IUTを読むための用語集資料スレ2

IUTを読むための用語� ..

141:１３２人目の素数さん
21/08/17 17:53:15.48 nT2E/2XT.net
メモ
「Anabelioid の幾何学」2002年3月
ここに、”(i) 大域的な乗法的部分群スキームを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等のコピー E◎, F◎, K◎ に対する乗法的部分群スキームの構成を目指す。
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の K◎ の base-point を parametrize するものと見る。”
これが、”宇宙際”の起源みたいだね
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Meijidai%202002-03).pdf
Anabelioid の幾何学
望月新一 (京都大学数理解析研究所)2002年3月
§1. 新技術導入の動機§2. anabelioid と core§3. 数論的な anabelioid の例§1. 新技術導入の動機F を数体とし、 E をその上の楕円曲線とする素数 l ≧ 3 に対し、簡単のため、Spec(F) 上の、 l 等分点による群スキーム E[l] から定まるガロア表現
K の殆んどの bad, multiplicative reduction の素点 pK においては、その素点における局所理論から生じる ‘乗法的な部分群スキーム’ と一致しない
この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある。結論からいうと、 ‘正しい視点’ は次の内容からなっている:
(i) 大域的な乗法的部分群スキームを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等のコピー E◎, F◎, K◎ に対する乗法的部分群スキームの構成を目指す。
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の K◎ の base-point を parametrize するものと見る。
つづく

142:１３２人目の素数さん
21/08/17 17:53:58.62 nT2E/2XT.net
>>141
つづき
まり、一言でいうと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である。動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)◎ の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、
「pK が表している K◎ の basepoint から、 LK に対応する (LK)◎ を眺めてみると、その (LK)◎ は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる。」
という一見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、実は、ある意味では「同義反復的」な状況を実現することができる。
§2. anabelioid と core
以上の議論は哲学的な要素も含んでいるが、これを厳密な数学として処理するためには、新しい技術の導入が必要となる。この場合、中心となる新技術は、 ‘anabelioid’の理論である。
‘anabelioid’ とは、§1 の議論を行なう際に用いなければならない幾何的な対象のことである。この幾何的対象は、スキームと違い、 topos、即ち　圏　であるため、 an-abelioid 全体の ‘圏’ というものは、 2-category になってしまう。連結なときは、 anabe-lioid は [SGA1] に登場する ‘Galois category’ という、今では40年以上の歴史を持つ馴染み深いものと同じである。つまり、連結な anabelioid は、∃副有限群 G に対して
B(G)def= {G の連続な作用付きの有限集合たちがなす圏}
と同値な圏のことである。
anabelioid 的な視点が [SGA1] 等に代表される古典的なものと最も本質的に異なるところは、 (有限次)エ夕ール被覆の扱いである。古典的な理論では、個別のエ夕ール被覆や、複数のエ夕ール被覆からなる図式などは、一つの決まった Galois category に所属するものとして扱われる。この Galois category は、当然、扱っているすべてのエ夕ール被覆の下にあるスキーム（＝幾何的対象)に付随するものである。一方、 an-abelioid の理論では、 anabelioid そのものを、幾何的対象とみなすため、（本来、互いに全く関係のない、連結な anabelioid X, Y, Z に対して）
(引用終り)
以上

143:１３２人目の素数さん
21/08/18 13:29:20.21 RMn6aMVc.net
静かになったな
良かった
論文を学部4年が読めるようにとか
そんな話は、あっちのスレへ行けってこと
ヒルベルトの話もなんだかね
取り違えているよね
ヒルベルト以前の数学論文はデタラメで
ヒルベルトが、「数学論文は証明をちゃんと書こう」運動をしたみたくいう
「数学論文は証明をちゃんと（厳密に）書こう」運動は、ワイエルシュトラスが有名だけど
基本は、「数学論文は証明をちゃんと書こう」という精神は、（ガウスとか近代以降の）いつの時代の数学者の思考の根底にあったろう
望月先生が、その常道を外れたマッドサイエンティストみたく見えるのかね？
ショルツェ氏のzbmathレビューの方が、常軌を逸しているように見えるのは、私だけかね（「cor 3.12まではトリビアで証明は数行、cor 3.12など証明できるはずのない、トンデモ論文だ」とさ）

144:１３２人目の素数さん
21/08/18 13:32:06.50 RMn6aMVc.net
>>143
誤爆すまん
再投稿下記（＾＾；
Inter universal geometryとABC予想(応援スレ)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:117番)

145:１３２人目の素数さん
21/08/21 07:39:31.66 kvCTkQ4a.net
「集合論とはすべての集合のなす宇宙 V の構造を調べる理論である」
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
集合論ベーシック
(2009 年度版)
向井国昭
1 はじめに
集合論とはなにか? 自然数の全体 N を調べる理論を自然数論というのと同じよう
に，集合論とはすべての集合のなす宇宙 V の構造を調べる理論である．この宇宙 V
は代数や微積分などあらゆる数学の展開に十分なほど広大であることが知られてい
る．本ノートは現代数学の標準言語でもある公理的集合論ZFC を紹介する．
ZFC 公理系は第 2 節で説明するが，ZFC をはじめて読む人のために役立つことを願って，
ZFC 公理系のこころを本節にまとめてみた．お役にたてばさいわいである．
高校数学でもおなじみの関係・関数の概念は，数学全般においても基本的かつ必要
不可欠である．数学だけではない．たとえば，数理論理学のモデル論は，述語記号は
関係を表し，関数記号は関数を表すとして構成されるので，関係・関数の概念は必要
不可欠である．本ノートの目標は V の構造の基本を述べることであるが，関係・関
数概念をきちんと定義するために必要な範囲の構造に限定される．したがって V 自
身の構造の深い性質についてはふれない．
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
モデル論ベーシック
(2006 年度版)
向井国昭
1 はじめに
一階述語論理式, 数学的構造, 真偽の解釈規則のみっつを説明する．前半は「小さ
な世界」を例にとって説明し, 後半は形式的にモデルの定義を説明する. 例が必要が
なければ, 前半はスキップしてかまわない.
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
向井国昭ムカイクニアキ (Kuniaki Mukai)更新日: 2011/08/04
URLﾘﾝｸ(k-ris.keio.ac.jp)
慶應義塾研究者情報データベース
向井　国昭 (ムカイ　クニアキ)2019/02/21

146:１３２人目の素数さん
21/08/22 10:10:41.61 IiHHGUmS.net
メモ

URLﾘﾝｸ(www.uvm.edu)
KUMMER CLASSES AND ANABELIAN GEOMETRY Date: April 29, 2017
JACKSON S. MORROW
ABSTRACT. These notes comes from the Super QVNTS: Kummer Classes and Anabelian
geometry. Any virtues in the notes are to be credited to the lecturers and not the scribe;
however, all errors and inaccuracies should be attributed to the scribe. That being said,
I apologize in advance for any errors (typo-graphical or mathematical) that I have introduced. Many thanks to Taylor Dupuy, Artur Jackson, and Jeffrey Lagarias for their wonderful insights and remarks during the talks, Christopher Rasmussen, David Zureick-Brown,
and a special thanks to Taylor Dupuy for his immense help with editing these notes.
The following topics were not covered during the workshop:
・ mono-theta environments
・ conjugacy synchronization
・ log-shells (4 flavors)
・ combinatorial versions of the Grothendieck conjecture
・ Hodge theaters
・ kappa-coric functions (the number field analog of etale theta) ´
・ log links
・ theta links
・ indeterminacies involved in [Moc15a, Corollary 3.12]
・ elliptic curves in general position
・ explicit log volume computations
CONTENTS
1. On Mochizuki’s approach to Diophantine inequalities
Lecturer: Kiran Kedlaya . . . . . . . . . 2
2. Why the ABC Conjecture?
Lecturer: Carl Pomerance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (I/II)
Lecturer: Kirsten Wickelgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (II/II)
Lecturer: David Zureick-Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

147:１３２人目の素数さん
21/08/22 16:56:49.37 IiHHGUmS.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月過去と現在の研究
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(lecture%20note%20ban).pdf
宇宙際タイヒミューラー理論に関するレクチャーノートの最新版（2015年04月更新）
$1. Hodge-Arakelov 理論的動機付け
$2. Teichmiller 理論的な変形
$3. 対数・テータ格子
$4. 宇宙際性と遠アーベル幾何
Ｐ16
$4. 宇宙際性と遠アーベル幾何
log-link 及び Θ-link
は、定義域・値域の環構造と両立しないため、環構造から生じるスキーム論的な「基点」や、ガロア群 ( ⊆ Autfied(k) !! )と、本質的に両立しない! つまり、log-, Θ-link の「向こう側」に移行するとき、
“Πv, " や “Gv"は、抽象的な位相群としてしか、「向こう側」のスキーム論に通用しない!
(体の自己同型によって引き起こされる絶対ガロア群の外部自己同型の場合を参照。)
⇒ 定義域・値域双方の環構造の間の関係を計算するためには、遠アーベル幾何を活用するしかない!過去の論文のレベルでいうと、
絶対遠アーベル幾何やエタール・テータ関数の様々な剛性性質に関する
・Semi-graphs of Anabelioids　　・The Geometry of Frobenioids I, II
・The Etale Theta Function ...　・Topics in Absolute Anab. Geo. III
の結果や理論を適用することによって主定理を帰結する:
主定理: Θ-link の左辺に対して、軽微な不定性を除いて、右辺の「異質」な環構造しか用いない言葉により、明示的なアルゴリズムによる記述を与えることができる。
解釈:「狭いパイプ」でしか繋がっていないような状況(=例えば、宇宙船にいる宇宙飛行士や地下の鉱山で働く作業員等)において、限られた情報を賢く利用することによって「向こう側」の状況を復元し、把握することができる。
つづく

148:１３２人目の素数さん
21/08/22 16:57:14.60 IiHHGUmS.net
つづき
Ｐ17
証明のポイント:? Gv ⇒ Oxkのコア性 (coricity)!
・二種類の数学的対象を関連付ける、様々な形の「Kummer 理論」($3後半の解説を参照):抽象的なモノイド = Frobenius 型の対象,数論的基本群
・ガロア群 = etale 型の対象ここで、ガウス積分の計算との類似=「単数群と値群の分離」を思い出そう:
　log-, Θ-link や対数・テータ格子の定義 ← → デカルト座標絶対遠アーベル幾何を用いたアルゴリズムによる記述 →極座標円分物 (～＝Ｚ(1)) の確保=剛性が肝心! ← → S1 n による座標変換
（Bogomolov の証明を参照!)を実現するためには、log-link の活用が必要不可欠である。
一方、対数・テータ格子の非可換性によって様々な困難が生じる。⇒後の「体積計算」では、(等式ではなく!) 不等式しか出ない!
主定理のアルゴリズムの出力に対して、体積計算を行うと、$1 で解説したように次のような帰結が得られる(Faltings による Mordell 予想の証明に出てくる、類体論やp進ホッジ理論、アーベル多様体関連の代数幾何等を参照!)：
系:「(強い形の) Sapiro 予想」 (←→ 「ABC 予想」)。htE = (1 + c)(log-difff + log-conde) + constant
ここで「N・HLHS = ARHS」( = Θ-link!)や「N.h < h+C」(= 主定理+体積計算)の議論 ($1)を思い出そう!
先ほどの議論は、$3 の最後に解説したヤコビの変換式との類似で考えると、様々な類似点が浮かび上がる:
実は、先ほどの不等式に登場した「ε」は、
(htE)-1/2・log(htＥ)
位のオーダーに抑えることができる。この「1/2」はリーマン予想を連想させられる値であるが、まさしくリーマン予想と同じく、「ウエイト 1/2」(注:「ウェイト」はリーマン・ゼータ ζ(S) の「s」)、つまり(Tate 捻りに対応する)πの整数幕ではなく、πの平方根
∫-∞～∞ e-x2 dx = √π
に関係する現象である。
つづく

149:１３２人目の素数さん
21/08/22 16:57:53.30 IiHHGUmS.net
>>148
つづき
実際、先ほどの「ε」の計算では、ガウス積分やテータ関数に現れるような二次形式が出てきて、その量の最少値を求めると、二次形式の根= 平方根 = 「(htE)-2」という式が発生するのである。
P19
最後に、「IU 幾何の心」=「通常のスキーム論が有効ではないような組合せ論的な設定において、通常のスキーム論にヒントを得た構成を行ない、通常のスキーム論をある程度近似することによって非自明な結果を出す」という考え方のもう一つの(より初等的な)例として
組合せ論的遠アーベル幾何 ?GT 群に関する様々な結果という例が存在することを指摘したい。これらの結果の趣旨は、GT群が「GQと同型である」ことを示す代わりに、GT 群が GQと「類似的な性質」を満たすことを示すことにある。
(引用終り)
以上

150:１３２人目の素数さん
21/08/24 08:01:01.68 YmNWD80Z.net
下記タイヒミュラー空間論 by 今吉洋一 (著), 谷口雅彦 (著)が良いと
数学セミナー　2021年9月号タイヒミュラー空間／双曲幾何の変形空間……正井秀俊　70
に書いてあった
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
数学セミナー　2021年9月号
[特集1]
高次元の正多面体
群と幾何をみるーー無限の彼方から
　　タイヒミュラー空間／双曲幾何の変形空間……正井秀俊　70
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
タイヒミュラー空間論 Tankobon Hardcover ? November 1, 2004
by 今吉洋一 (著), 谷口雅彦 (著)
日本評論社
内容（「BOOK」データベースより）
初版から15年。タイヒミュラー空間とその商空間であるモデュライ空間は、いまや複素力学系・代数幾何・双曲幾何・低次元トポロジーなどにおける基本概念となった。共形場理論や弦理論との関連から、物理学からの関心もますます増え続けている。本書は可能な限り予備知識を絞って書かれたこの分野のスタンダードな教科書である。
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
今吉/洋一
1947年岡山県に生まれる。1971年東北大学理学部数学科を卒業。現在、大阪市立大学大学院理学研究科教授
谷口/雅彦
1951年奈良県に生まれる。1974年京都大学理学部数学科を卒業。現在、京都大学大学院理学研究科助教授(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)

151:１３２人目の素数さん
21/08/28 12:47:26.41 j6A6Uinw.net
>>150
>下記タイヒミュラー空間論 by 今吉洋一 (著), 谷口雅彦 (著)が良いと
>数学セミナー　2021年9月号タイヒミュラー空間／双曲幾何の変形空間……正井秀俊　70
>に書いてあった
本が手元に来た
これから、ざっと眺めて読んでみます
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
谷口雅彦タニグチマサヒコ (Masahiko Taniguchi) 更新日: 2020/09/02

152:１３２人目の素数さん
21/08/29 17:38:54.41 7niZQGlq.net
p進Teichmuller理論 ”An Introduction to p-adic Teichmuller Theory”は、目を通しておくのが良い
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月論文
p進Teichmuller理論
[3] An Introduction to p-adic Teichmuller Theory. PDF （これは、次のAsterisque, tome 278 (2002)と同じですね）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
（上記と同じ）
URLﾘﾝｸ(www.numdam.org)
SHINICHI MOCHIZUKI
An introduction to p-adic Teichmuller theory
Asterisque, tome 278 (2002), p. 1-49
講演のアブストラクト・レクチャーノート
[2] p進Teichmuller理論. PDF （Hokudai 2001-01 か）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Hokudai%202001-01).pdf
An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory 望月新一 TX 近藤智

153:１３２人目の素数さん
21/09/04 19:42:14.74 UOjWcMnu.net
凄いじゃないかIUT！「IUTは、類体論の拡張」
「フェセンコはIU幾何を遠アーベル幾何から派生した新たな類体論に位置付けている」
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
宇宙際タイヒミュラー理論
数論的 log Scheme 圏論的表示の構成等に続いた研究であり、「一点抜き楕円曲線付き数体」の「数論的タイヒミューラー変形」を遠アーベル幾何等を用いて「計算」する数論幾何学の理論である
イヴァン・フェセンコはIU幾何を遠アーベル幾何から派生した新たな類体論に位置付けている
URLﾘﾝｸ(www.maths.nottingham.ac.uk)
[R5] Class field theory, its three main generalisations, and applications pdf, May 2021, EMS Surveys 8(2021) 107-133
URLﾘﾝｸ(www.ems-ph.org)
EMS SURVEYS Vol8,2021 Class field theory, its three main generalisations, and applications
P16
Here are some relations between the three generalisations of CFT and their further developments:
2dLC?－－ 2dAAG－－－ IUT
　l　　　／　　｜　　　　　｜
　l　／　　　｜　　　　　｜
　l／　　　　｜　　　　　｜
　LC 　　 2dCFT　 anabelian geometry
　＼　　　　　｜　　　　／
　　＼　　　｜　　　／
　　　　＼　　｜　／
　　　　　　 CFT
注）記号：
Class Field Theory (CFT), Langlands correspondences (LC), 2dAAG = 2d adelic analysis and geometry, two-dimensional (2d)
(P8 "These generalisations use fundamental groups: the etale fundamental group in anabelian geometry, representations of the etale fundamental group (thus, forgetting something very essential about the full fundamental group) in Langlands correspondences and the (abelian) motivic A1 fundamental group (i.e. Milnor K2) in two-dimensional (2d) higher class field theory.")
Problem 7. Find more direct relations between the generalisations of CFT. Use them to produce a single unified generalisation of CFT.23

154:１３２人目の素数さん
21/09/16 22:54:21.63 9K3Tol4o.net
これいいね
URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
nlab
inter-universal Teichmuller theory
Context
Arithmetic geometry
Contents
1. Idea
2. Details
Pilot objects
3. Related concepts
4. References
3. Related concepts
・anabelian geometry URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
・etale theta function URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
・Frobenioid URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
・initial Θ-data URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
・Mochizuki's corollary 3.12 URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
・universe polymorphism URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
・poly-morphism (not to be be confused with polymorphism) URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)

155:１３２人目の素数さん
21/09/17 07:11:39.83 vc7BkT5z.net
IUTアニメ資料
URLﾘﾝｸ(www.maths.nottingham.ac.uk)
Inter-universal Teichmuller Theory (IUT) Summit 2021
RIMS workshop, September 7 - September 10 2021
Animations 1 and 2 illustrating IUT
The images on this page are taken from these animations
URLﾘﾝｸ(www.maths.nottingham.ac.uk)
Animations related to IUT

156:１３２人目の素数さん
21/09/19 08:39:56.45 LuRE8S2u.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.math.kyushu-u.ac.jp)
連続講演会(第1回目)
開催期間
2014-09-16 10:30～2014-09-19 17:30
場所
九州大学伊都キャンパス伊都図書館3階中セミナー室1
受講対象
講師
山下剛 (京大数理研)
タイトル：
「宇宙際Teichmuller理論とそのDiophantus的帰結」
アブストラクト：
2012年8月、望月新一氏(京大数理研)は宇宙際Teichmuller理論の連続論文(I～IV)を発表した。これは、きわめて大雑把に述べると、スキーム論の外に出て数体の「数論的正則構造」を「変形」し、絶対遠Abel幾何的復元アルゴリズムを使うことで一方の「数論的正則構造」から他方の「数論的正則構造」を軽微な不定性を許して復元し、その帰結としてDiophantus不等式を導くというものである。不定性が軽微なもので抑えられることを示すところ(や「変形」の構成など)において、理論中に出てくる数学的部品たちの性質が絶妙にピタリとあてはまっている。
同氏は、その理論の準備の段階の論文を含め、「単遠Abel幾何と双遠Abel幾何」「数論的正則性と単解析性」「エタール的対象とFrobenius的対象」「多輻性と単輻性と核性」「足し算と掛け算を分離する数論的な上半平面」「数論的な解析接続」「Galois評価原理」などの(重要かつ整理された視点を提供する)独創的な数学的概念・視点を導入し、全く新しい地平を切り開いた。これはDiophantus不等式への応用抜きにしてもそれ自身重要かつ有用な概念・視点である(また、これら以外にも多くの興味深い対応関係や対比がある)。
本連続講演は、理論全体の概観の後、理論の思想的源流(Hodge-Arakelov理論やp進Hodge理論など)について簡単に触れ(同氏の導入した概念や理論は単に新奇であるのではなく、よく理解すればGauss積分やテータ関数のJacobiの等式などの古典的な理論と思想的に深く結びついている)、準備の論文の解説(Belyiカスプ化や単テータ環境の３つの剛性など)をして、本体の論文(キーワードだけを並べると、種々のHodge舞台、種々のテータ・リンクとHodge-Arakelov理論的評価、対数的殻と対数的リンク、対数的Kummer対応、多輻的復元アルゴリズム、対数的体積計算など)に進む予定である。計３週間ぐらいになる予定である。

157:１３２人目の素数さん
21/09/25 11:22:58.37 LBP5jgAj.net
>>129
下記IUTの発想というか、手探りでIUTを構築しようとしている様子がよく分かる
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月講演
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Hokudai%202003-11).pdf
[10] 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論　（北海道大学 2003年11月）. PDF

158:１３２人目の素数さん
21/09/27 07:54:28.29 IUucGO2k.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
伊吹山知義　オフィシャルサイト
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
整数論研究集会報告集のページ
整数論サマースクール
整数論オータムワークショップ
第１２回整数論サマースクール基本群とGalois表現（広島県福山市「ローズイン備後ハイツ」）2004
Belyi の定理、dessins d'enfants 都立大・小松亨 URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Grothendieck-Tiechm"uller 群名古屋大・古庄英和 URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Galois 圏・淡中圏とその基本群の入門京大・玉川安騎男 URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
曲線の moduli 空間の基本群への Galois 作用岡山大・中村博昭 URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)

159:１３２人目の素数さん
21/09/27 07:57:34.27 IUucGO2k.net
メモ
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
Number Theory Summer School
これまでの整数論サマースクール
28 2021 モジュラー曲線と数論
（Zoom）新井啓介（東京電機大学）
千田雅隆（東京電機大学）
吉川祥（学習院大学）準備中 HP
27 2019 構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題
（山形県酒田市「東北公益文科大学公益ホール・かんぽの宿酒田」）小松亨（東京理科大学）
星明考（新潟大学）
北山秀隆（和歌山大学）報告集 HP
26 2018 多重ゼータ値
（愛知県田原市伊良湖町「伊良湖シーパーク＆スパ」）佐久川憲児（京都大学）
田坂浩二（愛知県立大学）
三柴善範（福岡工業大学）報告集 HP
25 2017 楕円曲線とモジュラー形式の計算
（群馬県渋川市伊香保町「伊香保温泉塚越屋七兵衛」）木村巌（富山大学）
横山俊一（九州大学）報告集 HP

160:１３２人目の素数さん
21/09/27 08:06:00.55 IUucGO2k.net
メモ
URLﾘﾝｸ(webcache.googleusercontent.com)
ファイル URLﾘﾝｸ(www.ipmu.jp) の HTML 版です。
IPMU主任研究員?アレクセイ・ボンダル
代数から代数多様体へ
グロタンディーク以降の導来圏

161:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:41:01.32 9nXmqzo6.net
>>153 類体論補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
類体論
有限体上の曲線の函数体や数体のアーベル拡大について、およびそのようなアーベル拡大に関する数論的性質について研究する、代数的整数論の一大分野である。理論の対象となる体は、一般に大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるものである。
与えられた大域体の有限次アーベル拡大と、その体の適当なイデアル類もしくはその体のイデール類群の開部分群との間に一対一対応が取れるという事実によって、類体論の名がある。例えば、数体の最大不分岐アーベル拡大であるヒルベルト類体は、非常に特別なイデアル類に対応する。類体論は、大域体のイデール類群（即ち、体の乗法群によるイデールの商）によってその大域体の最大アーベル拡大のガロワ群へ作用する相互律準同型 (reciprocity homomorphism) を含む。大域体のイデール類群の各開部分群は、対応する類体拡大からもとの大域体へ落ちるノルム写像の像になっているのである。
標準的な方法論は、1930年代以降発達した局所類体論（英語版）で、これは大域体の完備化である局所体のアーベル拡大を記述するものであり、これを用いて大域類体論が構築される。
つづく

162:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:41:26.13 9nXmqzo6.net
>>161
つづき
現代的な定式化
現代的な言葉で言えば、基礎体 K の最大アーベル拡大 A は存在して、その拡大次数は K 上無限大となり得るから、その時 A に対応するガロワ群 G は副有限群となり、従ってコンパクト位相群かつまたアーベル群になる。類体論の中心定な目的は、この群 G を基礎体 K の言葉で記述することである。特に、K の有限次アーベル拡大と K に対する適当な（有限な剰余体を持つ局所体の場合の乗法群や大域体の場合のイデール類群のような）対象におけるノルム群との間の一対一対応を確立し、それらのノルム群を（例えば、指数有限な開部分群といったように）直截的に記述することである。そのような部分群に対応する有限次アーベル拡大を類体と呼び、これが理論の名称の由来となっている。
類体論の基本的な結果は「最大アーベル拡大のガロワ群 G は、基礎体 K のイデール類群 CK の（基礎体 K の特定の構造に関係して CK に入る自然な位相に関する）副有限完備化に自然同型である」ことを主張する。同じことだが、K の任意の有限次ガロワ拡大 L に対し、この拡大のガロワ群の最大アーベル商（アーベル化）と、K のイデール類群を L のイデール類群のノルム写像による像で割ったものとの間に、同型
Gal(L / K)ab → CK / NL/K CL
が存在する[1]。
つづく

163:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:41:44.65 9nXmqzo6.net
>>162
つづき
幾つかの小さい体、例えば有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報が得られる詳細な理論が存在する。例えば、Q のアーベル化絶対ガロワ群 G は、全ての素数に亙って取った p-進整数環の単元群の無限直積（に自然同型）であり、対応する Q の最大アーベル拡大は 1 の冪根全てによって生成された体となる。このことは、もとはレオポルト・クロネッカーの予想であったクロネッカー?ヴェーバーの定理として知られる。この場合の、類体論の相互律同型（あるいはアルティンの相互律写像）も同定理に従って具体的に書くことができる。1 の全ての冪根からなる群を
{\displaystyle \mu _{\infty }(\subset \mathbb {C} ^{\times })}\mu _{\infty }(\subset {\mathbb {C}}^{\times })
と書くことにする（円周群 C× のねじれ部分群）と、アルティンの相互律写像はそれが数論的正規化されているならば
{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})}{\hat {{\mathbb {Z}}}}^{\times }\to G_{{{\mathbb {Q}}}}^{{\text{ab}}}={\text{Gal}}({\mathbb {Q}}(\mu _{\infty })/{\mathbb {Q}});\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})
によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならば
{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{-x})}{\hat {{\mathbb {Z}}}}^{\times }\to G_{{{\mathbb {Q}}}}^{{\text{ab}}}={\text{Gal}}({\mathbb {Q}}(\mu _{\infty })/{\mathbb {Q}});\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{{-x}})
によって与えられる。しかし、このような小さな代数体に対する詳細理論の主要な構成法は一般の代数体の場合にまで拡張することはできないし、一般類体論で用いられるのはもっと違った概念的原理である。
つづく

164:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:42:05.81 9nXmqzo6.net
>>163
つづき
相互律準同型を構成する標準的な方法は、まず大域体の完備化の乗法群からその最大アーベル拡大のガロワ群への局所相互律同型を構成し（ここまでは局所類体論の範疇でできる）、それからそれらすべての局所相互律写像の積を大域体のイデール群上で定義するとき、その積が大域体の乗法群の像の上で自明となることを示すことで行われる。最後のところのこの性質を大域相互律 (global reciprocity law) と言い、これはガウスの二次の相互律の広汎な一般化になっている。
相互律準同型を構成するのに類構造（英語版）を用いる方法もある。
コホモロジー群（特にブラウアー群）を用いる方法や、コホモロジーを用いずに非常に明示的で応用が利く方法などもある。
つづく

165:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:42:29.08 9nXmqzo6.net
>>164
つづき
素イデアル
G の抽象的な記述だけではなくて、そのアーベル拡大においてどのように素イデアルが分解するかを理解することが数論の目的にとってより本質的である。この記述はフロベニウス元を用いて、二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律を非常に広範に一般化するものである。つまり、類体論の内容には、（三次の相互律といったような）より高次の「冪剰余の相互律」についての理論が含まれるのである。
類体論の一般化
数論における一つの自然な展開は、大域体の（アーベルとは限らない）一般のガロワ拡大に対する情報を与える非可換類体論の構成と理解を行うことである。ラングランズ対応が非可換類体論と見做されることが多く、そして実際にラングランズ対応が確立されたときには大域体の非可換ガロワ拡大に関する非常に豊かな理論を含むことになるのだが、しかしラングランズ対応はアーベル拡大の場合の類体論が持っていた有限次ガロワ拡大についての数論的情報のほとんどを含んでいないのである。しかもラングランズ対応は類体論の存在定理に対応するものも含んでいない、即ち、ラングランズ対応における類体の概念は存在しないのである。局所および大域の非可換類体論はいくつか存在し、それらはラングランズ対応の観点に対する別の選択肢を与えてくれる。
つづく

166:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:42:44.58 9nXmqzo6.net
>>165
つづき
もうひとつ、数論幾何における自然な展開は、高次局所体および高次大域体のアーベル拡大を構成及び理解することである。後者の高次大域体は、整数環上の有限型スキームの函数体およびその適当な局所化や完備化として生じる。「高次局所および大域類体論」は代数的 K-理論や、一次元類体論で用いられる K1 の代わりに適当なミルナー K-群を用いる。高次局所および大域類体論は、A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司らの数学者が展開した。代数的 K-理論を用いずに高次大域類体論を展開しようとする試みもある (G. Wiesend) が、このやり方は高次局所類体論を含むものではなく、また局所理論と大域理論との間に互換性がない。
歴史
詳細は「類体論の歴史（英語版）」を参照
類体論の起源はガウスによって与えられた平方剰余の相互律にある。それが一般化されるまでには長きに亙る歴史的な取り組み、たとえば二次形式とその「種の理論」、クンマー・クロネッカー・ヘンゼルなどのイデアルおよび完備化に関する業績、円分体およびクンマー拡大の理論などがあった。
最初の二つの類体論は、非常にはっきりした円分類体論と虚数乗法類体論である。これらは付加的な構造（有理数体の場合には 1 の冪根、有理数体の虚二次拡大体の場合には楕円曲線が虚数乗法を持つことと位数有限であること）が利用できる。随分後になって、志村の理論は代数的数体のクラスに対する非常に明示的な新たな類体論を与えた。これらは基礎体の具体的な構造を非常に陽に用いる理論であって、勝手な数体に対してもうまくいくように拡張することはできない。正標数 p の体に関しては、河田と佐武がヴィット双対性を用いて相互律準同型の p-成分の非常に平易な記述を得ている。
つづく

167:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:43:05.25 9nXmqzo6.net
>>166
つづき
しかし、一般類体論はこういったものとは異なる概念を用い、その構成法が任意の大域体に対してうまく機能するようにしなければならない。
ヒルベルトの有名な問題が更なる発展の刺激となって、高木貞治、フィリップ・フルトヴェングラー、エミール・アルティン、ヘルムート・ハッセほか多数による種々の相互律が導かれることとなった。著しく重要な高木の存在定理が1920年に知られ、全ての主要な結果は1930年ごろまでには出そろっていた。証明されるべき古典的な予想の最後の一つは単項化定理（英語版）であった。類体論の最初の証明には、頑強な解析学的手法が用いられた。1930年代以降は、無限次元拡大とそのガロワ群に関するヴォルフガンク・クルルの理論が有効であることが次第に認められていく。この理論はポントリャーギン双対性と結びついて、中心的な結果であるアルティンの相互律のより抽象的な定式化が分かり易くなった。重要な段階は、1930年代にクロード・シュヴァレーによってイデールが導入されたことである。イデールをイデアル類の代わりに用いることで、大域体のアーベル拡大を記述する構造は本質的に明確化および単純化され、中心的な結果のほとんどが1940年までに証明された。
つづく

168:１３２人目の素数さん
21/10/01 16:43:25.67 9nXmqzo6.net
>>167
つづき
この結果の後には、群コホモロジーの言葉を使った定式化がなされ、それが何世代かの数論学者が類体論を学ぶ際の標準となったが、コホモロジーを用いる方法の難点の一つは、それがあまり具体的でないことである。ベルナルド・ドワーク、ジョン・テイト、ミッシェル・ハゼウィンケルによる局所理論への貢献、およびユルゲン・ノイキルヒによる局所および大域理論の再解釈の結果として、あるいは多くの数学者による明示的な相互公式に関する業績と関連して、1990年代にはコホモロジーを用いない非常に明確な類体論の表現が確立された。このあたりの詳細は、例えばノイキルヒの本を参照せよ。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
類体論の高木の存在定理 (Takagi existence theorem) とは、代数体 K に対してその有限次アーベル拡大と K の一般化されたイデアル類群の間に 1 対 1 の対応が存在するという定理である。
この定理を存在定理と呼ぶ理由は、証明の最も困難な部分が K のアーベル拡大体の存在を示す部分にあるからである。
(引用終り)
以上

169:１３２人目の素数さん
21/10/01 17:06:10.64 9nXmqzo6.net
>>48 補足
>URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
>類体論田口雄一郎
(引用開始)
P2
類体論の応用として
Kronecker の青春の夢. 虚二次体の任意の有限次アーベル拡大はCM
楕円曲線のj 不変量の値と等分点の座標を添加して得られる。
が解決した(これはKronecker-Weber の定理の虚二次体への拡張である)。
(引用終り)
”CM 楕円曲線”は、虚数乗法（CM）を持つ楕円曲線のことですね
文中に説明がないので、補足です
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, complex multiplication (CM) is the theory of elliptic curves E that have an endomorphism ring larger than the integers;[1] and also the theory in higher dimensions of abelian varieties A having enough endomorphisms in a certain precise sense (it roughly means that the action on the tangent space at the identity element of A is a direct sum of one-dimensional modules). Put another way, it contains the theory of elliptic functions with extra symmetries, such as are visible when the period lattice is the Gaussian integer lattice or Eisenstein integer lattice.
つづく

170:１３２人目の素数さん
21/10/01 17:06:42.85 9nXmqzo6.net
>>169
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
虚数乗法(complex multiplication)とは、通常よりも大きな対称性をもつ楕円曲線の理論のことをいう。別のいいかたをすれば、周期格子（英語版）(period lattice)がガウス整数の格子であったり、アイゼンシュタイン整数の格子であったりするような、余剰な対称性を持つ楕円函数の理論である。楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体についても同様に大きな対称性をもつ場合があり、これらを扱うのが虚数乗法論である。
特殊関数の理論として、そのような楕円函数や多変数複素解析函数のアーベル函数は、大きな対称性をもつことからその関数が多くの等式をみたすことがいえる。特別な点では具体的に計算可能な特殊値を持つ。また虚数乗法は代数的整数論の中心的なテーマであり、円分体の理論をより広く拡張する事を可能にする。
虚数乗法は、虚二次体の類体における相互法則、主イデアル定理、分岐の様子を、楕円函数や楕円曲線のことばで具体的に書き表すことを可能とする。ダフィット・ヒルベルトは、楕円曲線の虚数乗法論は数学のみならず、すべての科学の中の最も美しい分野であると言っている[1]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
CM-タイプのアーベル多様体
体 K 上定義されたアーベル多様体 A がCM-タイプ(CM-type)であるとは、自己準同型環 End(A) の中で十分に大きな部分可換環を持つことをいう。この用語は虚数乗法 (complex multiplication) 論から来ていて、虚数乗法論は19世紀に楕円曲線の研究のため開発された。20世紀の代数的整数論と代数幾何学の主要な成果のひとつに、アーベル多様体の次元 d > 1 の理論の正しい定式化が発見されたことがある。この問題は、多変数複素函数論を使うことが非常に困難であるため、非常に抽象的である。
つづく

171:１３２人目の素数さん
21/10/01 17:07:14.75 9nXmqzo6.net
>>170
つづき
フォーマルな定義は、有理数体 Q と End(A) のテンソル積
{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Q} }(A)}{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Q} }(A)}
は Z 上、次元 2d の可換部分環を含んでいることである。d = 1 のとき、このことは二次体以外にはありえなく、End(A) は虚二次体の整環（英語版）(order)である。d > 1 に対しては、総実体の虚二次拡大であるCM体の場合が比較すべきに対象である。A が単純アーベル多様体ではないかもしれない（例えば、楕円曲線のカルテシアン積）ことを反映する他の他の場合もある。CM-タイプのアーベル多様体の別の名称は、十分に多くの虚数乗法を持つアーベル多様体である。
K が複素数体であれば、任意のCM-タイプの A は、実は、数体である定義体（英語版）(field of definition)を持っている。自己準同型環の可能なタイプは、対合（ロサチの対合（英語版）(Rosati involution)）をもつ環として既に分類されていて、CM-タイプのアーベル多様体の分類を導き出す。楕円曲線と同じような方法でCM-タイプの多様体を構成するには、Cd の中の格子 Λ から始め、アーベル多様体のリーマンの関係式を考えに入れる必要がある。
CM-タイプ(CM-type)は、単位元における A の正則接空間上の、EndQ(A) の（極大）可換部分環 L の作用を記述したものである。単純な種類のスペクトル理論が適応され、L が固有ベクトルの基底を通して作用することを示すことができる。言い換えると、L は A の正則ベクトル場の上の対角行列を通した作用を持っている。L 自体が複数の体の積ではなく数体であるという単純な場合には、CM-タイプは L の複素埋め込み(complex embedding)のリストである。複素共役をペアとして、2d 個の複素埋め込みがあり、CM-タイプは各々のペアのから一つを選択する。そのようなCM-タイプの全てが実現されることが知られている。
志村五郎と谷山豊の基本的結果は、CM-タイプとヘッケのL-函数のことばで、A のハッセ・ヴェイユのL-函数を計算することができ、これから導出された無限部分を持つ。これらが、楕円曲線の場合のマックス・ドイリング（英語版）(Max Deuring)の結果を一般化する。
(引用終り)
以上

172:１３２人目の素数さん
21/10/01 17:23:08.14 9nXmqzo6.net
>>169 補足

下記「類体論をこえて」が分かり易かった
「数学セミナー」1967年8月号の記事だそうです
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
ドクトル・クーガーの数学講座1 久賀　道郎 1992.08
第2部　類体論をこえて
　　　　有限体の話
　　　　佐藤予想のこと
　　　　類体論をこえて
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
久賀道郎（くがみちお、1928年 - 1990年2月13日）は、日本出身の数学者である。
1960年に東京大学で博士号を取得した[1]。
彼の研究は、ピエール・ルネ・ドリーニュによるヴェイユ予想の証明(Deligne 1974)から部分的に続くラマヌジャン予想の証明につながった。
1966年、彼は久賀ファイバー多様体（英語版）を導入した[2]。
彼の著書『ガロアの夢―群論と微分方程式』は、ガロア理論の観点から被覆空間やフックス型微分方程式などのトピックを考察した、学部学生のための群論と微分方程式に関する一連の講義である。
(引用終り)
以上

173:１３２人目の素数さん
21/10/01 17:26:03.83 9nXmqzo6.net
>>172 関連情報
純粋・応用数学（含むガロア理論）9
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:166番)
>ここの類体論の解説が、志村五郎氏の「虚数乗法入門」数学のあゆみ 7巻2号
>（下記で3巻が1955年だから、7巻だと1959年だろう）
これの画像があった（下記）
”志村五郎述（久賀道郎・清水達雄記），「虚数乗法入門」，数学の歩み 5巻1号”1957 が正しそうかな
あるいは、7巻2号に続編があるのか？　下記の野口潤次郎先生のところには、7巻2号は欠号です。残念
（参考）
URLﾘﾝｸ(twitpic.com)
画像
志村五郎述（久賀道郎・清水達雄記），「虚数乗法入門」，数学の歩み 5巻1号，新数学人集団（SSS）編集・数学の歩み刊行会，1957，pp.65-73.
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
野口潤次郎の電網掲示板
(C1) 数学の歩み
この資料は、その昔志賀浩二先生が東工大を退官されるときに、貴重な資料なので捨てるに忍びない、ということで頂いておいたものです。欠号が多く不完全なものですが、興味深いものがあります。
　初めに「目次（表紙集）」を参照することをおすすめします。
連合機関誌・全国数学連絡会機関誌・数学の歩み。
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
数学の歩み
初めに ``目次（表紙集）'' を見ることをお薦めします。
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
目次（表紙集）
(引用終り)
以上

174:１３２人目の素数さん
21/10/02 16:46:35.10 tWmCJmdX.net
×資料展示
○資料剽窃
 >>1
はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！いつ自首するの？

175:１３２人目の素数さん
21/10/02 17:34:07.69 X8Zxjdm/.net
>>174
なんだい、おサルか
学術文献で市販テキストには、価格があって、著作権もある
無料公開学術文献にも、もちろん著作権はあるが
出典を明示している以上、剽窃ではありません（下記）
URLﾘﾝｸ(news.yahoo.co.jp)
コピペ・代行で済まそうとしている学生さんへ：引用・転載・剽窃とは・その違いとは：著作権法と私文書偽造
碓井真史新潟青陵大学大学院臨床心理学研究科教授（社会心理学）
2014/3/22(土) 15:31
■ 研究論文、研究レポートにおける引用とは
研究論文（研究レポート）において「引用」と呼ばれるものの多くは、研究内容の紹介でしょう。たとえば、「碓井（2022）はオレンジジュースがアンチエイジングに効果があることを示した」といった具合に碓井の研究内容を書いて、最後に「引用文献」として出典を書きますね。
どんどん引用してください。私達は、学問の先輩である巨人の肩に立って研究を進めます。大先生の研究も、最近の新しい研究もたくさん読み、引用してください。引用される方も、名誉なことであり、多く引用されることは評価につながりますので、大歓迎です。
これに対して、世間でよく言われる引用は、相手の言葉や文章をそのまま再掲載することです。たとえば、「碓井は2034年の国連総会において『餃子こそが人類を救う唯一の希望である』と述べている」といった具合です。研究論文でも、誰かの言葉、文章を、そのまま引用することもあるでしょう。

176:１３２人目の素数さん
21/10/02 23:08:18.29 tWmCJmdX.net
残念ながら剽窃です。何故ならお前に自覚はないだろうけれどミスリードに悪用してるから｡
まーた儂をポニョ石と勘違いしたなセンス無いな。頭も悪い、のに講釈垂れる、センス無い、ひ弱か。厚顔無恥じゃのう｡

177:１３２人目の素数さん
21/10/03 06:48:20.41 gtH9cx8i.net
>>176
＞まーた儂をポニョ石と勘違いしたな
うん？　蕎麦屋のおっさんかい？ｗ

178:１３２人目の素数さん
21/10/06 11:49:16.61 6qp+V25O.net
URLﾘﾝｸ(books.j-cast.com)
books.j-cast
「ABC予想」が数学の学会誌に掲載されない理由
2020/3/18 （　森永流）
解決への道筋を示す
　素数の積をめぐっては、こんなことが言えるかもしれない。つまり、自然数の定義だ。1に1を足していって作られたものだとする「ペアノの公理」がよく知られる。足し算による定義だ。一方、かけ算でも定義できる。自然数はすべて素数の積に分解できるので、それをすべて作って小さい順に並べる方法だ（ただし1は素数の0乗）。数をそんなふうに見ると、足し算とかけ算は独立していて分離できるかもしれないと思えてくる。
　加藤さんの説明を掻い摘んでIUT理論を紹介するとこうだ。
　・異なる数学の舞台（IUT理論ではuniverses、加藤さんの比喩では、足し算、かけ算が切り離されてかけ算だけを伸び縮みさせた世界）を設定。現実世界に計算者がいて、そこにテレビがあって画面の中に同じ計算者がいる。ただし２つの計算者は同じだが掛けられる制約が異なっている―というふうに舞台は現実世界も含めて入れ子式になっている
　・計算の群論的対称性（計算方法のレシピ）を、各計算者に計算の対象や計算方法を伝達
　・受信した対称性を基に、それぞれの舞台で元の計算の対象や計算方法を復元。計算を実行する
　・対称性の通信や復元で生じる不定性・ひずみ、つまり計算結果のサイズの違いを定量的に評価して不等式を導く
数学には曖昧さもある
　ではABC予想はどうか。予想の主張である「c ?d＾（1＋ε）」。これのIUT理論での「deg Θ≦deg q＋c」への帰結を目指す。
　評者のような文系出身者に「deg 」は無縁だったが、次数（デグ）を表す記号だ。ここではdeg Θ（デグ・テータ）が現実舞台での計算結果、deg qはかけ算を伸縮させた舞台での計算結果となる。右辺に加えられているcは、ABC予想のcとは別物で、ひずみの定量的評価で求められた小さな値だ。IUT理論によるABC予想は、現実舞台での累乗数が、かけ算伸縮舞台での累乗数よりも小さいことに帰結させたい訳だ。
つづく

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