全ての命題が真かもしれないという事実

全ての命題が真かもしれないという事実 at MATH

[1からを表示]
50:１３２人目の素数さん
20/08/01 22:00:10.43 ALxs7FIt.net
>>48
プレスバーガー算術の範囲だけで思考してる人にとっては価値があるかもしれないけど
普通の人は素数とか使うんだから他人事じゃないか
"俺たちがやってる数学"の無矛盾性を証明してくれよ

51:１３２人目の素数さん
20/08/01 22:16:13.20 YcqNL+ko.net
>>50
＞ "俺たちがやってる数学"の無矛盾性を証明してくれよ
それができたら理想的だが、未だに誰も成功していない。
そして、"俺たちがやってる数学" がたとえ "矛盾" していたとしても、
プレスバーガー算術は依然として無矛盾である。
たとえば、ペアノの公理系を「全体」と見なしたときに、
プレスバーガー算術をその「一部分」と考えることは可能である。
では、ペアノの公理系がもし矛盾していたら、プレスバーガー算術も矛盾していることになるのか？
実は「ならない」。プレスバーガー算術は依然として無矛盾である。
小さな公理系の無矛盾性にも価値があるのは、こういう事情も影響している。

52:１３２人目の素数さん
20/08/01 22:29:28.20 ALxs7FIt.net
>>49
俺は数学を「自由に決めた公理系から定理を導出するゲーム」とは思っていないから不必要に公理を追加することはしない
ある公理系の無矛盾性が証明でき、その公理系を変更する必要が生じなければそれで目的達成としていい
公理の追加が必要になる可能性は否定できないが、
（事例を挙げれば、ZFCで十分だと思われていたところに圏論が誕生してZFCでは構成できない「集合のクラス」が必要になったなど）
それは頻繁に起こるものではないし意図的に引き起こすものでもない

53:１３２人目の素数さん
20/08/01 23:01:55.09 XEKQOaZw.net
とりあえず不完全性定理が分かってないようなので鹿島亮の『数理論理学』を読もうね

54:１３２人目の素数さん
20/08/01 23:07:52.91 AVM1LXVF.net
>>52などとストイックなことを言っている間にも
それが飯の種である人々によって新たな公理系が生み出されていく…

55:１３２人目の素数さん
20/08/01 23:44:07.31 zxZv+JMY.net
>>52
>圏論が誕生してZFCでは構成できない「集合のクラス」が必要になった
これってホントにそうなんかね

56:１３２人目の素数さん
20/08/01 23:53:35.46 XEKQOaZw.net
>>55
ヒント:ノイマン(1903-1957)

57:１３２人目の素数さん
20/08/02 22:14:59 ue+Y1tcB.net
>>51
> では、ペアノの公理系がもし矛盾していたら、プレスバーガー算術も矛盾していることになるのか？
> 実は「ならない」。プレスバーガー算術は依然として無矛盾である。

ペアノの公理が矛盾していた場合、
プレスバーガー算術の範囲に制限された証明法では矛盾は出てこなくても、
ペアノの公理の証明法でプレスバーガー算術に含まれる命題が真かつ偽だと証明することができる。

プレスバーガー算術の範囲で思考してるAさんがペアノの公理の範囲で思考してるBさんに対して「命題Pが成り立つ」と主張しても、
Bさんから見たら￢Pが真である可能性が否定できないから、Bさんにはプレスバーガー算術の無矛盾性はやはり他人事だ。

58:１３２人目の素数さん
20/08/02 22:30:33 RQ6IwX3u.net
>>57
ナンセンス。

公理系とは、公理を扱うプレイヤーが扱える操作をリストにまとめたものである。
公理が多いほど、プレイヤーが扱える操作は増えていく。
ペアノの公理系とプレスバーガー算術だったら、次のような関係性になっている。

・プレスバーガー算術で扱える操作は、ペアノの公理系で扱える操作の一部分であり、
　ペアノの公理系で扱える操作のうち、プレスバーガー算術では扱えない操作が存在する。

また、"矛盾" に関しては次のようになっている。

・もしペアノの公理系が矛盾しているなら、それは
　「ペアノの公理系で扱える操作を使って矛盾を引き出すことができる」
　という意味である。

・もしプレスバーガー算術が矛盾しているなら、それは
　「プレスバーガー算術の公理系で扱える操作を使って矛盾を引き出すことができる」
　という意味である。

59:１３２人目の素数さん
20/08/02 22:31:03 RQ6IwX3u.net
すると、もしペアノの公理系が矛盾しているなら、
ペアノの公理系で扱える操作を使って矛盾を引き出すことができるが、それは

「プレスバーガー算術の公理系で扱える操作を使って矛盾を引き出すことができる」

という意味にならない。なぜなら、プレスバーガー算術の公理系で扱える操作は、
ペアノの公理系で扱える操作の一部分でしかないからだ。
ペアノの公理系の矛盾を引き出すのに使っている操作が、もし

「ペアノの公理系独自の操作であって、プレスバーガー算術の中に存在しない操作である」

ならば、その操作はプレスバーガー算術の中では使えないのだから、

「プレスバーガー算術の公理系で扱える操作を使って矛盾を引き出すことができる」

とは結論できない。すなわち、プレスバーガー算術が矛盾しているとは結論できない。

60:１３２人目の素数さん
20/08/02 22:31:29 RQ6IwX3u.net
また、このことをプレスバーガー算術から見れば、

「ペアノの公理系で扱える操作のうち、プレスバーガー算術では扱えない操作こそが矛盾の原因であり、
　つまりその操作がクソであるにすぎない」

ということになる。このように考えると、ペアノの公理系が矛盾しているのは、
そのクソみたいな操作を採用したペアノの公理系の責任なのであって、
その操作を採用していないプレスバーガー算術までもが「矛盾している」などとは結論できないことは明白である。

61:１３２人目の素数さん
20/08/02 22:32:23 RQ6IwX3u.net
公理系は「公理を扱うプレイヤーが扱える操作をリストにまとめたものである」と書いたが、
これは格闘ゲームのキャラクターで例えると分かりやすい。

・ここに、格闘ゲームの2人のキャラクターA,Bがいるとする。

・ Aが扱える技はBも完全に扱うことができるとする。

・ Bが扱える技のうち、Aが扱えない技Xが存在するとする。

・ただし、この技Xにはバグがあって、この技を使うとゲームが100％フリーズする。

この場合、

「 Bを使ったプレイヤーはゲームをフリーズさせることが可能で、具体的には技Xを使えばよい」

と言える。しかし、

「 Aを使ったプレイヤーはゲームをフリーズさせることが可能」

とは言えない。なぜなら、Aは技Xを使えないからだ。

62:１３２人目の素数さん
20/08/02 22:48:43 RQ6IwX3u.net
再び>>57に戻ると、

＞プレスバーガー算術の範囲で思考してるAさんが
＞ペアノの公理の範囲で思考してるBさんに対して「命題Pが成り立つ」と主張しても、
＞Bさんから見たら￢Pが真である可能性が否定できないから、
＞Bさんにはプレスバーガー算術の無矛盾性はやはり他人事だ。

ペアノの公理系が矛盾していた場合、プレスバーガー算術で記述された命題を、
ペアノの公理系の証明法で「真かつ偽」だと証明するには、
プレスバーガー算術には存在せずペアノの公理系に存在する操作を用いる必要があり、
矛盾の原因はその操作にある。つまり、そのクソみたいな操作を使ったことが矛盾の原因なのであり、
その操作を使わなければ、たとえペアノの公理系であっても問題は起きない。

この意味において、Bさんから見たときにプレスバーガー算術の無矛盾性が「他人事」なんてことはない。
また、ペアノの公理系のうちどの公理が「クソ」なのかが、
プレスバーガー算術の公理との比較によって明らかになる。
この意味においても、やはりBさんから見たときに「他人事」なんてことはない。

63:１３２人目の素数さん
20/08/02 22:50:24 RQ6IwX3u.net
格闘ゲームの例で言えば、>>57は

・ Aを使ったプレイヤーが、Bを使ったプレイヤーに対して「ゲームはフリーズしない」と主張しても、
　 Bを使ったプレイヤーから見たらフリーズの可能性が否定できない(技Xを使えばフリーズする)から、
　このプレイヤーにとって「ゲームがフリーズしない」という主張は他人事だ

と言っていることになるが、明らかにそんなことはなく、このプレイヤーにとっても、

「そうか。Aと同じ技しか使わない限りにおいては、自分のキャラでもフリーズしないのか」

ということが分かるわけで、これのどこが他人事なんだと。

64:１３２人目の素数さん
20/08/02 23:50:42.52 ue+Y1tcB.net
>>58-61までの内容は俺が >>57に三行で書いた「ペアノの公理が矛盾していた場合、.
..が真かつ偽だと証明することができる。」という部分に反するものではなく、ただの言いかえのような感じがする
結論に当たる >>62, 63だが
ペアノの公理が可能とする証明法のうちプレスバーガー算術で不可能なものを「クソみたいな操作」と表現しているが
それはプレスバーガー算術の範囲で思考してるAさんの理屈であって、普通の人はBさんのように因数分解とか素数とかを
使って数学をしているし「素数の概念を使う証明はクソだ！」などと思ったりはしない
普通の人は受け入れ可能な命題だけを公理にしているから、プレスバーガー算術が無矛盾だと言われても
「（ペアノの公理を"正しいと思っているのに使用を禁止して"）プレスバーガー算術に乗り換えよう」とはならない
自分はプレスバーガー算術の範囲だけで証明を書いてますっていうプロの数学者が何人いる？
そして >>50に戻る

65:１３２人目の素数さん
20/08/03 01:35:15.82 CGyKu5bI.net
>>64
＞ペアノの公理が可能とする証明法のうちプレスバーガー算術で不可能なものを「クソみたいな操作」と表現しているが
＞それはプレスバーガー算術の範囲で思考してるAさんの理屈であって、普通の人はBさんのように因数分解とか素数とかを
＞使って数学をしているし「素数の概念を使う証明はクソだ！」などと思ったりはしない
藁人形論法。論理を取り違えている。
ペアノの公理系のうちプレスバーガー算術で扱えない公理を
軒並み「クソである」と言っているのではない。
ペアノの公理系が　矛　盾　し　て　い　る　という前提のもとでは、
ペアノの公理系のうちプレスバーガー算術で扱えない公理の中に矛盾を引き起こすものが
紛れ込んでいるのだから、その公理のことを「クソである」と表現しているのである。
実際、矛盾を引き起こす公理はクソとしか言いようがない。
たとえば、もし素数の概念が矛盾を引き起こすのなら、その前提のもとでは、
実際に「素数の概念を使う証明はクソだ！」ということになる。
繰り返すが、これは「矛盾を引き起こすのなら」という前提のもとでの話である。

66:１３２人目の素数さん
20/08/03 01:41:50.88 CGyKu5bI.net
>>64
＞普通の人は受け入れ可能な命題だけを公理にしているから、プレスバーガー算術が無矛盾だと言われても
＞「（ペアノの公理を"正しいと思っているのに使用を禁止して"）プレスバーガー算術に乗り換えよう」とはならない
＞自分はプレスバーガー算術の範囲だけで証明を書いてますっていうプロの数学者が何人いる？
これも同じく藁人形論法。論理を取り違えている。
ペアノの公理系のうち、プレスバーガー算術で扱えない公理の中で矛盾を引き起こすものを
「クソだ」と言っているにすぎないのであって、これはそもそもペアノの公理系が
矛　盾　し　て　い　る　という前提のもとでの話である。出発点となる>51でも、
＞では、ペアノの公理系がもし矛盾していたら、プレスバーガー算術も矛盾していることになるのか？
＞実は「ならない」。プレスバーガー算術は依然として無矛盾である。
と明確に述べており、「もし矛盾しているなら」という前提のもとでの話しかしていない。
あんたはこのレスに対して>57を書いているのだから、あんたもまた「矛盾しているなら」
という前提でレスを書いていることになるし、実際にそういう前提で>57を書いていることが読み取れる。
これに対して、>58-63で俺が書いたこともまた、「矛盾しているなら」という前提での返答である。
それなのに、なぜか>64では、その前提が無いことになっており、
「ペアノの公理を正しいと思っているのに～」などという文言が登場する。
話のすり替え。詭弁。問題外。

67:１３２人目の素数さん
20/08/03 01:47:30.36 CGyKu5bI.net
話を戻すと、>51で俺は
＞では、ペアノの公理系がもし矛盾していたら、プレスバーガー算術も矛盾していることになるのか？
＞実は「ならない」。プレスバーガー算術は依然として無矛盾である。
と書いており、>57であんたは
＞Bさんから見たら￢Pが真である可能性が否定できないから、
＞Bさんにはプレスバーガー算術の無矛盾性はやはり他人事だ。
と書いている。これに対する反論は >>58-63であり、
「ペアノの公理系が矛盾しているという前提のもとでも、
　プレスバーガー算術の無矛盾性はBさんにとって他人事ではない」
というのが結論である。特に、>>63に書かれていることは非常に分かりやすいはずである。
あんたは >>64でこれに対して反論しておらず、いつのまにか
「ペアノの公理系が矛盾している」という前提を無かったことにして、
「ペアノの公理を正しいと思っているのに～」などという文言を登場させて、
今までの流れを完全に無視した的外れな見解を述べている。
話にならない。

68:１３２人目の素数さん
20/08/03 03:18:13.77 Bkb4DfVJ.net
>>65
なあ、お前にとって数学ってのは今まで疑いなく正しいと信じてきた証明に対して後から
「この証明はクソだ！」って手のひら返すような学問なのか？
それとも最初から「証明はできたっぽいですけどもしかしたらクソかもしれないです」
と自信なさげに主張するような学問なのか？
実在する数学者は自分の証明が"後日クソだったことが分かる"可能性なんて考えてないと思うが

69:１３２人目の素数さん
20/08/03 03:47:49.87 +3pQxTto.net
chromeがunixでもwindowsでも動くように、ZFCが矛盾してても現実的に問題は起きないっしょ

70:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:00:51.81 Bkb4DfVJ.net
>>67
あんたが主張できてるのは「ペアノの公理に矛盾が見つかった時にペアノの公理とプレスバーガー算術の
差分を考えることでプレスバーガー算術の無矛盾性が矛盾の原因の特定に役立つ」ということだけど
そういう"もしも"の有用性はあるかもしれないけど現実にはペアノの公理に矛盾があるという前提はないし
その有用性が発揮される未来があるのか不明だよね
人類の歴史が今後矛盾を発見せずに終われば「結局役に立つことはありませんでした」ってなる
仮想的な話じゃなくて、「数学の無矛盾性が証明できないがゆえに数学の証明には信憑性がない
（Pを証明しても￢Pが真である可能性を否定できない）」という現実の問題に対して
プレスバーガー算術の無矛盾性が何の役に立つのさ

71:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:02:11.72 CGyKu5bI.net
>>68
バカの極み。話がどんどんズレてきている。
一応レスしてやるが、あんたの頭の悪さにはいい加減に呆れてくる。
＞なあ、お前にとって数学ってのは今まで疑いなく正しいと信じてきた証明に対して後から
＞「この証明はクソだ！」って手のひら返すような学問なのか？
「前提」が理解できないバカタレ。
たとえば、もし素数の概念が矛盾を引き起こすのなら、その前提のもとでは、
実際に「素数の概念を使う証明はクソだ！」ということになる。
なぜなら、矛盾が引き起こされることが分かりきっているからだ。
矛盾が引き起こされることが分かっている論法に対して、
「この論法はクソだ」と表現することに、いったい何の問題があるというのか？
いや、何の問題も無い。なぜなら、矛盾が引き起こされることが分かりきっているからだ。
もちろんそれは、「矛盾を引き起こすのなら」という前提のもとでの話である。
このような議論を「手のひら返し」などと表現するバカタレはお前しかいない。
お前は「前提」が理解できていない。あと、そもそも話がズレてきている。頭が悪すぎて話にならない。

72:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:03:43.93 CGyKu5bI.net
>>68
＞実在する数学者は自分の証明が"後日クソだったことが分かる"可能性なんて考えてないと思うが
そういう数学者を前提にするなら、そういう数学者はそもそも
「ペアノの公理系は正しい」と信じて疑わず、
ペアノの公理系が矛盾している可能性について全く考えないことになる。
特に、>>50 に書かれているような
＞"俺たちがやってる数学"の無矛盾性を証明してくれよ
といった要求は全く考えないことになる。
その一方で、あんたは >>50でそのような要求をしている。
つまり、少なくともあんたは「そういう数学者ではない」ということになる。
それにも関わらず、都合が悪いときには「そういう数学者」を引き合いに出している。
これはダブルスタンダードである。話にならない。もうこの板から消えてくれないかな。

73:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:04:52.36 Bkb4DfVJ.net
>>69
現実を扱うのは科学だからな
数学が「我々の体系には矛盾があるので1=2が成り立ちます」って主張しても
科学は「1個のリンゴと2個のリンゴは違うので1=2は棄却します」って言えばいい
でも数学者はどうか？
彼らは正しさを"観測で確かめる"ことができない
1=2がもしかしたら真かもしれないという可能性から逃げられないのだ

74:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:06:20.81 Bkb4DfVJ.net
ちょｗｗｗ一回寝るわｗｗｗｗ
こんな時間まで俺の相手ご苦労さん

75:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:07:46.40 CGyKu5bI.net
>>70
＞そういう"もしも"の有用性はあるかもしれないけど
こちらは最初からそういう "もしも" の話しかしてないのに、
あんたがその話に "もしもではない観点" から
ナンセンスなイチャモンをつけてきたのである。
>>64にしても >>68にしても、あんたは「前提」のある議論が苦手らしい。
こちらが前提を明確に書いても、あんたはその前提を無意識のうちに無視してしまい、
前提がないシラフの状態での的外れな反論を寄越してくる。
これは、あんたの思考のクセだろう。要するにバカなんだよ。
いい加減にこの板から消えてくれないかな。

76:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:26:25.05 CGyKu5bI.net
>>68
＞仮想的な話じゃなくて、「数学の無矛盾性が証明できないがゆえに数学の証明には信憑性がない
＞（Pを証明しても￢Pが真である可能性を否定できない）」という現実の問題に対して
＞プレスバーガー算術の無矛盾性が何の役に立つのさ
一度返答が終わった話を蒸し返すバカタレ。少なくともプレスバーガー算術は無矛盾なので、
プレスバーガー算術を扱う限りにおいては、その証明には信憑性がある。
しかも、プレスバーガー算術は決定可能ですらある(>>46)。これはもう文句のつけようがない。
つまり、あんたが言うところの
＞「数学の無矛盾性が証明できないがゆえに数学の証明には信憑性がない
＞（Pを証明しても￢Pが真である可能性を否定できない）」
という主張は、少なくともプレスバーガー算術の範囲内においては的外れで、
その無矛盾性が実際に役に立っており、具体的には「証明に信憑性がある」と主張できる。
このことは、他の数学が矛盾しているか否かとは無関係である。
たとえば、ペアノの公理系が矛盾しているとしても、やはりプレスバーガー算術は無矛盾のままであり、
プレスバーガー算術の範囲内での証明には「証明に信憑性がある」と主張できる。

77:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:28:34.76 hhceZbey.net
>>73
ZFCで1=2が証明されたら数学者はZFCを捨てて1=2が証明されないと思われる体系を考え出すだけだろ
だいたい自然科学も100回観察して100回1個のリンゴと2個のリンゴは違うことを観測できたら101回目も違うことを観測できるを信じてる時点で数学と変わらん

78:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:28:55.20 CGyKu5bI.net
これとは別に、無矛盾であることが分かってない数学にまで
範囲を広げる場合には、あんたが危惧している
＞「数学の無矛盾性が証明できないがゆえに数学の証明には信憑性がない
＞（Pを証明しても￢Pが真である可能性を否定できない）」
という問題が実際に生じる。そして、そこで初めて >>50の
＞"俺たちがやってる数学"の無矛盾性を証明してくれよ
が登場する。しかし、これに関しては >>51で既に返答済み。具体的には、
「それができたら理想的だが、未だに誰も成功していない」
と >>51で既に書いている。そして、俺からはこれ以上のことは一言も述べておらず、
その後はあんたが延々とナンセンスなイチャモンをつけてきているので、
延々と返答を続けているだけである。
つまり、あんたが書いていることは既に返答が終わった話ばかりである。
今さらそれを蒸し返すことに意味はない。

79:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:35:36.58 CGyKu5bI.net
>>73
＞科学は「1個のリンゴと2個のリンゴは違うので1=2は棄却します」って言えばいい
＞でも数学者はどうか？
＞彼らは正しさを"観測で確かめる"ことができない
＞1=2がもしかしたら真かもしれないという可能性から逃げられないのだ
科学と数学の違いについては >>32が既に返答しており、
この>32には反論が寄越されていない(よほど都合が悪いのだろうか)。
＞32１３２人目の素数さん2020/08/01(土) 03:34:16.61ID:NAmQ4WNu
＞>>29
＞それは科学も一緒やん
＞再現性がありますと言われてもそれを信じていいか分からない
＞「確かめた」のが本当かどうか「証明」できないし
また、>>77にも同じ趣旨の返答がある。
後はあんたが>32と>77に反論すればいいだけ。

80:１３２人目の素数さん
20/08/03 04:36:57.94 Bkb4DfVJ.net
化けの皮が剥がれてきたな
お前荒らしだろ
昔見たことあるわ

81:１３２人目の素数さん
20/08/03 11:45:02.11 igmK0/tS.net
>>79
> ＞科学は「1個のリンゴと2個のリンゴは違うので1=2は棄却します」って言えばいい
で、その1個とか2個とかはなんなのさ。科学者に聞けば自然数の演算を含む理論体系が無矛盾で定義できるの？

82:１３２人目の素数さん
20/08/03 12:30:27.51 Bkb4DfVJ.net
>>81
個数の概念くらい小学校で習得しとけよ
科学にとって無矛盾性は重要じゃない
Pと¬Pが両方証明できなら本当に正しいのはどちらか観測で結論を出せばいいし
違いを観測することが不可能なら真偽値はどっちでもいい

83:１３２人目の素数さん
20/08/03 12:45:27.92 Bkb4DfVJ.net
>>77
> ZFCで1=2が証明されたら数学者はZFCを捨てて1=2が証明されないと思われる体系を考え出すだけだろ
何で証明したことを信じないの？
「数学の証明は信用に値しません」「数学は信じたいものを真にして信じたくないものを偽にする
活動です。証明は関係ありません。」って認めるの？
そんなことしたら数学者は誰からも相手にされなくなるよ。

84:１３２人目の素数さん
20/08/03 12:48:23.66 Bkb4DfVJ.net
>>77
> だいたい自然科学も...(中略)...数学と変わらん
数学をやってる人って自然科学にはない"普遍性"みたいなのを誇りに思ってるものだけど、捨てるの？
「数学は特別じゃないです。古典力学が間違っていたのと同じように数学も間違ってるかもしれないです」って言うの？

85:１３２人目の素数さん
20/08/03 12:53:35 Bkb4DfVJ.net
数学の危機が解決してないことが分かってきたでしょう

86:１３２人目の素数さん
20/08/03 16:42:30 hhceZbey.net
>>83
全ての信じたいものを信じるのではなく、ごく少数の信じたいものを強く信じるだけ
その意味でZFCはそこそこ信じたくなるが、自然数の性質の方がより信じたくなるというだけ
「誰からも相手にされない」は範囲がデカ過ぎるから「私は相手にしない」と言え
>>84
思ってない
言う

ところで「自然科学も観測のみによって確かめられる訳ではなく、信じなくてはならない部分がある」ということは認める？

87:１３２人目の素数さん
20/08/03 18:53:02 1e7jJDyE.net
よく読んでませんが、不完全性定理自身には矛盾がなくて正しい論法だというのは>>1さんは認めているのでしょうか？

88:１３２人目の素数さん
20/08/03 22:07:28 Bkb4DfVJ.net
>>87
定理のことを論法だと言ってる時点でなんかおかしいんだが言いたいことは分かる
ゲーデルの不完全性定理に矛盾があるかどうかはどっちでもいい

数学が無矛盾の場合、ゲーデルの不完全性定理によって無矛盾性は不可知
数学が矛盾してる場合、数学は無矛盾じゃない
よって、いずれの場合も”数学は矛盾しているかもしれない”と思いながら数学をするしかない

89:１３２人目の素数さん
20/08/03 22:24:04 uSJfiTaq.net
>>88
良くないと思いますけどねー
ゲーデルの不完全性定理が正しいと認めるんですよね？
なら1+1=2も正しいじゃないですか

ゲーデルの不完全性定理を数学を使って正しさが証明されたように、1+1=2も数学を使って正しさが証明されてます

90:１３２人目の素数さん
20/08/03 22:24:38 uSJfiTaq.net
>>88
あと、ある公理系が矛盾してるかしてないかを調べることが可能であることを述べている健全性定理という定理があるのですが、それはご存知でしょうか？

91:１３２人目の素数さん
20/08/03 22:34:00 Bkb4DfVJ.net
あー、すまん
日本語が分からない系の人は流石に相手したくない

92:１３２人目の素数さん
20/08/03 22:34:38 uSJfiTaq.net
>>91
後半だけでもいいから教えてくださいね

健全性定理はご存知ですか？

ある公理系に対するモデルが存在すれば、その公理系は矛盾していないという定理なのですけど

93:１３２人目の素数さん
20/08/03 22:37:05 uSJfiTaq.net
よくある誤解だと思うのですが、あなた不完全性定理正しく理解してないと思うんですよね

数学が無矛盾かを確かめる方法は存在しているのですよ
では、不完全性定理とは何を言ったことになるのか
そこに気づくことがポイントです

94:１３２人目の素数さん
20/08/03 22:37:35 Bkb4DfVJ.net
1個だけコメントする
1+1=2を証明しても1+1=2が正しいとはならないからな
1+1≠2が証明できる可能性がある以上、どっちが正しいか確定してない

無矛盾性が証明できない限り証明は無価値よ

95:１３２人目の素数さん
20/08/03 22:38:52 uSJfiTaq.net
>>94
＞1+1=2を証明しても1+1=2が正しいとはならないからな

すなわち、健全性が失われているということでしょうか？

普通の論理体系においては、健全性は要求されるものだと思っていましたけどね

どのような論理系においては、そのようなことが起こるのでしょうか？

少なくともLKにおいてはないですよね？

96:１３２人目の素数さん
20/08/03 22:52:19 uSJfiTaq.net
無矛盾性は”特定の方法によっては” “証明” できないが、無矛盾かどうかを”確かめる”方法はある

理解できますでしょうか？

97:１３２人目の素数さん
20/08/03 23:11:43 uSJfiTaq.net
健全かつ完全な論理体系を用いたとしても、理論は不完全になりうるのだ

それがゲーデルの指摘したことです

健全性定理
完全性定理
不完全性定理

全て理解しないと、ここら辺の話にはついていけませんよ

98:１３２人目の素数さん
20/08/04 00:13:24.58 knIqnJUr.net
よほど都合が悪いのか、ID:Bkb4DfVは>32,>77,>86にちゃんと返答していない。
自然科学では、100回実験して100回とも同じ結果になったとしても、
101回目もまた同じ結果になることは原理的に決して保証されず、
「これだけ同じ結果が得られているのだから、
　101回目もまた同じ結果になるであろう(再現性があるだろう)」
と信じる以外に道がない。
この「信じる以外に道がない」という点について、ID:Bkb4DfVは返答していない。
>82では踏み込んだレスをしているように見えるが、よく見ると
＞Pと¬Pが両方証明できなら本当に正しいのはどちらか観測で結論を出せばいいし
としか言っていない。
観測で結論を出せばいい？違うだろ？観測結果を踏まえて、
Pと￢Pのうち "もっともらしいと思われる方を信じればいい" だろ？
結論を出すのではなく「信じればいい」だろ？
しかし、ID:Bkb4DfVはこのようには表現しない。よほど都合が悪いのだろう。

99:１３２人目の素数さん
20/08/04 02:02:06 V0Mbis0W.net
はいID:CGyKu5bI= ID:hhceZbey=ID:knIqnJUr
QED
荒らしは無視

100:１３２人目の素数さん
20/08/04 02:16:44 knIqnJUr.net
>>99
このように、ID:Bkb4DfV＝ID:V0Mbis0Wは逃げ回るのみであり、
>32,>77,>86にちゃんと返答していない。よほど都合が悪いのだろう。

自然科学では、100回実験して100回とも同じ結果になったとしても、
101回目もまた同じ結果になることは原理的に決して保証されず、

「これだけ同じ結果が得られているのだから、
　101回目もまた同じ結果になるであろう(再現性があるだろう)」

と信じる以外に道がない。
この「信じる以外に道がない」という点について、ID:Bkb4DfVは返答していない。
観測で結論を出せばいい？違うだろ？結論を出すのではなく、「信じればいい」だろ？

しかし、ID:Bkb4DfVはこのようには表現しない。よほど都合が悪いのだろう。

101:１３２人目の素数さん
20/08/04 02:25:59 knIqnJUr.net
ちなみに、なぜかID:V0Mbis0Wは俺のことを荒らし扱いして無視しているが、
これは要するに、都合が悪くて反論の術がないから、無視せざるを得ないということだろう。
そして、ただ単に反論しないだけだと、自分が不利であることがバレバレなので、
「荒しは無視だ」という構図に無理やり持ち込むことで、
あたかも自分に正当性があるかのように振る舞いたいということだろう。

極めて浅はか。バカの考え休むに似たり。
さっさとこの板から消えてくれないかな。

102:１３２人目の素数さん
20/08/04 02:34:03 knIqnJUr.net
一連のやり取りを見返してみると、俺が>32と>77に初めて触れたのは>>79であり、
その直後の>>80でID:Bkb4DfVJ＝ID:V0Mbis0Wは俺のことを荒らし扱いし始めており、返答がない。

>>98では>32,>77,>86に触れたわけだが、これもまた、荒らし扱いして返答なし。

もうお分かりだろう。こいつにとって、>32,>77,>86は都合が悪すぎて返答できないのだ。

観測で結論を出せばいい？違うだろ？結論を出すのではなく、「信じればいい」だろ？
しかし、ID:Bkb4DfVは決して「信じればいい」とは表現せず、
「結論を出せばいい」という言い方でお茶を濁している。
よほど都合が悪いのだろう。

103:１３２人目の素数さん
20/08/04 03:03:22.87 GkH+8nyS.net
なんか別人と同一人物扱いされて荒らし認定されててウケる

104:１３２人目の素数さん
20/08/04 11:01:19.10 BV2eX2wf.net
>>1
全ての命題は正しいんなら全ての命題の否定命題も正しい

105:１３２人目の素数さん
20/08/04 12:51:45.62 Tb8yVo/3.net
>>104
最初からそういう話をしてるんだよ
池沼か？

106:１３２人目の素数さん
20/08/04 13:04:23.22 GkH+8nyS.net
そもそも矛盾を含む公理系では任意の命題を証明可能ではあるけど、モデルを持たないから「命題が真になる」って状況は起こらないんじゃないっけ
詳しくないからおかしなこと言ってるかもだけど

107:１３２人目の素数さん
20/08/04 13:51:58 Tb8yVo/3.net
証明できるのに真じゃないというのはおかしな話だ
じゃあ証明って何のため？

108:１３２人目の素数さん
20/08/04 13:52:29 Tb8yVo/3.net
数学っておかしいよな

109:１３２人目の素数さん
20/08/04 14:01:30 utVdvSID.net
>>106
確かに完全性定理から
理論Tが無矛盾⇔理論Tのモデルが存在する
だから、当然
ZFCが矛盾⇒ZFCのモデルが存在しない
ということになる
ただ「任意のモデルに対して任意の命題が真である」は言える
なぜなら空虚な真だから

110:１３２人目の素数さん
20/08/04 14:38:48 Tb8yVo/3.net
最近のproposition as type (カリーハワード対応みたいなもん)では「Pが真である」は「型Pに項(Pの証明)が存在する」と定義されてるから真であることは証明可能であることと同じ。

111:１３２人目の素数さん
20/08/04 15:19:15 GkH+8nyS.net
>>109
あーなるほど
さんくす

112:１３２人目の素数さん
20/08/04 17:57:16.56 BV2eX2wf.net
>>105
↑
池沼ｗｗｗ

 >>1
全ての命題は正しいんなら全ての命題の否定命題も正しいｗ

113:１３２人目の素数さん
20/08/04 17:58:29.07 BV2eX2wf.net
>>105
お前は本気で池沼だなｗｗ

114:１３２人目の素数さん
20/08/04 18:02:52.39 BV2eX2wf.net
全ての命題が正しいんなら
全ての命題が正しいの否定も正しいんだろって池沼が

115:１３２人目の素数さん
20/08/04 18:48:44.40 ZLXq42FL.net
だから俺たちはそういう話をしてるんだって
何言ってんだこいつ

116:１３２人目の素数さん
20/08/04 18:50:46.08 ZLXq42FL.net
数学の危機は解決されてないわけよ

117:１３２人目の素数さん
20/08/04 18:58:18.27 ugq1U2sl.net
それで、健全性定理はわかりましたか？
数学が無矛盾かどうかを確かめる方法はあるのですよ？
ですから、危機はないわけです

118:１３２人目の素数さん
20/08/04 18:59:38.77 IP+iI8V8.net
>>115
↑
アホｗ

119:１３２人目の素数さん
20/08/04 19:01:18.27 IP+iI8V8.net
全ての集合の集合を考えると矛盾する
（カントールのパラドックス）
すでに証明済みのことを何をほざくかｗ

120:１３２人目の素数さん
20/08/04 19:11:28.63 IP+iI8V8.net
それから決定不能な命題はその公理系に於いて真でも偽でもない命題なんだから
 >>1は「よって」以下がそもそも成り立っていない
更にゲーデルの決定不能性定理は前提条件があるのであって無条件に成立する定理ではないから
そもそもゲーデルの決定不能性定理を根拠にして「全ての命題云々」はナンセンス
言い分としてまるで成り立っていない

　

121:１３２人目の素数さん
20/08/04 19:14:31 IP+iI8V8.net
一般論として
科学にしろ数学にしろ必ず前提条件がある
どのような命題にしろ「～～という条件を満たすなら～～が言える」と言う形をしている
無条件、前提条件なしに「全ての命題」など考えることはそもそも出来ない

122:１３２人目の素数さん
20/08/04 20:14:28.62 ZLXq42FL.net
荒らしが何を書こうと読まねえから
読んで欲しけりゃ重要なことから順に書けよな
一言目で荒らしてその後になんか長文書いてる奴はバカ

123:１３２人目の素数さん
20/08/04 20:16:53.93 ugq1U2sl.net
>>122
数学が無矛盾であることは確認できますよ
何が危機なのでしょうか？

124:１３２人目の素数さん
20/08/04 21:21:59.02 IP+iI8V8.net
>>122
こらこらゴミクズｗ

125:１３２人目の素数さん
20/08/04 23:30:30.74 knIqnJUr.net
>>99
読み返していて気づいたが、こいつ、
俺と ID:hhceZbey が同一人物だと思ってるのか。バカじゃねーのｗ
そして、結局こいつは >>100-102にも返答なし。よほど都合が悪いのだろう。
観測で結論を出せばいい？違うだろ？結論を出すのではなく、「信じればいい」だろ？
しかし、こいつは決して「信じればいい」とは表現せず、
「結論を出せばいい」という言い方でお茶を濁している。
よほど都合が悪いのだろう。

126:１３２人目の素数さん
20/08/04 23:37:23.48 knIqnJUr.net
・アカの他人を同一人物だと勘違いする。
・都合の悪いレスからは逃げ回る。
・ただ単に逃げ回ると都合が悪いことがバレバレなので、
　相手を無理やり荒らし認定することで「荒しはスルー」という構図に持ち込み、
　あたかも自分に正当性があるかのように振る舞う。
ゴミクズすぎてどうしようもない。
やる気あるのかこいつ。日記を書きたいだけなら掲示板使うなよ。

127:１３２人目の素数さん
20/08/05 17:47:17.95 N3OimYem.net
数学は「すべて」に言及していない。
ある系の中の整合性を問題にしているだけ。

128:１３２人目の素数さん
20/08/05 18:37:48.49 aAzOpQVT.net
あんま関係ないけど古典力学を間違いというのも不適切よな
近似として精度が悪いだけだから

129:１３２人目の素数さん
20/08/05 20:06:49.64 BQ1klGCW.net
まあな
科学は“間違ってる”ということに対して耐性がある
実験で確かめられてるから
相対性理論が出てきてもそれまで集めてきた実験結果は古典力学の有用性を証明しているだろ？
しかし、数学は理論が全てだ
理論が矛盾していたら全部ダメ
「数学者のやっていたことは全て間違いでした」ってなる

130:１３２人目の素数さん
20/08/05 20:08:56.60 BQ1klGCW.net
そういう意味では数学に時間や金を使うのはリスキーだと思うね
矛盾していたら価値がゼロなんだから
そして無矛盾性証明できない

131:１３２人目の素数さん
20/08/05 20:20:04.79 BQ1klGCW.net
数学者はギャンブラーだよ
「数学は矛盾してない」という方に人生を賭けてるギャンブラー

132:１３２人目の素数さん
20/08/05 20:24:15 BQ1klGCW.net
地震があったら一発で壊れる家に「地震はたぶん起こらないだろ」って住んでるようなもん
「矛盾はたぶん無いだろ」ってな

133:１３２人目の素数さん
20/08/05 20:44:51 n0TYaJne.net
矛盾が見つかってすらいないのに
「矛盾してたらどうするんだ」なんて仮想的な話をされてもねえ。

134:１３２人目の素数さん
20/08/05 20:46:28 7G8KGmXV.net
>>131
数学が矛盾してないことは健全性定理により具体的なモデルを見つけることで確かめることが可能なのですが、なにがギャンブルなのでしょうか

135:１３２人目の素数さん
20/08/05 21:45:36.60 342bcpJ5.net
>>131
というかバグが潜在的にあっても騙し騙しシステム使うのが現代社会ですよ。
文学部卒の基礎論厨こそバグとりに奴隷のごとく強制動員するべき。

136:１３２人目の素数さん
20/08/05 22:35:49 w4PRowJI.net
命題Aが真のとき、命題Aの否定は偽である。
命題Aの否定もまた命題であるため、
>>1の言うようなすべての命題が真である可能性は無い。

137:１３２人目の素数さん
20/08/05 22:41:53 BQ1klGCW.net
>>136
初心者か？

数学に矛盾があると仮定しそれをPかつnot Pとする

Pが真だから「PまたはA」が真
「PまたはA」とnot PからAが真

同じ論法でnot Aも真

138:１３２人目の素数さん
20/08/05 23:08:16.66 3HglbWyr.net
>>137
↑
ただのバカ
つかただの猿ｗ

139:１３２人目の素数さん
20/08/05 23:09:18.04 3HglbWyr.net
　
猿「数学に矛盾があると仮定したら数学に矛盾がある」（ドヤ顔ｗ）
　

140:１３２人目の素数さん
20/08/05 23:25:45.57 BQ1klGCW.net
猿ガイジがここにも来てしまったか
まあ荒らしにできることは無視しかない

141:１３２人目の素数さん
20/08/05 23:46:40 dZmRSOYH.net
お前が荒らしｗｗ

142:１３２人目の素数さん
20/08/05 23:54:20 n0TYaJne.net
実際、ID:BQ1klGCWが主張していることは>>139そのままだよな。
矛盾が見つかってすらいないのに「矛盾してたらどうするんだ」なんて
仮想的な話をされても、それは結局

「数学に矛盾があると仮定したら数学に矛盾がある」

という、>>139そのものを主張していることになり、これでは何の批判にもなってないｗ

143:１３２人目の素数さん
20/08/05 23:59:19 i7/aZwXd.net
1が基地外かもしれないという事実があるのだから、1に賛成するのは無価値だしギャンブラーなわけですね。

144:１３２人目の素数さん
20/08/06 00:01:17 JGe6Xofv.net
全ての命が無限かもしれないという事実

145:１３２人目の素数さん
20/08/06 00:22:32.82 TaDoyPJS.net
数学者はこれで論破できる
数学者「命題Pが真！」
俺「でも偽の可能性もあるよね？」
数学者「証明したから真に違いない！」
俺「うん、それはいいんだけどnot Pが証明できる可能性はあるよね？」
数学者「うっ...」(泣きそうな顔になる)
俺「数学が無矛盾であることを証明できるの？」
数学者「...できないです、調子こいてすみませんでした」(涙ポロポロ)

146:１３２人目の素数さん
20/08/06 00:24:23 rJIoWlIM.net
>>145
矛盾が見つかってすらいないのに「矛盾してたらどうするんだ」なんて
仮想的な話をされても、それは結局

「数学に矛盾があると仮定したら数学に矛盾がある」

ということになり、これでは何の批判にもなってない。論破でもなんでもない。

147:１３２人目の素数さん
20/08/06 00:29:06 ++Z22pdF.net
>>137

> 数学に矛盾があると仮定しそれをPかつnot Pとする
>
> Pが真だから「PまたはA」が真
> 「PまたはA」とnot PからAが真

ここがわからない。
「not P」から「Aが真」というためには、
「not P」が偽である必要があるのでは？

148:１３２人目の素数さん
20/08/06 00:40:27 ++Z22pdF.net
>>137
まちがえた。

> 数学に矛盾があると仮定しそれをPかつnot Pとする
>
> Pが真だから「PまたはA」が真
> 「PまたはA」とnot PからAが真

ここがわからない。
「not P」から「Aが真」というためには、
「not not P」すなわち「P」が偽である必要があるのでは？
最初にそれ「真」って決めたよね？

149:１３２人目の素数さん
20/08/06 00:45:37 TaDoyPJS.net
日本人なら「または」の意味くらい分かれよ

Pであるか、またはQである
Pでない
したがって、Qである

URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)

150:１３２人目の素数さん
20/08/06 01:01:52 rJIoWlIM.net
数学者「命題Pが真！」

バカ「でも偽の可能性もあるよね？」

数学者「ほほう、君は偽である証明を見つけたのかい？」

バカ「いや、見つけてないけど、でも偽の可能性もあるよね？」

数学者「そんな仮想的な話をされてもねえ、"矛盾があると仮定したら矛盾がある" としか言ってないじゃんそれ」

バカ「うっ...」(泣きそうな顔になる)

数学者「しかも、Pが真である証明ならここに実在するわけだし、それ以上何の不満があるの？
　　　　それともなんだ、君は偽である証明を、君の手で、自分の力で、見つけたのかい？」

バカ「　　　」(泣ポロポロ)

Pであることも、Pでないことも、何も証明してない、何も成し遂げてないバカタレが、
「偽である可能性」だけを盾にしてお手軽に数学者を批判しようとしても、こうやって論破されるだけやな。

151:１３２人目の素数さん
20/08/06 02:38:44 mEXA25CV.net
>>145
＞数学者「命題Pが真！」
＞俺「でも偽の可能性もあるよね？」

モデルを固定すれば、ある命題の真偽は一意に決まります

>>145
＞数学者「証明したから真に違いない！」
＞俺「うん、それはいいんだけどnot Pが証明できる可能性はあるよね？」

矛盾がない公理系からはPか¬Pのどちらかしか証明可能ではありません
ある公理系が無矛盾かどうかは、モデルが存在するかによって確かめることが可能です

＞俺「数学が無矛盾であることを証明できるの？」
＞数学者「...できないです、調子こいてすみませんでした」(涙ポロポロ)

不完全定理は、ある公理系自身を用いてその公理系の無矛盾性を証明することが不可能でも、メタな論理系を持ち出してきたときにメタ論理においてある公理系が無矛盾であることが証明可能であることを禁止しません

152:１３２人目の素数さん
20/08/06 02:41:10 mEXA25CV.net
不完全性定理は自分のことは自分ではわからないということです

他の人から見れば明らかなことでも、自分という枠内に引きこもっていると、わかるものもわからなくなるのです

それが不完全性定理の本質である自己言及のトリックなのですよ

153:１３２人目の素数さん
20/08/06 03:19:45 0zKU9yWJ.net
このスレで最も数学と数学者に幻想を抱いてるのが>>1という事実

154:１３２人目の素数さん
20/08/06 08:56:37 ++Z22pdF.net
>>149
その法則、Pとnot Pが同時に真となる系でも成立するんか。

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