分からない問題はここに書いてね458

分からない問題はここに書いてね458 at MATH

[前50を表示]
600:１３２人目の素数さん
20/03/10 13:28:15 8i4lB+ke.net
>>566
(1)は垂心まわりの標準問題、それでこれが(2)のような形式で東大でありそう。レベルは難だから捨て問。

601:１３２人目の素数さん
20/03/10 13:40:28 B0mhg7eB.net
>>566
問題を3段階くらいに分けて其々の段階で適切にパラメータを選べば計算量はそんなに多くない。
最後は楕円の極座標表示を知っていると楽

602:１３２人目の素数さん
20/03/10 14:16:20 d+7KezpJ.net
566って外心、重心、垂心の関係を知ってると楽になりますか？

603:570
20/03/10 15:19:20.29 B0mhg7eB.net
>>571
とりあえず外心や重心は無関係
もっとエレガントな解法だとどうなのかは知らない
(1) まずBCを固定した時の垂心の軌跡がどんな形か確認する.
配置を回転させてBCを垂直にとると垂線の一つをx軸に平行にとれるので計算は楽
(2) BC上の一点Pを固定してグルグルしてみると軌跡(1) の軌跡(領域) が現れる.
OPを水平にとって、軌跡(1)の"中心" の軌跡を見るとよい.
(3) 領域(2)に点(b,0) が入るようなPについて、その境界条件 (以下略)

604:１３２人目の素数さん
20/03/10 16:04:45.27 B0mhg7eB.net
楕円の性質知ってれば極座標表示するまでもなかった。

605:１３２人目の素数さん
20/03/10 17:37:08.11 I2fj5FcK.net
これ分かる方いらしたらお願いします
 >>549

606:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/10 18:01:02 SgyDBxw5.net
前>>568
rieなのかrikoなのかonirokuなのか。

607:１３２人目の素数さん
20/03/10 18:34:05 0EGlKotV.net
ラマヌジャンの手計算とコンピュータの計算どちらが速い？

608:１３２人目の素数さん
20/03/10 18:35:24 2X/H2/bO.net
>>574
昔その分野をかじったことがある程度だが少しレスする
大学院レベルの質問だからここで的を得た回答を得るのは難しいんじゃなかろうか
先輩の院生か指導教官に聞いた方がいいんじゃないか？
その質問を指導教官から課題として出されたとか（4月から修士に入る学生への教官からの課題っぽいと想像してる）、
質問できる先輩の院生がいないとか、ならばしょうがないが…

『リー代数と量子群』（谷崎俊之）は読んだことがある？
M1の時に読んだが、読みやすい本だったよ
この教科書の後半に、アフィン（というかMac-Moody）リー代数とか量子群も載ってたけど
君の質問の答えまで載ってたかどうかは覚えていない

609:１３２人目の素数さん
20/03/10 19:00:47 HhJuyxkn.net
漠然と数学を学びたいのですがどんな分野がおすすめですか？
大学数学はつまらないしサボっていたのでほとんど高校止まりです。
ていうか工学系の大学数学って面白いんですか？

610:１３２人目の素数さん
20/03/10 21:08:49.34 B4p4PHRk.net
実数a,b,cは
（ア）a>0,b>0,c>0
（イ）(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/abc
を満たす。
A=√(1+a^2)+1-a
B=√(1+b^2)+1-b
C=√(1+c^2)+1-c
とおくとき、以下の値がa,b,cによらない定数になることを示し、その値を求めよ。
AB+BC+CA-2(A+B+C-1)

611:１３２人目の素数さん
20/03/10 22:03:36 Yztp0G0I.net
>>577
>Mac
Kac

612:１３２人目の素数さん
20/03/10 22:32:18 0EGlKotV.net
>>579
0

613:１３２人目の素数さん
20/03/11 01:06:12.52 a9Z8MHCQ.net
x^2-2y^2-xy+3y-1を因数分解するという

614:問題の途中式がわかりません。というより、答えが (x-2y+1)(x+y-1)になるのは勘でわかったのですが、途中式で、 x^2-yx+(2y-1)(y-1) の時に、-yxがどこに消えたのかという仕組みがわかりませんし、なぜそう簡単にしきに組み込むことが出来るのかよくわかりません。二乗があるならまだしも、-yxは二次式ではありますが、考えづらいです。噛み砕いて教えて下さりますでしょうか、お願いします。

615:１３２人目の素数さん
20/03/11 01:49:54.21 tcbieR9h.net
>>582
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)c+ab

616:１３２人目の素数さん
20/03/11 01:59:51.52 a9Z8MHCQ.net
>>583
ありがとうございます。
もう少し噛み砕いて教えていただけないでしょうか

617:イナ
20/03/11 02:14:49.53 LbRSBTGq.net
前 >>575
>>582
x^2-2y^2-xy+3y-1を因数分解すると、x^2項の係数が1で定数項が-1だから、
(x+ay+1)(x+by-1)という形になると思う。
aやbが勘でわかるのはすごいな。けど確実に当てるなら計算するほうがいい。
展開すると、
-2y^2=aby^2─①
-xy=axy+bxy─②
3y=-ay+by─③
①よりy=0のときx=±1
y≠0のとき①の辺々をy^2で割ると、
ab=-2─④
②よりxy=0のときx=0またはy=0
xy≠0のとき②の辺々をxyで割ると、
a+b=-1─⑤
③よりy=0のときx=±1
y≠0のとき③の辺々をyで割ると、
-a+b=3─⑥
⑤-⑥よりa-(-a)=-1-3
2a=-4
a=-2
④に代入すると(-2)b=-2
b=1
∴(x-2y+1)(x+y-1)
途中式、
x^2-yx+(2y-1)(y-1)
という変形は思いつかなかった。y^2項と定数項で因数分解せよって言われてんのかな？
-yxが消えたかどうかはわかりません。いや、-yxあるじゃないか。
両辺に-yxがあって、かつx≠0,y≠0なら、辺々を-yzで割ることで-yzを消すことはできると思う。
辺々を割れるか割れないかは0じゃないか0かの違いで、二乗でも一次式でもyzでも、0じゃなければ割れるはず。

618:１３２人目の素数さん
20/03/11 02:45:12.90 y9Jt3QH1.net
>>579 , >>581
これどうやって示すのか誰か教えてください.
x+y+z=π, tan(x) + tan(y) + tan(z) = tan(x)tan(y)tan(z)
a = cot(x), A = ... =1/sin(x) + 1 - cot(x), B= . . .
これで行くのかなと予想は立てたもののスマートな式変形が思い浮かびません.

619:１３２人目の素数さん
20/03/11 04:56:40.90 mptyGKpN.net
>>580
typoでした、訂正どうも

620:イナ
20/03/11 05:35:15.90 LbRSBTGq.net
前 >>589
>>579(前半)
(イ)よりbc+ca+ab=1─①
AB+BC+CA-2(A+B+C-1)
={√(1+a^2)+1-a}{√(1+b^2)+1-b}+{√(1+b^2)+1-b}{√(1+c^2)+1-c}+{√(1+c^2)+1-c}{√(1+a^2)+1-a}-2[{√(1+a^2)+1-a}+{√(1+b^2)+1-b}+{√(1+c^2)+1-c}-1]
={√(1+a^2)+1-a}{√(1+b^2)+1-b}+{√(1+b^2)+1-b}{√(1+c^2)+1-c}+{√(1+c^2)+1-c}{√(1+a^2)+1-a}-2{√(1+a^2)+1-a+√(1+b^2)+1-b+√(1+c^2)+1-c-1}
={√(1+a^2)+(1-a)}{√(1+b^2)+(1-b)}
+{√(1+b^2)+(1-b)}{√(1+c^2)+(1-c)}
+{√(1+c^2)+(1-c)}{√(1+a^2)+(1-a)}
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)+(1-a)(1-b)
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)+(1-b)(1-c)
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)+(1-c)(1-a)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)+1-a-b+ab
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)+1-b-c+bc
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)+1-c-a+ca
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
+3-2(a+b+c)+bc+ca+ab

621:イナ
20/03/11 05:38:51.36 LbRSBTGq.net
前 >>588(前半)
前々 >>579(後半をやる)
①を代入すると、
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
+3-2(a+b+c)+1
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
+4-2(a+b+c)
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)}
=√(1+a^2)(1+b^2)+√(1+b^2)-a√(1+b^2)+√(1+a^2)-b√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)+√(1+c^2)-b√(1+c^2)+√(1+b^2)-c√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)+√(1+a^2)-c√(1+a^2)+√(1+c^2)-a√(1+c^2)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)}
=√(1+a^2)(1+b^2)-a√(1+b^2)-b√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)-b√(1+c^2)-c√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)-c√(1+a^2)-a√(1+c^2)
だいぶ消えたな。

622:１３２人目の素数さん
20/03/11 07:47:03 ADkxY50d.net
>>582
2y-1を-(-2y+1)だと思ってみれば

623:１３２人目の素数さん
20/03/11 08:14:52 avK6eeO9.net
>>586
>x+y+z=π, tan(x) + tan(y) + tan(z) = tan(x)tan(y)tan(z)
tan(x+y+z)=0
(tan x+tan y+tan z-tan x tan y tan z)/(1-tan x tan y-tan y tan z-tan z tan x)=0
tan x+tan y+tan z-tan x tan y tan z=0

624:１３２人目の素数さん
20/03/11 08:36:07 iUaOIFBy.net
職業訓練の選考試験で中学程度の国

625:語と数学が出るんですが、数学がさっぱり分かりません。どなたか教えてくださいm(_ _)m https://i.imgur.com/yAdk2f8.jpg

626:１３２人目の素数さん
20/03/11 08:49:24 ADkxY50d.net
>>592
それはさすがに勉強してくださいとしかいいようがない
勉強せずに問題見て自力で解法を編み出せるのは天才だけ

627:１３２人目の素数さん
20/03/11 09:12:19 zi4olkqu.net
>>586
　a = cot(x),　b = cot(y),　c = cot(z),
とおけば
　1/a + 1/b + 1/c - 1/abc = tan(x)+tan(y)+tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z)
　= sin(x+y+z)/{cos(x)cos(y)cos(z)},
　A-1 = tan(x/2),　B-1 = tan(y/2),　C-1 = tan(z/2),
より
(与式) = (A-1)(B-1) + (B-1)(C-1) + (C-1)(A-1) - 1
　= tan(x/2)tan(y/2) + tan(y/2)tan(z/2) + tan(z/2)tan(x/2) - 1
　= -cos((x+y+z)/2)/{cos(x/2)cos(y/2)cos(z/2)}
　= -(1/a +1/b +1/c -1/abc)･cos(x)cos(y)cos(z)/{2sin((x+y+z)/2)cos(x/2)cos(y/2)cos(z/2)}
ですね^^
---------------------------------------------------------
加法公式の略証
e^{i(x+y+z)} = e^(ix)･e^(iy)･e^(iz)
　= {cos(x)+i･sin(x)}{cos(y)+i･sin(y)}{cos(z)+i･sin(z)}
　= cos(x)cos(y)cos(z){1+i･tan(x)}{1+i･tan(y){1+i･tan(z)},

実部から
cos(x+y+z) = cos(x)cos(y)cos(z) - sin(x)sin(y)cos(z) - cos(x)sin(y)sin(z) - sin(x)cos(y)sin(z)
　= cos(x)cos(y)cos(z){1 - tan(x)tan(y) - tan(y)tan(z) - tan(z)tan(x)},
虚部から
sin(x+y+z) = sin(x)cos(y)cos(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + cos(x)cos(y)sin(z) - sin(x)sin(y)sin(z)
　= cos(x)cos(y)cos(z){tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z)},

628:586
20/03/11 09:20:39 y9Jt3QH1.net
tanの加法を二回使って
tan(x+y+z) = (tx + ty + tz - txtytz) / (1 - txty - tytz - tztx)
[公式1] x+y+z = π　→　tanx + tany + tanz = tanx tany tanz
[公式2] x+y+z = π/2　→　tanx tany + tany tanz + tanz tanx = 1

a = cot(x) (0<x<π/2), b= ... と置ける. {∵ 公式1}
A = 1 + 1/sin(x) - cot(x) = 1 + X,
X := (1-cos(x))/sin(x) = 2 sin(x/2)^2 / sin(x) = sin(x/2)/cos(x/2) = tan(x/2)

(2-A)(2-B)(2-C) + ABC = {2(AB+BC+CA) - 4(A+B+C-1)} + 4

(2-A)(2-B)(2-C) + ABC = (1-X)(1-Y)(1-Z) + (1+X)(1+Y)(1+Z)
= 2 + 2(XY+YZ+ZX) = 2 + 2*1 = 4 {∵ 公式2}

∴ (AB+BC+CA) - 2(A+B+C-1) = {(2-A)(2-B)(2-C) + ABC}/2 -2 = 2 - 2 = 0
できた. 幾何学的意味などがあるなら教えて欲しい.

629:１３２人目の素数さん
20/03/11 09:21:39 y9Jt3QH1.net
>>591, >>594 ありがとうございます

630:１３２人目の素数さん
20/03/11 12:36:57.91 y9Jt3QH1.net
別解 (最初からこれでよかった)
(AB+BC+CA) - 2(A+B+C-1)
= (1+X)(1+Y)+(1+Y)(1+Z)+(1+Z)(1+X) - 2(3+X+Y+Z -1)
= 3 +2(X+Y+Z) + XY+YZ+ZX - 4 - 2(X+Y+Z)
= -1 + XY+YZ+ZX = 0 {∵公式2}

631:１３２人目の素数さん
20/03/11 17:07:24.59 Kpnz/R4s.net
どうしても分からない問題があったので質問です。物理学部2年です。
lが奇数の時、∫₀¹ dˡ/dxˡ (x²-1)ˡ dx を閉じた形で表せ。
矩形波をルジャンドル多項式による展開をする途中に出てきたのですが行間が省かれていたので分かりませんでした。
よろしくお願いしますm(_ _)m

632:１３２人目の素数さん
20/03/11 17:15:30.05 a9Z8MHCQ.net
>>585
ありがとうございます
なんとなくですが、わかったような気がします。
お決まりの形があるんですね。

633:１３２人目の素数さん
20/03/11 17:47:36 tcbieR9h.net
>>599
お決まりの形っていうならx^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)が分かってれば解けるだろ

634:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:08:13 f0qlU4Z9.net
>>598
結論は？

635:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:17:53 N/UPZlhv.net
>>601
分かんねえから聞いてんだろ
俺より偏差値低い大学のくせに

636:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:37:49.09 plq6CXNf.net
>>601
教科書の方には「lが奇数の場合、
Aₗ=(2l+1)∫₀¹Pₗ(x)dx [ただしPₗ(x)はl次のルジャンドル多項式]
」
に
「Rodrigue

637:sの公式を利用すると、積分が計算できて Aₗ=(-1/2)⁽ˡ⁻¹⁾ᐟ² ((2l+1)(l-2)!!)/(2((l+1)/2)!) が得られる。」と書いてありました。教科書はジャクソン電磁気原書第3版(和訳第4版)で、問題はp.140のところです。

638:１３２人目の素数さん
20/03/11 20:12:10 nurrYDlF.net
>>603
とりあえずPn(x)が(1-2xt+t^2)^(-1/2)のt^nの係数らしいから
∫[0,1] (1-2xt+t^2)^(-1/2) dx を計算してそれのn次の係数だせばいいんじゃない？
積分は簡単だし、nじすの係数は一般化二項定理で出せるみたいだし。

639:１３２人目の素数さん
20/03/11 20:25:10 y9Jt3QH1.net
>>603
m:=2k + 1 {l は 1 と見分けにくいので m にした}
d^{m-1}/dx^{m-1} (x²-1)^m について
(x²-1)...(x²-1) 各項の微分が
「0階項と1階項が同時にある場合」 or「 3階以上の項がある場合」は消えるので
2階微分項のみからなるパターンを考えればよい.

2階微分のペアリング数: (m-2)!!
　1回目の微分とペアとなる微分は m-2 通り, まだペアを組んでいない次の微分とのペアは m-4 通り, ... }
m項から 2階微分項 (k 個) の(順序付き)選び方: m!/(m-k)!

∫[0,1] d^m/dx^m (x²-1)^m dx
= [ d^{m-1}/dx^{m-1} (x²-1)^m ]{x=0,1} + 0
= [ m!/(m-k)!* (m-2)!! * (x²-1)^{k+1} (2)^k ] {x=0,1}
= m!/(m-k)!* (m-2)!! * (-1)^k * 2^k
= m!*(m-2)!/((k+1)!*(k-1)!) * 2 * (-1)^k
後は好きなように整理してくれ

(m-2)!! = (m-2)(m-4)... 1 = (m-2)(m-3)(m-4)... 1 / {(m-3)(m-4)...2} = (m-2)!/(2k-2)!!
(2k-2)!! = 2^(k-1) * (k-1)!

640:１３２人目の素数さん
20/03/11 20:30:50 plq6CXNf.net
>>604
ありがとうございます、母関数を使った解法も試してみます

>>605
こんなやり方があるんですね……ありがとうございました！

641:１３２人目の素数さん
20/03/11 21:00:48 tcbieR9h.net
>>602が煽り大失敗してて可哀想ｗｗｗ
まあ普通に読んだら途中式なしに結論だけ書かれてるからって質問で
じゃあ結論もいっしょに書いてってのは普通のやり取りだってことには気づくしな

642:１３２人目の素数さん
20/03/11 21:30:44.12 zi4olkqu.net
>>598
(与式) = ∫[0,1] P_L(x) dx
= [ {1/(2^L･L!)}(d/dx)^(L-1)･(xx-1)^L ](x=0,1)
Lは奇数とする。
x=1 のとき
　L個の(xx-1)因子のうち、少なくとも１個は微分を免れるから、０
x=0 のとき
　(xx-1)^L の中の x^(L-1) の係数は２項公式により
　　(-1)^((L+1)/2) Ｃ(L, (L-1)/2)
　　= (-1)^((L+1)/2) L! /{((L+1)/2)! ((L-1)/2)!}
　　= -(-2)^((L-1)/2) L! (L-2)!! /{((L+1)/2)! (L-1)!}
　(2^L･L!) で割って
　　= -(-1/2)^((L-1)/2) (L-2)!! /{2 ((L+1)/2)! (L-1)!}
　(L-1) 回微分すると (L-1)! 倍になる。
　x=0 は下限で -1 倍する。
　　(-1/2)^((L-1)/2) (L-2)!! /{2 ((L+1)/2)!}

643:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:52:02.46 PvEUOLXr.net
>>598
2年でこんなことやんの？
難しいね

644:１３２人目の素数さん
20/03/12 10:11:33 JdGzjxM3.net
>>608
なるほど、微分を素直に二項展開すると綺麗に解けたんですね……もう少し計算力を鍛えます、ありがとうございました！

>>609
学部の勉強ではないのですが、春休み中に計算力が落ちるのが嫌だったので、背伸びして勉強しています(笑)

みなさん丁寧にありがとうございました。

645:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:56:01 aUmBtXZj.net
コレ偶数項はどうなるのって思ったら偶数項はL=0のときを除いて0になるのね。
中々面白い。

646:１３２人目の素数さん
20/03/12 19:25:44.26 BAjCtA1

647:Q.net

648:１３２人目の素数さん
20/03/13 20:46:25.71 oNo7xYUj.net
x^x+y^y＝z^z （x≠y≠z）
↑を満たす自然数x,y,zは存在しますか？

649:１３２人目の素数さん
20/03/13 21:17:24.73 +bALPGnB.net
>>613
存在しない
zは3以上としてよく、z>y>xとしてよい
すると
z^z=(z^y)*(z^(z-y))>(z^y)*3>z^y+z^y>y^y+x^y>y^y+x^x

650:１３２人目の素数さん
20/03/13 21:19:42.06 +bALPGnB.net
本質に影響しないけど
(z^y)*(z^(z-y))≧(z^y)*3
だった

651:１３２人目の素数さん
20/03/13 21:19:42.06 +bALPGnB.net
本質に影響しないけど
(z^y)*(z^(z-y))≧(z^y)*3
だった

652:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:21:08.28 3zHLWnAK.net
概算したいのですが、教えて下さい。
山手線を何駅乗るとコロナウイルスを吸い込むことが期待されますか？

653:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:23:39 b54YpSRM.net
不明です

654:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:38:52 cCragyGR.net
こんなところにフラクタルが
ABACABADABACABAEABACABADABACABA
edcba　　　　　　edcba
　　　1 a　 10000 e
　　 10 b　 10001 a
　　 11 a　 10010 b
　　100 c　 10011 a
　　101 a　 10100 c
　　110 b　 10101 a
　　111 a　 10110 b
　 1000 d　 10111 a
　 1001 a　 11000 c
　 1010 b　 11001 a
　 1011 a　 11010 b
　 1100 c　 11011 a
　 1101 a　 11100 c
　 1110 b　 11101 a
　 1111 a　 11110 b
　　　　　　11111 a

655:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:49:47 QuV6xPyP.net
任意のn個の整数の中からm個の整数を取り出す方法で、取り出した整数の和がmの倍数になるようなものが存在するという。
このようなnとして有り得るものの中で最小のものをmの式で表せ。

たとえばm=3なら求める値は5。

656:１３２人目の素数さん
20/03/13 23:13:41 IbYZYELm.net
URLﾘﾝｸ(www.renyi.hu)

657:１３２人目の素数さん
20/03/14 00:19:03.49 Gxl3DqPh.net
m(m+n)-n^2=1
を満たす正の整数の組(m,n)を考える。
このような(m,n)は無数に存在することを示せ。

658:１３２人目の素数さん
20/03/14 00:57:33 guoQpnQh.net
ペル方程式

659:１３２人目の素数さん
20/03/14 04:01:11.31 Gxl3DqPh.net
m(m+n)-n^2=1…(*)
を満たす正の整数の組(m,n)を考える。
（1）このような(m,n)は無数に存在することを示せ。
（2）(*)を満たすすべてのnにわたって、以下の和（無限和）を計算せよ。
Σ1/(n^2+1)

660:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:32:33 sSuZDAok.net
>>619　いろいろな例がかいてあった。ABACABA patternって名前までついている
ハノイの塔の動かし方も同じ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)

661:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:33:08 iH59lf4s.net
>>620
mで割ったときの余り(剰余)を考える。
任意のn個の整数が
・{0,1,････,m-1} のどれかを m 個以上含む
・{0,1,････,m-1} をすべて含む
のいずれかを満たすならば可能。

　n = (m-1)^2 +1　ならば可能。
(これはnの上限。最小のnはずっと小さいのかも)

662:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:42:23 iH59lf4s.net
↑ mが奇数のとき。
--------------------------
mが偶数のときは
任意のn個の整数が
・{0,1,････,m-1} のどれかを m 個以上含む
を満たすならば可能。
　n = m(m-1) +1

663:１３２人目の素数さん
20/03/14 13:50:03 iH59lf4s.net
>>624
(1)
フィボナッチ数を使って
　(m, n) = (F_{2k-1}, F_{2k})　　　(k：自然数)
とおくと
　m(m+n) - nn = F_{2k-1}F_{2k+1} - F_{2k}^2
　= (-1)^{2k-2}
　= 1,
となり、題意を満たす。これがすべてと思われる。

*)　フィボナッチ数

664: F_k について　F_{k+1}･F_{k+3} - (F_{k+2})^2 　= (F_{k+1})^2 - F_k･F_{k+2} 　= ････　= (-1)^k･{F_1･F_3 - (F_2)^2} 　= (-1)^k. (2) 　1/(nn+1) = {m(m+n)-nn}/{m(m+n)} 　= n/(m+n) - (n-m)/m 　= F_{2k}/F_{2k+1} - F_{2k-2}/F_{2k-1}, より　Σ[k=1,K] 1/(nn+1) = F_{2K}/F_{2K+1} 　→ 1/φ = (√5 -1)/2.

665:１３２人目の素数さん
20/03/14 13:52:54 Yd73bSim.net
>>628
Fibonacciとは特性方程式が違う。

666:１３２人目の素数さん
20/03/14 14:43:25 P8Vszp3C.net
nn-nm-mm=-1

667:１３２人目の素数さん
20/03/14 15:27:25.31 iH59lf4s.net
>>629
　意味不明････
具体的に書けば
　k=1 のとき　(m,n) = (1,1)
　k=2 のとき　(m,n) = (2,3)
　k=3 のとき　(m,n) = (5,8)
　k=4 のとき　(m,n) = (13,21)
　　････

668:１３２人目の素数さん
20/03/14 16:09:22.85 e0nVNfU1.net
>>626
私も最初は偶奇で分けてその考察をしてたのですが小さいmですぐに破綻したのでこのスレに投げました
 >>621が正しいっぽいです

669:１３２人目の素数さん
20/03/14 16:47:05 Yd73bSim.net
>>631
fibonacci数列の特性多項式は
x^2-x-1。
(2m+n)^2-5n^2=4の特性方程式は
x^2-5=0。

670:１３２人目の素数さん
20/03/14 16:53:02 Yd73bSim.net
間違えた。
x^2-5y^2=4
だから
(1+√5)^n=x+y√5
だ。吊ってくる。

671:１３２人目の素数さん
20/03/14 22:48:56.28 LZxm7k+t.net
1つのサイコロをN回投げ、出たN個の目の積を
Anとする。この時Anが6の倍数になる確率をnを用いて表せ。

672:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:19:56.57 Ior9sgvQ.net
1-p(all 1,3,5)-p(all 1,2,4,5)+p(all 1,5)

673:１３２人目の素数さん
20/03/15 02:05:02 x7ZMnCxT.net
>>636
少なくとも一つ2の倍数かつ少なくとも一つ3の倍数であることと、少なくとも一つ6の倍数である事をどうやって処理すれば良いのかが人に説明できる程、理解できていません。
すみません。教えて頂けると有難いです。

674:１３２人目の素数さん
20/03/15 04:25:33.20 OTl1KJku.net
>>635
ｎ　を　1～２０でシミュレーションしてみた。
sim <- function(n,k=1e5){ # n:サイコロを振る回数 k:シミュレーション回数
sub <- function(n){
prod(sample(6,n,replace=TRUE))%%6==0 # n回の目の積の6で除算した剰余が0か？
}
mean(replicate(k,sub(n))) # 0となる割合を返す
}
p=sapply(1:20,function(n) sim(n))
data.frame(p)
p
1 0.16560
2 0.41369
3 0.61413
4 0.75417
5 0.84134
6 0.89669
7 0.93356
8 0.95765
9 0.97254
10 0.98093
11 0.98873
12 0.99175
13 0.99458
14 0.99611
15 0.99737
16 0.99849
17 0.99899
18 0.99924
19 0.99963
20 0.99978

675:１３２人目の素数さん
20/03/15 04:45:50.62 AImOax5n.net
整数問題ならまだしも確率をシュミレーションしても検算以外に使えないよ

676:１３２人目の素数さん
20/03/15 08:00:20.15 OTl1KJku.net
>>638
1 : 1/6
2 : 5/12
3 : 133/216
4 : 325/432
5 : 6541/7776
6 : 4655/5184
7 : 261493/279936
8 : 535925/559872
9 : 9796381/10077696

677:１３２人目の素数さん
20/03/15 08:42:45.68 cOtagSUy.net
「任意の3以上の奇数nについて、n-1個の数√n,√2n,√3n,...,√(n-1)nのうち、整数部分が偶数であるものの個数と奇数であるものの個数は等しい」
成�

678:阯ｧってるっぽいんですけど証明ってありますか？

679:１３２人目の素数さん
20/03/15 09:46:02.63 OTl1KJku.net
>>635
1-(4^n+3^n-2^n)/6^n

680:１３２人目の素数さん
20/03/15 09:52:36 OTl1KJku.net
ｆ　＜－　ｆｕｎｃｔｉｏｎ（ｎ）｛
　　ｌｉｂｒａｒｙ（ｇｍｐ）
　　ｎ＝ａｓ．ｂｉｇｑ（ｎ）
　　ｒ＝１－（４＾ｎ＋３＾ｎ－２＾ｎ）／６＾ｎ
　　ｒ２＝ｃａｐｔｕｒｅ．ｏｕｔｐｕｔ（ｒ）［２］
　　ｓｕｂｓｔｒ（ｒ２，５，ｎｃｈａｒ（ｒ２））
｝
ｎ＝３０
ｆｏｒ（ｉ　ｉｎ　１：ｎ）｛
　　ｃａｔ（ｉ，?：?，ｆ（ｉ），?\ｎ?）
｝

1 : 1/6
2 : 5/12
3 : 133/216
4 : 325/432
5 : 6541/7776
6 : 4655/5184
7 : 261493/279936
8 : 535925/559872
9 : 9796381/10077696
10 : 19786525/20155392
11 : 358427653/362797056
12 : 239941975/241864704
13 : 12991999021/13060694016
14 : 26030320685/26121388032
15 : 469096926613/470184984576
16 : 938923986325/940369969152
17 : 16909350566461/16926659444736
18 : 3758920371605/3761479876608
19 : 609083700366373/609359740010496
20 : 1218351814233125/1218719480020992
21 : 21932542135610701/21936950640377856
22 : 43868026759785805/43873901280755712
23 : 789659760174634933/789730223053602816
24 : 526455508992460775/526486815369068544
25 : 28429161282767803741/28430288029929701376
26 : 56859074012717372765/56860576059859402752
27 : 1023472347053496500293/1023490369077469249536
28 : 2046956711331417849925/2046980738154938499072
29 : 36845364987782900777581/36845653286788892983296
30 : 24563640732593188077775/24563768857859261988864

681:１３２人目の素数さん
20/03/15 10:04:25 OTl1KJku.net
分数表示小数表示シミュ値
1 1/6 0.1666666667 0.16695
2 5/12 0.4166666667 0.41535
3 133/216 0.6157407407 0.61633
4 325/432 0.7523148148 0.75147
5 6541/7776 0.8411779835 0.84065
6 4655/5184 0.8979552469 0.89742
7 261493/279936 0.9341170839 0.93430
8 535925/559872 0.9572277235 0.95693
9 9796381/10077696 0.9720853854 0.97253
10 19786525/20155392 0.9816988427 0.98123
11 358427653/362797056 0.9879563438 0.98787
12 239941975/241864704 0.9920503944 0.99250
13 12991999021/13060694016 0.9947403258 0.99509
14 26030320685/26121388032 0.9965136865 0.99644
15 469096926613/470184984576 0.9976858939 0.99761
16 938923986325/940369969152 0.9984623256 0.99840
17 16909350566461/16926659444736 0.9989774191 0.99890
18 3758920371605/3761479876608 0.9993195484 0.99937
19 609083700366373/609359740010496 0.9995470005 0.99943
20 1218351814233125/1218719480020992 0.9996983180 0.99976
>

682:１３２人目の素数さん
20/03/15 10:29:33 +G0RMlYJ.net
>>635
事象: (偶∨3) ∨ 6 = ((2∨4∨6)∨3) ∨ 6
　　= (2∧3) ∨ (4∧3) ∨ (3∧6) ∨ 6
　　= (2∧3) ∨ (4∧3) ∨ 6
{省略記法は適当に推測してください}

P1 := P(●), 　P2 := P(●∧■), ...
Q1 := P(￢●), 　Q2 := P(￢●∧￢■), ...
Qk = ((6-k)/6)^n

P1 = 1 - Q1
P2 = 1 - 2*Q1 + Q2
P3 = 1 - 3*Q1 + 3*Q2 - Q3
P4 = 1 - 4*Q1 + 6*Q2 - 4*Q3 + Q4

確率: P((2∧3) ∨ (4∧3) ∨ 6) = (P2 + P2 + P1) -

683:(P3 + P3 + P3) + P4 　　= P1 + 2*P2 - 3*P3 + P4　= 1 - Q2 - Q3 + Q4 　　= 1 - (4/6)^n - (3/6)^n + (2/6)^n まあ結果を見れば工夫の余地ありですが基本に忠実な方法を採りました.

684:１３２人目の素数さん
20/03/15 11:01:35 8d8gCNj7.net
>>636ｰ637 >>642

3|An　⇔　not (all 1,2,4,5)
　p(3|An) = 1 - p(all 1,2,4,5) = 1 - Q2 = 1 - (4/6)^n,

2|An　⇔　not (all 1,3,5)
　p(2|An) = 1 - p(all 1,3,5) = 1 - Q3 = 1 - (3/6)^n,

(3|An or 2|An)　⇔　not (all 1,5)
　p(3|An or 2|An) = 1 - p(all 1,5) = 1 - Q4 = 1 - (2/6)^n,

確率：p(6|An) = p(3|An and 2|An)
　　= p(3|An) + p(2|An) - p(3|An or 2|An)
　　= 1 - Q2 - Q3 + Q4
　　= 1 - (4/6)^n - (3/6)^n + (2/6)^n.
まあ結果を見れば工夫の余地ありですが、基本に忠実な方法を採りました。

685:１３２人目の素数さん
20/03/15 11:36:03 +G0RMlYJ.net
本当に何も工夫できてなかったから「基本に忠実」と書いただけなのに
煽ったように受け止めたのでしょうかね。素直に怖いんですが...

686:１３２人目の素数さん
20/03/15 12:04:58 pKH/XCba.net
>>577
レスありがとうございます。お返事遅れてすみません。

実は今、隣の分野くらいでポスドクをしています。
この歳になると恥ずかしくて聞くに聞けない質問が増えてしまいまして、
なかなか本を調べても載っていないので困っていました。
おそらくまとまった文献はなく、散見している論文を調べないといけない可能性があるので
今度詳しそうな方に聞いてみます

687:１３２人目の素数さん
20/03/15 12:13:30 nyblZrKy.net
>>641
おおー、確かに成り立ってるっぽい！
証明はわからないが、面白いな

688:１３２人目の素数さん
20/03/15 12:41:54 ijdl7Zl+.net
面白いけど質問のフリして出題してくるのがウザい。
人間性疑う。

689:１３２人目の素数さん
20/03/15 13:21:23.01 nyblZrKy.net
Excelで少し試しただけだが、
>>641
の命題を、次のように書き換えても正しそうかな？
（元の命題はq=2に相当）
「2以上の整数qを1つ固定する。
mを任意の1以上の整数とする。n=qm+1とおき、n-1個の数√n,√2n,√3n,...,√(n-1)nのうち、整数部分がqで割り切れるものの個数はm個である」

690:１３２人目の素数さん
20/03/15 15:41:25 cOtagSUy.net
>>651おお～。こちらも少し試してみましたが成り立ってそうです。そっちで僕も考えてみます。

691:１３２人目の素数さん
20/03/15 17:58:59.77 yAcb4ZNO.net
>>650
x,yは正の実数とする。
x^x-2(x^y)(y^x)+y^y≧0を示せ。

692:１３２人目の素数さん
20/03/15 18:09:41 nyblZrKy.net
>>653
偽
2^2-2*2^2*2^2+2^2=-24<0

693:１３２人目の素数さん
20/03/15 18:11:52 yAcb4ZNO.net
>>650
θを実数の定数とする。

（1）rについての方程式cos(θ+r)=sin(rθ)はいくつの正の実数解を持つか。

（2）同様に、
-sin(θ+r)=rcos(rθ)-r/2はいくつの正の実数解を持つか。

694:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:05:48.56 ux99Nd6q.net
>>651
正しそう
証明に取り掛かってみます

695:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:08:14.27 ijdl7Zl+.net
>>653 >>655
そもそも問題のレベル低いの自分で気づかないの？

696:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:36:57.79 cOtagSUy.net
>>651 文字をちょっと変えてもっと一般化して、
nを正の偶数、[]は床関数として、
「数列a(k)=[√{k(n+1)}] 　1≦k≦n、
数列b_i(k)≡a(k) (mod i) i|n,0≦b_i(k)≦i、
N{k:b_i(k)=j}でb_i(k)=jとなるkの個数を表すと、
N{k:b_i(k)=j}+N{k:b_i(k)=i-j}=2n/iが成り立つ。」
でもいけそうですね。>>641はi=2の場合、>>651はj=0の場合。
>>641を考えてましたが、区間[i^2/(n+1),(i+1)^2/(n+1))∪[(n-i)^2/(n+1),(n-i+1)^2/(n+1))に含まれる整数の数が常に２個であることが適当に文字をおいて不等式を解くとわかるので、おそらく

697:解けました。

698:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:41:09.80 VolefM5h.net
>>657
中学高校程度、30分、を目安としております。

699:１３２人目の素数さん
20/03/15 20:09:55.76 cOtagSUy.net
>>658連投失礼
一般化したらnの偶奇も関係なくなるかもしれませんね（本当に成り立ってたら）

700:１３２人目の素数さん
20/03/15 21:11:09.66 kVh6ZCdm.net
>>641
実際にチェックしてみたところ、n=46341以下では、成立していると確認できたけど、
n=46343以上では、不成立っぽい。
（n=46343の時、奇数が23169個で、偶数が23173個）
・誤差の可能性を疑ったけど、単独で発生しているのではなく、n=46343以上で連続して不成立
・[sqrt(i*n)]と[i*n/sqrt(i*n)]が一致するかのチェックも通過
どなたか、検証お願いします。

701:１３２人目の素数さん
20/03/15 21:40:29.84 zmT9OS45.net
>>661
46343^2 > 2^31 だからオーバーフローの可能性は？
多倍長整数でやってるの？

702:１３２人目の素数さん
20/03/15 21:55:04.59 kVh6ZCdm.net
46341^2 < 2^31 < 46343^2
これか　失礼しました。

703:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:30:54 8d8gCNj7.net
>>653

(1,1)を頂点とするＶ字曲線の外側 (左側と下側) の領域で成り立つ。

　{(x,y) | 0<x<0.932806　or　0<xy<1　or　0<y<0.932806}　を含む。
　
境界線は点
　(1, 1.66038753819)
　(0.932806, 1.220063)
　(1, 1)
　(1.220063, 0.932806)
　(1.66038753819, 1)
を通る。

704:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:42:50 jPy2YSJ8.net
数学検定3級の2次問題で
□3の(6)の回答が不明です
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

705:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:45:45 jPy2YSJ8.net
0.5×2+2.5×7+4.5×13+6.5×9+8.5×6+10.5+1=197
197÷38=5.2冊だと思うのですが

706:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:52:12 cOtagSUy.net
>>661
怖くなってきたので煩雑ですが一応証明を書いておきます。

「nは偶数,k∈{1,2,...,n}とする。
1<√(n+1),√(n-1)(n+1)<n<√{n(n+1)}<n+1より、区間[0,1)∪[n,n+1)には√{k(n+1)}が一つ含まれる.

i,j∈{1,2,...,n-1}とする。
(i+1)^2-i^2=2i+1<2(n+1)より区間[i,i+1)に含まれるような√{k(n+1)}は高々２個。

[i,i+1)に√{k(n+1)}が２個含まれる
⇔i<√{j(n+1)},√{(j+1)(n+1)}<i+1
⇔i^2<(n+1)j,(n+1)(j+1)<(i+1)^2
⇒(n-i)^2>(n+1)(n+1-2i)+(n+1)(j+1)>(n+1)(n-2i+j)
(n-i+1)^2<(n+1)(n+1-2i)+(n+1)j=(n+1)(n-2i+j+1)
⇔√{(n-2i+j)(n+1)}<n-i,n-i+1<√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が0個含まれる

[i,i+1)に√{k(n+1)}が0個含まれる
√{j(n+1)}<i,i+1<√{(j+1)(n+1)}
⇔j(n+1)<i^2,(i+1)^2<(j+1)(n+1)
⇒(n-i)^2<(n+1)^2-2(n+1)(i+1)+(n+1)(j+1)=(n+1)(n-2i+j)
(n-i+1)^2>(n+1)^2-2(n+1)i+j(n+1)=(n+1)(n-2i+j+1)
⇒√{(n+1)(n-2i+j)}<n-i,n-i+1<√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が2個含まれる

[i,i+1)に1個含まれる
√{(j-1)(n+1)}<i≦√{j(n+1)}<i+1<√{(j+1)(n+1)}
⇔(j-1)(n+1)<i^2≦j(n+1)<(i+1)^2<(j+1)(n+1)
⇒√{(n+1)(n-2i+j-1)}<n-i<√{(n+1)(n-2i+j)}<n-i+1≦√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が１個含まれる

よって,i≠n/2,ならば[i,i+1)∪[n-i,n-i+1)には√{k(n+1)}が２個含まれ、
i=n/2ならば[i,i+1)には√{k(n+1)}が１個含まれる。
n≡0,2(mod 4)で場合分けして考えると、題意の成立がわかる。」

上の証明が合っていれば似たような解法でおそらくN{k:a(k)=pd±i}+N{k:a(k)=n-pd∓i}=2(複合同順)が示せて、>>658の一般化も示せそうなのですが、間違っていたら元も子もないですね。

707:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:53:51 OTl1KJku.net
>>661
いや、等しくなったけど。

> sim <- function(m){
+ n=2*m+1
+ i=1:(n-1)
+ a=sqrt(i*n)
+ b=floor(a)
+ cat(sum(b%%2==0),sum(b%%2==1),'\n') # 偶数の数、奇数の数
+ sum(b%%2==0)=

708:=sum(b%%2==1) # mean(floor(a)%%2==0)==0.5でも同じ + } > sim((46343-1)/2) # n=2*23171+1=46343 23171 23171 [1] TRUE > sim(46343) 46343 46343 [1] TRUE

709:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:58:58 8d8gCNj7.net
x,yは正の実数とする。
x^(2x) - 2(x^y)(y^x) + y^(2y) ≧ 0,

(略証)
log は単調増加だから
　(x-y){log(x)-log(y)} ≧ 0
　(x/y)^(x-y) ≧ 1,
　(x^x)(y^y) ≧ (x^y)(y^x),
よって
(左辺) ≧ x^(2x) -2(x^x)(y^y) + y^(2y)
　= (x^x - y^y)^2
　≧ 0,

710:１３２人目の素数さん
20/03/15 23:21:08.82 OTl1KJku.net
10万＊２＋１までは成立することを確認。
> sim <- function(m,print=FALSE){
+ n=2*m+1
+ i=1:(n-1)
+ a=sqrt(i*n)
+ b=floor(a)
+ if(print) cat(sum(b%%2==0),sum(b%%2==1),'\n') # 偶数の数、奇数の数
+ mean(floor(a)%%2==0)==0.5 # sum(b%%2==0)==sum(b%%2==1) と同じ
+ }
> sim=Vectorize(sim)
> flg=sim(1)
> i=1
> k=1e5
> while(flg & i < k){
+ i=i+1
+ flg=sim(i)
+ }
> i
[1] 1e+05

711:１３２人目の素数さん
20/03/16 10:50:51.55 xw7qN3/R.net
>>666
>0.5×2+2.5×7+4.5×13+6.5×9+8.5×6+10.5+1=197
0.5とか2.5とかってなに？最後＋1とは？

712:イナ
20/03/16 11:23:55.08 thhgKhx4.net
(1･2+3･7+5･13+7･9+9･6+11)/38=217/38=5.71……≒5.7(冊)
（(-_-)∥　　∥>>665
（っ⌒⌒ﾞ　｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~　∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ`
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`前 >>589

713:１３２人目の素数さん
20/03/16 16:37:18 xt+nxb6a.net
正六角形ABCDEFの辺AB上に点Gをとり、また正六角形の内部に点Hを△CGHが正三角形となるようにとる。
このとき、Gのとり方によらず、Hはある直線上にあることを示せ。

714:１３２人目の素数さん
20/03/16 17:00:59.29 fnD/2c+P.net
下記問題はどうやるのですか？
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

715:１３２人目の素数さん
20/03/16 17:25:45 P4igaTJG.net
>>672
ありがとう、解決しました
>>671
0以上2未満だから0以上1以下読んだ人が二人いるので0.5冊×2人と考えました
+1は×1の間違えです

716:１３２人目の素数さん
20/03/16 17:32:12 Q3fVY21r.net
>>674
とりあえず誘導はともかくとして
ΣIn
=∫[0,π]sin^2(nt)/(t^2+π^2)dt
=1/2∫[0,π](1-cos(2nt)/(t^2+π^2)dt
→1/2∫[0,π]1/(t^2+π^2)dt
=1/8
だな。

717:１３２人目の素数さん
20/03/16 18:19:33.71 4LLVPoPK.net
>>673
複素平面上で考える。
O=0, A=1, B=e^(iπ/3), C=e^(i2π/3) = B - 1, ... , E= -B, ...
G = A + AB*t = 1 + (e^(iπ/3)-1)*t = 1 + C*t 　 ( t ∈ [0,1] )
と置くと
H = G + GC * e^(iπ/3) = (1 + e^(i2π/3)*t) + (e^(i2π/3) - 1 - e^(i2π/3)*t) * e^(iπ/3)
= (e^(i2π/3) + 1)*t - e^(iπ/3)
= B*(t - 1) = t*O + (1-t)*E
∴ HはOE線分上にのる。

718:１３２人目の素数さん
20/03/16 19:16:34.40 8zVl3xLP.net
>>651を書いたものです
 >>658
b_i(k)の定義がよくわからないです…。
a(k)は√の整数部分ですよね。b_i(k)はa(k)をiで割った余り？
だとすると0≦b_i(k)≦i-1か1≦b_i(k)≦iのどちらかのような気がするんですが
j=0のときはb_i(k)=0とb_i(k)=iを両方考えるんですか？
あと、>>651ではnは偶数でも奇数でもOKである、という予想です。

719:１３２人目の素数さん
20/03/16 19:18:36.76 8zVl3xLP.net
>>667
後半、typoや議論の重複があるので、少し丁寧めにまとめるとこうなるかな？
(補題1)　(□には <、≦

720:、>、≧ のうちどれか1つが入る) i □ √{j(n+1)} ⇔i^2 □ (n+1)j ⇔(n-i+1)^2=(n+1-i)^2=(n+1)(n+1-2i)+i^2 □ (n+1)(n+1-2i)+(n+1)j=(n+1)(n-2i+j+1) ⇔(n-i+1)^2 □ (n+1)(n-2i+j+1) ⇔n-i+1 □ √(n-2i+j+1)(n+1) (補題2) 補題1でiにi+1とかjにj-1やj+1を入れたものを含めると、次の4つがわかる i □ √{(j-1)(n+1)}⇔n-i+1 □ √(n-2i+j)(n+1) i □ √{j(n+1)}⇔n-i+1 □ √(n-2i+j+1)(n+1) i+1 □ √{j(n+1)}⇔n-i □ √(n-2i+j-1)(n+1) i+1 □ √{(j+1)(n+1)}⇔n-i □ √(n-2i+j)(n+1) この補題2の4つを使うと、次の3つのことがいえる [i,i+1)に√{k(n+1)}の形が2個含まれる ⇔あるjが存在し, i≦√{j(n+1)},√{(j+1)(n+1)}<i+1 ⇔あるjが存在し, √{(n-2i+j)(n+1)}<n-i,n-i+1≦√{(n+1)(n-2i+j+1)} ⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は0個含まれる [i,i+1)に√{k(n+1)}の形が1個のみ含まれる ⇔あるjが存在し, √{(j-1)(n+1)}<i≦√{j(n+1)}<i+1≦√{(j+1)(n+1)} ⇔あるjが存在し, √(n-2i+j-1)(n+1)<n-i≦√(n-2i+j)(n+1)<n-i+1≦√(n-2i+j+1)(n+1) ⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は1個含まれる [i,i+1)に√{k(n+1)}の形が0個含まれる ⇔あるj(0かnかもしれない)が存在し, √{j(n+1)}<i,i+1≦√{(j+1)(n+1)} ⇔あるj(0かnかもしれない)が存在し, n-i≦√{(n-2i+j)(n+1)},√{(n+1)(n-2i+j+1)}<n-i+1 ⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は2個含まれる

721:１３２人目の素数さん
20/03/16 20:09:56.52 bNeBdUF1.net
>>674
nを正の整数とし、
　I_n = ∫[0,nπ] n (sin x)^2 /{x^2 + (nπ)^2} dx
とする。
(i) kを正の整数とするとき、不等式
　　∫[(k-1)π,kπ] (sin x)^2 /{x^2 + (nπ)^2} dx ≦ 1/{2π[(k-1)^2 + n^2]},
が成り立つことを示せ。
(ii) lim[n→∞] I_n　を求めよ。

722:１３２人目の素数さん
20/03/16 20:13:24.31 8zVl3xLP.net
>>678への自己レス。
もしj=0のときは条件「b_i(k)=i」は単に「b_i(k)=0」と同じ条件と考える、のだったら、
>>658はあってそうです。
>>667の最後の段落について。
いや、前段までの論法で既に、整数部分がn/2より大のエリアと
整数部分がn/2より小のエリアでの、[i,i+1)∪[n-i,n-i+1)に必ず整数部分が2個含まれるという"対称性"は示されているから、
より大エリアでの余りがjなら、より小エリアでの余りは-jなわけで、
全体をトータルで考えて和をとれば2倍カウントすることになるわけで、「ほぼ」証明終わってませんか？
しかし、Excel眺めてるだけではこの"2個対称性"は気付かなかったな…
いわれてみれば確かにそうなのですが、すごい

723:１３２人目の素数さん
20/03/16 20:14:46.73 cD1W8NBe.net
>>677
ありがとうございます
平面図形で「同一直線上⇔∠OGE=180°」を使うよりも、複素数平面の方が解きやすいのでしょうか

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