面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～な 31問目 at MATH

1007:１３２人目の素数さん
20/04/03 22:04:19.35 1+NoQgUm.net
長方形を寝かせて六段重ねたものを作り、両サイドの中央に一個づつ立たせてくっ付ける
重ねた長方形の角までの距離=(長辺÷2)^2+(短辺×3)^2=2^2
横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2

1008:１３２人目の素数さん
20/04/03 22:07:16.00 1+NoQgUm.net
>>983訂正
×　横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2
○　横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(長辺÷2)^2=2^2

1009:１３２人目の素数さん
20/04/03 22:10:18.16 1+NoQgUm.net
また間違えた距離じゃなくて距離^2だった

1010:１３２人目の素数さん
20/04/04 01:09:41 hLQ36is2.net
ほぼ正解です！
充てん率で言えば　9.846154 / 4π = 0.783532

□よりも細長い方が収まりがいい（?)

1011:１３２人目の素数さん
20/04/04 02:01:24 pmTrKGmv.net
正直あまり数学って感じでもないけど

ある日の午前中に雪が降り始めた。
除雪車が正午ぴったりに動き出し、
1時間で2マイルの除雪を完了し、
さらに1時間で1マイルの除雪を完了した。さて雪が降り始めた時刻は？
ただし、その日雪が降り始めるまでの積雪は0、雪は一定の速さで降り積もり、除雪車が単位時間あたりに処理する雪の体積は常に一定とする。

上記のようなSnow plow problemの派生として

それでは2時間後の加速度が1時間後の半分になる場合、雪が降り始めた時刻を数値的に求める場合にあると便利な数表はなにか？理由付きで。

電卓等は使わないものとする

1012:１３２人目の素数さん
20/04/04 10:39:27 hLQ36is2.net
>>986
　√(8/17) × 3√(8/17) の長方形を7つ詰め込むと充てん率が
　9.882353 / 4π = 0.7864
となり、正方形の内接円の充てん率 (π/4=0.7854) を超える。
とくに意味はないが････

1013:１３２人目の素数さん
20/04/04 11:47:35 hLQ36is2.net
正午よりc時間前に雪が降り始めたとする。
積もった雪の高さは t+c に比例し、
除雪車の速さv(t)は t+c に反比例する。
　v(t）= k/(t+c),
正午からt時までに除雪車が進んだ距離は
　∫[0,t］v(t')dt' = ∫[0,t] k/(t'+c）dt'
　= k･log{(t+c)/c}

題意により、
　k･log{(c+1)/c｝= 2マイル
　k･log{(c+2)/c｝=（2+1)マイル
　　
∴ 3log{(c+1)/c｝= 2log{(c+2)/c},
∴（c+1)^3 = c(c+2)^2,
∴ c =（√5 -1)/2 = 0.618034（時間）= 37.082（分)

加速度は -k/(t+c)^2 だから
　1/(c+2)^2 = 1/{2(c+1)^2},
　0 = 2(c+1)^2 - (c+2)^2 = cc -2,
　c = √2,

雨は夜更け過ぎに　雪へと変わるだろう
Silent night,　Holy night
∴　平方根表。

1014:１３２人目の素数さん
20/04/04 11:55:52 S2S4Ftgc.net
時間当たり除雪量をJ、時点tのときの雪の高さをH(t)=(t+a)/hとし、除雪車の位置をx(t)
除雪車は短い時間dtでdx進み、その間少しの雪dxH(t)を除雪するから、dtJ=dxH(t)
x(t)=∫dx=∫dtJ/H(t)=Jh∫dt/(t+a)、x(t)-x(0)=Jhln((t+a)/a)だから、
x(1)-x(0)=Jhln((1+a)/a)=2、x(2)-x(0)=Jhln((2+a)/a)=3、3ln((1+a)/a)=2ln((2+a)/a)
((1+a)/a)^3=((2+a)/a)^2、a^2+a-1=0より、aはフィボナッチ数(√5-1)/2
雪は正午から(√5-1)/2時間前に降り始めた

dx(t)/dt=Jh/(t+a)、ddx(t)/dtdt=-Jh/(t+a)^2だから、-Jh/(2+a)^2=(-Jh/(1+a)^2))*1/2と置くと、
(2+a)^2=2(1+a)^2、a^2-2=0、なので√2時間前

平方根表が必要

1015:
20/04/04 19:39:42.47 xmNOPA8p.net
前 >>980
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形①、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形②、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形③、
(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)を頂点とする単位正方形④を描き、
5つ目の単位正方形⑤を第1象限に、
6つ目の単位正方形⑥を第2象限に、
⑤と⑥がy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形⑦の中心を第3象限に、
8つ目の単位正方形⑧の中心を第4象限に、
⑦と⑧がy軸に対して線対称となるように置き、
⑤⑥⑦⑧がそれぞれ1つの頂点で円と内接するように置けないでしょうか？　もし2つ3つ3つと積み重ねて正対させる以外の置き方がないとしたらちっとも面白い問題じゃないです。

1016:イナ
20/04/05 14:29:03.18 kyAykWoL.net
前>>991 >>955予想。 ①②をy軸に対して線対称にハの字型に置き、①の右下辺の傾きを4/3、②の左下辺の傾きを-4/3としy軸上で接するようにする。 ③は原点付近に中心を置き正対させ、④をy軸に対して45°回転させ頂点を(0,2)と(0,2-√2)に置く。 ⑤～⑧の中心を第1～4象限に置き、 ⑤⑧は②と同じ傾きにし、⑥⑦は①と同じ傾きにすると、 ①,②,④～⑧をそれぞれ1つずつの頂点で円に内接するように置くことがぎりぎりできないかと思う。

1018:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/04/05 22:22:31 kyAykWoL.net
前 >>992
>>955別解。
??をy軸に対して線対称に置き、?の左上辺の傾きを3/4,左下辺の傾きを-4/3にする。
?の中心を原点に配置しx軸,y軸に正対させ、?をy軸に対して45°回転、頂点を(0,2),(0,2-√2)に配置する。
?の左上辺と右下辺の切片の差は7/5。
???の左上辺の傾きを3/4,
???の右上辺の傾きを-3/4にあわせ、
?をめいいっぱい上げて?の左端のx座標が1/2より大きく、かつ右端の座標の2乗和が、
x^2+y^2≦4の範囲にあればいい。
?の左端の頂点を?の右下辺よりわずかに下にとるには、
y=x+2-√2に0.4を代入し、
y=0.4+2-√2=0.985786438……
(0.4,0.98)とすると確実に?と?は離れていて、
?の上端の座標は、
(0.4+0.8,0.98+0.6)=(1.2,1.58)
1.2^2+1.58^2=3.9364＜4
?の右端の座標は、
(1.2+0.6,1.58-0.8)=(1.8,0.78)
1.8^2+0.78^2=3.8484＜4
?の下端の座標は、
(0.4+0.6,0.98-0.8)=(1,0.18)
?の右下辺および?の左上辺の方程式は、
y=3(x-1)/4+0.18
?の左端の座標を(0.56,-0.15)とすると、
?の右端の座標は、
(0.56+0.8+0.6,-0.15-0.8+0.6)
=(1.96,-0.35)
1.96^2+(-0.35)^2=3.9641＜4
?の左下辺および?の右上辺の方程式は、
y=-4(x-0.56)/3-0.15
?の左端はy軸に接するといいから、?の上端のx座標0.8を代入し、
?の上端の座標は(0.8,-0.47)
?の左端の座標は(0,-1.07)
?の下端の座標は(0.6,-1.87)
0.6^2+(-1.87)^2=3.8569＜4
?の右端の座標は(1.4,-1.27)
1.4^2+(-1.27)^2=3.5729＜4
∴単位正方形8つを真ん中の1つ以外をすべて正対させることなく半径2の円内に納めることができる。

1019:１３２人目の素数さん
20/04/06 03:03:42.48 39Ei0lMN.net
[0,1]上の無理数xに対して、
xの連分数展開を[a_0;a_1,a_2,...]とする.
p_n(x):= [a_0;a_1,a_2,...,a_n]としたとき、
極限lim(n→∞) (x-p_n(x))^(1/n)を求めよ.

1020:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/04/07 03:01:26 St9xu4sq.net
前>>993訂正。?の左上辺と右下辺の切片の差は5/4。
>>955
単位正方形??の頂点を(0,-1.07),(±0.6,-1.87),(±1.4,-1.27),(±0.8,-0.47)
単位正方形?の頂点を(-0.5,0.5),(-0.5,-0.5),(0.5,-0.5),(0.5,0.5)
単位正方形?の頂点を(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)
単位正方形??の頂点を(±0.4,0.98),(±1,0.18),(±1.8,0.78),(±1.2,1.58)
単位正方形??の頂点を(±0.56,-0.15),(±1.16,0.95),(±1.96,-0.35),(±1.36,0.45)にする。

1021:哀れな素人
20/04/07 08:37:11.77 D9Jvum39.net
↓この問題を初等幾何で解け
和算【数学検定1級過去問】
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

1022:１３２人目の素数さん
20/04/07 12:33:36.96 .net
次スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

1023:１３２人目の素数さん
20/04/07 20:30:26.14 ZlV3F5Vq.net
>>996
乾円の直径をD
坤円の直径をd
水平線の長さを 2L
とする。
⊿の相似により D：L=L：d
水平線の長さ L = √(Dd)　… (1)
Dをδだけ変えたとき、
・乾円の面積は（πD/2)δ 変わる。
・黄色部分の面積は（2L - πD/2)δ だけ変わる。
黄色部分の面積が最大となるとき
　2L - πD/2 = 0　…　(2)
(1)(2)からLを消すと
　d = D(π/4)^2,

1024:１３２人目の素数さん
20/04/08 00:20:58 ZohoKp5e.net
>>987のまねをしてみた
雪の降り方は一定ではなく次第に衰え、降り止んで以降は溶け出すものと変更する
降り始めてからt時間後の時点での雪の積もる速度はcos(πt/3)とする(0<t<4)
正午前に雪が降り始めて正午から除雪車を稼働させる
雪が降り始めて一時間半後の時点で一マイルの除雪ができた
さらにその後30分で一マイルの除雪ができた
雪が降り始めた時間を知るにはどんな表が必要か

1025:１３２人目の素数さん
20/04/08 01:38:31 8k14h8i+.net
=1000+1000-1000*1000/1000

1026:1001
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