IUTを読むための用語集資料スレ2

IUTを読むための用語� ..

2:１３２人目の素数さん
20/12/01 18:12:18.05 mY/U6brk.net
20200403の記者会見により、望月Inter-universal Teichmuller theory (abbreviated as IUT) （下記）は、新しい局面に入りました。
査読が終り、IUTが正しいことは、99％確定です。
このスレは、IUTを読むための用語集資料集スレとします。
議論は、
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
でお願いします
＜過去スレ＞
IUTを読むための用語集資料集スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
（参考）
URLﾘﾝｸ(mainichi.jp)
望月教授「ABC予想」証明　斬新理論で数学界に「革命」　京大数理研「完全な論文」【松本光樹、福富智】毎日新聞2020年4月3日
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
数学の難問ABC予想　京大教授が証明　30年以上未解決 2020/04/03 FNNプライムオンライン
つづく

3:現代数学の系譜雑談
20/12/01 18:13:34.46 mY/U6brk.net
>>2
つづき
（参考）
関連：望月新一（数理研） URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
星裕一郎の論文
(抜粋)
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
続・宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2018) （Indexあり） URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
山下剛サーベイ URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp) （Indexが充実しているので、IUT辞書として使える）
A proof of the abc conjecture after Mochizuki.preprint. Go Yamashita last updated on 8/July/2019.
Yourpedia 宇宙際タイヒミュラー理論（URLが通らないので検索たのむ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)　宇宙際タイヒミュラー理論 Wikipedia
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 英Inter-universal Teichmuller theory 英 Wikipedia
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ABC予想
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 英abc conjecture
URLﾘﾝｸ(www.uvm.edu)
[ Taylor Dupuy's Homepage]論文集
URLﾘﾝｸ(www.math.arizona.edu) から Recent Research へ入る
Kirti Joshi Recent Research論文集
つづく

4:現代数学の系譜雑談
20/12/01 18:14:05.27 mY/U6brk.net
>>3
なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ、不遇な「一石」、サイコパス、“鳥なき里のコウモリ”そのままで、“シッタカ”ぶり男で、アホ男です。
なお、IUTスレでは、「維新さん」と呼ばれることもあります。（突然“維新～！”と絶叫したりするからです（＾＾；　）
( URLﾘﾝｸ(textream.yahoo.co.jp) 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊）（Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（＊＊）注；URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 双曲面
二葉双曲面：URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
おサル、あいつは双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp) サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
URLﾘﾝｸ(kotowaza-allguide.com)
鳥なき里の蝙蝠故事ことわざ辞典
【読み】とりなきさとのこうもり
【意味】鳥なき里の蝙蝠とは、すぐれた者がいないところでは、つまらぬ者が威張っていることのたとえ。
また
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
低脳で幼稚なカキコ
上記は、お断りです！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
つづく

5:現代数学の系譜雑談
20/12/01 18:14:42.13 mY/U6brk.net
>>4
つづき
守屋悦朗先生のABC予想って？（１）＆(２)が出ました（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.f.waseda.jp)
旧「早稲田大学教育・総合科学学術院教育学部数学科　守屋悦朗研究室」
URLﾘﾝｸ(www.f.waseda.jp)
ご近所講座守屋悦朗
～数楽すうがくJoy of Mathematics と佳算けいさんSmart Computations の散歩道～
URLﾘﾝｸ(www.f.waseda.jp)
M-project 守屋悦朗
第34回　『ABC予想って（１）：斬新・難解な証明の検証に8年もかかった！』　（高校生以上）20/04/26
ABC予想って？ (1) ：超々入門
1．唐突な発表で登場したビッグニュース
2．望月新一教授（京都大学）
3．学術誌とは
4．レフェリー制
URLﾘﾝｸ(www.f.waseda.jp)
ABC予想って？ (２) 守屋悦朗 2020/6/8
500ページの難解論文をパワーポイント50シートで説明できるわけがない！
1．1000ページにも及ぶ長大な論文をそんなに簡単には紹介できません
2～4．数学における予想の作られ方（1）～(4)
5．一元体
6．一元体とABC予想
7．素数について
8．素数が無限個存在することの証明
つづく

6:現代数学の系譜雑談
20/12/01 18:15:06.27 mY/U6brk.net
つづき
下記の PDF 数学の超難問「ABC予想」とは？
別冊Newton「数学の世界」増補第3版 168 - 171 2019年11月協力小山信也執筆山田久美
これ分かり易いな
必見ですね（＾＾
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
researchmap 小山信也コヤマシンヤ (Shin'ya Koyama)
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
数学の超難問「ABC予想」とは？別冊Newton「数学の世界」増補第3版 168 - 171 2019年11月協力小山信也執筆山田久美
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
PROBABILISTIC SZPIRO, BABY SZPIRO, AND EXPLICIT SZPIRO FROM MOCHIZUKI’S COROLLARY 3.12
TAYLOR DUPUY AND ANTON HILADO Date: April 30, 2020.
P14
Remark 3.8.3. (1) The assertion of [SS17, pg 10] is that (3.3) is the only relation between
the q-pilot and Θ-pilot degrees. The assertion of [Moc18, C14] is that [SS17, pg 10] is
not what occurs in [Moc15a]. The reasoning of [SS17, pg 10] is something like what
follows:
P15
(2) We would like to point out that the diagram on page 10 of [SS17] is very similar to
the diagram on §8.4 part 7, page 76 of the unpublished manuscript [Tan18] which
Scholze and Stix were reading while preparing [SS17].
References
[SS17] Peter Scholze and Jakob Stix, Why abc is still a conjecture., 2017. 1, 1, 1e, 2, 7.5.3 ( URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp) )
[Tan18] Fucheng Tan, Note on IUT, 2018. 1, 2
つづく

つづき

7:現代数学の系譜雑談
20/12/01 18:16:34.56 mY/U6brk.net
>>6
つづき
なお
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(slides).pdf
Introduction to Inter-universal Teichm¨uller theory
Fucheng Tan RIMS, Kyoto University 2018
To my limited experiences, the following seem to be an option for people who wish to get to
know IUT without spending too much time on all the details.
・ Regard the anabelian results and the general theory of Frobenioids as blackbox.
・ Proceed to read Sections 1, 2 of [EtTh], which is the basis of IUT.
・ Read [IUT-I] and [IUT-II] (briefly), so as to know the basic definitions.
・ Read [IUT-III] carefully. To make sense of the various definitions/constructions in the second half of [IUT-III], one needs all the previous definitions/results.
・ The results in [IUT-IV] were in fact discovered first. Section 1 of [IUT-IV] allows one to
see the construction in [IUT-III] in a rather concrete way, hence can be read together with [IUT-III], or even before.
S. Mochizuki, The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations.
S. Mochizuki, Inter-universal Teichm¨uller Theory I, II, III, IV.
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
教員名: 譚福成（Tan, Fucheng）
P-adic Hodge theory plays an essential role in Mochizuki's proof of Grothendieck's
Anabelian Conjecture. Recently, I have been studying anabeian geometry and
Mochizuki's Inter-universal Teichmuller theory, which is in certain sense a global
simulation of p-adic comparison theorem.
つづく

8:現代数学の系譜雑談
20/12/01 18:17:03.64 mY/U6brk.net
>>7
つづき
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
Research Institute for Mathematical Sciences - Kyoto University, Japan
PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元
Online Seminar - Algebraic & Arithmetic Geometry
Laboratoire Paul Painleve - Universite de Lille, France
Version 1 ? ε - 09/10/2020
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory
Org.: Collas (RIMS); Debes, Fresse (Lille).
The Programme of the seminar contains a selection of ~30 references with respect to (1) Diophantine Geometry, (2) IUT Geometry, and (3) Anabelian Geometry. We indicate some links towards the key opuses as well as some complementary notes and proceedings.
テンプレは以上です

9:１３２人目の素数さん
21/02/07 23:07:33.01 1q1vuYYo.net
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
modularとは
主な意味
基準寸法の
研究社英和コンピューター用語辞典での「modular」の意味
・modular arithmetic 法の代数《ある数を法として同じ数は同じとみなした整数の計算; ⇒mod》
URLﾘﾝｸ(www.weblio.jp)
ウィキペディア
モジュール
(モジュラーから転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/21 04:41 UTC 版)
モジュール（英: module）とは、工学などにおける設計上の概念で、システムを構成する要素となるもの。いくつかの部品的機能を集め、まとまりのある機能を持った部品のこと。モジュールに従っているものをモジュラー（英: modular）という。

10:１３２人目の素数さん
21/02/07 23:09:00.27 1q1vuYYo.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モジュラー曲線
モジュラー曲線（モジュラーきょくせん）とは複素上半平面 H の合同部分群 Γ の作用による商として定義されるリーマン面のことである。合同部分群 Γ とは、整数の 2 × 2 の行列 SL(2, Z) のある部分群のことである。モジュラー曲線はコンパクトとは限らないが、有限個の Γ のカスプと呼ばれる点を加えることでコンパクト化されたモジュラー曲線 X(Γ) を定めることができる。モジュラー曲線の点は、楕円曲線とそれに付随する群 Γ に関係するある構造をもったものの同型類の集合とみなすことができ、モジュラー曲線を代数幾何的に、また有理数体 Q や円分体の上でモジュラー曲線を定義することもできる。このことからモジュラー曲線は整数論で重要な対象である。
目次
1 解析的定義
1.1 コンパクト化されたモジュラー曲線
2 例
3 種数
3.1 種数 0
4 モンスター群との関係
コンパクト化されたモジュラー曲線
Y(Γ) のコンパクト化は、Γ のカスプと呼ばれる有限個の点を加えることにより得られる。特に、このコンパクト化は、拡張された複素上半平面 H* = H ∪ Q ∪ {∞} 上の Γ の作用を考えることにより得られる。
つづく

11:１３２人目の素数さん
21/02/07 23:09:33.83 1q1vuYYo.net
>>10
つづき
例
モジュラー曲線 X(5) は種数 0 を持ち、正二十面体の頂点に 12個のカスプを持つリーマン球面である。被覆 X(5) → X(1) はリーマン球面上の20面体群（英語版）(icosahedral group)の作用による商である。この群は位数 60 の単純群で、対称群 A5 および PSL(2, 5) とに同型である。
モジュラー曲線 X(7) は、カスプを 24個持つ種数 3 のクライン四次曲線（英語版）(Klein quartic)である。これは3つのハンドルつきの曲面を 24 個の七角形でタイリングし、各々の面の中心にカスプを持っていると解釈することができる。これらのタイリングは、dessins d'enfants[2] やバイリ函数（英語版）(Belyi function)を通して理解することができる。カスプは、無限遠点 ∞ 上にある（赤い点）、一方、頂点と辺の中心にある（黒と白の点）カスプは、0 と 1 にある。被覆 X(7) → X(1) のガロア群は、PSL(2, 7) に同型な位数 168 の単純群である。
X0(N) には、明確な古典モデルである古典モジュラー曲線（英語版）(classical modular curve)が存在し、これを「モジュラー曲線」という場合もある。
これらの曲線は、レベル構造つき楕円曲線のモジュライ空間として解釈される。このため、モジュラー曲線は数論幾何(arithmetic geometry)で重要な役割を果たす。レベル N のモジュラー曲線 X(N) は、楕円曲線とそのN-等分点の基底の組のモジュライ空間である。X0(N) と X1(N) の付加構造は、それぞれ、位数 N の巡回部分群、位数 N の点である。これらの曲線は、非常に詳しく研究されており、特に、X0(N) は有理数体上で定義することができる。
モジュラ曲線を定義する方程式は、モジュラー方程式（英語版）(modular equation)の最も良く知られた例である。この「最良のモデル」は楕円函数論から直接得られる理論とは非常に異なっている。ヘッケ作用素は、二つのモジュラー曲線の間の対応として幾何学的に研究される。
注意: コンパクトな H の商は、モジュラ群の部分群以外に、フックス群（英語版）(Fuchsian group) Γ に対し発生する。
つづく

12:１３２人目の素数さん
21/02/07 23:10:06.62 1q1vuYYo.net
>>11
つづき
種数
X(5) は種数 0 であり、X(7) は種数 3 であり、X(11) は種数26 であることがわかる。p = 2 あるいは 3 に対しは分岐を考えに入れる、つまり、PSL(2, Z) には位数 p の元が存在し、PSL(2, 2) は位数 3 というよりも位数 6 であることを考慮する必要がある。N を因子として含むレベル N のモジュラー曲線の種数についてのより複雑な公式がある。
種数 0
一般に、モジュラー函数体とは、モジュラー曲線（あるいは既約であるような他のモジュライ空間）の函数体である。種数が 0 であることは、そのような函数体が唯一の超越函数を生成元として持っていることを意味し、たとえば、j-函数は X(1)=PSL(2,Z )＼ H の函数体を生成する。この生成元はメビウス変換で移りあう函数を同一視すると一意となり、適切に正規化することができ、そのような函数を Hauptmodul (あるいは主モジュラー函数(principal modular function)と呼ぶ。
空間 X1(n) は n = 1, ..., 10 と n = 12 に対して、種数 0 である。これらの曲線は、Q 上で定義されているので、そのような曲線上には無限に多くの有理点が存在し、よって、これらの n の値に対し n-捩れを持つ有理数体上定義された楕円曲線が無限に存在する。n がこれらの値のときのみ、逆のステートメントが成り立ち、これがメイザーの捩れ定理である。
モンスター群との関係
詳細は「モンストラス・ムーンシャイン」を参照
種数 0 のモジュラー曲線はモンストラス・ムーンシャイン予想との関係で非常に重要であることが判明した。モジュラー曲線の Hauptmoduln を q-展開した係数の最初のいくつかが、19世紀に既に計算されていたが、最も大きな単純散在モンスター群の表現空間の次元と同じになっていることが、非常に衝撃的である。
もうひとつの関係は、SL(2, R) の Γ0(p) の正規化群 Γ0(p)+ から定まるモジュラー曲線が種数 0 であることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 あるいは、71 であることと同値である。さらにこれらの素数はモンスター群の位数の素因子と一致する。この Γ0(p)+ についての結果は、ジャン＝ピエール・セール(Jean-Pierre Serre), アンドレ・オッグ（英語版）(Andrew Ogg)とジョン・トンプソン(John G. Thompson)が1970年代に発見し、モジュラー群とモンスター群の関係を発見したオッグは、この事実を説明したものには、ジャックダニエル（テネシー・ウイスキー）のボトルを進呈すると論文に記載した。
この関係は非常に深く、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により示されたように、一般カッツ・ムーディリー代数とも深く関係する。この分野の仕事は、至るところで正則でカスプを持つモジュラー形式に対し、有理型でありカスプで極を持つことのできるモジュラー函数の重要性を示している。これらの仕事は、20世紀の重要な研究の対象となった。

13:１３２人目の素数さん
21/02/07 23:10:55.67 1q1vuYYo.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Belyi's theorem
In mathematics, Belyi's theorem on algebraic curves states that any non-singular algebraic curve C, defined by algebraic number coefficients, represents a compact Riemann surface which is a ramified covering of the Riemann sphere, ramified at three points only.
This is a result of G. V. Belyi from 1979. At the time it was considered surprising, and it spurred Grothendieck to develop his theory of dessins d'enfant, which describes nonsingular algebraic curves over the algebraic numbers using combinatorial data.
Contents
1 Quotients of the upper half-plane
2 Belyi functions
3 Applications
Quotients of the upper half-plane
It follows that the Riemann surface in question can be taken to be
H/Γ
with H the upper half-plane and Γ of finite index in the modular group, compactified by cusps. Since the modular group has non-congruence subgroups, it is not the conclusion that any such curve is a modular curve.
つづく

14:１３２人目の素数さん
21/02/07 23:11:19.92 1q1vuYYo.net
>>13
つづき
Belyi functions
A Belyi function is a holomorphic map from a compact Riemann surface S to the complex projective line P1(C) ramified only over three points, which after a Mobius transformation may be taken to be {\displaystyle \{0,1,\infty \}}\{0,1,\infty \}. Belyi functions may be described combinatorially by dessins d'enfants.
Belyi functions and dessins d'enfants ? but not Belyi's theorem ? date at least to the work of Felix Klein; he used them in his article (Klein 1879) to study an 11-fold cover of the complex projective line with monodromy group PSL(2,11).[1]
Applications
Belyi's theorem is an existence theorem for Belyi functions, and has subsequently been much used in the inverse Galois problem.

15:１３２人目の素数さん
21/02/07 23:12:30.85 1q1vuYYo.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Dessin d'enfant
In mathematics, a dessin d'enfant is a type of graph embedding used to study Riemann surfaces and to provide combinatorial invariants for the action of the absolute Galois group of the rational numbers. The name of these embeddings is French for a "child's drawing"; its plural is either dessins d'enfant, "child's drawings", or dessins d'enfants, "children's drawings".
A dessin d'enfant is a graph, with its vertices colored alternately black and white, embedded in an oriented surface that, in many cases, is simply a plane. For the coloring to exist, the graph must be bipartite. The faces of the embedding must be topological disks. The surface and the embedding may be described combinatorially using a rotation system, a cyclic order of the edges surrounding each vertex of the graph that describes the order in which the edges would be crossed by a path that travels clockwise on the surface in a small loop around the vertex.
Any dessin can provide the surface it is embedded in with a structure as a Riemann surface. It is natural to ask which Riemann surfaces arise in this way. The answer is provided by Belyi's theorem, which states that the Riemann surfaces that can be described by dessins are precisely those that can be defined as algebraic curves over the field of algebraic numbers. The absolute Galois group transforms these particular curves into each other, and thereby also transforms the underlying dessins.
For a more detailed treatment of this subject, see Schneps (1994) or Lando & Zvonkin (2004).
Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
2 Riemann surfaces and Belyi pairs
6 The absolute Galois group and its invariants
つづく

16:１３２人目の素数さん
21/02/07 23:13:25.61 1q1vuYYo.net
>>15
つづき
History
19th century
Early proto-forms of dessins d'enfants appeared as early as 1856 in the icosian calculus of William Rowan Hamilton;[1] in modern terms, these are Hamiltonian paths on the icosahedral graph.
Recognizable modern dessins d'enfants and Belyi functions were used by Felix Klein (1879). Klein called these diagrams Linienzuge (German, plural of Linienzug "line-track", also used as a term for polygon); he used a white circle for the preimage of 0 and a '+' for the preimage of 1, rather than a black circle for 0 and white circle for 1 as in modern notation.[2] He used these diagrams to construct an 11-fold cover of the Riemann sphere by itself, with monodromy group PSL(2,11), following earlier constructions of a 7-fold cover with monodromy PSL(2,7) connected to the Klein quartic in (Klein 1878?1879a, 1878?1879b). These were all related to his investigations of the geometry of the quintic equation and the group A5 ? PSL(2,5), collected in his famous 1884/88 Lectures on the Icosahedron. The three surfaces constructed in this way from these three groups were much later shown to be closely related through the phenomenon of trinity.
20th century
Dessins d'enfant in their modern form were then rediscovered over a century later and named by Alexander Grothendieck in 1984 in his Esquisse d'un Programme.[3] Zapponi (2003) quotes Grothendieck regarding his discovery of the Galois action on dessins d'enfants:
This discovery, which is technically so simple, made a very strong impression on me, and it represents a decisive turning point in the course of my reflections, a shift in particular of my centre of interest in mathematics, which suddenly found itself strongly focused. I do not believe that a mathematical fact has ever struck me quite so strongly as this one, nor had a comparable psychological impact. This is surely because of the very familiar, non-technical nature of the objects considered, of which any child’s drawing scrawled on a bit of paper (at least if the drawing is made without lifting the pencil) gives a perfectly explicit example. To such a dessin we find associated subtle arithmetic invariants, which are completely turned topsy-turvy as soon as we add one more stroke.
Part of the theory had already been developed independently by Jones & Singerman (1978) some time before Grothendieck. They outline the correspondence between maps on topological surfaces, maps on Riemann surfaces, and groups with certain distinguished generators, but do not consider the Galois action. Their notion of a map corresponds to a particular instance of a dessin d'enfant. Later work by Bryant & Singerman (1985) extends the treatment to surfaces with a boundary.
つづく

17:１３２人目の素数さん
21/02/07 23:13:55.73 1q1vuYYo.net
>>16
つづき
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
The triangulation of the sphere with (2,3,5) triangle group, generated by using the regular dodecahedron to construct a clean dessin
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
The triangulation of the hyperbolic plane with (2,3,7) triangle group generated as the universal cover of the Klein quartic

18:１３２人目の素数さん
21/02/08 23:48:10.55 PIZF5OS0.net
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.utp.or.jp)
楕円関数論　増補新装版
楕円曲線の解析学
梅村　浩著
ISBN978-4-13-061314-9発売日:2020年05月21日判型:A5ページ数：392頁
東京大学出版会
梅村楕円関数論の第5章楕円曲線のモジュライ
より、写経する
P250
定理5.4 次の全単射写像が存在する
T/～≡C
定理5.4を次のように言い換えることができる。複素トーラス全体のなす集合と、より正確には複素トーラスの同値類全体のなす集合と
複素平面Cとを自然に同一視することができる。あるいは、次のようにいってもよい。
複素トーラス全体のなす集合に、より正確には複素トーラスの同型類全体のなす集合に、自然な複素多様体の構造を入れて、複素平面Cと同一視することができる。
このように、ある型の幾何学的な対象Z全体のなす集合が、多様体Xの点全体のなす集合と自然に同一視されるとき、多様体Xは対象Zのモジュライ（moduli）空間であるという。
上の場合Zは複素トーラスであり、Xは複素平面である。
モジュライ空間は代数幾何学によく出現し、代数幾何学の最も重要な研究対象の一つである。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(eow.alc.co.jp)
英辞郎 on the WEB
moduli
名
modulusの複数形
発音m??d??la?i、カナモジュライ
URLﾘﾝｸ(eow.alc.co.jp)
modulus
名
《物理》係数、率
《数学》法、対数係数、絶対値◆【略】mod.
発音[US] m??d??l?s ｜ [UK] m??djul?s、カナ[US]モジュラス、[UK]モデュラス、

19:１３２人目の素数さん
21/02/13 13:20:18.51 wXktx3pj.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Belyi's theorem
Contents
1 Quotients of the upper half-plane
2 Belyi functions
3 Applications
Applications
Belyi's theorem is an existence theorem for Belyi functions, and has subsequently been much used in the inverse Galois problem.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Dessin d'enfant
Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
2 Riemann surfaces and Belyi pairs
3 Maps and hypermaps
4 Regular maps and triangle groups
5 Trees and Shabat polynomials
6 The absolute Galois group and its invariants
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Absolute Galois group
Contents
1 Examples
2 Problems
3 Some general results
Problems
No direct description is known for the absolute Galois group of the rational numbers. In this case, it follows from Belyi's theorem that the absolute Galois group has a faithful action on the dessins d'enfants of Grothendieck (maps on surfaces), enabling us to "see" the Galois theory of algebraic number fields.

20:１３２人目の素数さん
21/02/13 13:41:13.38 4TALI0LV.net
コピペは続くよどこまでも

21:１３２人目の素数さん
21/02/13 14:11:15.66 4eb0VVkt.net
どうせなら、翻訳しよう
ベリイの定理
数学では、代数曲線に関するBelyiの定理は、
代数的数係数上で定義された任意の非特異代数曲線Cは、
3点のみで分岐したリーマン球面の分岐被覆である
コンパクトなリーマン面を表すと述べている。

22:１３２人目の素数さん
21/02/13 14:12:55.50 4eb0VVkt.net
>>21
これは1979年のG. V. Belyiの結果である。
当時は驚くべきことだと思われていたが、
それがGrothendieckを駆り立て、
組み合わせデータを用いて代数上の非特異代数曲線を記述する
dessins d'enfantの理論を発展させた。

23:１３２人目の素数さん
21/02/13 14:24:11.15 4eb0VVkt.net
上半平面の商

問題のリーマン曲面はH/Γ
Hを上半平面、Γをカスプで圧縮されたモジュラー群の有限指数の部分群とする。
モジュラー群には非一致部分群があるので、
そのような曲線があればモジュラー曲線である
という結論にはならない。

24:１３２人目の素数さん
21/02/13 14:24:40.17 4eb0VVkt.net
Belyi関数
Belyi関数は，コンパクトなリーマン曲面Sから
3点上にある複素射影線P1(C)への正則写像であり，
(3点は)メビウス変換後に{0,1,∞}とできる
Belyi関数は，dessins d'enfantsによって組み合わせ的に記述できる

25:１３２人目の素数さん
21/02/19 08:22:24.94 G/gMneGZ.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
射有限群
射有限群（しゃゆうげんぐん、英語: pro-finite group）あるいは副有限群（ふくゆうげんぐん）は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。
射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。
目次
1 例
2 性質および事実
3 射有限完備化
4 入射有限群
5 関連項目
6 参考文献
・p-進整数全体の成す加法群 Zp は射有限である（実際にはさらに射巡回的である）。この群は、n を全ての自然数を亘って動かすとき、有限群 Z/pnZ とそれらの間の自然な射影 Z/pnZ → Z/pmZ (n ? m) が成す射影系の射影極限になっており、この群の射有限群としての位相はZp 上の p-進付値から定まる位相と一致する。
・体の無限次拡大のガロア理論では、射有限なガロア群が自然に現れる。具体的に、L/K を（無限次元の）ガロア拡大とし、K の元を動かさない L 上の体自己同型全体の成す群 G = Gal(L/K) を考える。この無限ガロア群は、F が F/K が有限次ガロア拡大であるような L/K の中間体すべてを亘るとき、有限ガロア群 Gal(F/K) が成す射影系の逆極限である。この射影系における射は、F2 ⊆ F1 なるとき、制限準同型 Gal(F1/K) → Gal(F2/K) で与えられる。得られる Gal(L/K) の位相はヴォルフガンク・クルルに因んでクルル位相 (Krull topology) として知られる。ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]が、このとき具体的にどのような体 K を選べばよいか決定する方法はいまだ知られていない。事実、多くの体 K で、どのような有限群が体 K 上のガロア群として得られるかということは一般にははっきりしない。このような問題は体 K に対するガロアの逆問題と呼ばれる（複素一変数の有理函数体のように、ガロアの逆問題が解決されている体もある）。
・代数幾何学において考察される基本群もまた射有限である。これは大雑把に言って、代数的には代数多様体の有限被覆だけしか「見る」ことができないということを反映するものであり、代数的位相幾何学における基本群は一般には射有限ではない。

26:１３２人目の素数さん
21/02/19 08:23:25.08 G/gMneGZ.net
Pro-p 群
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Pro-p group
In mathematics, a pro-p group (for some prime number p) is a profinite group {\displaystyle G}G such that for any open normal subgroup {\displaystyle N\triangleleft G}N\triangleleft G the quotient group {\displaystyle G/N}G/N is a p-group. Note that, as profinite groups are compact, the open subgroups are exactly the closed subgroups of finite index, so that the discrete quotient group is always finite.
Alternatively, one can define a pro-p group to be the inverse limit of an inverse system of discrete finite p-groups.
The best-understood (and historically most important) class of pro-p groups is the p-adic analytic groups: groups with the structure of an analytic manifold over {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}\mathbb {Q} _{p} such that group multiplication and inversion are both analytic functions. The work of Lubotzky and Mann, combined with Michel Lazard's solution to Hilbert's fifth problem over the p-adic numbers, shows that a pro-p group is p-adic analytic if and only if it has finite rank, i.e. there exists a positive integer {\displaystyle r}r such that any closed subgroup has a topological generating set with no more than {\displaystyle r}r elements. More generally it was shown that a finitely generated profinite group is a compact p-adic Lie group if and only if it has an open subgroup that is a uniformly powerful pro-p-group.
The Coclass Theorems have been proved in 1994 by A. Shalev and independently by C. R. Leedham-Green. Theorem D is one of these theorems and asserts that, for any prime number p and any positive integer r, there exist only finitely many pro-p groups of coclass r. This finiteness result is fundamental for the classification of finite p-groups by means of directed coclass graphs.

27:１３２人目の素数さん
21/02/19 08:23:53.43 G/gMneGZ.net
>>24
ありがとう
ご苦労様

28:１３２人目の素数さん
21/02/19 09:26:21.86 46Fge3L7.net
>>25
そもそも射影系が分かってないんじゃ意味ないぞ
射影極限
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Ai を長さiの有限数列全体からなる集合、
fij (i≤j) を数列をi項に切り詰める写像とすると、
その射影極限は、数列全体の集合となる。

29:１３２人目の素数さん
21/02/19 21:09:22.78 G/gMneGZ.net
>>28
ありがとう
ご苦労様

30:１３２人目の素数さん
21/02/22 06:56:24.93 mv3QHkFS.net
望月出張講演の下記数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）が、素朴な形でIUTの構想が語れていて、必読ですね
談話会のURLだけコピペしていますが、月～金の資料も結構参考になります
IUTの最終版では、変わっている部分もあると思いますが、全体構想を知る上で、大変参考になります
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月出張講演
[11] 数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）.　　月　火　水　木　金　概要　
　　　レポート問題　談話会　アブストラクト
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
談話会数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）

31:１３２人目の素数さん
21/02/23 23:08:44.99 RLePkY5e.net
スキーム、前スキーム、マンフォードの「Red Book」
”概型/スキームという用語で前スキームのうちで特に点の分離性を満たすものをさしているものもある。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
概型あるいはスキーム (英: scheme) とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数の代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている。さらに、今まで純代数的な対象として研究されてきた環についてもそのアフィンスキームを考えることである種の幾何的対象として、多様体との類推にもとづく研究手法を持ち込むことが可能になる。このため特に数論の分野ではスキームが強力な枠組みとして定着している。
スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は、大きな威力を発揮するが、その一方で、古典的な代数幾何においては点とみなされなかった既約部分多様体のようなものまでがスペクトルの「点」になってしまう。
スキーム
アフィンスキームの張り合わせとしてえられるような局所環付き空間は前スキームまたは概型（スキーム）とよばれる。グロタンディークのEGAやマンフォードの「Red Book」など初期の文献には概型/スキームという用語で前スキームのうちで特に点の分離性を満たすものをさしているものもある。

32:１３２人目の素数さん
21/02/23 23:29:48.30 RLePkY5e.net
局所は、局所化：環に乗法逆元を機械的に添加する
局所環：In practice, a commutative local ring often arises as the result of the localization of a ring at a prime ideal. The English term local ring is due to Zariski.[2]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環の局所化（きょくしょか、英: localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)[注 1] は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S－1R で表され、あるいは S が素イデアル {p} の補集合であるときには R_ {p}} で表される。S－1R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。
局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。
用語について
「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 S－1R は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。
例
整数環を Z, 有理数体を Q と表す。
R = Z のとき、積閉集合 S = Z － {0} による局所化は S－1R = Q である。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In abstract algebra, more specifically ring theory, local rings are certain rings that are comparatively simple, and serve to describe what is called "local behaviour", in the sense of functions defined on varieties or manifolds, or of algebraic number fields examined at a particular place, or prime. Local algebra is the branch of commutative algebra that studies commutative local rings and their modules.
In practice, a commutative local ring often arises as the result of the localization of a ring at a prime ideal.
The concept of local rings was introduced by Wolfgang Krull in 1938 under the name Stellenringe.[1] The English term local ring is due to Zariski.[2]
Examples
All fields (and skew fields) are local rings, since {0} is the only maximal ideal in these rings.
A nonzero ring in which every element is either a unit or nilpotent is a local ring.

33:１３２人目の素数さん
21/02/26 10:41:04.06 /iWCqc/x.net
田口雄一郎先生、結構面白い
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
Fermat の最終定理を巡る数論
田口雄一郎
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
Fermat の最終定理を巡る数論
( 『日本の科学者』 vol.40, no.3 )
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
Yuichiro TAGUCHI
URLﾘﾝｸ(www.jsa.gr.jp)
『日本の科学者』総目次2005年～2009年
2005年3月号　Vol.40No.3　通巻446号
・Fermatの最終定理を巡る数論　　田口雄一郎

34:１３２人目の素数さん
21/02/26 11:00:51.46 /iWCqc/x.net
>>33
田口雄一郎先生、
これ以前にも別のスレで取り上げたけど
IUT以前の話と思う（細かい時期は不明）
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
abc予想の話
( 昔、北大理学部ＨＰの「サイエンストピックス」に掲載されたもの )
田口雄一郎
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
Yuichiro TAGUCHI

35:１３２人目の素数さん
21/02/27 23:24:57.49 f+hU2HEr.net
>>34
メモ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Klein quartic
In hyperbolic geometry, the Klein quartic, named after Felix Klein, is a compact Riemann surface of genus 3 with the highest possible order automorphism group for this genus, namely order 168 orientation-preserving automorphisms, and 336 automorphisms if orientation may be reversed. As such, the Klein quartic is the Hurwitz surface of lowest possible genus; see Hurwitz's automorphisms theorem. Its (orientation-preserving) automorphism group is isomorphic to PSL(2, 7), the second-smallest non-abelian simple group. The quartic was first described in (Klein 1878b).
Closed and open forms
It is important to distinguish two different forms of the quartic. The closed quartic is what is generally meant in geometry; topologically it has genus 3 and is a compact space. The open or "punctured" quartic is of interest in number theory; topologically it is a genus 3 surface with 24 punctures, and geometrically these punctures are cusps. The open quartic may be obtained (topologically) from the closed quartic by puncturing at the 24 centers of the tiling by regular heptagons, as discussed below. The open and closed quartics have different metrics, though they are both hyperbolic and complete[1] – geometrically, the cusps are "points at infinity", not holes, hence the open quartic is still complete.
Affine quartic
The above is a tiling of the projective quartic (a closed manifold); the affine quartic has 24 cusps (topologically, punctures), which correspond to the 24 vertices of the regular triangular tiling, or equivalently the centers of the 24 heptagons in the heptagonal tiling, and can be realized as follows.
続く

36:１３２人目の素数さん
21/02/27 23:25:40.22 f+hU2HEr.net
>>35
続き
Considering the action of SL(2, R) on the upper half-plane model H2 of the hyperbolic plane by Möbius transformations, the affine Klein quartic can be realized as the quotient Γ(7)\H2. (Here Γ(7) is the congruence subgroup of SL(2, Z) consisting of matrices that are congruent to the identity matrix when all entries are taken modulo 7.)
Fundamental domain and pants decomposition
3-dimensional models
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
An animation by Greg Egan showing an embedding of Klein’s Quartic Curve in three dimensions, starting in a form that has the symmetries of a tetrahedron, and turning inside out to demonstrate a further symmetry.
Dessin d'enfants
The dessin d'enfant on the Klein quartic associated with the quotient map by its automorphism group (with quotient the Riemann sphere) is precisely the 1-skeleton of the order-3 heptagonal tiling.[10] That is, the quotient map is ramified over the points 0, 1728, and ∞; dividing by 1728 yields a Belyi function (ramified at 0, 1, and ∞), where the 56 vertices (black points in dessin) lie over 0, the midpoints of the 84 edges (white points in dessin) lie over 1, and the centers of the 24 heptagons lie over infinity. The resulting dessin is a "platonic" dessin, meaning edge-transitive and "clean" (each white point has valence 2).
続く

37:１３２人目の素数さん
21/02/27 23:26:39.15 f+hU2HEr.net
>>36
続き
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Klein quadric
In mathematics, the lines of a 3-dimensional projective space, S, can be viewed as points of a 5-dimensional projective space, T. In that 5-space, the points that represent each line in S lie on a quadric, Q known as the Klein quadric.
If the underlying vector space of S is the 4-dimensional vector space V, then T has as the underlying vector space the 6-dimensional exterior square Λ2V of V. The line coordinates obtained this way are known as Plücker coordinates.
以上

38:１３２人目の素数さん
21/02/27 23:36:36.38 f+hU2HEr.net
>>37
”Punctured spheres”
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Riemann surface
Contents
5 Classification of Riemann surfaces
5.1 Elliptic Riemann surfaces
5.2 Parabolic Riemann surfaces
5.3 Hyperbolic Riemann surfaces
6 Maps between Riemann surfaces
6.1 Punctured spheres
6.2 Ramified covering spaces
7 Isometries of Riemann surfaces
Punctured spheres
These statements are clarified by considering the type of a Riemann sphere {\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}}\widehat{\mathbf{C}} with a number of punctures. With no punctures, it is the Riemann sphere, which is elliptic. With one puncture, which can be placed at infinity, it is the complex plane, which is parabolic. With two punctures, it is the punctured plane or alternatively annulus or cylinder, which is parabolic. With three or more punctures, it is hyperbolic – compare pair of pants. One can map from one puncture to two, via the exponential map (which is entire and has an essential singularity at infinity, so not defined at infinity, and misses zero and infinity), but all maps from zero punctures to one or more, or one or two punctures to three or more are constant.
Isometries of Riemann surfaces
The isometry group of a uniformized Riemann surface (equivalently, the conformal automorphism group) reflects its geometry:
・the isometry group of the plane is the subgroup fixing infinity, and of the punctured plane is the subgroup leaving invariant the set containing only infinity and zero: either fixing them both, or interchanging them (1/z).

39:１３２人目の素数さん
21/02/28 08:21:52.42 c9K39yvS.net
>>24
ありがとう
（追加）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Dessin d'enfant
Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
2 Riemann surfaces and Belyi pairs
3 Maps and hypermaps
4 Regular maps and triangle groups
5 Trees and Shabat polynomials
6 The absolute Galois group and its invariants
Riemann surfaces and Belyi pairs
Each triangle in the triangulation has three vertices labeled 0 (for the black points), 1 (for the white points), or ∞. For each triangle, substitute a half-plane, either the upper half-plane for a triangle that has 0, 1, and ∞ in counterclockwise order or the lower half-plane for a triangle that has them in clockwise order, and for every adjacent pair of triangles glue the corresponding half-planes together along the portion of their boundaries indicated by the vertex labels. The resulting Riemann surface can be mapped to the Riemann sphere by using the identity map within each half-plane. Thus, the dessin d'enfant formed from f is sufficient to describe f itself up to biholomorphism. However, this construction identifies the Riemann surface only as a manifold with complex structure; it does not construct an embedding of this manifold as an algebraic curve in the complex projective plane, although such an embedding always exists.
続く

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