面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～な 31問目 at MATH

[前50を表示]
950:１３２人目の素数さん
20/03/28 05:28:13.83 H8zc980P.net
>>926
素晴らしい
正解です

951:１３２人目の素数さん
20/03/28 05:40:49.83 H8zc980P.net
ちなみに
「正方形を5つの三角形で分割したとき、一番大きな三角形の面積の下限」
については私は答えを知りません
おそらく >>926タイプが最小だと思うけど証明出来ません

952:１３２人目の素数さん
20/03/28 08:19:46 BJlezchp.net
n(=10)人の中から無作為にm(=2)人選んだらその中に少なくとも一人の感染者がいた。
全体で何人の感染者がいるかの期待値を求めよ。

5.345794人であってる？

953:１３２人目の素数さん
20/03/28 08:34:15 BJlezchp.net
>>929
4.324324人かな？

954:１３２人目の素数さん
20/03/28 08:40:28.80 BJlezchp.net
いや、6.5人じゃないかな？

955:イナ
20/03/28 09:18:03.03 zOKjl8OR.net
前 >>923
>>929違うと思う。
少なくとも1人ということは、2人中1人か2人が感染している。
2人中1.5人が感染しているから、10人だと、
1.5(10/2)=7.5
∴7人か8人が感染している。

956:１３２人目の素数さん
20/03/28 10:07:11 GB5uxKLH.net
>>924
周上の3点 A(0, 1)　B(√2 -1, 0)　C(1, 2-√2)　を考えると
4つの?が合同になり　(√2 -1)/2 = 0.20710678 > 1/5
残った直角2等辺三角形は (√2-1)^2 = 0.171572875

一番小さい三角形の面積の範囲は 0.1682～0.18 ですかね

957:１３２人目の素数さん
20/03/28 10:34:16 BJlezchp.net
6.5の計算式

x=0:n # 感染者数:x, 非感染数:n-x
pmf=1- choose(n-x,m)/choose(n,m) # 感染者がx人のときにm人中誰かが感染している確率　＝　1 - (ｍ人全員非感染の確率)
pdf=pmf/sum(pmf) # 確率密度関数化して
(E=sum(x*pdf)) # 期待値を計算

958:１３２人目の素数さん
20/03/28 11:11:34 BJlezchp.net
>>932
2人の感染数の期待値1.5に固定ではなくて全体の感染率に依存するんじゃないの？

# p:感染確率
p1=2*p*(1-p) # 一人だけ感染確率
p2=p^2 # 二人とも感染確率
(1*p1+2*p2)/(p1+p2) # 感染人数の期待値

1.5になるのはp=2/3のとき。

959:１３２人目の素数さん
20/03/29 02:03:38.99 mVS6e59j.net
>>931
ツボの中に黒碁石がx個と白碁石が10-x個入っている確率をQ(x)とし、
黒石がx個の下で2個取って黒がn個である確率は、P(n)=C[x,n]C[10-x,2-n]/C[10,2]
P(1)=C[x,1]C[10-x,1]/C[10,2]=x(10-x)/45、P(2)=C[x,2]C[10-x,0]/C[10,2]=x(x-1)/90
だから、P(n=1,2│黒石=x)=P(1)+P(2)=x(19-x)/90
P(n=1,2かつ黒石=x)=Q(x)P(n=1,2│黒石=x)=Q(x)x(19-x)/90
P(黒石=x│n=1,2)=P(n=1,2かつ黒石=x)/納k=1,10]P(n=1,2かつ黒石=k)
=Q(x)x(19-x)/90/納k=1,10]{Q(k)k(19-k)/90}、ここで、Qが定数なら、
P(黒石=x│n=1,2)=x(19-x)/納k=1,10]{k(19-k)}=x(19-x)/660
xの期待値=納k=1,10]x*x(19-x)/660={19*10*11*21/6-(10*11/2)^2}/660=13/2

960:１３２人目の素数さん
20/03/29 04:48:03.83 Uzyj10C6.net
面白い問題見つけてきました、けっこう簡単だけども。

n次元実数空間上にn個の点P_1,P_2,…,P_nを、それぞれの座標が
P_1:(1,0,0,…,0)
P_2:(0,2,0,…,0)
P_3:(0,0,3,…,0)
…
P_n:(0,0,0,…,n)
となるように取る。
P_1～P_nのn個の点で作られる(n-1)次元空間と原点Oの距離をd(n)としたとき
lim[n→∞] d(n) を求めよ。
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)

961:１３２人目の素数さん
20/03/29 06:28:49.10 aOvcdyIH.net
(n-1)次元空間 (超平面とよぶ) は
　x_1 + (1/2)x_2 + ････ + (1/n)x_n = 1,
で表わされる。
この超平面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は
　|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2
　　≧ {Σ[k=1,n] (1/k)x_k}^2 / {Σ[j=1,n] 1/jj}　　(← コーシー)
　　= 1 / {Σ[j=1,n] 1/jj}
　　= d(n)^2,
d(n) = {Σ[j=1,n] 1/jj}^(-1/2)
　　→ {Σ[j=1,∞] 1/jj}^(-1/2)　　(n→∞)
　　= {ζ(2)}^(-1/2)
　　= (√6)/π
　　= 0.7796968
面白い！

962:１３２人目の素数さん
20/03/29 06:44:13.28 aOvcdyIH.net
(n-1)次元空間 (超楕円面とよぶ) は
　(x_1)^2 + {(1/2)x_2}^2 + ････ + {(1/n)x_n}^2 = 1,
で表わされる。
この超楕円面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は
　|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2
　　≧ Σ[k=1,n] {(1/k)(x_k)}^2
　　= 1
　　= d(n),
lim[n→∞] d(n) = 1.
面白い！

963:１３２人目の素数さん
20/03/29 07:59:53.08 mVS6e59j.net
>>392
嘘をついてしまい申し訳ありませんでした
＞∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k<log((n-1)/m)より、(n-1)/m<eのとき、右辺<1よりp(m+1)<pmなので、
(n-1)/e<mのうち最小でないmは不適だから[n/e]+1より大きいmは不適
Σ[m≦k≦n-1] 1/k>log(n/m)より、n/m>eのとき、右辺>1よりp(m-1)<pmなので、
n/e>mのうち最大でないmは不適だから[n/e]より小さいmは不適
（また、p([n/e]+2)<p([n/e]+1)だからΣ[[n/e]+2≦k≦n-1] 1/k<1で、
Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k<1+1/([n/e]+1)<2）
Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/kが1未満のときm=[n/e]で、1以上のときm=[n/e]+1で最大だから、
m=[n/e]+[Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k]のとき最大
このときm/nlog(n/m)<pm<m/nlog(n/m)+1/nだから、pm→1/e

964:１３２人目の素数さん
20/03/29 08:15:50.52 LkZjh/9V.net
>>936
レスありがとうございます。
多数決で決める事項ではないけど同じ結論の人がいてほっとしました。

965:１３２人目の素数さん
20/03/29 09:33:52.26 WogCQeQk.net
（謎）
昨日の東京のコロナ陽性者は87人検査して63人陽性であったという。
検査の感度0.6　特異度0.9と仮定して、87人中に感染者は何人と推定されるか？

966:１３２人目の素数さん
20/03/29 09:43:27.74 WogCQeQk.net
キャバクラ客100人から無作為に5人から検体を採取してこの検体を混合攪拌してコロナ検査したところ陽性であった。
100人のキャバクラ客の陽性数の期待値を求めよ

967:１３２人目の素数さん
20/03/29 09:45:46.89 WogCQeQk.net
>>943
401/7　になった

968:１３２人目の素数さん
20/03/29 10:35:41 WogCQeQk.net
>>929
ベイズ的に考えると

n人からm人選んだら少なくとも一人の感染者がいたとする。

Ax: x人の感染者がいる(x=0~n)という事象
B:最低一人の感染陽性判定という事象
Pr[Ax|B]=Pr[B|Ax]Pr[Ax]/Pr[B]
Pr[Ax]:事前確率
Pr[B|Ax]:尤度
Pr[B]:周辺尤度(規格化定数)

求めたい期待値Eは
Σ(x*Pr[Ax|B])/ΣPr[Ax|B] = Σ(x*Pr[B|Ax]Pr[Ax])/Σ(Pr[B|Ax]Pr[Ax])
Pr[Ax]がxにかかわらず定数であれば
E=Σ(x*Pr[B|Ax])/Σ(Pr[B|Ax])

事前確率分布を一様分布と仮定しての計算ということだな。

969:哀れな素人
20/03/30 08:24:59 7yoNMR67.net
↓この問題を初等幾何で解け
【幾何】日本数学オリンピック予選 23
【解説】日本数学オリンピック予選２００９年問４
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

970:１３２人目の素数さん
20/03/30 14:05:17 zICzxEKY.net
>>946
哀れな素人さん、どうもガロアスレのスレ主です。
面白い問題やね（＾＾；

971:１３２人目の素数さん
20/03/30 15:45:02.93 7S3Fype3.net
(1) s²+s=n^4-n² を満たす整数s, nは存在するか。有限組あるならすべて求めよ
(2) 5^c+s²+s=n^4-n² を満たす整数c, s, n は存在するか。有限組あるならすべて求めよ

972:１３２人目の素数さん
20/03/30 16:33:36.40 uxzDymBq.net
(1)
　0 = s(s+1) - nn(nn-1) = (s+nn)(s+1-nn),
∴　s = -nn または s = nn-1.　　(無数にある)

973:１３２人目の素数さん
20/03/30 17:23:18 uxzDymBq.net
(2)　s(s+1) も nn(nn-1) も偶数だから矛盾。

974:１３２人目の素数さん
20/03/30 18:15:38 oNI+nbzZ.net
b(x) は奇関数で、aを実数として
b(x)= ∫[0, x] b(u) du + ∫[a, x+a] b(u) du
を満たす。
(1) b(a), b(2a) を求め、
(2) a_n=∫[0, na] b(u) du とする。a_1= ∫[0, a] b(u) du =1 としてa_nをnを用いて表せ。

975:イナ
20/03/30 23:34:16.95 psAYFPlW.net
前 >>932
>>948(1)
(s,n)=(3,2),(3,-2),
(0,1),(0,-1),
(-1,1),(-1,-1),
(8,3),(8,-3),
(-9,3),(-9,-3)

976:１３２人目の素数さん
20/03/31 10:49:38 NdCHFxJo.net
>>951
b(x) = F(x) + F(x+a) - F(a),
ここに　F(x) = ∫[0,x] b(u)du　は偶関数。

b(x+a) = - b(-x-a)
　= - F(-x-a) - F(-x) + F(a)
　= - F(x) - F(x+a) + F(a)
　= - b(x),
よって b(x) は周期2aをもつ。

977:１３２人目の素数さん
20/03/31 11:05:29 NdCHFxJo.net
ゆえに
b(x) = ∫[0,x] b(u)du + ∫[0,x] b(u+a)du
　= ∫[0,x] b(u)du - ∫[0,x] b(u)du
　= 0,

978:１３２人目の素数さん
20/03/31 21:32:31 YPumKBAH.net
半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか

979:１３２人目の素数さん
20/03/31 22:52:11 0eySXOLI.net
>>955
x軸の上に、四角を横に三個並べ、その上に同様に三個乗せ、その上に二個を中央に並べる
右下の角は(3/2,0)、中段の右上の角は(3/2,2)、最上段の右上の角は(1,3)だが、
どれも(0,√7/2)からの距離が2を超えないのでここを中心に円を書けばいい

980:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/31 23:00:32 DSOHFKJI.net
前>>952
>>955
円の中心を原点(0,0)として、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形の4つを描き、
あとの4つはそれぞれ4つの象限に正方形の中心を置き、y軸に対して2つが対称になるように置く。
x軸に正対させるんじゃなく斜め45°ぐらいで先に置いた4つの単位正方形にぎりぎり接するか接さないかぐらいで探るとよい。

981:１３２人目の素数さん
20/04/01 00:03:28 jY1QTlKF.net
>>955
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
完全に手探りで詰め込んでみました. ( Geogebra で作図 )
描画線幅のボヤケで接触してるように見える箇所も実際は離れています.

982:１３２人目の素数さん
20/04/01 00:49:33 3A39oS9Q.net
>>956
円の中心を(0,0)とすれば
　(±3/2, -(√7)/2) と (±3/2, 2 -(√7)/2) のなす長方形に６個
　(±1, √3) と (±1, √3 -1) のなす長方形に２個
ですね。
*　2 - (√7)/2 = 0.677124344
　√3 - 1 = 0.7320508

983: 【大吉】
20/04/01 01:12:46 hhUwhMFY.net
前>>957
残り4つのうち2つを第3象限と第4象限に斜め45°で入れようとすると、
点(1/2,√15/2-1)と直線y=x-1/2+1-√3+1/2√2の距離は、
|4√2-√30-2√6+1|/4=0.929837703……＜1
予想通り残りの2つを第1象限と第2象限に入れることができない。
つまり第3象限と第4象限に入れようとした2つの単位正方形を最初に置いた2つの単位正方形の1つの頂点(-1,1-√3)および(1,1-√3)辺が接したままその点を支点に円弧側に傾けて、残り2つの単位正方形が入るようにする。
最大限傾けると点(1/2,√15/2-1)と第4象限で傾けた単位正方形の最も近い辺の距離は1を超えるはず。
点(1,1-√3)から√5/2の距離にある単位正方形の2つの頂点が決まり次第お伝えしたい。

984:１３２人目の素数さん
20/04/01 03:55:57.89 MHhYU/kR.net
微分四次元

985:１３２人目の素数さん
20/04/01 08:37:36.27 +rNOlT7Q.net
一辺の長さ3の正方形を、半径1の円5つで被覆することは可能か

986:１３２人目の素数さん
20/04/01 09:38:01.06 3A39oS9Q.net
上から √3 =1.7320508 の部分を1×√3の長方形に三等分する。
下から (√7)/2 = 1.3322875 の部分を 3/2 × (√7)/2 の長方形に二等分する。
各長方形は、対角線の長さが2だから、半径1の円で被覆することが可能。

987:１３２人目の素数さん
20/04/01 09:48:47 3A39oS9Q.net
〔問題〕半径Rの円板上に、直径1の円板何枚かを互い
に重なる部分が無いように置きたいのですが、最大何枚
まで置けるでしょうか。
・R=2 の場合。

数セミ増刊「数学の問題　第(3)集」日本評論社 (1988)
●104
(日本MOでも使われたらしい。)

988:１３２人目の素数さん
20/04/01 13:03:11 YULTPcko.net
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)

989:１３２人目の素数さん
20/04/01 14:00:24 ZUQmzTxS.net
大小2つの円を用意したら結果はどうなるかな

990: 【末吉】
20/04/01 17:55:30 hhUwhMFY.net
前>>960方針変更。最初の4つは同じ。傾き45°は変えない。
>>955
5つ目～8つ目の単位正方形を第1象限～第4象限に振り分け、y軸に対して2つを対称に、かつ辺がy=xまたはy=-xと平行になるように置くと、5つ目の単位正方形の頂点の座標は、
(2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2-√2/2+√15/4-√3/2),
(2+√2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2+√2/2-√15/4-√3/2)
6つ目,7つ目は第2象限,第3象限に置くとして8つ目の単位正方形を5つ目の単位正方形とぴったりくっつけたままy軸方向に寄せると、
y=x-3/2-√2+√15/2とx=1/2の交点は、
(1/2,-1-√2+√15/2)
対角の頂点は、
(1/2+√2,-1-√2+√15/2)
x^2+y^2=(1/2+√2)^2+(-1-√2+√15/2)^2
=1/4+2+√2+15/4+3+2√2-√15(1+√2)
=9+3√2-√15-√30
=3.89243177……＜4
∴半径2の円に単位正方形が8つ入る。

991:
20/04/01 19:46:59.37 hhUwhMFY.net
前 >>967
最初に描いたy軸を挟んで円弧と接する2つの単位正方形の第3象限のを①,第4象限のを②,次に描いた原点を含むのを③,y軸の+方向で円弧と2か所で接するのを④とすると、③と⑧が接さない可能性がある。
つまり5つ目と8つ目を接したまますべらせつつ右回転、6つ目と7つ目を接したまま左回転し、円内に納める。
名づけて八星天道虫作戦。

992: 【ぴょん吉】
20/04/01 22:58:17 hhUwhMFY.net
前>>968
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形?、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形?、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形?、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形?を描き、
5つ目の単位正方形?を第1象限に、
6つ目の単位正方形?を第2象限に、
?と?がy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形?を第3象限に、
8つ目の単位正方形?を第4象限に、
?と?がy軸に対して線対称となるように置き、
?と?の1つの辺をぴったりくっつけ、
?の頂点の1つが円と接するようにし、
?と?の1つの辺をぴったりくっつけ、
?の頂点の1つが円と接するようにする。
∴方法は示された。
題意にはないが、?～?の頂点の座標を決めることもできる。

993:１３２人目の素数さん
20/04/02 11:17:43 4wgrunsr.net
いま、ある人がコロナに感染しており、n個のコロナウイルスを持っている
コロナは一時間ごとに増減し、確率pでa個増え、1-pでb個減るとする(0<p<1、aとb

994:は自然数) また、コロナはS個以下になれば生存確定、T個以上になれば死亡確定とする生存確率の範囲は？ Tを正の無限大に飛ばしたときの生存確率の範囲は？

995:イナ
20/04/02 22:45:30.34 RYC4Exv5.net
前 >>969別解。
>>955
①②③はそのまま、④を原点のほうに寄せ③にくっつけ、⑤と⑧および⑥と⑦をそれぞれ縦に並べ③④を挟みこむようぴったりつける。
⑥④⑤
⑦③⑧の6つはy軸に対して左右線対称なので、
⑤の右上の座標(3/2,3-√3)が円内にあれば単位正方形8つはすべて円内にある。
(3/2)^2+(3-√3)^2=9/4+9-6√3+3
=57/4-6√3
=14.25-6･1.7320508……
=14.25-10.3923048……
=3.85……＜4
∴狐につままれた。

996:１３２人目の素数さん
20/04/03 09:50:21 mgebV0rK.net
半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つと
（2/3)×√3 の長方形を１つ詰め込むにはどうしたらよいか

997:１３２人目の素数さん
20/04/03 11:41:06.15 iElvV83p.net
>>954
定数関数って奇関数じゃなくね

998:１３２人目の素数さん
20/04/03 12:03:01 y55gm0o6.net
>>972
こんな感じの詰めかたで半径1.9991425…くらい
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

999:１３２人目の素数さん
20/04/03 12:21:32 mgebV0rK.net
正解です！
(√3）+ (√15)/2 - 3 = 0.66854248
√(8√7 - 7）- 2 = 1.763776094
まではいけそうです。

1000:１３２人目の素数さん
20/04/03 12:40:43 mgebV0rK.net
充てん率で言えば　9.1547/4π = 0.72851
（単位正方形8つの 2/π = 0.63662 より向上)

1001:イナ
20/04/03 13:38:00.93 1jf5ZUTP.net
前 >>971
>>972
①②③まで同じ。
④はy軸切片2の位置ら辺の周に頂点をひっかけて待つ感じ。
⑤⑥⑦⑧を第1,2,3,4象限に配置し片側に寄せると、⑤または⑥が円周につかえるためやや内側に押され、⑤と⑥が頂点で④のとなりあう2辺と接する形になる。
たとえば左寄せで⑤と⑧の縦の面をあわせて横幅2/3,縦に√3の辺が来るようにすると、
右上の頂点(11/3-√3,1/2)の座標から、
(11/3-√3)^2+(1/2)^2=3.99273852……＜4
なんとか円内に入る。
④の左上辺または右下辺を傾ける角度は、
30°～45°で円内収納の可能性がある。
たとえ数値的にむりでも右端の長方形にわずかに余裕があった。④は⑤と⑥のあいだに楔状に押しこめる可能性がある。

1002:１３２人目の素数さん
20/04/03 14:40:16 mgebV0rK.net
半径2の円内に交わりのない √(5/8)×√(3/2) の長方形を１0個詰め込むにはどうしたらよいか

1003:１３２人目の素数さん
20/04/03 15:08:56 y55gm0o6.net
>>978
a^2+((3/2)b)^2＝(2a)^2+b^2＝2^2
を解いてa＝√(5/8),b＝√(3/2)って係数を得たということね

1004:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/04/03 16:30:03 1jf5ZUTP.net
前>>977
>978
横長に下から1つ2つ3つ重ねると上面は、
3√(5/8)-√[2^2-{(1/2)√(5/8)}^2]=0.411159852……
残り4つを半円より小さな上のエリアに、
￥マークのように2つの長方形をソの字に置き、その上に2つを□に置くか、
または羊の異体字のように横向きの長方形を上下に離して置き、そのあいだに左右からハの字に楔状につっこむ。

1005:１３２人目の素数さん
20/04/03 17:58:04 1+NoQgUm.net
x軸の上に長方形を寝かせて三個並べる
その上に中央に寝かせて二個並べる
下段の右上の角は(長辺の長さ×3/2,短辺の長さ)
上段の右上の角は(長辺の長さ,短辺の長さ×2)
どちらも原点からの距離が4なので原点中心の半円に五個はまる

1006:１３２人目の素数さん
20/04/03 21:39:14.25 mgebV0rK.net
正解です！
充てん率で言えば　9.68246 / 4π = 0.770505
半径2の円内に交わりのない (2/√13)×(8/√13) の長方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか

1007:１３２人目の素数さん
20/04/03 22:04:19.35 1+NoQgUm.net
長方形を寝かせて六段重ねたものを作り、両サイドの中央に一個づつ立たせてくっ付ける
重ねた長方形の角までの距離=(長辺÷2)^2+(短辺×3)^2=2^2
横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2

1008:１３２人目の素数さん
20/04/03 22:07:16.00 1+NoQgUm.net
>>983訂正
×　横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2
○　横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(長辺÷2)^2=2^2

1009:１３２人目の素数さん
20/04/03 22:10:18.16 1+NoQgUm.net
また間違えた距離じゃなくて距離^2だった

1010:１３２人目の素数さん
20/04/04 01:09:41 hLQ36is2.net
ほぼ正解です！
充てん率で言えば　9.846154 / 4π = 0.783532

□よりも細長い方が収まりがいい（?)

1011:１３２人目の素数さん
20/04/04 02:01:24 pmTrKGmv.net
正直あまり数学って感じでもないけど

ある日の午前中に雪が降り始めた。
除雪車が正午ぴったりに動き出し、
1時間で2マイルの除雪を完了し、
さらに1時間で1マイルの除雪を完了した。さて雪が降り始めた時刻は？
ただし、その日雪が降り始めるまでの積雪は0、雪は一定の速さで降り積もり、除雪車が単位時間あたりに処理する雪の体積は常に一定とする。

上記のようなSnow plow problemの派生として

それでは2時間後の加速度が1時間後の半分になる場合、雪が降り始めた時刻を数値的に求める場合にあると便利な数表はなにか？理由付きで。

電卓等は使わないものとする

1012:１３２人目の素数さん
20/04/04 10:39:27 hLQ36is2.net
>>986
　√(8/17) × 3√(8/17) の長方形を7つ詰め込むと充てん率が
　9.882353 / 4π = 0.7864
となり、正方形の内接円の充てん率 (π/4=0.7854) を超える。
とくに意味はないが････

1013:１３２人目の素数さん
20/04/04 11:47:35 hLQ36is2.net
正午よりc時間前に雪が降り始めたとする。
積もった雪の高さは t+c に比例し、
除雪車の速さv(t)は t+c に反比例する。
　v(t）= k/(t+c),
正午からt時までに除雪車が進んだ距離は
　∫[0,t］v(t')dt' = ∫[0,t] k/(t'+c）dt'
　= k･log{(t+c)/c}

題意により、
　k･log{(c+1)/c｝= 2マイル
　k･log{(c+2)/c｝=（2+1)マイル
　　
∴ 3log{(c+1)/c｝= 2log{(c+2)/c},
∴（c+1)^3 = c(c+2)^2,
∴ c =（√5 -1)/2 = 0.618034（時間）= 37.082（分)

加速度は -k/(t+c)^2 だから
　1/(c+2)^2 = 1/{2(c+1)^2},
　0 = 2(c+1)^2 - (c+2)^2 = cc -2,
　c = √2,

雨は夜更け過ぎに　雪へと変わるだろう
Silent night,　Holy night
∴　平方根表。

1014:１３２人目の素数さん
20/04/04 11:55:52 S2S4Ftgc.net
時間当たり除雪量をJ、時点tのときの雪の高さをH(t)=(t+a)/hとし、除雪車の位置をx(t)
除雪車は短い時間dtでdx進み、その間少しの雪dxH(t)を除雪するから、dtJ=dxH(t)
x(t)=∫dx=∫dtJ/H(t)=Jh∫dt/(t+a)、x(t)-x(0)=Jhln((t+a)/a)だから、
x(1)-x(0)=Jhln((1+a)/a)=2、x(2)-x(0)=Jhln((2+a)/a)=3、3ln((1+a)/a)=2ln((2+a)/a)
((1+a)/a)^3=((2+a)/a)^2、a^2+a-1=0より、aはフィボナッチ数(√5-1)/2
雪は正午から(√5-1)/2時間前に降り始めた

dx(t)/dt=Jh/(t+a)、ddx(t)/dtdt=-Jh/(t+a)^2だから、-Jh/(2+a)^2=(-Jh/(1+a)^2))*1/2と置くと、
(2+a)^2=2(1+a)^2、a^2-2=0、なので√2時間前

平方根表が必要

1015:
20/04/04 19:39:42.47 xmNOPA8p.net
前 >>980
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形①、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形②、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形③、
(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)を頂点とする単位正方形④を描き、
5つ目の単位正方形⑤を第1象限に、
6つ目の単位正方形⑥を第2象限に、
⑤と⑥がy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形⑦の中心を第3象限に、
8つ目の単位正方形⑧の中心を第4象限に、
⑦と⑧がy軸に対して線対称となるように置き、
⑤⑥⑦⑧がそれぞれ1つの頂点で円と内接するように置けないでしょうか？　もし2つ3つ3つと積み重ねて正対させる以外の置き方がないとしたらちっとも面白い問題じゃないです。

1016:イナ
20/04/05 14:29:03.18 kyAykWoL.net
前>>991 >>955予想。 ①②をy軸に対して線対称にハの字型に置き、①の右下辺の傾きを4/3、②の左下辺の傾きを-4/3としy軸上で接するようにする。 ③は原点付近に中心を置き正対させ、④をy軸に対して45°回転させ頂点を(0,2)と(0,2-√2)に置く。 ⑤～⑧の中心を第1～4象限に置き、 ⑤⑧は②と同じ傾きにし、⑥⑦は①と同じ傾きにすると、 ①,②,④～⑧をそれぞれ1つずつの頂点で円に内接するように置くことがぎりぎりできないかと思う。

1018:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/04/05 22:22:31 kyAykWoL.net
前 >>992
>>955別解。
??をy軸に対して線対称に置き、?の左上辺の傾きを3/4,左下辺の傾きを-4/3にする。
?の中心を原点に配置しx軸,y軸に正対させ、?をy軸に対して45°回転、頂点を(0,2),(0,2-√2)に配置する。
?の左上辺と右下辺の切片の差は7/5。
???の左上辺の傾きを3/4,
???の右上辺の傾きを-3/4にあわせ、
?をめいいっぱい上げて?の左端のx座標が1/2より大きく、かつ右端の座標の2乗和が、
x^2+y^2≦4の範囲にあればいい。
?の左端の頂点を?の右下辺よりわずかに下にとるには、
y=x+2-√2に0.4を代入し、
y=0.4+2-√2=0.985786438……
(0.4,0.98)とすると確実に?と?は離れていて、
?の上端の座標は、
(0.4+0.8,0.98+0.6)=(1.2,1.58)
1.2^2+1.58^2=3.9364＜4
?の右端の座標は、
(1.2+0.6,1.58-0.8)=(1.8,0.78)
1.8^2+0.78^2=3.8484＜4
?の下端の座標は、
(0.4+0.6,0.98-0.8)=(1,0.18)
?の右下辺および?の左上辺の方程式は、
y=3(x-1)/4+0.18
?の左端の座標を(0.56,-0.15)とすると、
?の右端の座標は、
(0.56+0.8+0.6,-0.15-0.8+0.6)
=(1.96,-0.35)
1.96^2+(-0.35)^2=3.9641＜4
?の左下辺および?の右上辺の方程式は、
y=-4(x-0.56)/3-0.15
?の左端はy軸に接するといいから、?の上端のx座標0.8を代入し、
?の上端の座標は(0.8,-0.47)
?の左端の座標は(0,-1.07)
?の下端の座標は(0.6,-1.87)
0.6^2+(-1.87)^2=3.8569＜4
?の右端の座標は(1.4,-1.27)
1.4^2+(-1.27)^2=3.5729＜4
∴単位正方形8つを真ん中の1つ以外をすべて正対させることなく半径2の円内に納めることができる。

1019:１３２人目の素数さん
20/04/06 03:03:42.48 39Ei0lMN.net
[0,1]上の無理数xに対して、
xの連分数展開を[a_0;a_1,a_2,...]とする.
p_n(x):= [a_0;a_1,a_2,...,a_n]としたとき、
極限lim(n→∞) (x-p_n(x))^(1/n)を求めよ.

1020:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/04/07 03:01:26 St9xu4sq.net
前>>993訂正。?の左上辺と右下辺の切片の差は5/4。
>>955
単位正方形??の頂点を(0,-1.07),(±0.6,-1.87),(±1.4,-1.27),(±0.8,-0.47)
単位正方形?の頂点を(-0.5,0.5),(-0.5,-0.5),(0.5,-0.5),(0.5,0.5)
単位正方形?の頂点を(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)
単位正方形??の頂点を(±0.4,0.98),(±1,0.18),(±1.8,0.78),(±1.2,1.58)
単位正方形??の頂点を(±0.56,-0.15),(±1.16,0.95),(±1.96,-0.35),(±1.36,0.45)にする。

1021:哀れな素人
20/04/07 08:37:11.77 D9Jvum39.net
↓この問題を初等幾何で解け
和算【数学検定1級過去問】
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

1022:１３２人目の素数さん
20/04/07 12:33:36.96 .net
次スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

1023:１３２人目の素数さん
20/04/07 20:30:26.14 ZlV3F5Vq.net
>>996
乾円の直径をD
坤円の直径をd
水平線の長さを 2L
とする。
⊿の相似により D：L=L：d
水平線の長さ L = √(Dd)　… (1)
Dをδだけ変えたとき、
・乾円の面積は（πD/2)δ 変わる。
・黄色部分の面積は（2L - πD/2)δ だけ変わる。
黄色部分の面積が最大となるとき
　2L - πD/2 = 0　…　(2)
(1)(2)からLを消すと
　d = D(π/4)^2,

1024:１３２人目の素数さん
20/04/08 00:20:58 ZohoKp5e.net
>>987のまねをしてみた
雪の降り方は一定ではなく次第に衰え、降り止んで以降は溶け出すものと変更する
降り始めてからt時間後の時点での雪の積もる速度はcos(πt/3)とする(0<t<4)
正午前に雪が降り始めて正午から除雪車を稼働させる
雪が降り始めて一時間半後の時点で一マイルの除雪ができた
さらにその後30分で一マイルの除雪ができた
雪が降り始めた時間を知るにはどんな表が必要か

1025:１３２人目の素数さん
20/04/08 01:38:31 8k14h8i+.net
=1000+1000-1000*1000/1000

1026:1001
Over 1000 Thread .net
このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
life time: 71日 5時間 26分 30秒

1027:過去ログ ★
[過去ログ]
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています