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111:１３２人目の素数さん
21/05/01 08:47:39.05 4gUFX+vb.net
>>110
つづき
コリヴァギン（英語版）は後にオイラー系（英語版）を構成するためにヒーグナー点を用い、それによって階数 1 の楕円曲線に対するバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想の多くを証明した。?寿武（英語版）はグロス・ザキエの定理を楕円曲線からモジュラーアーベル多様体の場合へと一般化した。ブラウンは正標数の大域体上の階数 1 の楕円曲線の多くに対してバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想を証明した (Brown 1994)。
ヒーグナー点は階数 1 の楕円曲線上の、単純な方法では見つけることのできなかった、非常に大きい有理点を計算するのに使うことができる（サーベイは (Watkins 2006) を参照）。アルゴリズムの実装は、MagmaやPARI/GPで可能である。
URLﾘﾝｸ(sub-asate.ssl-lolipop.jp)
miniwiki
類数問題
（虚二次体の）ガウスの類数問題(Gauss class number problem)は、通常に理解されているように、 各々の n ? 1 に対し類数が n である虚二次体の完全なリストをもたらした。この問題の命名は偉大な数学者カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)にちなんでいる。この問題は、また、代数体の判別式の項で記述することもできる。実二次体にも関連した問題があり、その振る舞いは
d→-∞
である。
この問題の困難な点は、限界の有効(effective)な計算である。与えられた判別式に対し、類数を計算することは易しく、類数の非有効(ineffective)な下界を求める方法はいくつかあるが（非有効とは、計算はできないが、定数であるということのみわかることを意味する）、しかし有効な限界を求め（リストの完全な証明）は難しい。
Contents
1 元々のガウスの予想
2 本問題の状況
3 類数 1 の判別式のリストアップ
4 現代の発展
5 実二次体
つづく

112:１３２人目の素数さん
21/05/01 08:48:29.31 4gUFX+vb.net
>>111
つづき
現代の発展
より近年の発展は、n = 1 の場合がクルト・ヒーグナー（English版）(Kurt Heegner)により議論され、モジュラ形式やモジュラ方程式（English版）(modular equation)を使い、そのような体は存在しないことを示した。この仕事は最初は受け入れられなかったが、より最近のハロルド・スターク（English版）(Harold Stark)やブライアン・バーチ（English版）(Bryan Birch)により評価され、ヒーグナーの仕事が理解されるようになった。スターク・ヒーグナーの定理（English版）(Stark?Heegner theorem)やヒーグナー数（English版）(Heegner number)を参照。実際は、同時期にアラン・ベイカー(Alan Baker)は、数体の対数の線型形式上のベイカーの定理として知られていて、完全に異なる方法で解かれている。n = 2 の場合は、少し後でベイカーの仕事の応用として、原理的には解くことが試みられている。（Baker (1990)を参照）
類数 1 の虚二次体の完全リストは、Q(k--√) でこの k は次の中の一つである。
-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Class number problem
Contents
1 Gauss's original conjectures
2 Status
3 Lists of discriminants of class number 1
4 Modern developments
5 Real quadratic fields
(引用終り)
以上

113:１３２人目の素数さん
21/05/09 16:44:06.23 6xnjRD2S.net
URLﾘﾝｸ(www.uvm.edu)
KUMMER CLASSES AND ANABELIAN GEOMETRY Date: April 29, 2017.
JACKSON S. MORROW
ABSTRACT. These notes comes from the Super QVNTS: Kummer Classes and Anabelian
geometry. Any virtues in the notes are to be credited to the lecturers and not the scribe;
however, all errors and inaccuracies should be attributed to the scribe. That being said,
I apologize in advance for any errors (typo-graphical or mathematical) that I have introduced. Many thanks to Taylor Dupuy, Artur Jackson, and Jeffrey Lagarias for their wonderful insights and remarks during the talks, Christopher Rasmussen, David Zureick-Brown,
and a special thanks to Taylor Dupuy for his immense help with editing these notes. Please
direct any comments to jmorrow4692@gmail.com.
The following topics were not covered during the workshop:
・ mono-theta environments
・ conjugacy synchronization
・ log-shells (4 flavors)
・ combinatorial versions of the Grothendieck conjecture
・ Hodge theaters
・ kappa-coric functions (the number field analog of etale theta) ´
・ log links
・ theta links
・ indeterminacies involved in [Moc15a, Corollary 3.12]
・ elliptic curves in general position
・ explicit log volume computations
CONTENTS
1. On Mochizuki’s approach to Diophantine inequalities
Lecturer: Kiran Kedlaya . . 2
2. Why the ABC Conjecture?
Lecturer: Carl Pomerance . 3
3. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (I/II)
Lecturer: Kirsten Wickelgren . 3
4. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (II/II)
Lecturer: David Zureick-Brown . 6
5. Overflow session: Kummer classes
Lecturer: Taylor Dupuy . 8
6. Introduction to model Frobenioids
Lecturer: Andrew Obus . 11
7. Theta functions and evaluations
Lecturer: Emmanuel Lepage . . 13
8. Roadmap of proof
Notes from an email from Taylor Dupuy . . 17

114:１３２人目の素数さん
21/07/05 06:06:22.96 tA3B4T+I.net
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B76 (2019), 79?183
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory)
By 星 裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
P5
§ 1. 円分物
数学 円分物とは何でしょうか. それは Tate 捻り “Zb(1)”のことです.
(引用終り)
円分物は、殆ど”円分体”なのでしょう
ただ、「体」ではないかも知れない
だから、「物」なのか。圏論的な「物」かも
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
円分体
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cyclotomic field

115:１３２人目の素数さん
21/07/05 06:28:26.45 tA3B4T+I.net
>>114
>Tate 捻り
下記Tate twist みたいだね
但し、下記は”an operation on Galois modules”とあるので
星先生の記述とはちょっと違うような
つまり、星先生の記述は、”an operation ”ではなく、それが集まった、例えば群のような集合を意味している気がする
（参考：文字化けは面倒なので修正しませんので、原文ご参照）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Tate twist
In number theory and algebraic geometry, the Tate twist,[1] named after John Tate, is an operation on Galois modules.
For example, if K is a field, GK is its absolute Galois group, and ρ : GK → AutQp(V) is a representation of GK on a finite-dimensional vector space V over the field Qp of p-adic numbers, then the Tate twist of V, denoted V(1), is the representation on the tensor product V?Qp(1), where Qp(1) is the p-adic cyclotomic character (i.e. the Tate module of the group of roots of unity in the separable closure Ks of K). More generally, if m is a positive integer, the mth Tate twist of V, denoted V(m), is the tensor product of V with the m-fold tensor product of Qp(1). Denoting by Qp(?1) the dual representation of Qp(1), the -mth Tate twist of V can be defined as
{\displaystyle V\otimes \mathbf {Q} _{p}(-1)^{\otimes m}.}{\displaystyle V\otimes \mathbf {Q} _{p}(-1)^{\otimes m}.}
References
[1] 'The Tate Twist', in Lecture Notes in Mathematics', Vol 1604, 1995, Springer, Berlin p.98-102

116:１３２人目の素数さん
21/07/05 06:48:13.60 tA3B4T+I.net
>>115
>Tate twist
下記が参考になりそう
日本語では、圧倒的に情報量が少ない
それと”What is the intuition behind the concept of Tate twists?”と質問する姿勢は見習うべきでしょうね
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
About the definition of l-adic Tate-twist asked Sep 20 '18 at 6:30 Elvis Torres Perez
(抜粋)
Zl(0)=Zl , Zl(1)=lim←?(μli), Zl(n+1)=Zl(n)?ZlZl(1) for n＞＝0
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
What is the intuition behind the concept of Tate twists? asked Aug 16 '11 at 4:06 Nicole

117:１３２人目の素数さん
21/07/05 20:32:45.22 tA3B4T+I.net
>>114つづき
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B76 (2019), 79?183
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory)
By 星 裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
P9
§ 2. フロベニオイドの円分剛性同型
次に, 位相群作用付きモノイド Gk ? O?k
の同型物 G ? M を考察しましょう. この
データ G ? M は, フロベニオイド (Frobenioid ? cf. [6], Definition 1.3) と呼ばれ
る数学的対象のある一例と等価なデータとなっています. こういったフロベニオイド (の
ある一例と等価なデータ　?　簡単のため, 以下, もうこれをフロベニオイドと言い切っ
てしまいますが) が与えられたとき, その “G” の部分を エタール的 (´etale-like ? cf.,
e.g., [6], Introduction, §I4) 部分と呼び, そして, その上, “M” の部分を Frobenius 的
(Frobenius-like ? cf., e.g., [6], Introduction, §I4) 部分と呼びます. (この場合の) エ
タール的部分は, 位相群で, 出自は Galois 群ですから, つまり, “対称性” であり, 感覚と
しては “質量のない”, “実体のない” (すなわち, “夢のような”, “仮想的な”) 対象です. 一
方, (この場合の) Frobenius 的部分は, 位相モノイドで, 出自は適当な数の集まりですから,
感覚としては “質量のある”, “実体を持つ” (すなわち, “現実に存在する”, “実在する”) 対
象です.
さて, 上のようなフロベニオイド G ? M が与えられますと, さきほど述べたとお
り, (G は Gk の同型物ですので) 単遠アーベル幾何学的に G から G ? Λ(G) という円
分物を復元/構成することができます.
つづく

118:１３２人目の素数さん
21/07/05 20:33:07.84 tA3B4T+I.net
>>117
つづき
一方, M は O?kの同型物ですから, n 倍写像の核M[n]def = Ker(n: M → M) は μn(k) の同型物となり, その n に関する逆極限を取ること
で, Λ(M)def = lim←?nM[n] という Λ(k) の同型物, つまり, 円分物が得られます. G ? Λ(G)
の方はエタール的部分から構成したので “エタール的円分物” と呼び, G ? Λ(M) の方
は Frobenius 的部分から構成したので “Frobenius 的円分物” と呼ぶことにしましょう.
この考察により, 1 つのフロベニオイド G ? M から, エタール的円分物 G ? Λ(G) と
Frobenius 的円分物 G ? Λ(M) という 2 つの円分物が得られました.
この (本来はまったく無関係な) 2 つの円分物に関して, 以下の事実が知られていま
す. ([10], Remark 3.2.1, を参照ください.)
G ? M というデータから, 関手的に, G 同変な同型 Λ(M)?→ Λ(G) ?　つま
り, Frobenius 的円分物とエタール的円分物との間の円分剛性同型　?　を構成
することができる. また, この円分剛性同型は, G ? M が “環論的な設定” から
生じている場合には, 従来の円分物の間の同一視と一致する.
ここに登場する円分剛性同型は, しばしば “局所類体論を用いた円分剛性同型”, あるいは,
“古典的な円分剛性同型” などと呼ばれています.
(引用終り)

119:１３２人目の素数さん
21/07/05 20:47:40.66 tA3B4T+I.net
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
２００１年度講義内容要約
理学部数理学科
多元数理科学研究科
大学院
数論特別講義 II 望月 新一（京都大学） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
（11 月 19 日〜23 日） 「楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論における遠アーベル幾何」
P278
科目名 数論特別講義 II 担当教官　望月 新一
サブタイトル　 楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論における遠アーベル幾何
対象学年 大学院 ２単位 選択
教科書 なし
参考書 後述の「参考文献」参照
予備知識
[Hh] 程度のスキーム論と，[Mn] 等に解説してあるエタール・サイトや代数的基本群の基礎．
[Hh] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Math. 52, Springer-Verlag (1977).
[Mn] J. S. Milne, Etale Cohomology ´ , Princeton Mathematical Series 33, Princeton University Press (1980).
つづく

120:１３２人目の素数さん
21/07/05 20:47:58.33 tA3B4T+I.net
つづき
講義内容
Grothendieck の「遠アーベル哲学」とは，数体のような数論的な体の上で定義され，かつある幾何的な
条件を満たす代数多様体の幾何は，その「数論的基本群」に忠実に反映されるであろうという考え方を出発
点とした数論幾何に対する新しいアプローチである．この「哲学」は１９８０年代初頭，Grothendieck に
よって提案されたが，実は，そのルーツはそれ以前に代数的整数論の観点から発見されていた Neukirch-内
田の定理にまで遡る．更に，１９９０年代に入ってから，遠アーベル幾何では新しい結果が次々と得られ
(参考文献の [12], [19] を参照)，Grothendieck が立てた主な予想の一部が，かなり強い形で肯定的に解決さ
れた．本講義では，遠アーベル幾何の survey 的な紹介を目標の一つとするが，ただの抽象的な定理群とし
て扱うのではなく，最近になって明らかになった，楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論との関係に注目しなが
ら話を進めていく．この関係が示唆する遠アーベル幾何の新しい解釈によって，当初の Grothendieck の期
待でもあった，Diophantus 幾何への応用の可能性が開けてくるものと思われる．
I： 遠アーベル幾何入門 §1. 代数的基本群とは何か？ §2. Grothendieck の anabelian 哲学 §3. 遠アー
ベル幾何の代表的な定理 §4. 局所体の遠アーベル性
II： Hodge-Arakelov 理論入門 §1. 基本定理 §2. 無限遠点での状況 §3. 正標数的手法による証明
III： basepoint, core, commensurator の話 §1. anabelioid というもの §2. core §3. 正則構造 §4. 通
約端末性 §5. global multiplicative subspace へのナイーヴなアプローチ
IV： universe, 同期化 §1. 独立な宇宙の導入 §2. 半楕円 orbicurve の通約端末性 §3. 無限遠点におけ
る通約端末性 §4. 正則局所化の圏 §5. 主結果
講義の感想
講義の最中，教官だけでなく，何回にもわたり，学生の方からも非常に有意義な質問や指摘が出され，講
義全体の質に大きく寄与したことは，印象的でした．
(引用終り)
以上

121:１３２人目の素数さん
21/07/05 23:15:45.59 tA3B4T+I.net
宇宙、inter-universal
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Muroran%202002-08).pdf
Anabelioid の幾何学と Teichmuller 理論 望月 新一 (京都大学数理解析研究所) 2002年8月
(抜粋)
§1. p進双曲曲線を他宇宙から見る
我々が通常使用している、スキームなどのような集合論的な数学的対象は、実は、議論を開始した際に採用された「集合論」、つまり、ある Grothendieck 宇宙の選択に本質的に依存しているのである。この「1つの集合論」の採用は、もっと具体的にいうと、
「あるラベル(=議論に登場する集合やその元の名前)のリストの選択」
と見ることもできる。すると、次のような問い掛けが生じる:
問: スキームのような集合論的幾何的対象を別の集合論的宇宙から見たら、
つまり、たまたま採用したラベルたちを取り上げてみたら、その幾何的対象はどのように見えるか?
つづく

122:１３２人目の素数さん
21/07/05 23:16:04.54 tA3B4T+I.net
>>121
つづき
このように、宇宙を取り替えたりするような作業を行なう際、別の宇宙にも通じる数学的対象を扱うようにしないと、議論は意味を成さなくなるが、(本稿では省略するが)様々な理由によって、圏は、そのような性質を満たす。一般に、違う宇宙にも通じるものをinter-universal と呼ぶことにするが、「圏」というものは、最も基本的かつ原始的な inter-universal な数学的対象ということになる。
さて、スキームを他宇宙から見たらどんな風に見えるか、という問いに答えるためには、スキームを、inter-universal に表現する必要がある。これには様々な手法があるが、本稿では、次のものを取り上げる(別の手頃な例については、「Mzk7] を参照):
Et(X) {Xの有限次エタール被覆の圏 }
(ただし、X は、連結なネータ・スキームとする。) 副有限群 G に対して B(G) を、G の連続な作用をもつ有限集合の圏、というふうに定義すると、Et(X) という圏は、B(mュ(X)) (ただし、(X) は、Xの代数的基本群とする)と同値になる。
ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする。実は、B(G) は、「連結な anabelioid」になるが、一般には、複数の連結成分をもつanabelioid を扱うこともある(詳しくは、「Mzk8] を参照)。anabelioid の理論の大きなテーマの一つは、通常スキームに対して行なうような様々な幾何的操作を、(Et(X)のようにスキームから生じたものかどうかとは関係なく) anabelioid のみの世界に
おいていわば“native' に行なうことである。このテーマの最も基本的な例の一つは、有限次 エタール被覆の定義である。連結な anabelioid 間の有限次エタール被覆は、
B(H) → B(G)
(ただし、G は副有限群、H はその開部分群。なお「射」は圏の間の関手と逆向きに書く。)と同型な射として定義される。
(引用終り)
以上

123:１３２人目の素数さん
21/07/06 07:31:37.30 TlVKjijJ.net
>>122
「ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする」（下記）
(引用開始)
ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする。実は、B(G) は、「連結な anabelioid」になるが、一般には、複数の連結成分をもつanabelioid を扱うこともある(詳しくは、「Mzk8] を参照)。anabelioid の理論の大きなテーマの一つは、通常スキームに対して行なうような様々な幾何的操作を、(Et(X)のようにスキームから生じたものかどうかとは関係なく) anabelioid のみの世界に
おいていわば“native' に行なうことである。このテーマの最も基本的な例の一つは、有限次 エタール被覆の定義である。連結な anabelioid 間の有限次エタール被覆は、
B(H) → B(G)
(ただし、G は副有限群、H はその開部分群。なお「射」は圏の間の関手と逆向きに書く。)と同型な射として定義される。
(引用終り)

124:１３２人目の素数さん
21/07/06 23:41:10.99 TlVKjijJ.net
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月 論文
　講演のアブストラクト・レクチャーノート
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Meijidai%202002-03).pdf
Anabelioidの幾何学 2002年3月
Page 1
ここで検証する問題は:前述の ‘局所的な乗法的部分加群’ を、 ‘大域的な乗法的部分加群’ として F 全体に延長することはできないか?といぅことである
この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある? 結論からいぅと、 ‘正しい視点’ は次の内容からなっている:(i) 大域的な乗法的部分群スキ?ムを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等の ?ピ? Ec, Fc, Kc に対する乗法的部分群スキ?ムの構成を目指す?(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の Kc の base-point を parametrize するものと見る?つまり、?言でいぅと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である?動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)c の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、?pK が表している Kc の basepoint から、 LK に対応する (LK)c を眺めてみると、その (LK)c は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる?」といぅ?見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、実は、ある意味では?同義反復的」な状況を実現することができる
つづく

125:１３２人目の素数さん
21/07/06 23:41:35.13 TlVKjijJ.net
>>124
つづき
§2. anabelioid と core
Anabelioid ????望月新? ?京都大学数理解析研究所)2002年3月§1. 新技術導入の動機§2. anabelioid と core§3. 数論的な anabelioid の例§1. 新技術導入の動機F を数体とし、 E をその上の楕円曲線とする?素数 l ? 3 に対し、簡単のため、Spec(F) 上の、 l 等分点による群スキ?ム E[l] から定まるガロア表現GFdef= Gal(F /F) → GL2(Fl)が全射となることを仮定する?次に、 E が bad, multiplicative reduction を持つ?数体 F の)素点 pF を考える? F を pF で完備化して得られる体を FpF と書くとすると、 FpF の上では楕円曲線EFpFdef= E ?F FpFの ‘Tate curve’ としての表示 ‘Gm/qZ’ より定まる、 canonical な‘乗法的な’ 部分群スキ?ムμl ⊆ E[l]|FpFがある?ここで検証する問題は:前述の ‘局所的な乗法的部分加群’ を、 ‘大域的な乗法的部分加群’ として F 全体に延長することはできないか?といぅことである?そのよぅな延長を安直なアプロ?チで作ろぅとすると、直ちに本質的な障害にぶち当たる?例えば、 K def= F(E[l]) を l 等分点たちの、 F 上の最小定義体とし、 K まで上がって作業してみるとする?すると、 E[l]|K の部分群スキ?ムとして、 ‘μl’ を K 全体の上で定義されるものLK ⊆ E[l]|Kに伸ばすことができるが、その LK は、
つづく

126:１３２人目の素数さん
21/07/06 23:43:55.67 TlVKjijJ.net
>>125
つづき
K の殆んどの bad, multiplicative reduction の素点 pK においては、その素点における局所理論から生じる ‘乗法的な部分群スキ?ム’ と ?致しない?この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある? 結論からいぅと、
‘正しい視点’ は次の内容からなっている:
(i) 大域的な乗法的部分群スキ?ムを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等の ?ピ? Ec, Fc, Kc に対する乗法的部分群スキ?ムの構成を目指す?
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の Kc の base-point を parametrize するものと見る?つまり、?言でいぅと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である?動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)c の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、?pK が表している Kc の basepoint から、 LK に対応する (LK)c を眺めてみると、その (LK)c は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる?」といぅ?見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、
実は、ある意味では?同義反復的」な状況を実現することができる?§2. anabelioid と core以上の議論は哲学的な要素も含んでいるが、これを厳密な数学として処理するためには、新しい技術の導入が必要となる?この場合、中心となる新技術は、 ‘anabelioid’の理論である?‘anabelioid’ とは、§1 の議論を行なぅ際に用いなければならない幾何的な対象のことである?この幾何的対象は、スキ?ムと違い、 topos、即ち　圏　であるため、 an-abelioid 全体の ‘圏’ といぅものは、 2-category になってしまぅ?連結なときは、 anabe-lioid は [SGA1] に登場する ‘Galois category’ といぅ、今では40年以上の歴史を持つ馴染み深いものと同じである?つまり、連結な anabelioid は、∃副有限群 G に対してB(G)def= {G の連続な作用付きの有限集合たちがなす圏と同値な圏のことである?
(引用終り)
以上

127:１３２人目の素数さん
21/07/08 20:20:58.92 Q70nFO4E.net
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月 論文
　講演のアブストラクト・レクチャーノート
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」（2012年8月の公開講座）
(抜粋)
要約
有理数体Qのような「数体」と、複数のドーナツの表面を合体させたような形をしたコ
ンパクトな「位相曲面」は-一見して全く異質な数学的対象であり、初等的な可換環諭、つ
まり、「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付ける
ことは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクト
な位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺
めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性
が浮かび上がってくる。本稿では様々な側面におけるこの種の類似性に焦点を当てながら、
数体と位相曲面の基礎的な理論について解説する。
§4． 数 と位相曲面の「絡まり合いの現場」数体上の代数曲線
つづく

128:１３２人目の素数さん
21/07/08 20:21:23.67 Q70nFO4E.net
>>127
つづき
§4.2．副有限基本群への絶対ガロア群の忠実な外作用
同種の「単射性」に関する定理は、「穴が開いている」＝「コンパクトでない」双曲的
代数曲線の場合には、既に(Mtmlで証明されていて、[MtmlもIHMIも、一番最初にBelyi
氏によって発見された、射影直線P1から三点を抜いて得られる双曲的曲線の場合の単射
性に帰着させることによってより一般的な双曲的代数曲線の場合の単射性を証明している。
一方、上記の定理のようにコンパクトな双曲的代数曲線の場合にこの種の単射性を示すこ
との意義は、§3.2及び§3.3で解説したように、
コンパクトな種数9の位相曲面と数体の絶対ガロア群には、
「二次元的な群論的絡まり合い」という
深い構造的類似性があり、そのような類似性を持つ、一見全く異質な
数論的な対象と位相幾何学的な対象を関連付けていることにある。
つまり、上記の定理は、数諭的な方の「二次元的な群論的絡まり合い」が、その自然な外
作用によって位相幾何学的な方の「二次元的な群論的絡まり合い」に忠実に表現されてい
ることを言っているのである。別の言い方をすると、純粋に「可換環論」の視点（＝つま
り、もっと具体的な言葉でいうと、初等的な加減乗除の範晴）で考察すると、数体と双曲的
代数曲線はいずれも次元1の対象であり、しかもその環論的な構造（＝つまり、正に「加
減乗除」の構造）は全く異質であるが、ガロア群や副有限基本群の「二次元的な群論的絡
まり合い」を通して両者を考察することによって、（§3.2及び§3.3で解説したような）深
い構造的な類似性が浮かび上がり、また上記の定型の単射性によってその両者の繋がりを
極めて明示的な形で定式化することが可能になる。
(引用終り)

129:１３２人目の素数さん
21/07/10 19:06:23.96 ang8zfcy.net
>>772
どうも
スレ主です
レスありがとう
1．Robertとか、woitとか、間違った人のサイトを見ても、間違った情報しかないと思うよ
2．それよか、IUTを読むための用語集資料スレ2
　ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
　に情報を集めているので、そこらも見てちょうだい
3．あと、下記を見る方が良いと思うよ
　望月サイトのURLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
　URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
　望月論文
　　講演のアブストラクト・レクチャーノート
[1] 実複素多様体のセクション予想と測地線の幾何. PDF
[2] p進Teichmuller理論. PDF
[3] Anabelioidの幾何学. PDF
[4] Anabelioidの幾何学とTeichmuller理論. PDF
[5] 離散付値環のalmost etale extensions（学生用のノート）. PDF
[6] 数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」（2012年8月の公開講座）. PDF
　URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
　望月出張講演
[8] 楕円曲線のHodge-Arakelov理論における遠アーベル幾何、数論的微分とは何か？　（名古屋大学
　　　2001年11月）. PDF
[9] 数論的 log scheme の圏論的表示　（九州大学 2003年7月）. 田口さんのノート
[10] 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論　（北海道大学 2003年11月）. PDF
[11] 数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）.　　月　火　水　木　金　概要　
　　　レポート問題　談話会　アブストラクト
[12] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　（京都大学数理解析研究所 2012年12月） PDF
[13] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《拡大版》 （東京大学 2013年06月） PDF
[14] 数論幾何の風景 ― 数の加減乗除から対称性の幾何まで　（京都大学2013年11月） PDF

130:１３２人目の素数さん
21/07/10 19:07:02.36 ang8zfcy.net
>>129
誤爆すまん

131:１３２人目の素数さん
21/07/18 09:36:20.15 ycKpVVK0.net
prime-strip
多輻的アルゴリズム
URLﾘﾝｸ(nagasm.org)
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所)
2015 年 11 月
P19
§6 では v ∈ V(F) を有限素点ということにしていましたが, この対象 D?
v
(または F
?×
v
; F
?×μ
v
; Dv;
Fv) には “無限素点版” もあり, それらを集めることで得られる対象 {D?
v }v∈V(F )
, (または {F?×
v }v∈V(F )
;
{F?×μ
v }v∈V(F )
; {Dv}v∈V(F )
; {Fv}v∈V(F )) の同型物は, D? (または F?×; F?×μ; D; F) 素点縞 (D?-
(respectively, F
?×-; F
?×μ-; D-; F-) prime-strip ? cf. [10], Definition 4.1, (iii) (respectively, [11],
Definition 4.9, (vii); [11], Definition 4.9, (vii); [10], Definition 4.1, (i); [10], Definition 5.2, (i)) と呼ばれ
ます. (正確には, F をその適当な拡大体に取り替えたり, また, より重要なこととして, 添字の “v” の範囲を,
その拡大体のすべての素点とするのではなく, その適当な部分集合に制限する, といった修正を行う必要があ
るのですが　?　これについては §17 で改めて説明します.) 少なくとも有限素点では, “F 系” の対象は (付
加構造付き) フロベニオイドであり, “D 系” の対象は位相群 (と等価なデータ) です. また, “?” という記号
は, 宇宙際 Teichm¨uller 理論では, “単解的” を表す記号となっています4
つづく

132:１３２人目の素数さん
21/07/18 09:36:41.02 ycKpVVK0.net
>>131
つづき
7 多輻的アルゴリズム
宇宙際 Teichm¨uller 理論では, “多輻的アルゴリズム” という特別な性質を満たすアルゴリズムが重要な役
割を果たします. §8 で行う宇宙際 Teichm¨uller 理論の主定理の “ミニチュア版” の説明のために, この §7
では, その “多輻的アリゴリズム” という概念についての簡単な説明を行います. (詳しくは, 例えば, [11] の
Example 1.7 から Remark 1.9.2 までの部分を参照ください.)
まず最初に, 次のような設定を考察しましょう. 輻的データ (radial data ? cf. [11], Example 1.7, (i))
と呼ばれるある数学的対象が与えられているとします. 次に, その輻的データからアルゴリズム的に構成でき
る (下部的) 対象である コア的データ (coric data ? cf. [11], Example 1.7, (i)) が与えられているとし
ます. このような設定を 輻的環境 (radial environment ? cf. [11], Example 1.7, (ii)) と呼びます. 具体
的には, 例えば, 以下のような輻的環境の例を考えることができます:
(a) “輻的データ” として, 1 次元複素線型空間 C (の同型物) を, “コア的部分” として, 輻的データであ
る C (の同型物) から “その正則構造を忘れる” というアルゴリズムによって得られる下部 2 次元実線型空間
R
?2
(の同型物) を採用する.
(引用終り)
以上

133:１３２人目の素数さん
21/07/18 11:26:10.63 ycKpVVK0.net
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B72 (2018), 209?307
続・宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星 裕一郎
P227
§ 6. 行進
しかしながら, 以下の理由によって, 我々は, この “もっとも安直なアプローチ” を
採用することができません. このアプローチを採用すると, 直前の図が示すように, F
?
l =
{|1|, . . . , |l
?|} の各元に対して, 対応する J の元として, ♯J = l
? 通りの可能性を考慮しな
ければならなくなります. その結果, 全体として, J と F
?
l との関連として, ♯J♯J = (l
?)
l
?
通りの可能性を考慮しなければなりません. 一方, この可能性の個数　?　つまり, 不定
性　?　は, 我々の目標の観点からは多過ぎます. 特に, 楕円曲線の高さの評価の観点か
ら考えますと, この過大な不定性を許容してしまうと, 所望の不等式よりも “弱い不等式”
しか得ることができなくなってしまうのです.
上述の問題を解決するために, 行進 (procession ? cf. [7], Definition 4.10) とい
う概念を導入しましょう.
行進を考えた場合の方が, ただの抽象的な集合と見做した場合よりも, ラベルの
集合に関する不定性が小さくなる
という重要な事実を観察しました. 行進という概念を用いることの別の利点として,
零ラベルの隔離
という点も挙げられます. |T| をただの集合と見做す, つまり, |T| を, |T| の自己全単射全
体のなす群の作用という不定性のもとで扱う場合, 零ラベル 0 ∈ |T| とその他の元 ∈ T
?
を区別することは不可能です. 一方, 行進を考えた場合, (“S
±
1
” というデータによって)
0 ∈ |T| は “特別な元” ということになり, その他の元 ∈ T
? との区別が可能となります.
そして, 実際, 宇宙際 Teichm¨uller 理論において,
零ラベルは単数的/コア的なラベル, 非零ラベルは値群的/輻的なラベル
という観察のとおり, 零ラベルと非零ラベルは, まったく異なる役割を果たします. (§4,
(d), や [2], §21, の前半の議論を参照ください.) この観点から, “零ラベルの隔離可能性”
は重要です. (詳しくは [8], Remark 4.7.3, (iii), を参照ください.)

134:１３２人目の素数さん
21/07/18 12:35:54.18 ycKpVVK0.net
Corollary 3.12, の証明関連
不等式の導出
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B72 (2018), 209?307
続・宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星 裕一郎
P297
§ 25. Θ
×μ
LGP リンクと両立的な多輻的表示とその帰結
P301
この §25 の最後に, 上述の多輻的 Kummer 離脱を用いた q 標対象の次数の計算に
ついて, 簡単に説明しましょう. (詳しくは, [9], Corollary 3.12, の証明を参照ください.)
この §25 の冒頭の Θ
×μ
LGP リンクが定める同型 † 0
C
?
LGP
?→ ‡ 0
C
?
△ は,
† 0Θ 標対象を ‡ 0
q 標
対象に移します. (§24, (a), を参照ください.) したがって, §14, (e), (i), から, 所望の次数
deg(‡ 0
q 標対象) を,
† 0Θ 標対象の　? “† の側” の正則構造の観点からではなく　?
“‡ の側” の正則構造の観点からの対数体積を用いて計算することが可能です. 一方, 多輻
的 Kummer 離脱によって, 不定性 (Ind1), (Ind2), (Ind3) を認めれば, Θ×μ
LGP リンクが誘
導する同型 † 0F
?×μ
△
?→ ‡ 0F
?×μ
△ (§24, (b), を参照) と両立する同型 † 0RFrob
?→ ‡ 0RFrob
が得られます.
vol(‡ 0Θ) ∈ R ∪ {∞}
を, 不定性 (Ind1), (Ind2), (Ind3) の作用による ‡ 0Θ 標対象の軌道の和集合の (“‡ の側”
の正則構造による) 正則包 (holomorphic hull ? cf. [9], Remark 3.9.5) ([2], §12, の
後半の議論を参照) の行進正規化対数体積として定義しましょう. すると, 両立的同型
† 0RFrob
?→ ‡ 0RFrob の存在から,
† 0Θ 標対象の対数体積は, vol(‡ 0Θ) 以下とならざるを得
ません. したがって, 結論として, 不等式
vol(‡ 0Θ) ≧ deg(‡ 0q 標対象)
が得られます.

135:１３２人目の素数さん
21/07/18 15:26:20.19 ycKpVVK0.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
宇宙際タイヒミュラー理論(IUT理論)に関する2つのアニメーション
1,213 回視聴2020/04/11
基底状態のセシウムさん
カラー(khara,inc.)制作のIUTeich関係のCG動画楽しみ
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
・動画元URL
Animation 1 - URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
IUTeichに関するアニメーション（＝[IUTchIII], Theorem Aの内容に対応）
　"The Multiradial Representation of Inter-universal Teichmuller Theory"を公開。
石碑版：　「復元」　フェードアウト版　（avi wmv）　
Animation 2 - URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(animation).mp4
第二の、IUTeichに関するアニメーション（＝[IUTchIII], Theorem Bの内容に対応）
　"Computation of the log-volume of the q-pilot via the multiradial representation"
　を公開。

136:１３２人目の素数さん
21/07/18 23:36:38.51 ycKpVVK0.net
Legendre form
楕円曲線 “y^2 = x(x - 1)(x - λ)”
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Legendre form
In mathematics, the Legendre forms of elliptic integrals are a canonical set of three elliptic integrals to which all others may be reduced. Legendre chose the name elliptic integrals because[1] the second kind gives the arc length of an ellipse of unit semi-major axis and eccentricity {\displaystyle \scriptstyle {k}}\scriptstyle {k} (the ellipse being defined parametrically by {\displaystyle \scriptstyle {x={\sqrt {1-k^{2}}}\cos(t)}}\scriptstyle{x = \sqrt{1 - k^{2}} \cos(t)}, {\displaystyle \scriptstyle {y=\sin(t)}}\scriptstyle{y = \sin(t)}).
In modern times the Legendre forms have largely been supplanted by an alternative canonical set, the Carlson symmetric forms. A more detailed treatment of the Legendre forms is given in the main article on elliptic integrals.
The Legendre form of an elliptic curve is given by
y^{2}=x(x-1)(x-λ)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS
Shinichi Mochizuki April 2020
P41
Corollary 2.2. (Construction of Suitable Initial Θ-Data) Suppose that
X = P1Q is the projective line over Q, and that D ⊆ X is the divisor consisting of
the three points “0”, “1”, and “∞”. We shall regard X as the “λ-line” - i.e.,
we shall regard the standard coordinate on X = P1
Q as the “λ” in the Legendre
form “y2 = x(x-1)(x-λ)” of the Weierstrass equation defining an elliptic curve -
and hence as being equipped with a natural classifying morphism UX → (Mell)Q
[cf. the discussion preceding Proposition 1.8]. Let
つづく

137:１３２人目の素数さん
21/07/18 23:37:17.56 ycKpVVK0.net
>>136
つづき
続・宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2018) （Indexあり） URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
P94
Q は有理数体 Q の代数閉包　-　との間に, 自然な全単射
が存在します. 各元 λ ∈ Q \ {0, 1} に対して, 方程式 “y^2 = x(x - 1)(x - λ)” を考えるこ
とによって, Q(λ) 上の楕円曲線 (Eλ)Q(λ) が得られます. また, 剰余体 Q(λ) の拡大体 Fλ
を Fλdef= Q(λ, √-1,(Eλ)Q(λ)[3 ・ 5](Q)) と定義すると, 良く知られているとおり, Fλ 上の
楕円曲線 Eλ def = (Eλ)Q(λ) ×Q(λ) Fλ は, Fλ のすべての素点において高々分裂乗法的還元
を持ちます. 特に, 各元 λ ∈ Q \ {0, 1} において,
・ 楕円曲線 Eλ の q パラメータが定める Fλ 上の数論的因子 qλ の次数 deg(qλ),
・ 数論的因子 qλ が定める Fλ 上の “被約” な数論的因子 fλ の次数 deg(fλ),
・ 数体 Fλ の絶対共役差積が定める Fλ 上の数論的因子 dλ の次数 deg(dλ),
・ 剰余体 Q(λ) の有理数体上の拡大次数 dλ def = [Q(λ) : Q]
という 4 つの値を考えることができます. これら 4 つの値は, λ ∈ Q\ {0, 1} をその GQ 共
役に取り替えても変わらないため, 特に, これら 4 つの値を “UP の閉点のなす集合の上の
関数” と考えることができます. この設定のもと, Belyi 写像を用いた議論を適用すること
によって, この §26 の冒頭で述べた “Diophantus 幾何学的不等式” を証明するためには,
以下の主張を証明すれば充分であることがわかります ([5], Theorem 2.1; [10], Corollary
2.2, (i); [10], Corollary 2.3, の証明を参照):
(引用終り)
以上

138:１３２人目の素数さん
21/08/17 16:46:53.77 nT2E/2XT.net
メモ
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
【数学】ABC予想ニュース【最新情報】
2018年01月24日
宇宙際タイヒミュラー理論のまとめWiki
(2018.1.24更新)
・F. Tan and K. Chenによるワークショップ資料(2015.7に北京で開催された「Workshop on Inter-Universal Teichmuller Theory」より) (英語)
URLﾘﾝｸ(wiutt.csp.escience.cn)
Note on the theory of Absolute Anabelian Geometry of Mochizuki URLﾘﾝｸ(wiutt.csp.escience.cn)
・Minhyong Kimによる解説ペーパー(英語)
URLﾘﾝｸ(people.maths.ox.ac.uk)
・星裕一郎氏によるサーベイ(2015.12開催の研究集会内「宇宙際 Teichmuller 理論入門」での講義資料)(日本語)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)

139:１３２人目の素数さん
21/08/17 16:51:56.02 nT2E/2XT.net
本体リンク切れで、キャッシュ貼る
URLﾘﾝｸ(webcache.googleusercontent.com)
nLab
anabelioid
Contents
1. Introduction
2. Details
3. Associated notions
4. References
Introduction 0.1
An anabelioid is a category intended to play the role of a ‘generalised geometric object’ in algebraic/arithmetic geometry. Its definition is simple: a finite product of Galois categories, or in other words of classifying topoi of profinite groups. The significance comes from the fact that in anabelian geometry, an algebraic variety is essentially determined by its algebraic fundamental group, which arises from a Galois category associated to the algebraic variety. The idea, due to Shinichi Mochizuki, is that one can develop the geometry of these Galois categories themselves, and products of Galois categories in general; thus, develop a form of categorical algebraic geometry.
To quote from Remark 1.1.4.1 of Mochizuki2004:
The introduction of anabelioids allows us to work with both “algebro-geometric anabelioids” (i.e., anabelioids arising from (anabelian) varieties) and “abstract anabelioids” (i.e., those which do not necessarily arise from an (anabelian) variety) as geometric objects on an equal footing.
The reason that it is important to deal with “geometric objects” as opposed to groups, is that:
We wish to study what happens as one varies the basepoint of one of these geometric objects.
Details 0.2
The following definitions follow Mochizuki2004.
Definition 0.3. A connected anabelioid is exactly a Galois category.
Definition 0.4. An anabelioid is a category equivalent to a finite product of connected anabelioids, that is, to a finite product of Galois categories.
つづく

140:１３２人目の素数さん
21/08/17 16:52:23.57 nT2E/2XT.net
>>139
つづき
Remark 0.5. An anabelioid is also known as a multi-Galois category.
Associated notions 0.6
finite etale morphism of anabelioids
References 0.7
The geometry of anabelioids, Shinichi Mochizuki, 2004, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 40, No. 3, 819-881. paper Zentralblatt review
Created on April 17, 2020 at 18:29:54. See the history of this page for a list of all contributions to it.
(引用終り)
以上

141:１３２人目の素数さん
21/08/17 17:53:15.48 nT2E/2XT.net
メモ
「Anabelioid の幾何学」2002年3月
ここに、”(i) 大域的な乗法的部分群スキームを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等の コピー E◎, F◎, K◎ に対する乗法的部分群スキームの構成を目指す。
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の K◎ の base-point を parametrize するものと見る。”
これが、”宇宙際”の起源みたいだね
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(Meijidai%202002-03).pdf
Anabelioid の幾何学
望月新一 (京都大学数理解析研究所)2002年3月
§1. 新技術導入の動機§2. anabelioid と core§3. 数論的な anabelioid の例§1. 新技術導入の動機F を数体とし、 E をその上の楕円曲線とする素数 l ≧ 3 に対し、簡単のため、Spec(F) 上の、 l 等分点による群スキーム E[l] から定まるガロア表現
K の殆んどの bad, multiplicative reduction の素点 pK においては、その素点における局所理論から生じる ‘乗法的な部分群スキーム’ と 一致しない
この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある。 結論からいうと、 ‘正しい視点’ は次の内容からなっている:
(i) 大域的な乗法的部分群スキームを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等の コピー E◎, F◎, K◎ に対する乗法的部分群スキームの構成を目指す。
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の K◎ の base-point を parametrize するものと見る。
つづく

142:１３２人目の素数さん
21/08/17 17:53:58.62 nT2E/2XT.net
>>141
つづき
まり、一言でいうと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である。動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)◎ の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、
「pK が表している K◎ の basepoint から、 LK に対応する (LK)◎ を眺めてみると、その (LK)◎ は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる。」
という一見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、実は、ある意味では「同義反復的」な状況を実現することができる。
§2. anabelioid と core
以上の議論は哲学的な要素も含んでいるが、これを厳密な数学として処理するためには、新しい技術の導入が必要となる。この場合、中心となる新技術は、 ‘anabelioid’の理論である。
‘anabelioid’ とは、§1 の議論を行なう際に用いなければならない幾何的な対象のことである。この幾何的対象は、スキームと違い、 topos、即ち　圏　であるため、 an-abelioid 全体の ‘圏’ というものは、 2-category になってしまう。連結なときは、 anabe-lioid は [SGA1] に登場する ‘Galois category’ という、今では40年以上の歴史を持つ馴染み深いものと同じである。つまり、連結な anabelioid は、∃副有限群 G に対して
B(G)def= {G の連続な作用付きの有限集合たちがなす圏}
と同値な圏のことである。
anabelioid 的な視点が [SGA1] 等に代表される古典的なものと最も本質的に異なるところは、 (有限次)エ夕ール被覆の扱いである。古典的な理論では、個別のエ夕ール被覆や、複数のエ夕ール被覆からなる図式などは、 一つの決まった Galois category に所属するものとして扱われる。この Galois category は、当然、扱っているすべてのエ夕ール被覆の下にあるスキーム（＝幾何的対象)に付随するものである。一方、 an-abelioid の理論では、 anabelioid そのものを、幾何的対象とみなすため、（本来、互いに全く関係のない、連結な anabelioid X, Y, Z に対して）
(引用終り)
以上

143:１３２人目の素数さん
21/08/18 13:29:20.21 RMn6aMVc.net
静かになったな
良かった
論文を学部4年が読めるようにとか
そんな話は、あっちのスレへ行けってこと
ヒルベルトの話もなんだかね
取り違えているよね
ヒルベルト以前の数学論文はデタラメで
ヒルベルトが、「数学論文は証明をちゃんと書こう」運動をしたみたくいう
「数学論文は証明をちゃんと（厳密に）書こう」運動は、ワイエルシュトラスが有名だけど
基本は、「数学論文は証明をちゃんと書こう」という精神は、（ガウスとか近代以降の）いつの時代の数学者の思考の根底にあったろう
望月先生が、その常道を外れたマッドサイエンティストみたく見えるのかね？
ショルツェ氏のzbmathレビューの方が、常軌を逸しているように見えるのは、私だけかね（「cor 3.12まではトリビアで証明は数行、cor 3.12など証明できるはずのない、トンデモ論文だ」とさ）

144:１３２人目の素数さん
21/08/18 13:32:06.50 RMn6aMVc.net
>>143
誤爆すまん
再投稿下記（＾＾；
Inter universal geometryとABC予想(応援スレ)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:117番)

145:１３２人目の素数さん
21/08/21 07:39:31.66 kvCTkQ4a.net
「集合論とはすべての集合のなす宇宙 V の構造を調べる理論である」
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
集合論ベーシック
(2009 年度版)
向井 国昭
1 はじめに
集合論とはなにか? 自然数の全体 N を調べる理論を自然数論というのと同じよう
に，集合論とはすべての集合のなす宇宙 V の構造を調べる理論である．この宇宙 V
は代数や微積分などあらゆる数学の展開に十分なほど広大であることが知られてい
る．本ノートは現代数学の標準言語でもある公理的集合論ZFC を紹介する．
ZFC 公理系は第 2 節で説明するが，ZFC をはじめて読む人のために役立つことを願って，
ZFC 公理系のこころを本節にまとめてみた．お役にたてばさいわいである．
高校数学でもおなじみの関係・関数の概念は，数学全般においても基本的かつ必要
不可欠である．数学だけではない．たとえば，数理論理学のモデル論は，述語記号は
関係を表し，関数記号は関数を表すとして構成されるので，関係・関数の概念は必要
不可欠である．本ノートの目標は V の構造の基本を述べることであるが，関係・関
数概念をきちんと定義するために必要な範囲の構造に限定される．したがって V 自
身の構造の深い性質についてはふれない．
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
モデル論ベーシック
(2006 年度版)
向井国昭
1 はじめに
一階述語論理式, 数学的構造, 真偽の解釈規則のみっつを説明する．前半は 「小さ
な世界」を例にとって説明し, 後半は形式的にモデルの定義を説明する. 例が必要が
なければ, 前半はスキップしてかまわない.
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
向井 国昭 ムカイ クニアキ (Kuniaki Mukai)更新日: 2011/08/04
URLﾘﾝｸ(k-ris.keio.ac.jp)
慶應義塾研究者情報データベース
向井　国昭 (ムカイ　クニアキ)2019/02/21

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