IUTを読むための用語集資料スレ2

IUTを読むための用語� ..

164:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:42:05.81 9nXmqzo6.net
>>163
つづき
相互律準同型を構成する標準的な方法は、まず大域体の完備化の乗法群からその最大アーベル拡大のガロワ群への局所相互律同型を構成し（ここまでは局所類体論の範疇でできる）、それからそれらすべての局所相互律写像の積を大域体のイデール群上で定義するとき、その積が大域体の乗法群の像の上で自明となることを示すことで行われる。最後のところのこの性質を大域相互律 (global reciprocity law) と言い、これはガウスの二次の相互律の広汎な一般化になっている。
相互律準同型を構成するのに類構造（英語版）を用いる方法もある。
コホモロジー群（特にブラウアー群）を用いる方法や、コホモロジーを用いずに非常に明示的で応用が利く方法などもある。
つづく

165:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:42:29.08 9nXmqzo6.net
>>164
つづき
素イデアル
G の抽象的な記述だけではなくて、そのアーベル拡大においてどのように素イデアルが分解するかを理解することが数論の目的にとってより本質的である。この記述はフロベニウス元を用いて、二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律を非常に広範に一般化するものである。つまり、類体論の内容には、（三次の相互律といったような）より高次の「冪剰余の相互律」についての理論が含まれるのである。
類体論の一般化
数論における一つの自然な展開は、大域体の（アーベルとは限らない）一般のガロワ拡大に対する情報を与える非可換類体論の構成と理解を行うことである。ラングランズ対応が非可換類体論と見做されることが多く、そして実際にラングランズ対応が確立されたときには大域体の非可換ガロワ拡大に関する非常に豊かな理論を含むことになるのだが、しかしラングランズ対応はアーベル拡大の場合の類体論が持っていた有限次ガロワ拡大についての数論的情報のほとんどを含んでいないのである。しかもラングランズ対応は類体論の存在定理に対応するものも含んでいない、即ち、ラングランズ対応における類体の概念は存在しないのである。局所および大域の非可換類体論はいくつか存在し、それらはラングランズ対応の観点に対する別の選択肢を与えてくれる。
つづく

166:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:42:44.58 9nXmqzo6.net
>>165
つづき
もうひとつ、数論幾何における自然な展開は、高次局所体および高次大域体のアーベル拡大を構成及び理解することである。後者の高次大域体は、整数環上の有限型スキームの函数体およびその適当な局所化や完備化として生じる。「高次局所および大域類体論」は代数的 K-理論や、一次元類体論で用いられる K1 の代わりに適当なミルナー K-群を用いる。高次局所および大域類体論は、A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司らの数学者が展開した。代数的 K-理論を用いずに高次大域類体論を展開しようとする試みもある (G. Wiesend) が、このやり方は高次局所類体論を含むものではなく、また局所理論と大域理論との間に互換性がない。
歴史
詳細は「類体論の歴史（英語版）」を参照
類体論の起源はガウスによって与えられた平方剰余の相互律にある。それが一般化されるまでには長きに亙る歴史的な取り組み、たとえば二次形式とその「種の理論」、クンマー・クロネッカー・ヘンゼルなどのイデアルおよび完備化に関する業績、円分体およびクンマー拡大の理論などがあった。
最初の二つの類体論は、非常にはっきりした円分類体論と虚数乗法類体論である。これらは付加的な構造（有理数体の場合には 1 の冪根、有理数体の虚二次拡大体の場合には楕円曲線が虚数乗法を持つことと位数有限であること）が利用できる。随分後になって、志村の理論は代数的数体のクラスに対する非常に明示的な新たな類体論を与えた。これらは基礎体の具体的な構造を非常に陽に用いる理論であって、勝手な数体に対してもうまくいくように拡張することはできない。正標数 p の体に関しては、河田と佐武がヴィット双対性を用いて相互律準同型の p-成分の非常に平易な記述を得ている。
つづく

167:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:43:05.25 9nXmqzo6.net
>>166
つづき
しかし、一般類体論はこういったものとは異なる概念を用い、その構成法が任意の大域体に対してうまく機能するようにしなければならない。
ヒルベルトの有名な問題が更なる発展の刺激となって、高木貞治、フィリップ・フルトヴェングラー、エミール・アルティン、ヘルムート・ハッセほか多数による種々の相互律が導かれることとなった。著しく重要な高木の存在定理が1920年に知られ、全ての主要な結果は1930年ごろまでには出そろっていた。証明されるべき古典的な予想の最後の一つは単項化定理（英語版）であった。類体論の最初の証明には、頑強な解析学的手法が用いられた。1930年代以降は、無限次元拡大とそのガロワ群に関するヴォルフガンク・クルルの理論が有効であることが次第に認められていく。この理論はポントリャーギン双対性と結びついて、中心的な結果であるアルティンの相互律のより抽象的な定式化が分かり易くなった。重要な段階は、1930年代にクロード・シュヴァレーによってイデールが導入されたことである。イデールをイデアル類の代わりに用いることで、大域体のアーベル拡大を記述する構造は本質的に明確化および単純化され、中心的な結果のほとんどが1940年までに証明された。
つづく

168:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:43:25.67 9nXmqzo6.net
>>167
つづき
この結果の後には、群コホモロジーの言葉を使った定式化がなされ、それが何世代かの数論学者が類体論を学ぶ際の標準となったが、コホモロジーを用いる方法の難点の一つは、それがあまり具体的でないことである。ベルナルド・ドワーク、ジョン・テイト、ミッシェル・ハゼウィンケルによる局所理論への貢献、およびユルゲン・ノイキルヒによる局所および大域理論の再解釈の結果として、あるいは多くの数学者による明示的な相互公式に関する業績と関連して、1990年代にはコホモロジーを用いない非常に明確な類体論の表現が確立された。このあたりの詳細は、例えばノイキルヒの本を参照せよ。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
類体論の高木の存在定理 (Takagi existence theorem) とは、代数体 K に対してその有限次アーベル拡大と K の一般化されたイデアル類群の間に 1 対 1 の対応が存在するという定理である。
この定理を存在定理と呼ぶ理由は、証明の最も困難な部分が K のアーベル拡大体の存在を示す部分にあるからである。
(引用終り)
以上

169:１３２人目の素数さん
21/10/01 17:06:10.64 9nXmqzo6.net
>>48 補足
>URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
>類体論田口雄一郎
(引用開始)
P2
類体論の応用として
Kronecker の青春の夢. 虚二次体の任意の有限次アーベル拡大はCM
楕円曲線のj 不変量の値と等分点の座標を添加して得られる。
が解決した(これはKronecker-Weber の定理の虚二次体への拡張である)。
(引用終り)
”CM 楕円曲線”は、虚数乗法（CM）を持つ楕円曲線のことですね
文中に説明がないので、補足です
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, complex multiplication (CM) is the theory of elliptic curves E that have an endomorphism ring larger than the integers;[1] and also the theory in higher dimensions of abelian varieties A having enough endomorphisms in a certain precise sense (it roughly means that the action on the tangent space at the identity element of A is a direct sum of one-dimensional modules). Put another way, it contains the theory of elliptic functions with extra symmetries, such as are visible when the period lattice is the Gaussian integer lattice or Eisenstein integer lattice.
つづく

170:１３２人目の素数さん
21/10/01 17:06:42.85 9nXmqzo6.net
>>169
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
虚数乗法(complex multiplication)とは、通常よりも大きな対称性をもつ楕円曲線の理論のことをいう。別のいいかたをすれば、周期格子（英語版）(period lattice)がガウス整数の格子であったり、アイゼンシュタイン整数の格子であったりするような、余剰な対称性を持つ楕円函数の理論である。楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体についても同様に大きな対称性をもつ場合があり、これらを扱うのが虚数乗法論である。
特殊関数の理論として、そのような楕円函数や多変数複素解析函数のアーベル函数は、大きな対称性をもつことからその関数が多くの等式をみたすことがいえる。特別な点では具体的に計算可能な特殊値を持つ。また虚数乗法は代数的整数論の中心的なテーマであり、円分体の理論をより広く拡張する事を可能にする。
虚数乗法は、虚二次体の類体における相互法則、主イデアル定理、分岐の様子を、楕円函数や楕円曲線のことばで具体的に書き表すことを可能とする。ダフィット・ヒルベルトは、楕円曲線の虚数乗法論は数学のみならず、すべての科学の中の最も美しい分野であると言っている[1]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
CM-タイプのアーベル多様体
体 K 上定義されたアーベル多様体 A がCM-タイプ(CM-type)であるとは、自己準同型環 End(A) の中で十分に大きな部分可換環を持つことをいう。この用語は虚数乗法 (complex multiplication) 論から来ていて、虚数乗法論は19世紀に楕円曲線の研究のため開発された。20世紀の代数的整数論と代数幾何学の主要な成果のひとつに、アーベル多様体の次元 d > 1 の理論の正しい定式化が発見されたことがある。この問題は、多変数複素函数論を使うことが非常に困難であるため、非常に抽象的である。
つづく

171:１３２人目の素数さん
21/10/01 17:07:14.75 9nXmqzo6.net
>>170
つづき
フォーマルな定義は、有理数体 Q と End(A) のテンソル積
{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Q} }(A)}{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Q} }(A)}
は Z 上、次元 2d の可換部分環を含んでいることである。d = 1 のとき、このことは二次体以外にはありえなく、End(A) は虚二次体の整環（英語版）(order)である。d > 1 に対しては、総実体の虚二次拡大であるCM体の場合が比較すべきに対象である。A が単純アーベル多様体ではないかもしれない（例えば、楕円曲線のカルテシアン積）ことを反映する他の他の場合もある。CM-タイプのアーベル多様体の別の名称は、十分に多くの虚数乗法を持つアーベル多様体である。
K が複素数体であれば、任意のCM-タイプの A は、実は、数体である定義体（英語版）(field of definition)を持っている。自己準同型環の可能なタイプは、対合（ロサチの対合（英語版）(Rosati involution)）をもつ環として既に分類されていて、CM-タイプのアーベル多様体の分類を導き出す。楕円曲線と同じような方法でCM-タイプの多様体を構成するには、Cd の中の格子 Λ から始め、アーベル多様体のリーマンの関係式を考えに入れる必要がある。
CM-タイプ(CM-type)は、単位元における A の正則接空間上の、EndQ(A) の（極大）可換部分環 L の作用を記述したものである。単純な種類のスペクトル理論が適応され、L が固有ベクトルの基底を通して作用することを示すことができる。言い換えると、L は A の正則ベクトル場の上の対角行列を通した作用を持っている。L 自体が複数の体の積ではなく数体であるという単純な場合には、CM-タイプは L の複素埋め込み(complex embedding)のリストである。複素共役をペアとして、2d 個の複素埋め込みがあり、CM-タイプは各々のペアのから一つを選択する。そのようなCM-タイプの全てが実現されることが知られている。
志村五郎と谷山豊の基本的結果は、CM-タイプとヘッケのL-函数のことばで、A のハッセ・ヴェイユのL-函数を計算することができ、これから導出された無限部分を持つ。これらが、楕円曲線の場合のマックス・ドイリング（英語版）(Max Deuring)の結果を一般化する。
(引用終り)
以上

172:１３２人目の素数さん
21/10/01 17:23:08.14 9nXmqzo6.net
>>169 補足

下記「類体論をこえて」が分かり易かった
「数学セミナー」1967年8月号の記事だそうです
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
ドクトル・クーガーの数学講座1 久賀　道郎 1992.08
第2部　類体論をこえて
　　　　有限体の話
　　　　佐藤予想のこと
　　　　類体論をこえて
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
久賀道郎（くがみちお、1928年 - 1990年2月13日）は、日本出身の数学者である。
1960年に東京大学で博士号を取得した[1]。
彼の研究は、ピエール・ルネ・ドリーニュによるヴェイユ予想の証明(Deligne 1974)から部分的に続くラマヌジャン予想の証明につながった。
1966年、彼は久賀ファイバー多様体（英語版）を導入した[2]。
彼の著書『ガロアの夢―群論と微分方程式』は、ガロア理論の観点から被覆空間やフックス型微分方程式などのトピックを考察した、学部学生のための群論と微分方程式に関する一連の講義である。
(引用終り)
以上

173:１３２人目の素数さん
21/10/01 17:26:03.83 9nXmqzo6.net
>>172 関連情報
純粋・応用数学（含むガロア理論）9
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:166番)
>ここの類体論の解説が、志村五郎氏の「虚数乗法入門」数学のあゆみ 7巻2号
>（下記で3巻が1955年だから、7巻だと1959年だろう）
これの画像があった（下記）
”志村五郎述（久賀道郎・清水達雄記），「虚数乗法入門」，数学の歩み 5巻1号”1957 が正しそうかな
あるいは、7巻2号に続編があるのか？　下記の野口潤次郎先生のところには、7巻2号は欠号です。残念
（参考）
URLﾘﾝｸ(twitpic.com)
画像
志村五郎述（久賀道郎・清水達雄記），「虚数乗法入門」，数学の歩み 5巻1号，新数学人集団（SSS）編集・数学の歩み刊行会，1957，pp.65-73.
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
野口潤次郎の電網掲示板
(C1) 数学の歩み
この資料は、その昔志賀浩二先生が東工大を退官されるときに、貴重な資料なので捨てるに忍びない、ということで頂いておいたものです。欠号が多く不完全なものですが、興味深いものがあります。
　初めに「目次（表紙集）」を参照することをおすすめします。
連合機関誌・全国数学連絡会機関誌・数学の歩み。
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
数学の歩み
初めに ``目次（表紙集）'' を見ることをお薦めします。
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
目次（表紙集）
(引用終り)
以上

174:１３２人目の素数さん
21/10/02 16:46:35.10 tWmCJmdX.net
×資料展示
○資料剽窃
 >>1
はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！いつ自首するの？

175:１３２人目の素数さん
21/10/02 17:34:07.69 X8Zxjdm/.net
>>174
なんだい、おサルか
学術文献で市販テキストには、価格があって、著作権もある
無料公開学術文献にも、もちろん著作権はあるが
出典を明示している以上、剽窃ではありません（下記）
URLﾘﾝｸ(news.yahoo.co.jp)
コピペ・代行で済まそうとしている学生さんへ：引用・転載・剽窃とは・その違いとは：著作権法と私文書偽造
碓井真史新潟青陵大学大学院臨床心理学研究科教授（社会心理学）
2014/3/22(土) 15:31
■ 研究論文、研究レポートにおける引用とは
研究論文（研究レポート）において「引用」と呼ばれるものの多くは、研究内容の紹介でしょう。たとえば、「碓井（2022）はオレンジジュースがアンチエイジングに効果があることを示した」といった具合に碓井の研究内容を書いて、最後に「引用文献」として出典を書きますね。
どんどん引用してください。私達は、学問の先輩である巨人の肩に立って研究を進めます。大先生の研究も、最近の新しい研究もたくさん読み、引用してください。引用される方も、名誉なことであり、多く引用されることは評価につながりますので、大歓迎です。
これに対して、世間でよく言われる引用は、相手の言葉や文章をそのまま再掲載することです。たとえば、「碓井は2034年の国連総会において『餃子こそが人類を救う唯一の希望である』と述べている」といった具合です。研究論文でも、誰かの言葉、文章を、そのまま引用することもあるでしょう。

176:１３２人目の素数さん
21/10/02 23:08:18.29 tWmCJmdX.net
残念ながら剽窃です。何故ならお前に自覚はないだろうけれどミスリードに悪用してるから｡
まーた儂をポニョ石と勘違いしたなセンス無いな。頭も悪い、のに講釈垂れる、センス無い、ひ弱か。厚顔無恥じゃのう｡

177:１３２人目の素数さん
21/10/03 06:48:20.41 gtH9cx8i.net
>>176
＞まーた儂をポニョ石と勘違いしたな
うん？　蕎麦屋のおっさんかい？ｗ

178:１３２人目の素数さん
21/10/06 11:49:16.61 6qp+V25O.net
URLﾘﾝｸ(books.j-cast.com)
books.j-cast
「ABC予想」が数学の学会誌に掲載されない理由
2020/3/18 （　森永流）
解決への道筋を示す
　素数の積をめぐっては、こんなことが言えるかもしれない。つまり、自然数の定義だ。1に1を足していって作られたものだとする「ペアノの公理」がよく知られる。足し算による定義だ。一方、かけ算でも定義できる。自然数はすべて素数の積に分解できるので、それをすべて作って小さい順に並べる方法だ（ただし1は素数の0乗）。数をそんなふうに見ると、足し算とかけ算は独立していて分離できるかもしれないと思えてくる。
　加藤さんの説明を掻い摘んでIUT理論を紹介するとこうだ。
　・異なる数学の舞台（IUT理論ではuniverses、加藤さんの比喩では、足し算、かけ算が切り離されてかけ算だけを伸び縮みさせた世界）を設定。現実世界に計算者がいて、そこにテレビがあって画面の中に同じ計算者がいる。ただし２つの計算者は同じだが掛けられる制約が異なっている―というふうに舞台は現実世界も含めて入れ子式になっている
　・計算の群論的対称性（計算方法のレシピ）を、各計算者に計算の対象や計算方法を伝達
　・受信した対称性を基に、それぞれの舞台で元の計算の対象や計算方法を復元。計算を実行する
　・対称性の通信や復元で生じる不定性・ひずみ、つまり計算結果のサイズの違いを定量的に評価して不等式を導く
数学には曖昧さもある
　ではABC予想はどうか。予想の主張である「c ?d＾（1＋ε）」。これのIUT理論での「deg Θ≦deg q＋c」への帰結を目指す。
　評者のような文系出身者に「deg 」は無縁だったが、次数（デグ）を表す記号だ。ここではdeg Θ（デグ・テータ）が現実舞台での計算結果、deg qはかけ算を伸縮させた舞台での計算結果となる。右辺に加えられているcは、ABC予想のcとは別物で、ひずみの定量的評価で求められた小さな値だ。IUT理論によるABC予想は、現実舞台での累乗数が、かけ算伸縮舞台での累乗数よりも小さいことに帰結させたい訳だ。
つづく

179:１３２人目の素数さん
21/10/06 11:49:39.98 6qp+V25O.net
>>178
つづき
　いよいよ本論。加藤さんはここで、これまで「かけ算を伸び縮みさせた舞台」と呼んでいたものを示す。その舞台とは、現実舞台の「q」を伸縮舞台での「qのｎ乗」に対応させたものだ。これはLogを用いると、「Ｎ Log ｑ≒Log ｑ」（両項を結ぶのは近似であることに注意）と表される。Log（けた数）と先に出てきたdegの違いは、ここでの理解の上では考えなくてよいそうだ。同じようなものと考えていい。
　数式の流れで表すと、こうなる。
Ｎ Log ｑ＜Log ｑ＋c（Ｎ Log ｑ≒Log ｑだから、正の数値を加えると「＜」になる）
→deg Θ≦deg q＋c
→deg qは小さい、つまりc ? d＾（1＋ε）のεは小さい
となって証明は完成する、という。
　2020年4月3日追記　数学の超難問といわれる「ABC予想」を京都大学数理解析研究所の望月新一教授（51）が証明したとされる論文が、ついに国際的な数学誌に掲載されることになった。京都大が2020年4月3日に発表した。
(引用終り)
以上

180:１３２人目の素数さん
21/10/06 11:59:08.55 6qp+V25O.net
>>178-179 補足
（引用開始）
　・異なる数学の舞台（IUT理論ではuniverses、加藤さんの比喩では、足し算、かけ算が切り離されてかけ算だけを伸び縮みさせた世界）を設定。現実世界に計算者がいて、そこにテレビがあって画面の中に同じ計算者がいる。ただし２つの計算者は同じだが掛けられる制約が異なっている―というふうに舞台は現実世界も含めて入れ子式になっている
　・計算の群論的対称性（計算方法のレシピ）を、各計算者に計算の対象や計算方法を伝達
　・受信した対称性を基に、それぞれの舞台で元の計算の対象や計算方法を復元。計算を実行する
　・対称性の通信や復元で生じる不定性・ひずみ、つまり計算結果のサイズの違いを定量的に評価して不等式を導く
(引用終り)
なるほど
（引用開始）
　ではABC予想はどうか。予想の主張である「c ?d＾（1＋ε）」。これのIUT理論での「deg Θ≦deg q＋c」への帰結を目指す。
ここではdeg Θ（デグ・テータ）が現実舞台での計算結果、deg qはかけ算を伸縮させた舞台での計算結果となる。右辺に加えられているcは、ABC予想のcとは別物で、ひずみの定量的評価で求められた小さな値だ。IUT理論によるABC予想は、現実舞台での累乗数が、かけ算伸縮舞台での累乗数よりも小さいことに帰結させたい訳だ。
　いよいよ本論。加藤さんはここで、これまで「かけ算を伸び縮みさせた舞台」と呼んでいたものを示す。その舞台とは、現実舞台の「q」を伸縮舞台での「qのｎ乗」に対応させたものだ。これはLogを用いると、「Ｎ Log ｑ≒Log ｑ」（両項を結ぶのは近似であることに注意）と表される。Log（けた数）と先に出てきたdegの違いは、ここでの理解の上では考えなくてよいそうだ。同じようなものと考えていい。
　数式の流れで表すと、こうなる。
Ｎ Log ｑ＜Log ｑ＋c（Ｎ Log ｑ≒Log ｑだから、正の数値を加えると「＜」になる）
→deg Θ≦deg q＋c
→deg qは小さい、つまりc ? d＾（1＋ε）のεは小さい
となって証明は完成する、という。
(引用終り)
へー

181:１３２人目の素数さん
21/10/06 12:07:25.52 6qp+V25O.net
これいいね
URLﾘﾝｸ(jbpress.ismedia.jp)
JBpress (ジェイビープレス)
超難解な「宇宙際タイヒミュラー理論」に感動
HONZ特選本『宇宙と宇宙をつなぐ数学』
2019.6.4（火）
歴史上の天才たちをはるかに凌駕
　評者自身が数学の素人なので断言はできないが、望月教授はこれまで歴史上に登場した数々の天才たちをはるかに凌駕している。
「足し算と掛け算を分離する」
「宇宙際タイヒミュラー理論」については、当然、評者に説明できるようなレベルのものではないのだが、非常に簡潔に言うと、「足し算と掛け算を分離する」ということらしい。もう少し長く説明すると、自然数の足し算と掛け算からなる「環」と呼ばれる複雑な構造をした数学的対象に対して、その「二つの自由度＝次元」を引き離して解体し、解体する前の足し算と掛け算の複雑な絡まり合い方の主立った性質を直感的に捉えやすくなるように組み立て直す数学的装置のようなものだそうだ。
　これだけではやはり何のことか分からないと思うので、足し算と掛け算の関係性について少しだけ説明すると、「1を次々に足していく」ことでできる1、2、3・・・という「足し算的な」自然数の捉え方だけでは、自然数の「掛け算的側面」がゴッソリ抜け落ちてしまっているため、例えば、素数というものの性質を把握したり、素数が現れるパターンを記述したりすることはできないらしい。
素数については、それが約数や倍数という概念を用いて定義されることからも分かるように、すぐれて掛け算的な概念であるために、素数がどのようなタイミングで現れるのかといった問題は、足し算と掛け算の強い結びつきを一回断ち切って、その上で今ある数学の世界と再接続しなければ解決できないというのだ。

182:１３２人目の素数さん
21/10/12 21:05:31.64 kAX38bAL.net
これいいね
URLﾘﾝｸ(www.maths.nottingham.ac.uk)
News - Ivan Fesenko
Higher adelic theory, talk at Como school on Unifying Themes in Geometry, September 2021
URLﾘﾝｸ(www.maths.nottingham.ac.uk)
Higher adelic theory
Ivan Fesenko
Como School, September 27 2021
1 CFT and its generalisations
2 Back to the root: CFT
3 Back to the root: CFT
4 CFT mechanism
5 CFT mechanism
6 Anabelian geometry
7 ‘Pre-Takagi’ LC
8 2D objects of HAT
9 HCFT
10 Zeta functions
11 Classical 1D theory of Iwasawa and Tate
12 HAT and elliptic curves
13 Measure and integration on 2D local fields
14 Two adelic structures in dimension 2
15 The triangle diagrammes
16 Higher zeta integral
17 HAT and meromorphic continuation and FE of the zeta function
18 HAT and GRH
19 HAT and the Tate?BSD conjecture
P29
Anabelian geometry and IUT
P33
Powerful restoration results in absolute mono-anabelian geometry were established by Mochizuki
and applied in the IUT theory.

183:１３２人目の素数さん
21/10/12 23:04:19.12 kAX38bAL.net
これいいね
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
星裕一郎講演
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数体の単遠アーベル的復元 (講演スライド),
宇宙際タイヒミューラー理論の検証と更なる発展,
京都大学数理解析研究所,
2015.3.9-2015.3.20.
Mono-anabelian Reconstruction of
Number Fields
Yuichiro Hoshi
RIMS
2015/03/09
Contents
§1 Main Result
§2 Two Keywords Related to IUT
§3 Review of the Local Theory
§4 Reconstruction of Global Cyclotomes

184:１３２人目の素数さん
21/11/13 23:13:31.45 OtqEOAj/.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)(2013)/Graduate/Special_Lectures_on_Mathematics_B_I.html
講義名数学特別講義Ｂ第一（Special Lectures on Mathematics B I）
開講学期　前学期単位数 2--0--0
担当　星　裕一郎　非常勤講師（京都大学数理解析研究所　講師）

【講義の目的】
　遠アーベル幾何学とは，「遠アーベル多様体というある特別なクラスに属する代数多様体は，
その数論的基本群の純群論的な性質によってその数論幾何学的性質が完全に決定されるであろう」
という予測に基づいて，1980 年代に Grothendieck という数学者によって提唱された数論幾何学の一分野です．
この講義では，その遠アーベル幾何学への入門を目的として，p 進局所体（= p 進数体の有限次拡大体）に対する
ある Grothendieck 予想型の結果（p 進局所体がその絶対 Galois 群とある付加情報から復元できるという結果）の
解説を行います．
【講義計画】
1. 遠アーベル幾何学とは
2. p 進局所体とその絶対 Galois 群
3. 局所類体論・Hodge-Tate 表現
4. 復元 (1)
5. 復元 (2)
つづく

185:１３２人目の素数さん
21/11/13 23:13:59.64 OtqEOAj/.net
>>184
つづき
【教科書・参考書等】
　遠アーベル幾何学の入門的な解説として，
・中村博昭, 玉川安騎男, 望月新一, 代数曲線の基本群に関する Grothendieck 予想, 数学, 50 (1998), 113-129.
を挙げます．局所体，局所類体論，Hodge-Tate 表現についての参考書として，
・J.-P. Serre, Local fields, Translated from the French by Marvin Jay Greenberg. Graduate Texts in Mathematics,
67. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1979.
・J.-P. Serre, Local class field theory, 1967 Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965)
pp. 128-161 Thompson, Washington, D.C.
・J.-P. Serre, Abelian l-adic representations and elliptic curves, McGill University lecture notes written with
the collaboration of Willem Kuyk and John Labute W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1968.
をそれぞれ挙げます．また，この講義でその説明を目標としている定理は，
・望月新一, A version of the Grothendieck conjecture for p-adic local fields, Internat. J. Math. 8 (1997), no. 4, 499-506.
・望月新一, Topics in absolute anabelian geometry I: generalities, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 19 (2012), no. 2, 139-242.
・星裕一郎, A note on the geometricity of open homomorphisms between the absolute Galois groups of p-adic local fields,
to appear in Kodai Math. J.
にあります．

186:１３２人目の素数さん
21/11/26 18:02:35.84 3Zp5TRQm.net
下記”Introducing anabelian geometry, a general talk” IVAN FESENKO
これ、結構いいね
URLﾘﾝｸ(ivanfesenko.org)
IVAN FESENKO
Research ? Ivan Fesenko
L Anabelian geometry and IUT theory of Shinichi Mochizuki, and applications
Introducing anabelian geometry, a general talk
URLﾘﾝｸ(ivanfesenko.org)
Introducing anabelian geometry
Ivan Fesenko

187:１３２人目の素数さん
21/12/05 18:19:17.01 e0gyQODW.net
メモ
URLﾘﾝｸ(people.math.rochester.edu)
Saul Lubkin
Professor of Mathematics
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Jean-Louis Verdier (French: [v??dje]; 2 February 1935 ? 25 August 1989) was a French mathematician who worked, under the guidance of his doctoral advisor Alexander Grothendieck, on derived categories and Verdier duality. He was a close collaborator of Grothendieck, notably contributing to SGA 4 his theory of hypercovers and anticipating the later development of etale homotopy by Michael Artin and Barry Mazur, following a suggestion he attributed to Pierre Cartier. Saul Lubkin's related theory of rigid hypercovers was later taken up by Eric Friedlander in his definition of the etale topological type.

188:１３２人目の素数さん
21/12/10 10:08:46.26 ZfXXklGr.net
メモ
数論幾何学と代数幾何学の違いってなんですか？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:104番)
104 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/10/23(土) 15:02:26.36 ID:bV1+EpOI
いつの間にやら、p進ホッジ理論の日本語版wikipediaが出来ていた
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
いまや数論幾何に必要不可欠な概念だしありがたいな
(引用終り)
ついで
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
p進ホッジ理論
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
p-adic Hodge theory

189:１３２人目の素数さん
21/12/21 14:47:01.98 H4QZamD3.net
Inter-universal geometry とABC 予想47
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:44番)
44 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/12/21(火) 10:31:51.78 ID:ATxzruO4
Fesenkoの動画見たけど、IUTについても話してる
URLﾘﾝｸ(m.youtube.com)
RIMSのIUTサミットでの講演内容とほぼ一緒

190:１３２人目の素数さん
22/01/02 09:38:15.90 DhlSCn4I.net
”過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）”
これは、結構重要な文献だね
ここに、IUTの構想が示されている
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月過去と現在の
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
・過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）
初期の歩み
学位を取得した 1992 年夏から 2000 年夏までの私の研究の主なテーマは次の三つ
に分類することができます：
(a) p 進 Teichm¨uller 理論：(1993 年～1996 年)
この理論は、複素数体上の双曲的リーマン面に対する Koebe の上半平面に
よる一意化や、そのモジュライに対する Bers の一意化の p 進的な類似と見る
こともでき、また Serre-Tate の通常アーベル多様体に対する標準座標の理論の
双曲曲線版と見ることもできる。詳しくは、
A Theory of Ordinary p-adic Curves
や
An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory
をご参照下さい。　
(b) p 進遠アーベル幾何：(1995 年～1996 年)
この理論の代表的な定理は、「劣 p 進体」（＝ p 進局所体上有限生成な体の部
分体）上の相対的な設定において、双曲的曲線への任意の多様体からの非定数
的な射と、それぞれの数論的基本群の間の開外準同型の間に自然な全単射が存
在するというものである。詳しくは、　
The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves
をご参照下さい。
(c) 楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論：(1998 年～2000 年)
この理論の目標は、複素数体や p 進体上で知られている Hodge 理論の類似
を、数体上の楕円曲線に対して Arakelov 理論的な設定で実現することにある。
代表的な定理は、数体上の楕円曲線の普遍拡大上のある種の関数空間と、楕円
曲線の等分点上の関数からなる空間の間の、数体のすべての素点において計量
と（ある誤差を除いて）両立的な全単射を主張するものである。この理論は、
古典的なガウス積分
∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π
の「離散的スキーム論版」と見ることもできる。詳しくは、　
A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I, II
をご参照下さい。
つづく

191:１３２人目の素数さん
22/01/02 09:38:56.87 DhlSCn4I.net
>>190
つづき
新たな枠組への道
Hodge-Arakelov 理論では、数論的な Kodaira-Spencer 射が構成されるなど、
ABC 予想との関連性を仄めかすような魅力的な側面があるが、そのまま「ABC 予
想の証明」に応用するには、根本的な障害があり不十分である。このような障害を克
服するためには、
通常の数論幾何のスキーム論的な枠組を超越した枠組
が必要であろうとの直感の下、2000 年夏から 2006 年夏に掛けて、そのような枠組を
構築するためには何が必要か模索し始め、またその枠組の土台となる様々な数学的イ
ンフラの整備に着手した。このような研究活動を支えた基本理念は、次のようなも
のである：　
注目すべき対象は、特定の数論幾何的設定に登場する個々のスキーム等ではな
く、それらのスキームを統制する抽象的な組合せ論的パターンないしはそのパ
ターンを記述した組合せ論的アルゴリズムである。　
このような考え方を基にした幾何のことを、「宇宙際（Inter-universal=IU）幾
何」と呼ぶことにした。念頭においていた現象の最も基本的な例として次の三つが
挙げられる：
・ログ・スキームの幾何におけるモノイド
・遠アーベル幾何における数論的基本群＝ガロア圏
・退化な安定曲線の双対グラフ等、抽象的なグラフの構造
この三つの例に出てくる「モノイド」、「ガロア圏」、「グラフ」は、いずれも、「圏」
という概念の特別な場合に当たるものと見ることができる。（例えば、グラフの場合、
グラフ上のパスを考えることによって圏ができる。）従って、IU 幾何の（すべてでは
ないが）重要な側面の一つは、　
「圏の幾何」
で表されるということになる。特に、遠アーベル幾何の場合、この「圏の幾何」に対
応するのは、
絶対遠アーベル幾何
（＝基礎体の絶対ガロア群を、元々与えられたものとして見做さない設定での遠アー
ベル幾何）である。
つづく

192:１３２人目の素数さん
22/01/02 09:41:25.89 DhlSCn4I.net
>>191
つづき
この 6 年間（＝ 2000 年夏～2006 年夏）の、
「圏の幾何」や絶対遠アーベル幾何
を主テーマとした研究の代表的な例として、次のようなものが挙げられる：
・The geometry of anabelioids （2001 年）
スリム（＝任意の開部分群の中心が自明）な副有限群を幾何的な対象として扱い、
その有限次エタール被覆の圏の性質を調べる。特に、p 進体上の双曲曲線の数論的基
本群として生じる副有限群の場合、この圏は、上半平面の幾何を連想させるような
絶対的かつ標準的な「有界性」等、様々な興味深い性質を満たす。
・The absolute anabelian geometry of canonical curves （2001 年）
p 進 Teichm¨uller 理論に登場する標準曲線に対して、p 進体上のものとして初とな
る絶対遠アーベル幾何型の定理を示す。
・Categorical representation of locally noetherian log schemes （2002 年）
スキームやログ・スキームが、その上の有限型の（ログ）スキームの圏から自然
に復元されるという、1960 年代に発見されてもおかしくない基本的な結果を示す。
・Semi-graphs of anabelioids （2004 年）
古典的な「graph of groups」の延長線上にある「semi-graph of anabelioids」に対
して、様々なスキーム論的な「パターン」が忠実に反映されることや、それに関連し
た「遠アーベル幾何風」の結果を証明する。
・A combinatorial version of the Grothendieck conjecture （2004 年）
退化な安定曲線に付随する「semi-graph of anabelioids」を、スキーム論が明示的
に登場しない、抽象的な組合せ論的枠組で取り上げ、様々な「遠アーベル幾何風」の
「復元定理」を示す。
・Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic Riemann surfaces （2004 年）
双曲的リーマン面の幾何を二通りのアプローチで圏論的に記述する。そのうちの
一つは、上半平面による一意化を出発点としたもので、もう一つは、リーマン面上の
「長方形」（＝等角構造に対応）や「平行四辺形」（＝疑等角構造に対応）によるものである。
つづく

193:１３２人目の素数さん
22/01/02 09:44:47.36 DhlSCn4I.net
>>192
つづき
・Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves （2005年）
固有な双曲曲線の数論的基本群から、その開部分スキームの数論的基本群を復元
する理論を展開する。この理論を、有限体や p 進体上の絶対遠アーベル幾何に応用
することによって、様々な未解決予想を解く。
・The geometry of Frobenioids I, II （2005 年）
ガロア圏のような「´etale 系」圏構造と、（ログ・スキームの理論に出てくる）モ
ノイドのような「Frobenius 系」圏論的構造が、どのように作用しあい、またどのように類別できるかを研究する。
数体に対する Teichm¨uller 理論
2006 年の後半から、目指すべき理論の形がようやく固まってきて、その理論を記
述するための執筆活動が本格的に始まった。この理論の「形」とは、一言で言うと、
巾零通常固有束付きの正標数の双曲曲線に対して展開する p 進 Teichm¨uller 理
論と、「パターン的に」類似的な理論を、一点抜き楕円曲線付きの数体に対し
て展開する　
という内容のものである。因みに、ここに出てくる（数体上の）「一点抜き楕円曲線」
の中に、その楕円曲線の上に展開される Hodge-Arakelov 理論が含まれている。こ
の理論のことを、「IU Teichm¨uller 理論」（＝「IU Teich」）と呼ぶことにした。
IUTeich の方は、本質的にスキーム論の枠組の外（＝「IU 的な枠組」）で定式化される
理論であるにも関わらず、調べれば調べるほど p 進 Teichm¨uller 理論（＝「pTeich」）
との構造的、「パターン的」類似性が、意外と細かいところまで及ぶものであること
に幾度となく感動を覚えたものである。　　
2006 年～2008 年春の「IUTeich の準備」関連の論文は次の四篇である：
つづく

194:１３２人目の素数さん
22/01/02 09:46:23.12 DhlSCn4I.net
>>193
つづき
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
（2006 年）
p 進局所体上の退化する楕円曲線（＝ Tate curve）のある被覆の上に存在するテー
タ関数に付随する Kummer 類をエタール・テータ関数と呼ぶ。このエタール・テー
タ関数や、テータ自明化に付随する Kummer 理論的な対象は、様々な興味深い絶対
遠アーベル的な性質や剛性性質を満たしている。これらの性質の一部は Frobenioid
の理論との関連で初めて意義を持つものになる。また、このエタール・テータ関数
は、IUTeich では、pTeich における標準的 Frobenius 持ち上げに対応する対象を定
める予定である。この Frobenius 持ち上げの類似物を微分することによって ABC 予
想の不等式が従うと期待している。このようにして不等式を出す議論は、　
「正標数の完全体の Witt 環上の固有で滑らかな種数 g 曲線の上に Frobenius 持
ち上げが定義されていると仮定すると、その持ち上げを微分して微分層の次数
を計算することにより、不等式
g ? 1
が従う」
という古典的な議論の IU 版とも言える。
・Topics in absolute anabelian geometry I: generalities （2008 年）
このシリーズ（＝ I,II,III）の主テーマは、絶対遠アーベル幾何を、「Grothendieck
予想型の充満忠実性」を目標とした視点ではなく、「群論的なアルゴリズム＝ソフト」
の開発に軸足を置いた視点で研究するというものである。この第一論文では、様々な
準備的な考察を行う。代表的な定理では、玉川安騎男氏に伝え聞いた未出版の結果か
ら、（半）絶対 p 進遠アーベル幾何では初となる Grothendieck 予想型の「Hom 版」
を導く。因みに、この定理は IUTeich とは直接関係のない結果である。
・Topics in absolute anabelian geometry II: decomposition groups
（2008 年）
IUTeich のための準備的な考察とともに、IUTeich とは論理的に直接関係のない
配置空間の絶対遠アーベル幾何や、点の分解群から基礎体の加法構造を絶対 p 進遠
アーベル幾何的な設定で復元する理論を展開する。ただ、後者の p 進的な理論では、
上述の「Frobenius 持ち上げの微分から不等式を出す」議論を用いており、哲学的
には IUTeich と関係する側面がある
つづく

195:１３２人目の素数さん
22/01/02 09:46:54.86 DhlSCn4I.net
>>194
つづき
・Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms （2008 年）
「Grothendieck 予想型の充満忠実性」を目標とする「双遠アーベル幾何」（＝ bianabelian geometry）と一線を画した「単遠アーベル幾何」（＝ mono-anabelian geometry）を数体上の大域的な設定で展開する。
これは正にIUTeich で用いる予定の遠アーベル幾何
である。この理論の内容や「IUTeich 構想」との関連性については、論文の Introduction をご参照下さい。
ここで興味深い事実を思い出しておきたい。そもそも Grothendieck が有名な
「Faltings への手紙」等で「遠アーベル哲学」を提唱した重要な動機の一つは正に diophantus幾何への応用の可能性にあったらしい。
つまり、遠アーベル幾何が（ABC 予想への応用が期待される）IUTeich で中心的な役割を果たすことは、一見して Grothendieck の直感にそぐった展開に見受けられる。
つづく

196:１３２人目の素数さん
22/01/02 09:47:42.29 DhlSCn4I.net
>>195
つづき
一方、もう少し「解像度を上げて」状況を検証すると、それほど単純な関係にあるわけではないことが分かる。例えば、
Grothendieck が想定していた応用の仕方では、数体上の「セクション予想」によっ
て数体上の有理点の列の極限を扱うことが可能になるという観察が議論の要となる。
これとは対照的に、「IUTeich 構想」では、（数体上のセクション予想ではなく）
数体と p 進体の両方に対して両立的に成立する（絶対遠アーベル幾何の一種で
ある）単遠アーベル的アルゴリズムが主役を演じる
予定である。この「単遠アーベル的アルゴリズム」は、pTeich における MF∇-object
の Frobenius 不変量に対応するものであり、即ち p 進の理論における
Witt 環の Teichm¨uller 代表元や pTeich の標準曲線
の「IU 的類似物」と見ることができる。別の言い方をすれば、この「単遠アーベル的
アルゴリズム」は、一種の標準的持ち上げ・分裂を定義しているものである。また、（単
遠アーベル的な）「ガロア系」の対象が p 進の理論における crystal（＝ MF∇-object
の下部 crystal）に対応しているという状況には、Hodge-Arakelov 理論における「数
論的 Kodaira-Spencer 射」（＝ガロア群の作用による）を連想させるものがある。　
2008 年 4 月から IUTeich 理論の「本体」の執筆に取り掛かる予定である。この作
業は、ごく大雑把に言うと、次の三つの理論を貼り合わせることを主体としたものである：
つづく

197:１３２人目の素数さん
22/01/02 09:48:16.96 DhlSCn4I.net
>>196
つづき
・The geometry of Frobenioids I, II
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
・Topics in absolute anabelian geometry III
因みに、2000 年夏まで研究していたスキーム論的な Hodge-Arakelov 理論がガウス
積分
∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π
の「離散的スキーム論版」だとすると、IUTeich は、
このガウス積分の「大域的ガロア理論版ないしは IU 版」
と見ることができ、また古典的なガウス積分の計算に出てくる「直交座標」と「極座
標」の間の座標変換は、（IU 版では）ちょうど「The geometry of Frobenioids I, II」
で研究した「Frobenius 系構造」と「´etale 系構造」の間の「比較理論」に対応して
いると見ることができる。この「本体」の理論は、現在のところ二篇の論文に分けて
書く予定である。　
・Inter-universal Teichm¨uller theory I: Hodge-Arakelov-theoretic aspects
（2009 年に完成（？）予定）
p 進 Teichm¨uller 理論における曲線や Frobenius の、「mod pn」までの標準持ち上
げに対応する IU 版を構成する。
・Inter-universal Teichm¨uller theory II: limits and bounds （2010 年に完成（？）予定）
上記の「mod pn」までの変形の n を動かし、p 進的極限に対応する「IU 的な極
限」を構成し、pTeich における Frobenius 持ち上げの微分に対応するものを計算する。
(引用終り)
以上

198:１３２人目の素数さん
22/01/03 11:20:28.50 M7Pqf1pT.net
これ良いね
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
平成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，H180731)
ガロア理論とその発展玉川安騎男
§0. はじめに
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代
数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」と
いう代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研
究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。
この講義では、まず、ガロア理論の基本定理の感じをつかんでもらう
ことを目標にしたいと思います。次に、ガロア理論の古典的に有名な応用
（ギリシャ数学３大難問のうちの角の３等分問題と立方体倍積問題の否定
的解決、あるいは、５次以上の方程式の加減乗除とべき根のみを用いた解
の公式の非存在の証明、など）の中から題材を選んで解説したいと思いま
す。最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロ
ア理論の展開についても紹介したいと思います。
§5. ガロア理論の発展 - 無限次ガロア理論と遠アーベル幾何
5.1. 無限次ガロア理論
上記の同値な条件のいずれか（したがって全て）が成立する時、L/K
をガロア拡大と言い、このとき、Aut(L/K) を Gal(L/K) と記し、L の
K 上のガロア群と呼びます。一般には Gal(L/K) は有限群になりません
が、「副有限群」という特別な種類の群になり、「位相」が入って「位相
群」となることがわかります。この場合も、次のようなガロア対応が存在
します。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
射有限群（英語: pro-finite group）あるいは副有限群は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。
射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Profinite group
(引用終り)
以上

199:１３２人目の素数さん
22/02/01 17:50:40.36 Igtg+Ugu.net
フェセンコ、コーチェル・ビルカー、極小モデル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）
博士課程
指導学生コーチェル・ビルカー
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コーチェル・ビルカー (Caucher Birkar, 1978年 - )
2016年、AMSジャーナル(2010)における「対数一般型多様体に対する極小モデルの存在」の論文(P. カッシーニ（イタリア語版）、C. ヘコン（英語版）、J. マッカーナン（英語版）との共著、通称頭文字をとって[BCHM]と言われる)に対して、AMSムーア賞（英語版）を授賞した[8]。そして2018年、ビルカーに、「ファノ多様体の境界性の証明と極小モデルプログラムへの貢献」に対して、フィールズ賞が授与された[9]。
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
Website of Masayuki Kawakita
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
極小モデル理論の発展第32回数学入門公開講座, 31-44 (2010)
川北真之
代数幾何学の扱う対象は，代数多様体と呼ばれる，連立多項式の共通零点集合として定義さ
れる図形です．極小モデル理論とは，変数変換で写り合う代数多様体たちを本質的に同じもの
と捉え，各々の中から代表的な代数多様体を抽出する理論です．抽出の過程で多様体上の余計
な曲線を収縮させるのですが，収縮によって悪い特異点を持つ多様体が生じます．それを回復
させる操作がフリップと呼ばれる変換で，極小モデル理論において中心的な役割を果たします．
3 次元極小モデル理論は森によるフリップの存在を中心として 90 年代に完成しましたが，その
高次元化は暫く模索段階でした．ところが 2006 年，ビルカー，カッシーニ，ヘイコン，マッ
カーナンは一般次元のフリップの存在を証明し，極小モデル理論は大きな前進を遂げました．
講座では，このような極小モデル理論の最近の発展を，わかりやすく紹介します．

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