面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～な 31問目 at MATH

[前50を表示]
850:１３２人目の素数さん
20/03/17 14:30:18.93 jkHV1VNx.net
dV=drdS
rは余計だったが言わんとするところは分かろう

851:１３２人目の素数さん
20/03/17 17:38:54.16 k85T9ON2.net
>>830
それを実装してみました。
vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 曲座標から直交座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
vtx=replicate(5000,vertex())
x=vtx[1,]
y=vtx[2,]
z=vtx[3,]
rgl::plot3d(x,y,z, col="slateblue")
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

852:１３２人目の素数さん
20/03/17 17:54:56 k85T9ON2.net
>>832
これで4点発生させて4点を通る球の半径を連立方程式を計算機に解かせて

体積の10万回の平均をとると
> k=1e5
> hull=replicate(k,sim())
> mean(hull)
[1] 1.160583
という結果になった。
あまり、自信がない。

解析解は賢者にお任せ。

853:１３２人目の素数さん
20/03/17 19:33:25.26 Tm+KNX4Y.net
半径１の球に内接する正四面体の体積は 8/(9√3) = 0.5132..
>>817の解はこれより小さい（はず）

854:１３２人目の素数さん
20/03/17 20:40:37.39 k85T9ON2.net
>>834
vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 極座標から直座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
で、球の表面から４点を取り出して
# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
で１０万回シミュレーションしたら
k=1e5
tetra=replicate(k,sim())
mean(tetra)
summary(tetra)
こんな結果
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000006 0.0242839 0.0645573 0.0928661 0.1361202 0.5035962
最大値は8/(9√3) = 0.5132..以下になっている

855:１３２人目の素数さん
20/03/17 21:18:37 k85T9ON2.net
こっちの方がx,y,zともに一様分布になっている。

vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}

URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

これでやってみると、四面体の場合
> mean(tetra)
[1] 0.1201118

> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000003 0.0372266 0.0922805 0.1201118 0.1794858 0.5104545

856:１３２人目の素数さん
20/03/17 22:43:27.26 jkHV1VNx.net
>>836
>x,y,zともに一様分布
ではダメだろ
球面上に一様に分布するのなら
x座標は√(1-x^2)の確率密度となる

857:１３２人目の素数さん
20/03/17 22:51:51.42 jkHV1VNx.net
あーそうか
st正方形でsとtと一様ランダムに点を得て
原点中心の円の外にあれば棄て
内部にあればそのs座標を取ることで
確率密度√(1-s^2)の分布でランダムに取れる
これでxyzをそれぞれ取ってやればいい
あーダメか独立に取ったら球面上に来ないな
じゃあこれでxを取ってyzはcosθsinθでθを一様ランダムに取れば良いや

858:１３２人目の素数さん
20/03/17 22:53:39.72 jkHV1VNx.net
y,zは√(1-x^2)cosθ,√(1-x^2)sinθで

859:１３２人目の素数さん
20/03/17 23:09:55.33 jkHV1VNx.net
>>837
あー間違いか >>836で正しいやスマン

860:１３２人目の素数さん
20/03/18 04:39:06 LbXnfiiv.net
<V> = 1/6 = 0.16667 だったら　>>834 の要求を満足するんだが････

861:１３２人目の素数さん
20/03/18 09:41:40 POVuSFx0.net
某イベントで紹介された問題の同値な改題

整数から実数への関数 f:Z→R であって、任意の整数 x,y,z について
【 x^2 + 4y^2 = z^2 ならば f(x) + 4f(y) = f(z) 】
を満たすものを全て求めよ

862:イナ
20/03/18 12:22:31.26 /PMjHzs1.net
＼＼＼＼＼`∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ`
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`原点を頂点とした三角錘が4つ集まった四面体の体積は、
V=(4/3)Sh
h=1/3(∵球の半径=1)
S=(√3/4)a^2とすると、
底面の中心から底辺までの距離はピタゴラスの定理より、
√{1^2-(1/3)^2}=2√2/3
正三角形の高さは√2
a=√2(2/√3)
=2√2/√3
S=(√3/4)(2√2/√3)^2
=(√3/4)(8/3)
=2√3/3
前 >>820
V=(4/3)(2√3/3)(1/3)
=8√3/27
=0.513200239……
ここまではわかった。
1点目が任意で、2点目をうまくとる確率は後回し、3点目をうまくとる確率も後回し、4点目をうまくとる確率は1/2
2点目と3点目は1と1/2のあいだじゃないとだめだと思うから、
3点目をうまくとる確率が2/3で2点目をうまくとる確率が3/4なら、
すべてうまくとる確率は1/4
V/4=2√3/27
=0.12830006……

863:１３２人目の素数さん
20/03/18 14:27:28 Tu49ygg5.net
>>836

数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
x1,x2,x3～Norm(0,1) で r=√(x1^2+x2^2+x3^2)として
(x1/r,x2/r,x3/r)が単位球面の一様分布になるという。

URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Marsaglia(1972)
URLﾘﾝｸ(projecteuclid.org)

実装してみた。
図示すると>836と同じく、x,y,zが一様分布して、球面の一様分布しているようにみえる。

vertex <- function(){ # xi ~ Norm(0,1) , xi/√(Σxi^2)
v=rnorm(3,0,1) # 正規分布N(0,1)する３個からなるベクトル v
v/sqrt(sum(v^2)) # v の長さで割る
}

vtx=replicate(5000,vertex())
par(mfrow=c(3,1))
x=vtx[1,] ; hist(x,col='pink')
y=vtx[2,] ; hist(y,col='orange')
z=vtx[3,] ; hist(z,col='darkgreen')
rgl::plot3d(x,y,z, col='slateblue')
par(mfrow=c(1,1))

# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
k=1e5
tetra=replicate(k,sim()) # k回のシミュレーション
mean(tetra)
summary(tetra)
BEST::plotPost(tetra)

期待値も分布もほぼ同じ。
> mean(tetra)
[1] 0.119512
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000001 0.0368084 0.0918738 0.1195120 0.1789221 0.5093198

四面体の体積の分布も同様でこんな分布。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

864:１３２人目の素数さん
20/03/18 14:45:48 kt0eelvd.net
>>844
>数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
独立に取ったときの確率密度がe^-(x^2+y^2+z^2)みたいなrのみの関数に比例するからだな
でも>>836でいいと思うし
関数の近似による偏りみたいなのを気にするなら
>>829でも球の外を除外した後の考え方はそのWikipediaのと同じだし

865:１３２人目の素数さん
20/03/18 15:06:17 Tu49ygg5.net
３次元化座標が球面の一様分布することは、図示してイメージするほかに、どうやったら検証できるのだろう？
球面上の任意の一定面積に含まれる数が一定であるのを確認する方法が思いつかない。

こういうデータが一様分布かどうかは確認できるだろうか
x y z
[1,] 0.4090696 -0.06240392 0.9103669
[2,] -0.1452435 -0.97420684 0.1727002
[3,] -0.1082045 0.53218504 0.8396850
.....
.....
x y z
[4998,] 0.6609463 -0.096259265 -0.7442340
[4999,] 0.5669702 0.758929767 -0.3202661
[5000,] 0.8944673 -0.008481795 -0.4470530

866:１３２人目の素数さん
20/03/18 15:16:53 kt0eelvd.net
>>846
ｘθとかθφで分割して点の数を数えて面積で割ったら？
十分細かく分割を取っておいて
サンプル点を十分多く取っていけば
大数の法則で
期待した値にぐいぐい集まってくるはずだし

867:１３２人目の素数さん
20/03/18 16:16:35.57 Tu49ygg5.net
>>847
レスありがとうございます。
x,y,z を極形式にして⊿θ　⊿φの範囲にある数が一様かどうかみればいいんだな。

868:１３２人目の素数さん
20/03/18 21:31:14.71 Tu49ygg5.net
直交座標から極座標のθφを出して、それをグラフにしてみました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
両端が疎に見えます。
グリッドを作ってそこに含まれる点を数えてその分布をみればいいのかな？
どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。

869:１３２人目の素数さん
20/03/19 01:13:20 HdgduOXs.net
辺の長さが全て有理数の多角形において、少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ.

870:１３２人目の素数さん
20/03/19 01:36:55 KrhQLEng.net
>>848
ΔθΔφの囲む面積はcosθ ΔθΔφだよ
θが南北でΔθの幅の中央の値ね
点の個数をこれで割らないと一定にならない
ΔθΔφが一定ならcosθで割れば良い

871:１３２人目の素数さん
20/03/19 01:48:15 mXsnD9nM.net
>>819
　0.1196797201367540････

872:１３２人目の素数さん
20/03/19 02:03:39 KrhQLEng.net
>>849
>どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。
Δθ=π/n
Δφ=2π/m
つまり球面をnm個の領域に分割した場合（m,n固定）
一様分布ならサンプルN点でその領域内にあるのはNπcosθ/2mn個だろうから
数え上げてM点ならΣ(M-Nπcosθ/2mn)^2/mnがN→∞で次第に0に近づく（大数の法則）ことを見るとか？

873:１３２人目の素数さん
20/03/19 02:07:37.40 KrhQLEng.net
>>849
>両端が疎に見えます。
横軸がθとすると
縦方向にcosθを掛けて点をプロットすれば良い
それで0≦φ≦cosθの領域内に均一に見えたらOK

874:１３２人目の素数さん
20/03/19 08:37:27 XGan5JrS.net
>>849
これって>821と逆のことをやっているだけのような気がするな。
一様分布する球面上の点を極形式で表示したときに緯度・経度が一様分布はしないんだろうな。

875:１３２人目の素数さん
20/03/19 09:28:52 XGan5JrS.net
>>854
数理を理解できないままにグラフ化すると

plot(θ,φ*cos(θ),bty='n',pch='.',xlab='θ(北極点からのラジアン)' ,,ylab='φ（経度)*cos(θ）')

URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

理解が足りないので断念。

876:１３２人目の素数さん
20/03/19 09:32:03 KrhQLEng.net
>>856
θを北極点からのにするなら
sinθ掛けて

877:１３２人目の素数さん
20/03/19 09:35:45 KrhQLEng.net
>>855
極に近い方がずっと狭くなるからね
球面の表面積は円柱の側面積と同一であるという
2000年前から知られている原理からすると
xyzに落とし込んでもそれぞれの座標上で一様分布になる
これは>>836の
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

878:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:39:50.31 BW7TgbOd.net
>>850
リンデマンの定理より有理数q≠0に対して e^(iq) が超越数であることから従う

879:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:52:58.05 XGan5JrS.net
>>857
θとφの定義は下図に準拠
URLﾘﾝｸ(physics.thick.jp)
rm(list=ls())
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
# 直交座標を極座標に
c2p <- function(xyz){ # (x,y,z) -> (θ,φ) Cartesian 2 Polar
x=xyz[1];y=xyz[2];z=xyz[3]
r=sqrt(x^2+y^2+z^2) # =1になるx,y,zの組合せ
theta=acos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) # = acos(z) [0,π]の値
phi=ifelse(y>0,acos(x/sqrt(x^2+y^2)), # y>0ならφ < π
2*pi-acos(x/sqrt(x^2+y^2)))# y<0ならφ > π
c(theta,phi)
}
n=1e5
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
v=t(vtx) # 転置してn行３列(x,y,z)に
head(v,3) ; tail(v,3)
vp=apply(v,1,c2p) # 各行毎にx,y,z -> θ,φに変換
tp=t(vp) # theta θ, phai φ 転置してn行2列(θ,φ)に
fn <- function(x){ # 0<=φ & φ<=sin(θ)を満たすかを返す
θ=x[1]
φ=x[2]
0<=φ & φ<=sin(θ)
}
tp1=tp[apply(tp

880:,1,fn),] # fnがTRUEになるθ,φを抽出して θ=tp1[,1] φ=tp1[,2] plot(θ,φ*sin(θ),bty='n',pch='.', xlab='θ(北極点からのラジアン)',ylab='φ（経度)*sin(θ)') # グラフ化 https://i.imgur.com/dtO0oRW.png 正弦波が描出されただけのような？

881:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:54:23.75 /Ts8dWJZ.net
>>859
素晴らしい
正解です

882:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:58:32.26 XGan5JrS.net
>>852
>844のシミュレーション結果に相当する結果ですね。
計算法はさっぱり思いつかないけどｗ

883:１３２人目の素数さん
20/03/19 13:39:41 KrhQLEng.net
>>860
>正弦波が描出されただけのような？
点の密度が正弦波の下でどこでも一定に見えるでしょ
だから球面上で一様分布だってことだよ
さらに厳密性のために
点の密度が一定かどうかを検定するには
十分細かく分割して
一様分布なら1つの区画内にあるはずの点の個数の平均を計算しておいて
それと実測値との差の2条の平均（分散）でできるんじゃないかなあ

884:１３２人目の素数さん
20/03/19 13:43:34 KrhQLEng.net
>>860
>正弦波が描出されただけのような？
あれ？
正弦波の0～πの部分と違うな
上に凸なのに両端近くに変曲点がある
なんで？

885:１３２人目の素数さん
20/03/19 14:42:09.63 lL/ZGWr/.net
任意の実数に到達できるような関数電卓は存在するか？
関数電卓は、入力は整数で有限個の関数を持っており計算速度は無限大であるとする。

886:１３２人目の素数さん
20/03/19 16:40:30 XGan5JrS.net
球面に一様分布らしき点を5000個発生させて、
各々の点でθが5°の球冠面にその点以外にどれだけの点が含まれるかを算出させてみた。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
中央値9 平均9.56 標準偏差3.14という値になった。

> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 7.000 9.000 9.556 12.000 23.000
[1] 3.148086

ヒストグラムだと
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

# 球面一様分布 c(x,y,z)
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}

n=5000
vtx=t(replicate(n,vertex())) # n個の点x,y,zをつくる
rgl::plot3d(vtx[,1],vtx[,2],vtx[,3], col="slateblue")

Theta=(pi/180)*5
onCap <-function(x,y,theta){
acos(x %*% y) < theta # ベクトルの内積の逆余弦がtheta未満なら球冠上にある
}

hmonCap<- function(j){
count=0
for(i in (1:n)[-j]){
count = count + onCap(vtx[j,],vtx[i,],Theta)
}
return(count)
}
dots=sapply(1:n,hmonCap)
summary(dots) ; sd(dots)
hist(dots) ; table(dots)
BEST::plotPost(dots)

887:１３２人目の素数さん
20/03/19 16:45:37 XGan5JrS.net
極に分布が偏る　
# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
だと

> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0 6.0 10.0 18.7 17.0 139.0
[1] 26.50699

標準偏差が大きいので一様とは呼べない。

ヒストグラムを描くとURLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

888:１３２人目の素数さん
20/03/19 17:03:25 XGan5JrS.net
>>863
球面上の面積を一定にしてグリッドを描いてその中の点を数えるプログラムはできそうにないので断念して、
上記のように散布した点の周りに何個の点があるのかを数えるのに変えました。
色々と助言ありがとうございました。

889:１３２人目の素数さん
20/03/19 17:07:02 XGan5JrS.net
>827の
正方形内で乱数x,yを発生させて　r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外だと

Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 9.00 13.00 12.58 16.00 33.00
[1] 5.694825

標準偏差5.69と前二者の間になった。　まあ、直感と合致した感じ。

890:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:05:16 KrhQLEng.net
>>819
計算教えて

891:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:13:01 uD33tvXq.net
>>869

単位球の表面積は4π。この球を平面で切り、（切断面を除く）表面積を3πとπに分けるためには、
平面と球の中心の距離はいくらか？　答えは
y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx　を解いて、a

892:=1/2 球と平面の距離が1/2なら、切断面の半径は(√3)/2 このことから、球面上を一様に分布した点があり、それを、赤道面上に投影すると、半径(√3)/2の円内に半分の点があり、その外側のドーナツ型の部分に半分の点がなければならない。 >>827　の方法では、半径(√2)/2の円の内外で二分されるため、球面上を一様に分布した点とはならないと思われる。ではどうすればよいかというと、[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、 x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2) というのが、シンプルだと思われる。

893:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:41:52 KrhQLEng.net
>>830
>xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
これね
スマン意図伝わってなかったかも知らん

894:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:49:41 uD33tvXq.net
>>871
一行の中に、二カ所もひどい間違いしてました。訂正します。
×：y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2
○：y=√(1-x^2)、π=∫[a,1]2πy√(1+(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2

895:１３２人目の素数さん
20/03/19 20:45:46.04 XGan5JrS.net
>>871
[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
でやってみました。
>866とほぼ同じ平均と標準偏差になりました。
　 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
1.000 7.000 9.000 9.585 12.000 24.000
[1] 3.193939

896:１３２人目の素数さん
20/03/19 21:44:15 uD33tvXq.net
球面を、二つの平面、x=aとx=a+hでカットしたときの帯状の曲面の面積は、
カットする位置によらず、幅hにのみ依存します。
>>866はこの性質を利用した方法なので、球面一様分布を生成する正しい方法だと思います。
一方、>>827の方法は、正しくないという指摘です。

897:１３２人目の素数さん
20/03/19 23:30:46.19 nprfnGEx.net
数aの問題です。
【300人を対象に「二つのテーマパークpとqに行ったことがあるか」というアンケートをおこなったところ、pに行ったことがある人が147人、qに行ったことがある人が86人、どちらにも行ったことのない人が131人であった。
　（１）両方に行ったことのある人の数を求めよ。
　（２）どちらか一方にだけ行ったことのある人の数を求めよ。】　という問題です。答えを見てもなかなか理解が出来ませんでした。

898:１３２人目の素数さん
20/03/19 23:42:24.02 8QNcFC1P.net
↑の問題書く板を間違えてしまいました。失礼しました。

899:１３２人目の素数さん
20/03/19 23:43:46.42 8QNcFC1P.net
↑板ではなくてスレです。初心者のため用語がごちゃごちゃになってしまいました。何度も失礼しました。

900:１３２人目の素数さん
20/03/20 00:03:06.45 p5Mf5Wxl.net
>>876
(1)147+86-(300-131)=64
(2)147-64=83 86-64=22から83+22=105
答が理解できない理由が謎。

901:１３２人目の素数さん
20/03/20 00:11:49.72 p5Mf5Wxl.net
>>875
緯度でθ+Δθでやると帯の面積はΔθだけなくてθの値にも依存しますね。

902:イナ
20/03/20 01:13:13.31 8G8tjVXV.net
前 >>843
>>817
面白い問題と言うからにはこのぐらいのことは起こらないとね。
半径1の球に内接する正四面体の一辺をaとして、
その体積はa^3√2/12
4つの頂点を無作為にとったとき、凸包の体積Vはちょうど一辺が1の正四面体の体積になるとか。
a=1のときV=√2/12
=0.11785113……

903:１３２人目の素数さん
20/03/20 03:34:41 BTmsQo5f.net
>>881
稀代の馬鹿

904:１３２人目の素数さん
20/03/20 05:33:36.40 5OgbmOf4.net
>>772
面白い問題おしえて～な 31問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:859番)

905:１３２人目の素数さん
20/03/20 05:34:37.30 5OgbmOf4.net
誤爆orz

906:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/20 06:59:12 8G8tjVXV.net
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`∩∩､/､＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`前>>881＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>817 (1/2)^3=1/8=0.125 ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼

907:イナ
20/03/20 07:55:00.46 8G8tjVXV.net
前 >>885
∵半径1の球表面にA,BをとるときA

908:Bは0～2の値を無作為にとるが、そのあいだを動かしたときもっともとり得る値はAB=√2 同様にAC=√2,BC=√2 もっともとり得る△ABCの面積は、 △ABC=(√3/4)(√2)^2 =√3/2 △ABCの重心をGとして、四面体ABCDの△ABCを底面とした頂点Dの高さDGは0も含めいろいろな値を無作為にとるが、もっともとり得る値は、球の中心をOとしてOGと等しい。つまり四面体ABCDの体積のもっともとり得る値は、3つの稜線のおのおのが直交し長さが1の三角錘の体積と等しい。

909:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/20 08:04:52 8G8tjVXV.net
前>>886訂正。
>>817
四面体ABCD=(1/3)(1/2)･1
=1/6
=0.166……
∵>>886

910:１３２人目の素数さん
20/03/20 18:27:18 lC3HBZ24.net
888げとー　　(パチスロか?)

>>887
　OA,OB,OCが直交すればOABCの体積は 1/6
　>>841 と一致･･･ (正しくはなかろうが)

911:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/21 10:38:50 gmytXLCF.net
∥∩∩ ∥ □ ∥○?∇
（(-_-)∥　　∥Δ>>888
（っ⌒⌒ﾞ　｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~　∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つﾞ
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`球表面にもっともとり得る2点目、3点目を順にとると任意の2点は球の中心に対して直角になる。
前>>887あとは4点目をどうとるか。3点で決まる平面と平行な、球体を切った任意の円盤の中で、もっともとり得る円盤は球の中心を通るやつ。この円盤と球表面の共有線である円周上に4点目があるときの四面体の体積は、稜線が直角な三角錘と同体積。
稜線の長さは球の半径=1だから三角錘の体積(1/3)Shは、
(1/3)(1/2)･1=1/6
=0.166……
あってると思うけど。

912:１３２人目の素数さん
20/03/21 19:43:53 4jcynL59.net
>>817
数値積分による解
In[1]:= S[t1_,t2_,p_] := Simplify[Norm[Cross[{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[
t1]}-{0,0,-1},{Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]}-{0,0,-1}]]/2]
In[2]:= d[t1_,t2_,p_] := Simplify[Det[{{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[t1]},{
Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]},{0,0,-1}}]/(2 S[t1,t2,p])]
h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+Integrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/2}]]
In[3]:= h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+In
tegrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/
2}]]
In[4]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]h[d[t1,t2,p]]S[t1,t2,p]/3,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,
Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}]/Integrate[Cos[t1]Cos[t2],{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-
Pi/2,Pi/2}]
Out[4]= 0.11968

913:イナ
20/03/21 21:28:05.69 gmytXLCF.net
前 >>889
>>881少数第三位を四捨五入すると、
V=0.12

914:１３２人目の素数さん
20/03/21 22:05:25 RyI2Q/uv.net
>>891
少数第1位を四捨五入すると、V=0

915:１３２人目の素数さん
20/03/22 10:38:19 fXf64y18.net
>>890 の式を整理して精度を上げてみる
In[1]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]
(2(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2)
/(24Pi Sqrt[(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2])
,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}, WorkingPrecision->12, PrecisionGoal -> 11]
Out[1]= 0.119679720136

916:１３２人目の素数さん
20/03/23 03:30:35 uvHIelYA.net
これってパソコンなしでは解けませんよね？

【富山県最強伝説】新型コロナウイルスPCR検査件数　54人　陽性0人
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)

ある集団から54人を無作為に選んでPCR検査したら陽性0であったとして
PCR検査の感度0.7　特異度0.9としてこの集団の有病率の期待値と95%信頼区間を求めよ。

917:１３２人目の素数さん
20/03/23 11:46:03 MEkmhbu9.net
>>893
数値的にしか解けないの？

918:１３２人目の素数さん
20/03/23 15:15:51 9TP9mpqz.net
Rの標準ライブラリは抽象代数計算ないから標準ライブラリだけなら数値積分しかできないだろな。

919:１３２人目の素数さん
20/03/23 15:27:44 mjeu1Sts.net
>>895
前計算してた人居るよ
確率密度関数与えられるから
あとは体積の計算して平均出すだけだけど
式は書けても計算ができそうもない

920:１３２人目の素数さん
20/03/23 22:00:13.53 GiYqQssY.net
半径1の半円の内部に閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ

921:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/23 23:31:07 dYUW2zOC.net
前>>891
>>898
閉曲線で囲まれた領域が楕円のとき、
短軸1,長軸1/√2
面積π(1/2)(1/√2)
=π/2√2
周長2π√(1/2)√(1/√2)
=π√√2
面積/周長=1/2√2･√√2
=0.297301779……
蛹で越冬する感じか。

922:１３２人目の素数さん
20/03/23 23:36:36 GiYqQssY.net
>>899
不正解
それなら半円そのもの
π/(2(π+2))=0.3055...
の方が大きい

923:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/23 23:44:31 dYUW2zOC.net
前>>899
>>900半円は直線が入ってるら。不適だに。

924:１３２人目の素数さん
20/03/23 23:53:47.84 HQzFbrB9.net
>>901
いくらでも半円に近づけるから比が0.3055...に近い閉曲線が描ける
よって >>899は最大値ではない
でも内部だと確かにsupはあってもmaxが無いことになってしまうので >>898は改題しますすみません
「半径1の半円の部分集合として閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ」
ただし、ここで言う半円は{(x,y)∈R^2 | x^2+y^2≦1 ,y≧0}のことです

925:１３２人目の素数さん
20/03/24 00:23:44 bCLJqQcJ.net
l = (sinθ/(1+sinθ))(θ+π/2) + (sinθ'/(1+sinθ'))(θ'+π/2) + cosθ/(1+sinθ) + cosθ'/(1+sinθ') + (π-θ-θ')
S = (θ/2)(sinθ/(1+sinθ))^2 + (θ'/2)(sinθ'/(1+sinθ'))^2 + (1/2)sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + (1/2)sinθ'cosθ'/(1+sinθ')^2 + (π-θ-θ')/2
maximize S/l where θ,θ'≧0, θ+θ'≦π
sssp://o.5ch.net/1mukb.png

926:１３２人目の素数さん
20/03/24 01:36:19.20 TnHQvRcs.net
>>896
レスありがとうございます。
こういうアルゴリズムになるのかと愚考しています。
事前分布を選択する（例. 有病率は高々10%として(0.0.1]の一様分布とする)、
陽性確率は真陽性確率と偽陽性確率の和、
陽性数はこの確率で二項分布、

927:１３２人目の素数さん
20/03/24 02:07:58.87 cfg1hqI2.net
>>897
具体的には球面上の2変数の座標系stがあって
st平面上の領域Dと球面が(x,y,z)=f(s,t)で対応しているとき
球面上の一様分布を与えるst2変数の密度関数g(s,t)が存在し
dS/4π=g(s,t)dsdt
となる
頑張ればf,gは具体的な式で与えることは出来る
球面上の4点をp1=f(s1,t1)・・・p4=f(s4,t4)で表して
これら4点を頂点とする4面体の体積を表す関数V(p1,p2,p3,p4)を
何とか式で表せはするから
∬∬∬∬V(f(s1,t1),・・・,f(s4,t4))g(s1,t1)・・・g(s4,t4)ds1dt1・・・ds4dt4
を計算したら良いだけ

928:イナ
20/03/24 02:44:18.74 G+Ea7M2l.net
前 >>901
>>902
y軸を挟んで(0,0)に中心をあわせた半径1,中心角45°の扇形を1対並べ、それを両サイドから挟むように半径1/2,中心角45°の扇形を並べ、その左右端に半径1/4,中心角45°の扇形を弧が滑らかにつづくようにくっつけて並べ、
(0,1),(±1/√2,1/√2),(±1/2±1/2√2,1/2√2),(±3/4√2±1/4,1/4√2),(0,0)の8点が滑らかにつづくように結ぶ。
点(0,0)を挟む円弧の中心を(0,t),中心角をθとおくと、
正弦定理より、
sinθ=(3/2√2+1/2)/2t
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積をsとおくと、
面積/周長=(π/4+π/16+π/64+s)/{π/2+π/4+π/8+2πt(θ/2π)}
=(21π/64+s)/(7π/8+tθ)
=(21π/64+s)/{7π/8+(1+√2)(3/4)θ}
=(21π/8+8s)/{7π+6(1+√2)θ}
=(21π+64s)/{56π+48(1+√2)θ}
sは扇形半分から三角形を3つ引いて2倍で出る。
θを度数のまま代入してよいかは気になる。

929:１３２人目の素数さん
20/03/24 06:11:35.52 MOWxPvKi.net
>>903
Sの式で (θ/2) の所は (θ+π/2)/2、　(θ'/2) の所は (θ'+π/2)/2　では？
Steinerに習って対称性を仮定しますた。
　l(θ) = 2(θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)} + 2cosθ/(1+sinθ) + π -2θ,
　S(θ) = (θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)}^2 + sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + π/2 -θ.
θで微分して
(d/dθ)(S/l) = {2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ)}{π･cos(2θ) -sin(2θ) -2θ}
　　／{4(1+sinθ)(π/2 -θ +π･sinθ +cosθ)^2},
ここで
　2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ) >0,　　(0<θ<π)
だから
　π･cos(2θ) - sin(2θ) -2θ = 0,
　θ = 0.4827200003884401212939116114621300267
このとき最大値
　(S/l)max. = 0.31702857011315030244270875179918713
これは、半円の値 π/(2(π+2)) = 0.3055077351758286 　　>>900
より大きい。

930:１３２人目の素数さん
20/03/24 06:37:12.28 MOWxPvKi.net
(補足)
　θ｡ = 27.65781870881107747733891798287807ﾟ
(S/l)max. = (小円の半径) = sinθ｡/(1+sinθ｡)
　= 0.31702857011315030244270875179918713
(原点～中心の距離) = 1/(1+sinθ｡)
　= 0.68297142988684969755729124820081287

931:１３２人目の素数さん
20/03/24 07:06:20.74 cfg1hqI2.net
>>905
まあ1点は固定して考えて良いし
2点目も1点目を通る大円で考えて
その上で一様分布で取れば良い(1次元)
3点目は半球内で一様に取るかな(2次元)
4点目は球上で一様に(2次元)
積分は5変数でよいかな

932:１３２人目の素数さん
20/03/24 07:29:45.50 MOWxPvKi.net
(続き)
　l(θ｡) = 1.48625008894369638043092594627639431
　S(θ｡) = 4.68806356604781887658254751068492774
　S/l = 0.31702857011315030244270875179918713
また、θ=30° のとき
　(小円の半径)　1/3,
　(原点～中心の距離)　2/3,
　l(30°) = 2(3√3 +5π)/9 = 1.472358208
　S(30°) = (3√3 +11π)/27 = 4.645359042
　S/l = (3√3 +11π)/{6(3√3 +5π)} = 0.31695251
θ = 0 では
　l(0) = π+2 = 5.141593
　S(0) = π/2 = 1.570796
　S/l = 0.305507735

933:１３２人目の素数さん
20/03/24 08:31:16.86 JQHHwetB.net
>>907
素晴らしい
数値としては0.317028570...で正解ですが、
なぜその形だと最大になるのか証明も欲しいところです
ヒントを言うと、あるパラメータ付き作用素の固有値をレイリー商により求めて、極限を飛ばすと(面積)/(周長)になることを利用します

934:１３２人目の素数さん
20/03/24 11:07:46.16 v/fj8fVi.net
>>911
閉曲線が囲む図形は
・凸集合として良い
・尖ってる部分が無いとして良い（つまり閉曲線は微分可能）
・半円の境界に接していない部分は、少なくとも局所的に曲率が等しいとして良い
ことから >>903の形を仮定していいはず

935:１３２人目の素数さん
20/03/24 11:31:02.15 MOWxPvKi.net
>>910
参考
-------------------------------------------------------------
θ　　r(θ)　　　　　l(θ)　　　　　　　S(θ)　　　　　　S/l
-------------------------------------------------------------
0°　0.000000000　　π+2　　　　　　　π/2　　　　　　　0.30550773518
15°　0.205604647　　4.906228243054　　1.544232748162　　0.31474947183
30°　0.333333333　　2(5π+3√3)/9 　　(11π+3√3)/27　　0.31695250990
45°　√2 -1 　　　　4.351158878394　　1.361230101991　　0.31284311606
60°　2√3 -3　　　　4.013126310452　　1.211844939375　　0.30197029588
75°　0.491333810　　3.616783365011　　1.021692472380　　0.28248649954
90°　0.500000000　　π　　　　　　　　π/4　　　　　　　0.25000000000
-------------------------------------------------------------

936:１３２人目の素数さん
20/03/24 15:59:26 JQHHwetB.net
>>912
凸なのと、曲率が局所一定はいいと思うのですが、微分可能なのはどうしてでしょうか

937:１３２人目の素数さん
20/03/24 18:16:19.81 v/fj8fVi.net
>>914
尖ってる部分の外角をθとして、こんな風にθ/2の傾きの直線で切った時のlとSの変化を考えると、
切る長さxに対してlの減少は 2x(1-cos(θ/2)) (as x→+0)で近似できるのに対し、
Sの減少は (x^2*sinθ)/2 (as x→+0) で近似できる。
よって、x>0を十分小さく定めれば、より大きい S/l を実現できる。
あと忘れてたけど
・最大の S/l を与える閉曲線が存在する
も言う必要あるな…大したことないかもだけど
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)

938:イナ
20/03/24 18:22:26.05 G+Ea7M2l.net
前 >>906
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
=3(1+√2)/4
=1.81066017……
t^2=9(3+2√2)/16
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積は等脚台形,鈍角三角形,うすい欠円からなる。
面積=π/4+π/16+π/64+πt^2θ/360°
+(1/4√2+1/4)(1/4√2)･2
+(1/2√2+1/4)(1/4√2)
-t(3/4√2+1/4)
周長=π/2+π/4+π/8+2πt(θ/360°)
=7π/8+{3(1+√2)π/2}(θ/360°)

939:１３２人目の素数さん
20/03/24 18:42:09.43 JQHHwetB.net
>>915
あーなるほど...
たしかに角を小さく切る、つまり
xを(S/l)(4(1-cos(θ/2))/sinθより十分小さく取ればよりよい比が出るのか
ありがとうございました
Maxの存在ですが、そもそも閉曲線の集合を具体的に言ってなかったんですが、リプシッツ閉曲線の集合とすればおそらく存在は言えます

940:イナ
20/03/24 19:09:08.84 G+Ea7M2l.net
前 >>916
面積=π/2
周長=2π/2+2=π+2
とすると、閉曲線はいくらでも半円に近づけられるんじゃないか？
面積/周長=π/(2π+4)
=3.05507735……

941:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/25 17:58:40 YcAWd6vy.net
前>>918直線も曲線のうち。
半径1の半円のコーナー2か所を半径rの円弧で円くカットするとき、
半円のカットされる円弧部分に対する中心角をθとすると、
(1-r)sinθ=r
sinθ=(1+sinθ)r
r=sinθ/(1+sinθ)
1-r=1/(1+sinθ)
r^2=sin^2θ/(1+sinθ)^2
面積=π/2-θ+(1-r)rcosθ+πr^2(π+2θ)/2π
=π/2-θ+(1-r)rcosθ+r^2(π/2+θ)
=π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2
周長=π-2θ+2(1-r)cosθ+2πr(π+2θ)/2π
=π-2θ+2(1-r)cosθ+r(π+2θ)
=π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)
面積/周長={π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2}/{π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)}
={(π/2-θ)(1+sinθ)^2+sinθcosθ+(π/2+θ)sin^2θ}/{(π-2θ)(1+sinθ)^2+2cosθ(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ(1+sinθ)}
θで微分し、分子=0とすると、
θ=27.6578187……°

942:１３２人目の素数さん
20/03/25 18:54:40 mDuON5Tg.net
>>919
正解だけどもう>>907で解答出てます

943:１３２人目の素数さん
20/03/25 20:06:33.01 8IQhbp71.net
いつもの芸風

944:１３２人目の素数さん
20/03/25 21:25:32.84 jmNOx22O.net
>>921
正確がでてからも延々と誤答を連発するのが芸風だったようなｗ

945:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/25 23:17:09 YcAWd6vy.net
.､､,,
彡`e)⌒～っ
⌒～っ
ιγ)
`彡´
υ´前>>919別解を探ってんだよ。

946:１３２人目の素数さん
20/03/28 04:00:21.75 H8zc980P.net
単位正方形を面積0.21未満の三角形5つで分割せよ

947:１３２人目の素数さん
20/03/28 04:01:22.29

948: ID:H8zc980P.net

949:１３２人目の素数さん
20/03/28 05:11:12.48 z8xV0i7R.net
>>924
正方形を座標 [0,1]×[0,1] におく。
アドホックだけど
周上の3点 A(0,1), B(0.4,0), C(1,0.59) を考えると
線分ABが面積0.2の三角形を切り出す。
線分ACが面積0.205の三角形を切り出す。
線分BCが面積0.177の三角形を切り出す。
残った三角形ABCは面積が0.418だから、AからBCの中点へ線分を引くとこれを面積0.209ずつに等分する。

950:１３２人目の素数さん
20/03/28 05:28:13.83 H8zc980P.net
>>926
素晴らしい
正解です

951:１３２人目の素数さん
20/03/28 05:40:49.83 H8zc980P.net
ちなみに
「正方形を5つの三角形で分割したとき、一番大きな三角形の面積の下限」
については私は答えを知りません
おそらく >>926タイプが最小だと思うけど証明出来ません

952:１３２人目の素数さん
20/03/28 08:19:46 BJlezchp.net
n(=10)人の中から無作為にm(=2)人選んだらその中に少なくとも一人の感染者がいた。
全体で何人の感染者がいるかの期待値を求めよ。

5.345794人であってる？

953:１３２人目の素数さん
20/03/28 08:34:15 BJlezchp.net
>>929
4.324324人かな？

954:１３２人目の素数さん
20/03/28 08:40:28.80 BJlezchp.net
いや、6.5人じゃないかな？

955:イナ
20/03/28 09:18:03.03 zOKjl8OR.net
前 >>923
>>929違うと思う。
少なくとも1人ということは、2人中1人か2人が感染している。
2人中1.5人が感染しているから、10人だと、
1.5(10/2)=7.5
∴7人か8人が感染している。

956:１３２人目の素数さん
20/03/28 10:07:11 GB5uxKLH.net
>>924
周上の3点 A(0, 1)　B(√2 -1, 0)　C(1, 2-√2)　を考えると
4つの?が合同になり　(√2 -1)/2 = 0.20710678 > 1/5
残った直角2等辺三角形は (√2-1)^2 = 0.171572875

一番小さい三角形の面積の範囲は 0.1682～0.18 ですかね

957:１３２人目の素数さん
20/03/28 10:34:16 BJlezchp.net
6.5の計算式

x=0:n # 感染者数:x, 非感染数:n-x
pmf=1- choose(n-x,m)/choose(n,m) # 感染者がx人のときにm人中誰かが感染している確率　＝　1 - (ｍ人全員非感染の確率)
pdf=pmf/sum(pmf) # 確率密度関数化して
(E=sum(x*pdf)) # 期待値を計算

958:１３２人目の素数さん
20/03/28 11:11:34 BJlezchp.net
>>932
2人の感染数の期待値1.5に固定ではなくて全体の感染率に依存するんじゃないの？

# p:感染確率
p1=2*p*(1-p) # 一人だけ感染確率
p2=p^2 # 二人とも感染確率
(1*p1+2*p2)/(p1+p2) # 感染人数の期待値

1.5になるのはp=2/3のとき。

959:１３２人目の素数さん
20/03/29 02:03:38.99 mVS6e59j.net
>>931
ツボの中に黒碁石がx個と白碁石が10-x個入っている確率をQ(x)とし、
黒石がx個の下で2個取って黒がn個である確率は、P(n)=C[x,n]C[10-x,2-n]/C[10,2]
P(1)=C[x,1]C[10-x,1]/C[10,2]=x(10-x)/45、P(2)=C[x,2]C[10-x,0]/C[10,2]=x(x-1)/90
だから、P(n=1,2│黒石=x)=P(1)+P(2)=x(19-x)/90
P(n=1,2かつ黒石=x)=Q(x)P(n=1,2│黒石=x)=Q(x)x(19-x)/90
P(黒石=x│n=1,2)=P(n=1,2かつ黒石=x)/納k=1,10]P(n=1,2かつ黒石=k)
=Q(x)x(19-x)/90/納k=1,10]{Q(k)k(19-k)/90}、ここで、Qが定数なら、
P(黒石=x│n=1,2)=x(19-x)/納k=1,10]{k(19-k)}=x(19-x)/660
xの期待値=納k=1,10]x*x(19-x)/660={19*10*11*21/6-(10*11/2)^2}/660=13/2

960:１３２人目の素数さん
20/03/29 04:48:03.83 Uzyj10C6.net
面白い問題見つけてきました、けっこう簡単だけども。

n次元実数空間上にn個の点P_1,P_2,…,P_nを、それぞれの座標が
P_1:(1,0,0,…,0)
P_2:(0,2,0,…,0)
P_3:(0,0,3,…,0)
…
P_n:(0,0,0,…,n)
となるように取る。
P_1～P_nのn個の点で作られる(n-1)次元空間と原点Oの距離をd(n)としたとき
lim[n→∞] d(n) を求めよ。
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)

次ページ