ユークリッド幾何学は中学・高校数学から撤廃すべき

ユークリッド幾何学は ..

286:１３２人目の素数さん
20/08/24 10:08:11.58 k2q6IbMQ.net
>>282
なぜ、ユークリッド幾何学は「仮定が少なく直感的」で、他の数学は「ZF公理系から始める」みたいな、ありえない前提を置くのかな？

287:１３２人目の素数さん
20/08/24 10:16:10.06 k2q6IbMQ.net
そもそも、現在ユークリッド幾何学を「公理から教えている」学校などほとんど存在しないのだが

288:１３２人目の素数さん
20/08/24 12:33:04.36 2UVXpxRD.net
「ユークリッド幾何学を公理から始める」云々というのは、
「点」などの無定義術語といくつかの論理操作だけを認めて議論するということだが
これが「直感的」だと思う奴は、よほど特殊な感覚をしているのだろう

289:１３２人目の素数さん
20/08/24 12:39:05.11 2UVXpxRD.net
これに対して、「そういうことでは無い」というのかも知れないが、それなら
「ユークリッド幾何学以外の論証は、ZF公理系から始めなければいけない」云々もそうではない
ようするに、結論ありきで自分に都合のいい勝手な前提を付け足してるってこと

290:１３２人目の素数さん
20/08/24 12:52:41 irgpHBTu.net
学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ URLﾘﾝｸ(x0000.net)
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IT 電子工学言語学国語方言など

291:１３２人目の素数さん
20/08/24 23:39:40 sV7R6Gj4.net
>>286
ありえない、
という貴方だけの思い込み主張じゃないの？
なければ創造すればいいんじゃないの？

292:１３２人目の素数さん
20/08/24 23:46:13 sV7R6Gj4.net
>>287
そういう学校が皆無ではないんだ？
古今東西、どこかにあってもおかしくないし、
存在するならどこのなんていう学校（教育組織）か知りたいものだ。

293:１３２人目の素数さん
20/08/25 00:35:44.98 PGUS8Qse.net
>>288
＞これが「直感的」だと思う奴は、よほど特殊な感覚をしているのだろう
論証の手段（無定義語と形式論理）を「直感的」といってる人、少なくともここにいないんじゃない？
無定義語に対する書き手や読み手の直感なんて、個々人で勝手にどうぞのものだからこそ、「点」を「コップ」と置き換えてもいいわけでしょう。
直感は、論証の真偽には関わらないから、どうでもいいことでしょう？

というのは学問としての数学の行き着くところで、
教科としての数学では、事実上、無理筋。
幾何学という視覚的フィードバックで真偽性を納得しやすい、
現実世界の空間や平面や直線や点に関する「真」と仮定される特性を
述べた命題を公理にして、さまざまな命題を論証できることを学べる。
ところでユークリッド幾何学では、公理に数式はなかったと思うけど、
文字や数式を用いた論証もあるんだっけか。

294:１３２人目の素数さん
20/08/25 01:33:47.29 fHdQsJ1Y.net
数学分かってない文系がなぜわざわざ数学板までポエム書きにくるんだろう

295:１３２人目の素数さん
20/08/25 04:46:50.15 CcRxxR2n.net
>>285
>高校でも、メネラウスの定理だのチェバの定理みたいな何の実用性もないものが必修
射影幾何学までいくとありがたみが出るらしい
あと初等幾何学のいいところは数学的な論証の訓練になるだけでなく
補助線を見つけるというクイズ的なひらめきが必要なところが人気があるところだと思う
もちろん問題丸暗記で対処という学生にとっては無縁の境地だが

296:１３２人目の素数さん
20/08/25 09:09:32 3TmZ/V6e.net
>>294
分かってないのはお前

297:１３２人目の素数さん
20/08/25 09:48:49 JX4stI49.net
>>295
まったく数学分かってないのがまるわかり

298:１３２人目の素数さん
20/08/25 09:57:55.05 JX4stI49.net
>>295
まず、射影幾何学なんてのは「終わった数学」であって、ありがたみもクソもない
ユークリッド幾何学も同様
ひらめき云々言ってるが、まったく逆
迷惑を被るのは真面目に数学を勉強したい人たちであって、
得をするのは、補助線パズルの解法を丸暗記した人

299:１３２人目の素数さん
20/08/25 09:59:07.99 JX4stI49.net
なぜ、数学の専門的な教育を受けていないことが明らかなのに、そんなに自信満々で他人の意見を聞こうとしないのだろう

300:１３２人目の素数さん
20/08/25 10:37:27.48 apY5p5HQ.net
>>293
論証に数式を使う数学、使わない数学なんていう分類が何の意味もない
そして >>264でも言われているように、ユークリッド空間上の幾何学はすべてユークリッド幾何学なのだから、解析的な方法だけやればいい

301:１３２人目の素数さん
20/08/25 18:31:26 LqiSh/C2.net
同意ですね
大学入ってユークリッド幾何学の問題解くために補助線見つけてどうのこうのなんてしませんもの
三角形の相似や円の性質に帰着できるものしか扱えないんじゃ何も研究できません

302:１３２人目の素数さん
20/08/26 01:05:56.99 t5J9rk/g.net
ID:JX4stI49
なぜ、数学の専門的な教育を受けたっぽいのに、そんなに自信満々で他人の意見を聞こうとしないのだろう
過去に中傷レスしてた連中含め、別スレでユークリッドの名前見ただけで発狂して長文中傷連投しまくった「サル石」とか言う奴の自演じゃないのか。論調がそっくりだ。
JX4stI49みたいなのには大学以降の数学の方が有害かもな。数学の特定の分野や教育関係者のアンチになり、自分の考えが絶対的に正しいという思想の下、反論者を片っ端から中傷するようになるのだから。まあ、数学が悪い訳ではく、学ぶ側の人間性の問題だが。
スレタイから中身まで過激派過ぎてテロ思想に片足突っ込んでることに気づいた方がいい。
数学板にこんなアンチスレがあること自体信じがたいことではあるが。

303:１３２人目の素数さん
20/08/26 01:19:03.44 LykyaEnY.net
自分自身を客観的に見た方がいいよ

304:１３２人目の素数さん
20/08/26 01:33:27.58 siUQynzN.net
Euclid幾何学が歴史的な意味で重要だから教育に必要だと言っている人は、なぜ古代バビロニア、インド、中国などの数学は教育に取り入れようとしないのか
もっと言えば、文字式や+-×÷ などの算術記号でさえ、使われ出したのは歴史的に見てごく最近だが、そういう歴史主義者はなぜ算術記号を使わない数学を教育に取り入れようとしないのか

305:１３２人目の素数さん
20/08/26 02:21:19.24 14rf94HA.net
>>298
>まず、射影幾何学なんてのは「終わった数学」であって、ありがたみもクソもない
射影幾何学は図学では現代でも使われているしCADの原理はこれを知らないと理解できない
また代数幾何学がやりたいならある程度知っていると役に立つ

306:１３２人目の素数さん
20/08/26 02:37:51.94 siUQynzN.net
>>305
そうですか
じゃあ、君は何らかの分野と関わりのある数学は全部学ぶといいよ

307:１３２人目の素数さん
20/08/26 02:39:57.79 siUQynzN.net
> 射影幾何学は図学では現代でも使われているしCADの原理はこれを知らないと理解できない
> また代数幾何学がやりたいならある程度知っていると役に立つ
こういうのも、内容を理解していれば詭弁だと分かるが
結論ありきだから、自分に都合のいいことは何でも言うという態度なんだろうな

308:１３２人目の素数さん
20/08/26 02:54:30 siUQynzN.net
「図学で射影幾何学が使われる」というのは、「数学では論理が使われるから、論理学が必要」とか「数学では集合を使うから、公理的集合論が必要」と言ってるのと変わらない

射影幾何学が代数幾何学に役立つ（から射影幾何学が必要）というのも、「√-1は作図可能数だから、複素数を扱うなら作図も教える必要がある」というくらいのデタラメ
代数幾何学の現代的な基礎づけを理解していれば、特に射影幾何学の手法を理解している必要はない

何かしら関連があるだけのことを、射影幾何学の詳細な議論や手法が現代でも使われているということにすり替えている

309:１３２人目の素数さん
20/08/26 09:50:33.16 8ae+cQFx.net
志村も書いてあるが、こんなもんは深く(?)やる必要はない

310:１３２人目の素数さん
20/08/27 01:10:50.13 vVnTX2YX.net
>>300
とかいう輩が、「ユークリッド距離って何？」と問われて
アタフタするのが目に見えてる。

311:１３２人目の素数さん
20/08/27 07:55:44.17 NskZONE3.net
>>300
高校のニュートン力学の初歩と解析力学はおなじことを言っているのだから、初めから解析力学を教えればいいといっているようなもので、教育としてはそれは問題があると思う
みんなが高校までにニュートンレベルに力学を直感的に理解していたらそうかもしれないが、いきなり天下り式に教えるよりも、
手始めに速度って何、運動量って何、とつまみ食いしていったほうがイメージ重視の人でも理解できる
教育を受けてる皆んなが形式的な記述での読み書きを得意としてるわけじゃないんだよ
もちろん厳密な定義なり複雑な理論をまず理解してからでないと手も足も出ない分野があるのはわかるけど、
中等教育で教えたい論証のキモはその手のものじゃないだろう

312:１３２人目の素数さん
20/08/27 09:11:06.24 KPbX6qVr.net
>>311
> 高校のニュートン力学の初歩と解析力学はおなじことを言っているのだから、初めから解析力学を教えればいいといっているようなもので、教育としてはそれは問題があると思う
全然違う
なぜ分からないことを知ったかぶりで話すの？

313:１３２人目の素数さん
20/08/27 09:14:52.14 KPbX6qVr.net
①
まず余弦定理を通常の方法で示せばいいと書いており
ユークリッド幾何学の手法を全く使うな、などと言っていない
②
そもそも座標系やベクトルは「形式的な記述」ではない
というか >>177も言っているように、ユークリッド幾何学の方が数学の記述としては不自然で非直感的

314:１３２人目の素数さん
20/08/27 10:32:23.72 BaPql3dT.net
ユークリッド幾何学が直感的とかいうのは明らかに嘘でしょ
そう思うなら、3次曲線と直線の交点が3つ以下であることを、座標平面と方程式を使わずに示してほしいんだけど

315:１３２人目の素数さん
20/08/27 11:53:13.93 eLO0Wjl3.net
ユークリッド幾何学が分かりやすく、座標やベクトルが形式的だというなら、ぜひニュートン力学を座標やベクトルを使わずに記述してみてくれないか
高校物理でやるように、加速度は一定としてくれていいぞ

316:１３２人目の素数さん
20/08/27 12:22:44.35 5vvM11of.net
このスレを見ていると、ユークリッド幾何学を廃止しろと言っている人たちは、冷静に合理的に意見を述べていて、それに反対している人は議論のできないタイプの人だと分かる

317:１３２人目の素数さん
20/08/27 12:41:54 VxwCQ+7E.net
廃止派は、ユークリッド幾何学を廃止すべき根拠をきちんと述べており、その内容も納得できる

一方、反対派は
「証明を学ぶのはユークリッド幾何学に限らない」などの反論に対する再反論をしていないし

>>126に見られるように今論じている「ユークリッド幾何」の定義をすり替えたり、
>>282に見られるように「ユークリッド幾何学以外の分野の証明はZF公理系から始める」のような相手の言っていない勝手な前提を付け足すような
詭弁が目立つ

318:１３２人目の素数さん
20/08/27 12:59:58.00 v7C0Rtdl.net
ユークリッド幾何学が解析幾何より直感的だと言う人は、たとえば（円とは限らない）二次曲線の接線や法線を、座標平面・ベクトル・微分などを用いずに構成してみてくれないか

319:１３２人目の素数さん
20/08/27 13:11:00.00 3pAHP4OY.net
>>316
>>317
廃止派はユークリッド幾何学自体や文部科学省や反対派にヘイトスピーチや中傷しているだけなのに「冷静に合理的に意見を述べていて」とか「根拠をきちんと述べており」とか嘘つくなや。

320:１３２人目の素数さん
20/08/27 13:17:01.45 3pAHP4OY.net
一部の分野を差別して数学内部でクーデターみたいなことしてるから安達みたいな外敵につけこまれるんだよ。

321:１３２人目の素数さん
20/08/27 13:57:20.18 jq6L/JUy.net
実際未だにユークリッドによるユークリッド幾何学をやってるのは日本くらいなのでは？
ユークリッド幾何学という大きな括りで言えば、アメリカの中学はBirkhoff's axiomsによるユークリッド幾何学を展開している
ニュートン力学まで展開できるかは分からないが、少なくとも各公理が「定規とコンパスによって実験できる」という意味で直感的で分かりやすい

322:１３２人目の素数さん
20/08/27 14:00:18.06 jq6L/JUy.net
コンパスじゃなくて分度器だったわ

323:１３２人目の素数さん
20/08/28 00:40:57.81 iPej5jgG.net
>>313
数学の記述としては座標系を入れないのは不自然というのは同意するよ
一旦入れた後で取り払って公理系を作ったりしないといけないのだろうし
ただ、数学の自然な記述が人間の原始的な形への理解の形と近いか、というのは、人によるだろうが大半の人にとってはNOだと思ってるし、中等教育の数学の単元は数や図形を扱う方法を学ぶ演習(名前変わってるけど算数の延長)、ぐらいの意味合いだと思うので学問としての数学からみた自然な記述である必要がないと思う
積木や製図用具を目で見て触って得られた経験則をひとまず整理してみた、という出発点で教育を始めるのなら、
脳内にあるモデルとの差異が少ないから受け入れもしやすいでしょ。それが直感的という意味
中等教育までぐらいは、経験則を拡張して肉づけしていくのが目標の一つだと思う。それが学問など必要のない人たちの底上げにつながる
三角形の内角の和は180度、確かに外角と内角の和は180度というのは明らかに見えるからそうだな、という確度のレベルで拡張してやればいい
高等教育では、学問をやらなきゃいけないので経験則を要素還元してなるべく経験則でない形にして、仮定を減らしていくのが目的となるだろう
そもそも内角外角の前になんとなく受け入れてた直線とはどういう対象なのか、とかを調べていくのだろう

324:１３２人目の素数さん
20/08/28 01:44:38.31 uSUhoX66.net
>>314
>ユークリッド幾何学が直感的とかいうのは明らかに嘘でしょ
お前が嘘つき
例えばある2次の方程式を見せて「これが円です」とやるのか？ｗ
全然円のイメージがわかない
点も直線も方程式で表すと直感的ではない

325:１３２人目の素数さん
20/08/28 09:33:14 me/P6v3N.net
結論ありきでああ言えばこう言う思考の人は大変だな

326:１３２人目の素数さん
20/08/28 10:03:01 j8V9742A.net
>>324
また論点ずらしたね

?
何度も言ってるように、ユークリッド幾何学をすべてやらないなどと言っていない
余弦定理を幾何学的に示すと言っているわけだから、当然ピタゴラスの定理もやる

?
「式は見せるが図は見せない」みたいな意味不明な前提に立っているが
式を教えることとその軌跡を図示することは何も矛盾していない

327:１３２人目の素数さん
20/08/28 10:08:14 j8V9742A.net
>>323
>>324
ユークリッド幾何学が座標を使った幾何学より直感的だという人は、

「直線Lにおろした垂線と、点Fとの距離が等しい点の軌跡」

を放物線の定義として、中学生に二次関数を教える案を提示して下さい。

328:１３２人目の素数さん
20/08/28 10:09:55 j8V9742A.net
「円錐を母線に平行な平面で切断したときの断面」

でもいいよ

329:１３２人目の素数さん
20/08/28 10:16:03 zEK0JJ7X.net
>>327
比較的直感的であればよいので、その条件は十分条件であっても必要十分ではありません
定規と分度器で各公理を実験できるBirkhoff's axiomsが座標を使った幾何学より直感的ということにはあまり異存はないでしょう

330:１３２人目の素数さん
20/08/28 10:45:23.26 1lnghwRu.net
公準などから出発して厳密にやる幾何は不要（中高大学すべて）
中高でどこまでやるか（不要も含め）、の議論になってると思うんですけど
中学で座標、方程式や三角関数を使わない幾何をやっておくのは必要でないかと
高校大学や大人になってから、すぐに理解できるもしくは取り戻せる基礎だと思う
ただし、マニアックな補助線や不自然な分割図形の問題出題は極力止めるべきかと
三平方の定理や基本的事実（及び定理）を使っての問題が解ければいい
図形や絵から情報を読み取る、推理して論理的に考える、それを自分で繰り返すのは重要
あと、必要になったら学習すればいい、大人になって○○は使わないから不要というのは一見まともに思えるが危険
コロナを始め未知の事柄にぶつかり解決するためにはいろんな知識や柔軟な思考が必要になる
統計の分析は時代が入れたと思うが、社会に出たら嫌でもデータから読み取ることをしないといけない

331:１３２人目の素数さん
20/08/28 10:53:51.86 zEK0JJ7X.net
>>330
ならまず一行目から議論をやり直す必要があるということだね
日本の数学教育しか知らない人が多いと思うが、アメリカのほうが数学などの学問の成果も労働生産性も一人あたりGDPも上なわけだから、アメリカの教育を無碍には出来ない
そのアメリカはBirkhoff's axiomsから出発して厳密にやるのが主流

332:１３２人目の素数さん
20/08/28 11:15:31.32 1lnghwRu.net
>>そのアメリカはBirkhoff's axiomsから出発して厳密にやるのが主流
アメリカの幾何授業方法を取り入れるべきは、意見としてはありだと思う
けど日本で導入しない理由があるのでは？
あと、
>>アメリカのほうが数学などの学問の成果も労働生産性も一人あたりGDPも上なわけだから、アメリカの教育を無碍には出来ない
これ幾何教育方法が理由でしょうか？結論に簡単に結びつけてませんか？

333:１３２人目の素数さん
20/08/28 11:26:23.68 WDD/BoN3.net
>>332
無碍にはできない、という結論には簡単に結びつけることができる
議論する価値がある、とまでしか言ってないからな

334:１３２人目の素数さん
20/08/28 11:33:36.19 1lnghwRu.net
じゃ、一つの意見という扱いでいきます

335:１３２人目の素数さん
20/08/28 12:14:00.45 1lnghwRu.net
>>定規と分度器で各公理を実験できるBirkhoff's axiomsが座標を使った幾何学より直感的ということにはあまり異存はないでしょう
Birkhoff's axioms方式を推奨されてるようなので質問します
面倒なら答えなくて結構ですが、関連情報のリンク先を提示いただけると幸いです
００１．アメリカのどの教育課程で導入されているのでしょうか？
　　　　（全州、もしくは州ごとに異なるなどあればぜひ）
００２．いつからアメリカで導入されているのでしょうか？
００３．これが学生の学力向上に貢献している定量的分析がされているのでしょうか？
００４．内容は初等幾何のどのくらいまででしょうか？
００５．良いのなら日本で導入検討されてもいいと思うのですがそうならない理由は？
　　　　（あなたの推測でもかまいません）
００６．あなたがBirkhoff's axiomsを推奨する理由は結局何ですか？

336:１３２人目の素数さん
20/08/28 12:45:52.82 WDD/BoN3.net
>>335
概ねこちらに記載されていますね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
かなり受動的なようですけど、ここで私が答えなければBirkhoff's axiomsは無視するんでしょうか
ユークリッド幾何学の教育における有用性、というテーマに沿えば「ユークリッドの公理系によるユークリッド幾何学を教えることは～である。よってユークリッド幾何学を教えることは～である。」などと結論付けることは無知に基づく論理の飛躍にしかならないと思いますが

337:１３２人目の素数さん
20/08/29 15:11:45 43jVZdZa.net
>>326
論点をずらしているのはお前

>>ユークリッド幾何学が直感的とかいうのは明らかに嘘でしょ
に対する反論が>>324なのに、

>何度も言ってるように、ユークリッド幾何学をすべてやらないなどと言っていない

と答えるのは何もわかっていない証拠
今の論点は、「ユークリッド幾何学が直感的」か否か。おわかり？

338:１３２人目の素数さん
20/08/29 17:30:52.94 ZWpRtgUv.net
ネットによくいる議論ガイジだな
ダメだこりゃ

339:１３２人目の素数さん
20/08/29 18:28:10 b3SzMGwu.net
>>337
あなたが言っているのは

座標平面などを用いるよりもユークリッド幾何学的にやった方が直感的な"場合がある"

というだけですね
何度も言っているように、そういうものはユークリッド幾何学の手法で導入すればよいわけです

340:１３２人目の素数さん
20/08/29 18:45:44.68 b3SzMGwu.net
>>337
ユークリッド幾何学が直感的という方にお尋ねします
下記のどれかを、座標平面、ベクトル、初等関数、微分積分などを明示的に使わずに、公理的な方法のみで示していただけないでしょうか？
そして、それが上のような手法を使った場合より直感的であることを説明していただけますか？

①
初速v0で投げ上げた物体が最高地点に到達するまでの時間を求める
ただし、物体の軌跡が「ある点Fと、ある直線Lをとったとき、FP = (PからLに引いた垂線の長さ)となるPの集合」となることを用いる
②
放物面と任意の平面に囲まれた領域の体積を求める
③
平面3次曲線と直線が高々3点で交わることを証明する

341:１３２人目の素数さん
20/08/29 18:55:38.97 gICDV3If.net
どうでもいいけど円の方程式って十分直観的じゃね
あれってピタゴラスの定理を書き換えただけでしょ
そこから自然に三角関数も生まれるわけで

342:１３２人目の素数さん
20/08/29 18:56:10.66 b3SzMGwu.net
②の「放物面」は、回転放物面です

343:１３２人目の素数さん
20/08/29 19:44:35 EA3vChtV.net
国民一般（中学、高校）向け数学教育、教科としての数学は、

一般教養として数学の応用価値と実用性（算術、数式、図形）の観点を
学ぶことを重視すべきだろうけど、

ある意味それ以上に、数学が形而上学として成立している生命線、
つまり公理系と論証（無定義語と形式論理）そのものの存在、
論理的合理性の諸観点（無矛盾、完全、独立）、そして自然科学を含む
分野横断的有用性の観点を学ぶことも基本であるべき、
と思うのは私だけだろうか。

そして「直感」なるものは、
前者の観点での教程・応用では有用な「客観事実」を指すだろう。
後者の観点では無用な「主観幻想」で、むしろご自由にどうぞとなる。

344:１３２人目の素数さん
20/08/29 20:08:01.10 snmdkBXx.net
>>343
それはお前の妄想だよ
以上

345:１３２人目の素数さん
20/08/29 20:11:01.67 EA3vChtV.net
>>344
「それ」って？

346:１３２人目の素数さん
20/08/29 20:13:51.34 snmdkBXx.net
出たｗｗ
すっとぼけガイジｗｗｗｗｗｗｗ

347:１３２人目の素数さん
20/08/29 20:21:58.69 EA3vChtV.net
なんだ、ただのおバカの一つ覚えか。

348:１３２人目の素数さん
20/08/29 20:51:44.89 3SHAQK38.net
>>343
> ある意味それ以上に、数学が形而上学として成立している生命線、
> つまり公理系と論証（無定義語と形式論理）そのものの存在、
> 論理的合理性の諸観点（無矛盾、完全、独立）、そして自然科学を含む
> 分野横断的有用性の観点を学ぶことも基本であるべき、
> と思うのは私だけだろうか。
全くそんな側面は無い

349:１３２人目の素数さん
20/08/29 20:59:39.07 0HnXk1qz.net
>>343
全くその通りで、だからアメリカなどはユークリッド幾何学の公理を洗練させてその元で論証を行う
だからそれを否定する人が日本の数学徒に多いとしたら、それは日本の数学の教育が遅れているということだろう

350:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:09:08.15 3SHAQK38.net
数学はただの道具
微分積分・線形代数すらまともに扱えない文系が
論証の重要性だのといった数学ポエムを嘯くのはやめたまえ
みっともないぞ

351:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:11:29.11 3SHAQK38.net
大学で落ちこぼれた人が
コンプレックス晴らすために教養バカになるんだよね
すっぱい葡萄の逆バージョン

352:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:24:54.92 0HnXk1qz.net
URLﾘﾝｸ(matheducators.stackexchange.com)
「ユークリッド幾何学は高校生に教えるべきか？」という上記の質問サイトの質問で、最も票を得た回答において、ユークリッド幾何学が重要とされる理由の一つが以下
Scaling of Argumentation level
Theorems in Euclidean Geometry can be proven or argumented for on different argumentation levels: intuitively formal-rigorous, abstractedly formal-rigorous (Euclid's way), with generalizable examples, using intuitive knowledge (symmetry, movement invariance, …).
理系文系以前に数学を学部二年レベルまでしか知らなさそうな上の彼も、流石に英語くらいは読めるだろう

353:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:28:05.36 0HnXk1qz.net
N.B. もちろんこれは「日本のユークリッド幾何学の教育」の話ではない

354:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:32:35.37 EA3vChtV.net
スレッドの趣旨に関係ないレスには、スルーをご勘弁。
ラベル貼り好きですの主張、相手するのも、みっともないし。

355:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:48:29.15 gICDV3If.net
論証を教えるだけなら初等整数論でよくね

356:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:54:20.23 EA3vChtV.net
>>349
＞アメリカなどはユークリッド幾何学の公理を洗練させてその元で論証を行う
ユークリッド幾何学の公理を洗練させて云々は、
義務教育レベルのことなのですかね。
日本にユークリッド幾何学が入ってきたのは、
いつの時代だったのかと思いますね。
参考になる情報ありがとう。

357:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:55:01.18 kC6dAE5/.net
というか数学はすべて論証なんですがね

358:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:57:00.60 kC6dAE5/.net
図形を扱うから
→それ、ユークリッド幾何学に限らないよね？
様々な証明があるから
→それ、ユークリッド幾何学に限らないよね？
計算がないから
→ちょっと意味が分からない

359:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:58:40.20 gICDV3If.net
>>357
全然理解されてないけどな
n = 1 ではこう、 n = 2 ではこう、 n = 3 ではこう、…
よって n = ∞ のときはこうである。
って解答する大学生を見たことあるよ

360:１３２人目の素数さん
20/08/29 21:58:50.66 WmScapNr.net
解析の参考書スレが万年実数論やってる奴ばっかなのと同様、こんなスレで長々とポエム書いてる馬鹿も万年高校数学しかできないからな

361:１３２人目の素数さん
20/08/29 22:39:00.44 0HnXk1qz.net
>>356
Burkhoff's axiomsは義務教育レベルの話
 >>358
計算がない、というのは向こうのユークリッド幾何学教育の話

362:１３２人目の素数さん
20/08/29 23:36:57 EA3vChtV.net
「ユークリッド距離」という理論上も実用上も重要な概念が、
教科としての数学の一単元（「図形」に関する半ば物理学の単元）
として、人類が理解し納得するために、
　「ユークリッド幾何学なしには、どうしようもない」
というのが現状か？
という問に対し、
当スレでは、肯定的結論が出ているとのことで、よろしいかと。
従ってユークリッド幾何学を、まったく外すことはかなわぬ、
という結論かと。

一次元の数直線上の距離（長さ）という概念を拡張するように
二次元の平面や三次元の空間上に座標を入れて定義される、
ユークリッド距離が、実用上の観点から重要なことはいうまで
もない。
一方でユークリッド距離を内包する幾何学的図形に関する科学
的「法則集」が、定規や分度器で測るという行為を通して万人
が確かめられる経験・実験・観察な事実の「寄せ集め」でなく、
それら「法則集」の集大成として論理体系にまとめた公理系と、
そこからの論証で導かれる命題体系が存在し、
それがユークリッド距離を内包する幾何学的図形に関する科学
的「法則集」の《論理的合理性の根拠》を与えている。
その公理系と命題体系の総称名が「ユークリッド幾何学」。

少なくとも義務教育レベルで、ここまで学ぶべきであろうかと。
（∵天下りに教義とする「ユークリッド教（仮）」は論外）

363:１３２人目の素数さん
20/08/30 01:13:07.63 X8D7iYSM.net
>>362
ユークリッドというよりピタゴラス距離って呼ぶべきだと再認識。

364:１３２人目の素数さん
20/08/30 01:15:49.13 5BeLtRJT.net
どこを縦読み？

365:１３２人目の素数さん
20/08/30 05:09:29.39 nGdp7HWf.net
数学的内容の全くないポエムを長々と書くのが趣味か
頭のおかしいやつなのだろう

366:１３２人目の素数さん
20/08/30 14:17:59.06 nGdp7HWf.net
このスレを見ていると、ユークリッド幾何学不要派は論理的に議論ができて、必要派はそうでないことが分かりますね

367:１３２人目の素数さん
20/08/30 14:43:56.71 Pui83fsL.net
何をもって「論理的」と自負されているか、まったく見えない。
そういうレスで自分を誤魔化さざるをえないなんて、
天下り知識を詰め込む戦士養成教育の被害者なのでしょうかね。
本当に可哀相としか。欠陥教育の罪は、極めて重い。

368:１３２人目の素数さん
20/08/30 17:38:01.56 /BS1QVZU.net
>>367
全く持って同意

369:１３２人目の素数さん
20/08/30 19:40:50.44 ZFDWT5Ci.net
>>361
> 計算がない、というのは向こうのユークリッド幾何学教育の話
？
日本のユークリッド幾何学には計算があるの？

370:１３２人目の素数さん
20/08/30 19:49:40.93 ZFDWT5Ci.net
>>361
俺は本人じゃないから知らんけど
① 機械的に式を立てれば解けるわけじゃないので、当てずっぽうで解くのを防げる
② 計算よりも図形的な性質の方が受け入れやすい
ということを主張しているように見えるけど
②に関しては、多角形や円周のごく限られた性質以外をユークリッド幾何学の範疇で論ずるのは全然直感的ではないと何度も言われてるんだけど
違うというなら >>340に答えてよ
また①に関しても、教え方の問題だとしか言いようがない
掛け算順序問題みたいな同じ根拠でやってるけど明らかなトンデモだし

371:１３２人目の素数さん
20/08/30 19:51:30.61 37KGVLJ1.net
>>369
アメリカの高校では、逆に幾何学以外の講義は計算ばかりで理由が明らかにならないんだが、
その反動として、幾何学の講義では「厳密な形で」証明を学ぶ
実際、ユークリッド幾何学のwikipediaにもこう書かれている
(ユークリッド幾何学は) still taught in secondary school (high school) as the first axiomatic system and the first examples of formal proof.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ちなみにアメリカの高校はK-12と言って日本で言う高校までが義務教育だが、アメリカの高校は4年なので、日本での中3も該当する
secondary schoolはアメリカだと通常その4年を指す

372:１３２人目の素数さん
20/08/30 19:53:43.29 ZFDWT5Ci.net
>>371
俺は「アメリカのユークリッド幾何学に計算があるかどうか」を聞いているんじゃなくて、
「ユークリッド幾何学には計算がない。したがって、ユークリッド幾何学を教えるべきだ」
という推論の根拠を聞いているんだけど

373:１３２人目の素数さん
20/08/30 19:59:17.77 37KGVLJ1.net
>>372
>>369に「日本のユークリッド幾何学には計算があるの？」とあるが
答えとしては「アメリカのユークリッド幾何学に比べれば日本のユークリッド幾何学は計算の面が強い」と言える

374:１３２人目の素数さん
20/08/30 20:00:15.33 ZFDWT5Ci.net
>>371
> アメリカの高校では、逆に幾何学以外の講義は計算ばかりで理由が明らかにならないんだが、
> その反動として、幾何学の講義では「厳密な形で」証明を学ぶ
これも何度も言われてるように、数学はすべて証明問題なのだから、代数だろうが幾何だろうが証明を課せばよい話
また日本の場合、大学入試はもちろん、高校入試でさえほとんどが論述式で、数学的に厳密に合ってなきゃ点くれないけど

375:１３２人目の素数さん
20/08/30 20:40:52.20 37KGVLJ1.net
>>374
代数は視覚化できない

376:１３２人目の素数さん
20/08/30 20:50:19.07 fBQLIFXj.net
>>375
① 「代数も厳密な論述を課すことができる」ということを言っているのであって、視覚化できるかどうかを問題にしていません。
② そもそも代数は視覚化できます。「2次曲線と直線が接するのは、定義する多項式が重根を持つことと同値」「x^2 + y^2 = 1は単位円周を表わす」など。
論点をずらさないで下さい。
後出しで条件を足すならば、「なぜそのような条件が問題になるのか」を明らかにして下さい。

377:１３２人目の素数さん
20/08/30 20:53:55.07 37KGVLJ1.net
>>376
論点はスレタイ
スレタイに対して21票貰ってる答えがある(ただし「日本のユークリッド幾何学」ではない)
その回答である「ユークリッド幾何学は3つの特徴を持つ」に対して、「でも2つ目の特徴は代数でもできる」などと局所的に反論することこそが論点からずれている

378:１３２人目の素数さん
20/08/30 20:57:23.97 37KGVLJ1.net
主題を議論したいならやるべきことは「21票も貰っている回答を否定できるほどのものを持ってくる」ことであって、「俺を言い負かす」ことではない
だから俺に対する意見を求めることは論点から見てなんの意味も無い

379:１３２人目の素数さん
20/08/30 21:02:09.17 fBQLIFXj.net
>>377
① 局所的にではなく、すべての論拠に対して反論しています。
「証明がある」「視覚化できる」という論拠に対しては、代数でも全く同様のことが言えると言っています。
「計算がない」という論拠に対しては、>>372で「それがどうして理由になるのか」と質問しています。早く答えて下さい。
② そもそも「論点の1つに反論するのは論点ずらし」というのは意味不明です。

380:１３２人目の素数さん
20/08/30 21:04:11.88 fBQLIFXj.net
>>378
要は議論する気がないと言うことね
ついでに言えば、stack exchangeの回答よりも説得力のある対立意見はこのスレで何度も出ている

381:１３２人目の素数さん
20/08/30 22:06:46 37KGVLJ1.net
>>379
代数がユークリッド幾何学と比較しても視覚化できるということに同意する人はあまりいないと思う
実際、俺はそうは思わないので、あなたが代数を持ち出したところで「ユークリッド幾何学の視覚化できるという利点を無視して、局所的に反論している」ように見えた

どうしてそれが理由になるのか、は
Many proofs in Euclidean Geometry include no calculations at all, others only as small substeps. Consequently, students can learn that way, that maths is not just calculations.
と記載されている

>>380
それを確証バイアスと言います

382:１３２人目の素数さん
20/08/30 22:20:58.57 5icKnGWa.net
>>381
> 代数がユークリッド幾何学と比較しても視覚化できるということに同意する人はあまりいないと思う
んなこたないでしょ
現状、日本の高校2年生以上の数学（幾何学）はユークリッド幾何学式の方法によらないやり方で記述されているんだけど

383:１３２人目の素数さん
20/08/30 22:24:57.35 5icKnGWa.net
というより、このスレの何人かが言っているような
「ユークリッド幾何学を公理から初めて厳密に展開すべき」
なんてことを主張している人こそ少ないでしょ
事実、現状そうなっていないし

384:１３２人目の素数さん
20/08/30 22:29:34.50 37KGVLJ1.net
>>382
ベクトルのこと？
もしベクトル空間から始めるならやはり可視化しづらいし、
高校数学的なベクトルなら結局計算でしょ
「3つの条件すべて」を満足する代替案を持ってこないと上の回答の反論にならないって
 >>383
日本ではそうだな
でも日本のやり方、日本人の考え方が正しいとは限らないしな

385:１３２人目の素数さん
20/08/30 22:30:21.03 5icKnGWa.net
これも何度か言ってるのに無視されるんだけど、>>376に書いてある
「放物線と直線が接する条件」（中学3年生～高校1年生で習うごく基礎的な事項）
を、座標と多項式使わずに、ユークリッド幾何学の公理から定式化して欲しいんだけど

386:１３２人目の素数さん
20/08/30 22:37:05.21 5icKnGWa.net
>>384
> ベクトルのこと？
ベクトルに限らず、座標平面も、三角関数も、複素平面も、微分積分も、二次曲線も全部そうだけど
> 「3つの条件すべて」を満足する代替案を持ってこないと上の回答の反論にならないって
これも何度も言ってるが
「その3条件を満たすならば高校数学で教えるべき」
という根拠を示せよ
特に③の「計算がない」ってやつを

387:１３２人目の素数さん
20/08/30 22:44:28.52 5icKnGWa.net
>>386で言っている根拠について
 >>370に書いてあるような論拠で言ってるなら、それについては反論しているから、再反論をするべき
そうでないなら、新しい論拠を示すべき

388:１３２人目の素数さん
20/08/30 23:03:20.03 37KGVLJ1.net
>>386
おおよそ代数じゃないしやはり計算がメインだな
当てずっぽうで解けるのを防げるだのは全く関係ないのでともかく、
体積を求める問題やら放物線と直線が接する条件やらをユークリッド幾何学の範疇でやるとは誰も言ってない
ユークリッド幾何学のwikipediaにも「最初の公理系と形式的証明として教えられる」とあるように、それが目的なわけで、放物線と直線が接する条件やらは必要なら別の機会にやればいい

389:１３２人目の素数さん
20/08/30 23:47:46 lJULvR7z.net
まあ確かに掛け算の順序問題的な側面はあるのかもね
論理が正しければどこまでもついて来れる人と、
論理の正しさよりも身体的な感覚との一致や、問題を解く上でのルールがないとついて来れない人のどっちもいて、
どちら向きの授業をすればいいのかという話。
促成教育を狙うあまり結果として現場や細部が歪んでしまっているということはあるのだと思う。

390:１３２人目の素数さん
20/08/31 04:52:44.57 NQCGKPkd.net
代数式オンリーの立場だったら、例えば、三角形の内角の和が180°という定理の証明はかなり難しいと思う。
そもそも角度の概念を代数式だけで会得するのは無理
天下りの定義を覚えるのが関の山で教育的ではない

391:１３２人目の素数さん
20/08/31 05:03:13.56 RBiy3OQM.net
>>390
そうだね
でも、そんなこと誰も主張してないよね

392:１３２人目の素数さん
20/08/31 11:18:16.53 IimFfnh5.net
>>388
何度も言ってるんだけどさ、
「公理系と形式的証明を教えられるならばユークリッド幾何学を教えるべき」
となる根拠を示してよ

393:１３２人目の素数さん
20/08/31 11:59:39.06 HOEGN9xh.net
>>381
> Consequently, students can learn that way, that maths is not just calculations.
これは単なる教え方の問題であって
ユークリッド幾何学に限らないですよね

394:１３２人目の素数さん
20/08/31 12:21:49.13 Q32UwMtw.net
>>392
現代数学、特に抽象代数の基本だからだが
 >>393
数学はただの計算ではないことを学べて、かつ第一、第二の理由も満たすものでユークリッド幾何学以外に例えば何？

395:１３２人目の素数さん
20/08/31 12:22:34.17 HOEGN9xh.net
>>394
> 数学はただの計算ではないことを学べて、かつ第一、第二の理由も満たすものでユークリッド幾何学以外に例えば何？
すべての数学がそうだろ

396:１３２人目の素数さん
20/08/31 12:25:50.45 HOEGN9xh.net
>>394
> 数学はただの計算ではないことを学べて、かつ第一、第二の理由も満たすものでユークリッド幾何学以外に例えば何？
二次関数
三角関係
解析幾何（数2の図形と方程式）
ベクトル・一次変換
複素平面
二次曲線
微分積分
すべて
① 可視化できて
② 様々な方法で証明できて
③ ただの計算ではないことを学べる

397:１３２人目の素数さん
20/08/31 12:30:00 HOEGN9xh.net
>>394
> 現代数学、特に抽象代数の基本だからだが

じゃあ微分積分やベクトルにおける論証は現代数学の基本ではないの？

398:１３２人目の素数さん
20/08/31 12:36:22.54 Q32UwMtw.net
>>396
ただの計算だが
逆に聞きたいんだけど回答者+21票の22人全員が、それを知らずにユークリッド幾何学を認めたと思ったの？
>>397
だから微分積分の講義もベクトルの講義もあるだろ

399:１３２人目の素数さん
20/08/31 12:49:06 Q32UwMtw.net
微分積分やベクトルで論証が学べる、と思ってるというのは、
そもそも抽象代数学のような厳密な数学が微分積分、ベクトルの計算より歴史的に圧倒的に後であることを知らないのだろう
微分積分、ベクトルなど「だけ」をやっても、抽象代数学が発展する前の非厳密な数学の時代と同じこと

400:１３２人目の素数さん
20/08/31 12:52:23 Q32UwMtw.net
と思ったけど矢印ベクトルはそんな昔でもなかった
まあ矢印ベクトルは19世紀で抽象代数学は20世紀初頭
もし微分積分やベクトルによって厳密な数学の理解が得られるのなら、抽象代数学の登場はもっと早かったということになる

401:１３２人目の素数さん
20/08/31 13:13:42.96 sekpxyAl.net
>>398
> ただの計算だが
では、以下の命題を「ただの計算」で示してみて下さい。
① 実数係数の多項式f(x)と、0でない実数係数の多項式g(x)に対して、多項式q(x), r(x)が一意的に存在して、f(x) = q(x)g(x) + r(x) (deg(r) < deg(g))を満たす
② tan(1°)は無理数である
③ 実数係数の3次多項式は、実数根を少なくとも1つ持つ

> 逆に聞きたいんだけど回答者+21票の22人全員が、それを知らずにユークリッド幾何学を認めたと思ったの？
22人が「ユークリッド幾何学を認めた」から何なんだ？
こっちは首尾一貫して、「その論拠はユークリッド幾何学に限らず当てはまるから、ユークリッド幾何学を特別教えるべき理由にならない」と言っている
それに対して全く反論がてきていないのはそっち

> だから微分積分の講義もベクトルの講義もあるだろ
じゃあ、微分積分の講義とベクトルの講義をすれば「現代数学の基本」は学べるわけだから、ユークリッド幾何学は必要ないよね

402:１３２人目の素数さん
20/08/31 13:22:33.00 sekpxyAl.net
>>399-400
全く以て意味不明
> 微分積分やベクトルで論証が学べる、と思ってるというのは、
> そもそも抽象代数学のような厳密な数学が微分積分、ベクトルの計算より歴史的に圧倒的に後であることを知らないのだろう
> 微分積分、ベクトルなど「だけ」をやっても、抽象代数学が発展する前の非厳密な数学の時代と同じこと
① 微分積分やベクトルが「厳密な数学ではない」というのが間違っている
日本の高校数学では極限の定義と中間値の定理の証明を省略していることを除いて、すべての命題に対して証明を与えている
（円周の長さの定義が循環論法になるが、それを問題にするなら、ユークリッド幾何学を前提に円周の長さを扱っているカリキュラムはすべて同様）
② 現れた時代が前だから厳密でないというのも間違い
そもそもそれを言ったらユークリッド幾何学は微分積分なんかよりもずっと前に出現しているのだが

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