]
円分物・円分体
概要
円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 のm(>2)乗根 ζ ( ≠ ± 1 ) を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。
URLﾘﾝｸ(fr.wikipedia.org)
Extension cyclotomique
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cyclotomic field
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
円分体
(引用終り)
以上

209:１３２人目の素数さん
22/02/11 20:16:12.93 seCJnoFl.net
>>206 追加
用語 NF (= Number Field)： K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field) である
URLﾘﾝｸ(dictionnaire.reverso.net)
Definition cyclotome francais | dictionnaire francais definition synonymes Reverso
（注：”cyclotome”仏語は、数学用語にあらず）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
絶対 Galois 群による数体の復元
星裕一郎 (京都大学数理解析研究所)
2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である.
P1
・ K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field)
であると言うことにする. ある素数 p が存在して K が Qp のある有限次拡大と同型であるとき, K
は MLF (= Mixed-characteristic Local Field) であると言うことにする.

210:１３２人目の素数さん
22/02/11 22:18:26.14 seCJnoFl.net
>>209
古典的 Neukirch ・内田の定理と単遠アーベル的復元との関係
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
絶対 Galois 群による数体の復元星裕一郎 (京都大学数理解析研究所) 2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演の報告原稿である.
P2
1 Neukirch ・内田の定理と単遠アーベル的復元
NF の絶対 Galois 群の位相群としての同型類によって, その NF
の同型類が完全に決定される. 別の表現を用いれば, 絶対 Galois 群は NF に対する “完
全な不変量” であるということがわかる. この意味において, “その絶対 Galois 群によっ
て NF を復元することができる” と考えることが可能であろう.
一方, 望月新一氏は, [8] の中で, “そもそも復元とは何か?” という問についての考察を
行い, そこで, “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考え方を提唱した.
この考え方のある側面を簡単に述べてしまうと, これは, “何を遂行すれば所望の復元が完
了したと考えるか” という “復元という行為の完了の基準” の設定の問題であると言える
であろう. 本稿の主題である問の場合に, “双的な復元, 双遠アーベル的復元” の復元完了
基準を具体的に述べれば, 例えば以下のようになる.
つまり, さきほど復習した Neukirch ・内田の定理の証明を与えることが, 双遠アーベル
的復元の遂行に他ならない. それでは, この場合の “単的な復元, 単遠アーベル的復元” の
復元完了基準は何であろうか. それは例えば以下のとおりである.
つまり, 復元の “入力” から “出力” を生成する関手的な手続きを与えることができた
とき, “単的な復元” は完了するのである. このように, 2 つの対象 (つまり, “Fo と F・”)
を比較して復元を議論するのではなく, 単独の対象 (つまり, “F”) によってその復元を議
論するので, “双” ではなく “単” なのである. また, 上の具体的な例からも推測できるよ
うに, 通常は, 単遠アーベル的復元を遂行すれば, その系として, 双遠アーベル的復元が得
られる.
つづく

211:１３２人目の素数さん
22/02/11 22:18:45.25 seCJnoFl.net
>>210
つづき
以上が, [8] で提唱されている “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考
え方の簡単な解説である*2
一方, もちろん, “双遠アーベル的復元” と “単遠アーベル的復元” の差が, 高々結論の定
式化の差として生じている場合もあるであろう. つまり, もしもある定理が “双版” で述
べられていても, 実質的にはその “単版” を証明していることもあるであろう. 実際, さき
ほど復習した Neukirch ・内田の定理の証明を検証してみると,
関数体の場合, その証明は “単遠アーベル的復元” を与えている
ことがわかる. (これについては, §3 ? 特に, 3.9 ? で少し説明を行う.) つまり, Neukirch
・内田の定理の証明から, 実際には以下の主張を証明することができる.
関数体の単遠アーベル的復元可能性*3
それでは NF の場合はどうであろうか. 再び Neukirch ・内田の定理の証明を検証して
みると,
NF の場合, その証明は “単遠アーベル的復元” を与えていない
ことがわかる. つまり,
Neukirch ・内田の定理の証明から, 絶対 Galois 群を出発点として元々の NF を群
論的に構成する手続きを得ることは (少なくとも直ちには) できない
のである.
本稿 (そして, 講演) の主結果の概要を述べるために, 定義を与える.
主結果の概要. NF 型位相群 G から G 作用付き代数的閉体 F(G) を (位相群の開単射
に関して) 関手的に構成する “群論的手続き” が存在する:
(引用終り)
以上

212:１３２人目の素数さん
22/02/12 12:59:25.01 /qkcTHB7.net
Peter Scholze君のIUTに対する批判（下記）
”the reader will not find any proof that is longer than a few lines ・・ which is in line with the amount of mathematical conten ”
URLﾘﾝｸ(zbmath.org)
Mochizuki, Shinichi
Inter-universal Teichmuller theory. I: Construction of Hodge theaters. (English)
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 57, No. 1-2, 3-207 (2021). Reviewer: Peter Scholze (Bonn)
In parts II and III, with the exception of the critical Corollary 3.12, the reader will not find any proof that is longer than a few lines; the typical proof reads “The various assertions of Corollary 2.3 follow immediately from the definitions and the references quoted in the statements of these assertions.”, which is in line with the amount of mathematical content.
(引用終り)
つまり
”the reader will not find any proof that is longer than a few lines”、”which is in line with the amount of mathematical content”
対する星裕一郎くんの答えは、下記
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
絶対 Galois 群による数体の復元星裕一郎 (京都大学数理解析研究所) 2014 年 5 月
P4
関数体の単遠アーベル的復元可能性*3
注）
*3 単遠アーベル的復元は, “所望の手続きの存在を証明する” ことが目的なのではなく, “所望の手続きを与える” ことが目的である.
特に, 主張の中にその手続きを書くべきとされる. （略）
例えば, [8],Corollary 1.10, は, その主張を述べるためにおよそ 3 ページが費やされ,
しかし, 証明がたったの 2 行で終わってしまうという, 従来の数学では比較的珍しい構成になっている.
このような状況が生じる背景には, この “主張の中にその手続きを書くべき” という考えがある.
[8] S. Mochizuki, Topics in absolute anabelian geometry III: Global reconstruction
algorithms, RIMS Preprint 1626 (March 2008).
(引用終り)
以上

213:１３２人目の素数さん
22/02/12 13:06:50.92 /qkcTHB7.net
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
絶対 Galois 群による数体の復元星裕一郎 (京都大学数理解析研究所) 2014 年 5 月
これ必読だね

214:１３２人目の素数さん
22/02/12 16:18:56.18 /qkcTHB7.net
楕円曲線の群構造
これは、大事だね
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録
971 巻 1996 年 30-39
楕円曲線の数論の歴史
早稲田大学足立恒雄
本稿は津田塾大学で開催されたシンポジウム『20 世紀数学』 (95 年11月) における
講演と京大数理解析研究所における研究集会『代数的整数論とフェルマー問題』 (95年12 月) における講演をまとめ、加筆修正したものである。
楕円曲線の歴史と一口に言っても膨大・多岐に亙るから、ここでは
(1) Fermatの先駆的研究、
(2) 楕円曲線の群構造発見を巡る歴史、
(3) フェルマー問題の Frey による谷山予想への還元、
の三つに絞って考察することにする。
P4
§3 群構造の発見
これによって、 Mordell あるいは
Hurwitsと Mordell の間のころに、少なくとも implicit には楕円曲線上の点の全体が群をなすと
いう事実が気付かれたものと思われる。
Weil([29])は Finite Basis Theorem の証明を簡易化したが、パラメータの加法演算の
幾何学的な意味も説明し、目的が「この加群が有限生成であることの証明である」と宣
言している。また、その証明も (Mordell の場合と違って) 群であるという事実が基本的
に使われている。このようなわけだから、楕円曲線の群構造を explicit に指摘した人は
Weil であるといって良いことになるのではなかろうか。

215:１３２人目の素数さん
22/02/12 17:45:48.57 /qkcTHB7.net
メモ
URLﾘﾝｸ(sugakubunka.com)
株式会社すうがくぶんか
第7回　p進タイヒミューラー理論とその周辺
講師　若林泰央
東京工業大学理学院数学系助教
＜経歴＞
京都大学大学院理学研究科（数理解析研究所）にて博士号取得後、東京大学大学院数理科学研究科特任助教等を経て、現職。
講演内容
p進タイヒミューラー理論とはいったい何でしょうか．この理論は，素数が1より小さくなったり，さらには0になってしまうような数の世界が舞台です．そんな不思議な世界から「かたち」やその変形のようすをながめると，いつもと違う景色が見えてくるかもしれません．この講演では，幾何学と数論が交差するp進タイヒミューラー理論のココロについてお話しします．
※予習回では梅崎直也（すうがくぶんか講師）が若林先生の講演の予備知識を解説いたします。（内容未定）
日程
予習回：2022年2月13日（日）13:00-18:00
本講義：2022年2月20日（日）13:00-18:00
第8回　宇宙際タイヒミューラー理論
講師　加藤文元
東京工業大学教授
＜経歴＞
京都大学大学院理学研究科数学・数理解析先行博士後期課程修了、マックス・プランク研究所研究員、レンヌ大学やパリ第6大学客員教授なども歴任
講演内容
下記第4回講座の内容についてより詳しく解説します。
“宇宙際タイヒミューラー理論はABC予想の解決のために2012年に京都大学数理解析研究所の望月新一教授によって発表された理論です。この理論のアウトラインを、以前、私は「たし算とかけ算の絡み合い」をいかにしてほどくかという見地から、MathPowerで説明したことがあります。今回はこれを「数体のカタチ」のタイヒミューラー変形というアプローチから説明しようと思います。”
加藤先生には2017年のMathPowerにて「ABC予想と新しい数学」と題して宇宙際タイヒミューラー理論についてご講演いただきました。以下の動画をご覧ください。
日程
予習回：2022年3月13日（日）13:00-18:00
本講義：2022年3月20日（日）13:00-18:00
アーカイブ視聴について
各講座は全て録画されるため、講座終了後も復習のために2年間アーカイブ視聴が可能です。また、リアルタイム以外でのご参加も可能です。（すうがくぶんかの録画講座の詳細はこちら。）

216:１３２人目の素数さん
22/02/13 10:12:59.77 .net
円分体も理解できない中卒馬鹿にIUTなんか無理だから諦めよ
ギャハハハハハハ！！！

217:１３２人目の素数さん
22/02/13 11:06:56.04 xCKc9AAc.net
江崎玲於奈語録下記
江崎は「ノーベル賞を取るために、してはいけない5か条」のリストを提案する
「4.自分の主義を貫くため、戦う事を避けてはいけない。」
勘違いショルツェ氏との戦いを避けるべからず
頑張ってください、IUT陣営のみなさんへ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
江崎玲於奈
1973年（昭和48年）にアイヴァー・ジェーバー、ブライアン・ジョゼフソンとともに、トンネル効果に関連して日本人としては4人目となるノーベル賞（ノーベル物理学賞）を受賞した[2]。
発言
1994年夏のリンダウ・ノーベル賞受賞者会議で、江崎は「ノーベル賞を取るために、してはいけない5か条」のリストを提案する。
原文：Esaki's “five don’ts” rules
1.Don’t allow yourself to be trapped by your past experiences.
2.Don’t allow yourself to become overly attached to any one authority in your field ? the great professor, perhaps.
3.Don’t hold on to what you don’t need.
4.Don’t avoid confrontation.
5.Don’t forget your spirit of childhood curiosity.
日本語訳
1.今までの行き掛かりにとらわれてはいけない。呪縛やしがらみに捉われると、洞察力は鈍り、創造力は発揮できない。
2.大先生を尊敬するのはよいが、のめり込んではいけない。
3.情報の大波の中で、自分に無用なものまでも抱え込んではいけない。
4.自分の主義を貫くため、戦う事を避けてはいけない。
5.いつまでも初々しい感性と飽くなき好奇心を失ってはいけない。

218:１３２人目の素数さん
22/02/13 11:37:24.17 .net
>>217
社会の負け犬中卒に主義なんかあるわけないじゃん
ただ自国自慢したいだけの馬鹿だろが
ギャハハハハハハ！！！

219:１３２人目の素数さん
22/02/19 07:56:20.75 USplO5Y7.net
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
岩波科学ライブラリー
深層学習の原理に迫る
数学の挑戦
著者今泉　允聡著
刊行日 2021/04/16
深層学習はなぜうまくいくのか？その原理を数学的に解明するという難題に、気鋭の研究者が挑む。
深層学習の原理に迫る
試し読み URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
上記「試し読み」の”まえがき”中に、次の一文がある
「なお数学的な理論で物事が表現できることと、人間の理解に?がることは同一ではなく
そこには大きなギャップがある。このギャップを埋めること、
すなわち数学的成果を直観的に読者に伝えることは、本書が大事にしている原則の一つである。」
至言である
IUT関係者に捧げたい
Nスぺちゃんと見ろよ！
（参考：上記著書の元になった講演）
URLﾘﾝｸ(drive.google.com)
東京大学今泉允聡
ISM75周年
講演スライド
オープンハウス2019スライド
深層学習の原理を明らかにするこころみ

220:１３２人目の素数さん
22/02/19 08:43:39.49 USplO5Y7.net
仏語
etale
エタール
URLﾘﾝｸ(educalingo.com)
フランス語辞典でのetaleの定義
辞書の中のetaleの定義は、不動であり、上りまたは下りを停止し、逆の動きを開始しなかったことである。海がまだ2つの潮の間にある短い時間。
URLﾘﾝｸ(ja.glosbe.com)
フランス語-日本語の辞書 - Glosbe辞書
etale
平穏
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
etale
ポケットプログレッシブ仏和・和仏辞典第3版（仏和の部）の解説
etale
[形]静止した；（潮，河川が）動きの止まった．
━[男]『海』停潮．
URLﾘﾝｸ(fr.wikipedia.org)
Etale

221:１３２人目の素数さん
22/02/19 08:55:05.34 USplO5Y7.net
数学のエタールは、下記のエタール・コホモロジー（etale cohomology）あたりが、淵源である
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エタール・コホモロジー（etale cohomology）はアレクサンドル・グロタンディークがヴェイユ予想を証明するための道具として考案したコホモロジー理論であり、位相空間上の定数係数コホモロジー、すなわち特異コホモロジーの類似になっている。

222:１３２人目の素数さん
22/02/19 15:38:57.10 USplO5Y7.net
>>212 追加
URLﾘﾝｸ(mainichi.jp)
未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明　京大の望月教授　斬新・難解で査読に8年
2020/4/3 14:00
説明資料PDF[11/13]より
ここに、IUT論文の”復元”が、計算機プログラムのようであり
「ステートメントは長いが
証明は自明という
定義や命題を積み重ねていくことによって
高度に非自明な構造を作り上げています。」
と、星裕一郎氏と、同様の記述があるね

223:１３２人目の素数さん
22/02/20 00:22:02.21 YwLjfsx8.net
ほらな、他人の大便盗み食いSetAゴミ虫、が自惚れ過信を捨てられる訳が無い｡
この様にしてSetAは糞の役（肥料）にも立たないどころか世界共通公害な毒レスを撒き散らし続ける｡

224:１３２人目の素数さん
22/02/23 12:21:57.52 U3yS+cNO.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Several articles of H.Nakamura
Several articles of H.Nakamura
Galois-Teichmueller theory:

225:１３２人目の素数さん
22/03/01 17:11:30.40 gvkJYeIp.net
sage

226:１３２人目の素数さん
22/03/08 11:38:04.11 CB4pW5va.net
Tate module メモ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, a Tate module of an abelian group, named for John Tate, is a module constructed from an abelian group A. Often, this construction is made in the following situation: G is a commutative group scheme over a field K, Ks is the separable closure of K, and A = G(Ks) (the Ks-valued points of G). In this case, the Tate module of A is equipped with an action of the absolute Galois group of K, and it is referred to as the Tate module of G.
Contents
1 Definition
2 Examples
2.1 The Tate module
2.2 The Tate module of an abelian variety
3 Tate module of a number field
Examples
The Tate module
When the abelian group A is the group of roots of unity in a separable closure Ks of K, the p-adic Tate module of A is sometimes referred to as the Tate module (where the choice of p and K are tacitly understood). It is a free rank one module over Zp with a linear action of the absolute Galois group GK of K. Thus, it is a Galois representation also referred to as the p-adic cyclotomic character of K. It can also be considered as the Tate module of the multiplicative group scheme Gm,K over K.

227:１３２人目の素数さん
22/03/10 07:21:07.81 ix0kZYRP.net
メモ
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Approximating Absolute Galois Groups
Gunnar Carlsson, Roy Joshua
February 2, 2022
P4
where S1 denotes the circle group,
Proposition 2.3 The construction A → A＾ satisfies the following properties.
1. The＾-construction defines an equivalence of categories from the category of compact topological
abelian groups to the opposite of the category of discrete abelian groups. The＾-construction is
its own inverse.
2. For a profinite group G, G＾ is isomorphic to Homc(G, μ∞), where μ∞ ⊆ S1 is the group of
all roots of unity, isomorphic to Q/Z. If G is a p-profinite group, then μ∞ can be replaced by
μp∞, the group of all p-power roots of unity, isomorphic to Z[1/p]/Z.
3. The functor A → A＾ is exact.
4. For G a profinite abelian group, G is torsion free if and only if G＾ is divisible. Similarly for
“p-torsion free” and “p-divisible”.
Proof: Statement (1) is one version of the statement of the Pontrjagin duality theorem, (2) is an
immediate consequence, and (3) follows immediately from (1). It remains to prove (4). To prove
(4), we note that G is torsion free if and only if the sequence 0 → G ー(×n) -→ G is exact. The exactness
proves that this occurs if and only if G＾
G＾ ×n ー(×n) -→G＾-→ 0 is exact, so ×n is surjective. This is the result.
We now have the main result of this section.
Theorem 2.1 Let F be any field containing all roots of unity. Then the absolute Galois group GF
of F is totally torsion free.
Remark 2.3 Class field theory shows, for example, that one cannot expect this result to hold for
absolute Galois groups of number fields, so that some condition on the field is necessary.
(参考:S1 denotes the circle group)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Circle group
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
円周群

228:１３２人目の素数さん
22/03/14 20:55:49.20 Nb0VsZIc.net
sage

229:１３２人目の素数さん
22/03/24 11:55:50.20 9Yr6tc0F.net
sage

230:１３２人目の素数さん
22/03/31 15:05:27.81 bKG2nzZ5.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
多様体の基礎のキソ（仮題）20170131 影付き部分につけた脚注が表示されていない，などの不具合と若干の誤植を修正．
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
３．位相空間の基礎のキソ（ver.20170131）
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
基礎講座・複素関数（『数学セミナー』2014年4月号～2015年3月号）
複素関数論の基礎から初めて，後半はリーマン面について解説しました．

231:１３２人目の素数さん
22/04/02 16:35:10.47 .net
>>230
下げマスは三角関数の加法定理でも覚えてろｗ

232:１３２人目の素数さん
22/04/03 08:50:48.28 28NcParQ.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.orecoli.com)
俺の Colimit を越えてゆけ
19 2016-01
圏論に最短で入門する
はじめに
対象読者
数学以前
数学の基礎
ホモロジー代数
圏論
もっと手取り早く圏論の勉強を始めたい人へ
おわりに
紹介した書籍
私が圏論という分野を知るきっかけは、おそらくこの文章を読んでいるほとんどの人と同様に Haskell の勉強をしたことがきっかけでした。
Haskell のモナドなどを利用する上では圏論を理解する必要は全くないのですが、型システムや処理系に関して詳しく知りたくて論文を読むと圏論の言葉が普通に使われていて、理解できずに断念していました。
そこで、当時数人が集まってやっていた圏論勉強会に参加して圏論の勉強を始めました。当時読んでいた書籍は Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories でした。この本は圏論の初学者向けに書かれた本で、数学的な知識をほとんど仮定せずに理解できるように書かれている非常によい本です。一方で全く数学の素養がない状態で読むと、証明もちゃんと追えているのかあやふやでなんとなく分かった気にさせられる本でもあります。私がまさにそのような状態でした。
しかし、ずっと圏論をちゃんと理解できるようになりたいと思っていたので、大学の数学科に進んだ学部1,2年生が学ぶような数学から勉強を始めました。圏論は比較的最近、1940年代に登場した理論で、数学の中でも非常に抽象的な理論なので数学を勉強しはじめてもすぐには出てきません。私は独学で勉強していたので数学の世界で右往左往することになったのですが、とりあえず現状で私が考える、圏論に至るための最短の道を紹介します。この順で勉強すれば、圏論の書籍を読む頃には、圏論が提供する抽象化を「あ?あのことを言っているのか」と思いながら読めるようになると思います。
計算機科学の世界で生きてきたのにうっかり圏論と出会ってしまって、「今更また一から数学の勉強をしないといけないのか?」と絶望に打ちひしがれている、昔の私のような人の一助になれば幸いです。

233:１３２人目の素数さん
22/04/03 08:51:20.41 28NcParQ.net
>>232
メモ
URLﾘﾝｸ(www.orecoli.com)
俺の Colimit を越えてゆけ
27 2016-02
圏論に最短で入門する
はじめに
前回の記事では、圏論を学習する上では数学の基礎から学習する必要があると述べました。
　一方で、そんなに時間をかけていられない、かけられないといった理由から数学の素養が十分に身についていない状態で Category Theory (Oxford Logic Guides) を読み始めたいという人もいるでしょう。そのような人向けにこの本の副読本のような内容の記事を書いていこうと思います。
　この本は十分にわかりやすい本なので解説の部分で内容を追加するようなことはしません。書籍の中で証明はされているけれども十分に明らかとは言えない箇所や、残りは読者に任せるとして省略されている箇所を中心に証明を追加していこうと思います。特に Chapter 1 では数学書を読む場合に自分で手を動かして補いながら読まないといけない箇所がどういう箇所なのか初学者にもわかるように書いていこうと思います。
　この記事が、これから独学で圏論を勉強しようとしている人や、勉強会でこの本を読もうとしている人の役に立てば嬉しいです。
　私が読んでいるのは英語の第２版ですがいくつか誤植があるので下に書いておきます。著者には報告済みなので第３版が出れば修正されるでしょう。
目次
Chapter 1: Categories
Chapter 2: Abstract structures
Chapter 3: Duality
Chapter 4: Groups and categories
Chapter 5: Limits and colimits
Chapter 6: Exponentials
Chapter 7: Naturality
Chapter 8: Categories of diagrams
Chapter 9: Adjoints
Chapter 10: Monads and algebras

234:１３２人目の素数さん
22/04/03 14:49:57.07 .net
下げマス　もう諦めろって
　Z^(1)∩(Q/Z)={e}
ってこともわからん貴様に圏論なんか無理
位相空間すら全く理解できなかったんだろ？ｗ

235:１３２人目の素数さん
22/04/05 20:34:01.65 JQiM9kkd.net
sage

236:１３２人目の素数さん
22/04/21 17:41:38 5uDCQIOe.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
Math. J. Okayama Univ. 52 (2010), 1?28
ARITHMETIC ELLIPTIC CURVES IN GENERAL POSITION Shinichi MOCHIZUKI

Abstract. We combine various well-known techniques from the theory
of heights, the theory of “noncritical Belyi maps”, and classical analytic
number theory to conclude that the “ABC Conjecture”, or, equivalently,
the so-called “Effective Mordell Conjecture”, holds for arbitrary rational
points of the projective line minus three points if and only if it holds for
rational points which are in “sufficiently general position” in the sense
that the following properties are satisfied: (a) the rational point under
consideration is bounded away from the three points at infinity at a
given finite set of primes; (b) the Galois action on the l-power torsion
points of the corresponding elliptic curve determines a surjection onto
GL2(Zl), for some prime number l which is roughly of the order of
the sum of the height of the elliptic curve and the logarithm of the
discriminant of the minimal field of definition of the elliptic curve, but
does not divide the conductor of the elliptic curve, the rational primes
that are absolutely ramified in the minimal field of definition of the
elliptic curve, or the local heights [i.e., the orders of the q-parameter at
primes of [bad] multiplicative reduction] of the elliptic curve.

Introduction
In the classical intersection theory of subvarieties, or cycles, on algebraic
varieties, various versions of the “moving lemma” allow one to replace a
given cycle by another cycle which is equivalent, from the point of view
of intersection theory, to the given cycle, but is supported on subvarieties
which are in a “more convenient” position ? i.e., typically, a “more general”
position, which is free of inessential, exceptional pathologies ? within the
ambient variety.

237:１３２人目の素数さん
22/04/29 06:37:49.57 b8gsErp4.net
＜q-parameter についてメモ＞
URLﾘﾝｸ(ivanfesenko.org)
ARITHMETIC DEFORMATION THEORY VIA
ARITHMETIC FUNDAMENTAL GROUPS AND NONARCHIMEDEAN THETA-FUNCTIONS,
NOTES ON THE WORK OF SHINICHI MOCHIZUKI
IVAN FESENKO
This text was published in Europ. J. Math. (2015) 1:405?440.
P9
If v is a bad reduction
valuation and Fv is the completion of F with respect to v, then the Tate curve F×
v /hqvi, where qv is the q-parameter of EF at v and hqvi is the cyclic group generated by qv, is isomorphic to EF(Fv), hqvi → the origin of
EF, see Ch.V of [44] and §5 Ch.II of [43].
P10
Define an idele qEF ∈ lim -→ A×k: its components at archimedean and good reduction valuations are taken to
be 1. Its components at places where EF has split multiplicative reduction are taken to be qv, where qv is the
q-parameter of the Tate elliptic curve EF(Fv) = F×v /hqvi.
The ultimate goal of the theory is to give a suitable bound from above on deg(qEF).
Fix a prime integer l > 3 which is relatively prime to the bad reduction valuations of EF, as well as to the
value nv of the local surjective discrete valuation of the q-parameter qv for each bad reduction valuation v.
P13
Let q ∈ L be a non-zero element of the maximal ideal of the ring of integers of L (this q will eventually be
taken to be the q-parameter qv of the Tate curve EF(Fv) ' F×v /hqvi, where L = Fv, for bad reduction primes v of
E, see Ch.5 of [44]).
つづく

238:１３２人目の素数さん
22/04/29 06:38:29.57 b8gsErp4.net
>>237
つづき
Just as in the classical complex theory, elliptic functions on L with period q can be expressed in terms of θ, a
property which highlights the central role of nonarchimedean theta-functions in the theory of functions on the
Tate curve. For more information see §2 Ch.I and §5 Ch.II of [43] and p. 306-307 of [38].
・・
via the change of variables q = exp(2πiτ),u = exp(2πiz)
P24
54 In IUT, the two combinatorial dimensions of a ring, which are often related to two ring-theoretic dimensions (one of which is
geometric, the other arithmetic), play a central role. These two dimensions are reminiscent of the two parameters (one of which is
related to electricity, the other to magnetism) which are employed in a subtle fashion in the study of graphene to establish a certain
important synchronisation for hexagonal lattices.
(引用終り)
以上

239:１３２人目の素数さん
22/04/29 06:40:42.26 b8gsErp4.net
>>237
q-parameter についてメモ追加
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:490番)-494

240:１３２人目の素数さん
22/04/29 10:40:50.66 b8gsErp4.net
メモ
（最新版）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
ON THE ESSENTIAL LOGICAL STRUCTURE OF
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IN TERMS ¨
OF LOGICAL AND “∧”/LOGICAL OR “∨” RELATIONS:
REPORT ON THE OCCASION OF THE
PUBLICATION OF THE FOUR MAIN PAPERS ON
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY ¨
Shinichi Mochizuki
April 2022 P140版
（元）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(marked%20up%20version).pdf
ON THE ESSENTIAL LOGICAL
STRUCTURE OF INTER-UNIVERSAL
TEICHMULLER THEORY I, II, III, IV, V ¨
Shinichi Mochizuki (RIMS, Kyoto University)
September 2021 P42版

241:１３２人目の素数さん
22/05/01 02:53:34.98 6LpCNPT7.net
無様ここに極まれり

242:１３２人目の素数さん
22/05/01 08:16:10.72 txhCGf0/.net
これいいね
Inter-universal geometry とABC 予想49
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:130番)
130 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/04/30(土) 23:59:11.91 ID:7Sq4MRJH
>>126
圏ではなく、無限大の極限で収束させるため「圏/(圏と同値)」を使う。
目的は、属性方程式の解を一種の解析・極限で得るため。、
(§1.3 圏のIU 幾何の定理）
通常の集合論では有り得ず、集合論を拡大しているのは「基礎の公理」。
(§1.1Motivation)
集合論を拡大する目的が何で、どう拡大したかったか、
以下のリンク先で、2008年のＩＵ幾何の構想メモに記載されていた。
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Hokudai%202003-11).pdf

243:１３２人目の素数さん
22/05/02 13:52:43 Ofo/5NQz.net
それのどこの何がどうしてどの様にいいんだかくらい書いてからいいねと書けよ

244:１３２人目の素数さん
22/05/17 00:13:14.98 bVPB1PYg.net
sage

245:１３２人目の素数さん
22/05/31 10:10:06.92 WgynKOen.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
高校生にもわかる宇宙際タイヒミュラー理論１
17,702 回視聴 2018/01/18 宇宙際タイヒミュラー理論についてざっくり説明してみました。
1:25 フェルマー予想の証明を導くのは正しくは「強いABC予想」でした。（現時点でこちらはまだ証明されていません）
数学探検Channel
愚野骨頂
2 年前
これは望月先生の論文にかなり踏み込んだお話で面白い。ついにホッジ舞台のや情報のカプセルの話も入ってい本格的で助かります。

246:１３２人目の素数さん
22/05/31 13:53:19.88 WgynKOen.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
１９９９年度北大集中講義レクチャーノート
ガロア・タイヒミュラー群の LEGO理論
中村博昭
北海道大学 2000
はしがき
このノートは、1999 年略に北海道大学で集中講義した内容に若干加筆
してまとめたものである。この講義の主なねらいは、代数曲線のモジュライ空間の基本群
（タイヒミュラーモジュラー群）たちが、リーマン面の退化を通じて、多重な仕方で積み重
なっている様子を、有理数体の絶対ガロア群の表現の言葉で記述することであった。特に、
代数曲線のモジュライ空間に関係する種々の副有限基本群におけるガロア表現が、その最
も基本的な場合である射影直線マイナス３点の場合をうまく組み合わせることで具体的に
記述できる、ということを説明した。この一環としてタイヒミュラー幾何学のような位相
幾何と代数幾何が交錯する世界の一面を、ガロア理論を通じて群論的な平易な言葉で描写
することを試みた

247:１３２人目の素数さん
22/06/01 07:17:01.74 AbZqwpel.net
>>245 追加
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
高校生にもわかる宇宙際タイヒミュラー理論２
4,612 回視聴 2018/01/18 宇宙際タイヒミュラー理論についてざっくり説明してみました。
数学探検Channel

248:１３２人目の素数さん
22/06/07 10:11:22.82 k4enzP+j.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
複素解析特論I
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平友規
平成 23 年 6 月 14 日
講義の概要（コースデザインより）．タイヒミュラー空間論はリーマン面（1 次元複素多様体）の変形空間の理
論である．変形空間は抽象的に定義された「集合」だが，数学者はこれを幾何学的な議論が可能な「空間」と
みなす．この講義の目的は，大雑把に言って
? リーマン面の変形空間に幾何構造を与えるまでの（思考）過程を解説すること; そして
? （残った時間で）変形空間の幾何学的性質を複素力学系の理論に応用すること
である．
講義予定．扱うトピックは以下のとおり：
? リーマン面の基礎（基本群，普遍被覆，一意化定理，フックス群）
? リーマン面上の微分・積分（ベルトラミ微分，正則 2 次微分，リーマン・ロッホの定理）
? 擬等角写像論・幾何学的関数論の概説
? 有限型リーマン面の変形空間（モジュライ空間とタイヒミュラー空間，ベアス埋め込み）
? 1 次元複素軌道体 (orbifold) の一意化と分類
? 球面上の分岐被覆力学系の剛性理論（文献 [4, 5]）
最後のトピックは，「球面の自己分岐被覆による力学系」の，有理関数による実現可能性と剛性に関する理論で
ある．80 年代にサーストンが確立したものだが，近年またじわじわと脚光を浴びている．
P3
等角性について. 等角 (conformal) な同相写像とは，定義域上で正則（すなわち複素微分可能）で
あり，かつ微分の値が 0 にならない同相写像である．2
2「等角」という語をあえて使うのは，微分が 0 にならないことを強調するためである．同相写像に限って言えば，等角
性，正則性，双正則性（逆写像も正則）はいずれも互いにシノニムである．したがって，「等角な同相写像」は「正則な同相写
像」とも「双正則写像 (biholomorhic map)」ともよばれる．

249:１３２人目の素数さん
22/06/07 10:11:54.66 k4enzP+j.net
>>248
追加
URLﾘﾝｸ(www.th.phys.titech.ac.jp)
武藤研究室東京工大
物理数学第一
平成１８年度　学部　３学期
第６章　等角写像 127 KB 58 KB
URLﾘﾝｸ(www.th.phys.titech.ac.jp)
第 6 章等角写像
複素写像変換
導関数が 0 になる点を臨界点という。
定理 6.3 等角写像の原理

250:１３２人目の素数さん
22/06/07 13:26:57 Y0RvZ70I.net
>>248
中卒ニホンザル　他人の目を盗んで
微分が0にならない、検索しまくりwww
ヤコビアンも逆関数定理も分からん奴には
一生無縁だってwwwwwww

251:１３２人目の素数さん
22/06/10 16:10:41.88 0Da5gZei.net
>>248
追加
これいいね
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
複素解析特論I（つづき）
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平友規
平成 24 年 9 月 21 日
7 リーマン面の基本群・普遍被覆面
今回と次回で，「リーマン面の一意化定理」を証明する．
一口に「リーマン面」といっても，さまざまな構成方法がある．いわゆる格子トーラス T(ω1, ω2)
のようなものはかなり具体的に構成されたリーマン面の部類に入るほうで，たとえば「ガウスの定
理」でみたような例は，曲面に複素構造を与える時点で「ベルトラミ方程式を解く」といういささか
超越的（？）なプロセスを経る分，素性がよくわからない．こうした抽象性を緩和するために，与え
られたリーマン面と「同等な」モデル（模型）を作るのが「一意化定理」(uniformization theorem)
の役割だといってよい．大まかにその主張を述べておきたいので，まずふたつのリーマン面が「同
等」であることを定義する：
つづく

252:１３２人目の素数さん
22/06/10 16:11:05.08 0Da5gZei.net
>>251
つづき
定義（等角同型）．ふたつのリーマン面 S と R が等角同型 (conformally isomorphic) または単に
同型 (isomorphic) であるとは，ある正則（等角）な同相写像 h : S → R が存在するときをいう．
定理 7.1 (一意化定理) 任意のリーマン面は，次のような形のリーマン面 R と等角同
型である：
R = X/Γ
ただし X = C?, C, もしくは D であり，Γ は P SL(2, C) のある離散部分群．
まだ P SL(2, C) が X がどのように作用するのかが説明されていないので，現時点ではかなりあいま
い主張であるが，この X/Γ がモデルに相当するリーマン面である．とりあえず，「任意のリーマン面
は，ごくごく簡単なリーマン面を，P SL(2, C) という比較的素性のよくわかっている群の部分群で
割ったものと同等だ」という部分に意味がある．1 以下ではその構成方法を概観するが，その手順は
はあたかも，地球から地球儀を構成するかのようである．地表をくまなく歩いて地図帳を作り，それ
を使い慣れた材質に写し取りながら模型を構成していく．
まずは準備段階として，定理の証明に必要な「基本群と被覆空間」の用語を復習しつつ，リーマン
面の普遍被覆空間を構成する．2
8 リーマン面の一意化定理
一意化定理の証明を終わらせよう．手順としては，
8.2 商リーマン面の構成
8.3 リーマン面の一意化
単連結リーマン面の一意化定理. まず次の定理は証明無しで用いよう：
定理 8.5 (ケーベ，ポアンカレ) 任意の単連結リーマン面 X は，C?, C，もしくは D と
等角同型である．
証明は簡単ではない．まずコンパクトな場合（C? ）とそうでないでない場合に分け，さらにグリーン
関数が構成できる（D）かできない（C）かで区別される．
つづく

次ページ