面白い問題おしえて～な 31問目
at MATH
[前50を表示]
700:イナ
20/03/09 20:28:15.42 otlyxJ1y.net
前>>673反省。
n=2,3のときは0通りだけど、
n=1のときが１の1通りとしたら、
n=4のとき対角線はクロスして、なんかやな感じがした。
縦に１,２,３,４、
横に１,２,４,３とすれば可能。
対角線は斜め下から、
４,１,２,３もしくは、
４,２,１,３の2通り。
最初が4通り。
縦の並びが6通りで24通り。
横に2通りで48通り。
n=1,2,3,……に対する通りの数ａ_nは、
ａ_n=1,0,0,48,……
=n^2(ａ_n-1)
縦と横をn通りずつ増やしたら必然的に斜めも増えるかな？
ａ_5はそんなに増えないか。
701:イナ
20/03/09 20:33:49.52 otlyxJ1y.net
前>>682
ａ_5=480なら、
ａ_n=n^2(n-1)ａ_n-1
こうか？
480=5･5･4･48
702:イナ
20/03/09 20:48:10.94 otlyxJ1y.net
前>>683
うまく掛けるか割るかして辺々足すと先頭と尻尾、
ａ_nとａ_4=48ら辺が残るんじゃないか？
ａ_n=(n^3ａ_n-1)-(n^2ａ_n-1)
ａ_n-1={(n-1)^3ａ_n-2}-{{(n-1)^2ａ_n-2}
ａ_n-2={(n-2)^3ａ_n-3}-{{(n-2)^2ａ_n-3}
……
703:１３２人目の素数さん
20/03/09 21:04:26.54 Wjh2UUFs.net
対角線の条件を含まないものは、ラテン方格と呼ばれるらしい
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
ラテン方格の総数についての明示的な公式は、おそらく見つかってなさそう
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
対角線の条件を含むものは diagonal latin square とか呼ばれてるみたいだけど、
こちらの方もますます研究されていなさそうだ
704:１３２人目の素数さん
20/03/09 22:29:30.36 0N1NTePA.net
>>680
対角線条件を外すと５７６通り
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 1 2
[4,] 4 3 2 1
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 2 1
[4,] 4 3 1 2
で始まって
> matrix(B[,counter[m-1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 3 4
[4,] 1 2 4 3
> matrix(B[,counter[m]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 4 3
[4,] 1 2 3 4
で終わり
705:１３２人目の素数さん
20/03/10 13:55:01.52 H1fx2jVB.net
シラミ潰しだとメモリ不足になった。
１億回シミュレーションしてようやく、1個みつかった。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 5 4 3 1
[2,] 4 3 1 2 5
[3,] 1 2 5 4 3
[4,] 5 4 3 1 2
[5,] 3 1 2 5 4
706:１３２人目の素数さん
20/03/10 16:03:21 FoiTVu+g.net
深さ優先探索でやれ
707:１３２人目の素数さん
20/03/10 16:34:04 BSnoL6Fw.net
n=5 で対角線も考える場合
□□□□□
□■□■□
□□■□□
□■□■□
□□□□□
上の黒四角のどこにも同じ数字は入らない。
よって次のように固定して良い（重複度120）
□□□□□
□?■?□
□■?■□
□?■?□
□□□□□
四つの黒四角のうちどこか二つに同じ数字が入ると仮定すると、
中央の3x3の正方形に、ある特定の数字が３つ入ることになるが、
その数字が入ることが可能な残る場所は5x5正方形の四隅しかあり得ず、矛盾。
すなわち四つの黒四角に入る数字は全て異なるため、次のように固定して良い（重複度2）
□■□■■
□???□
■???■
□???□
■■□■□
黒四角のどこを決めても他の黒四角も全て決まることがわかる。白四角も同様。
ゆえに重複度は2*2=4.
以上から120*2*4=960通りになる…はずなんだけど>>675はどうやって計算した？
708:１３２人目の素数さん
20/03/10 18:57:05 H1fx2jVB.net
>>687
一つ見つかったから1 2 3 4 5 を各々例えば5 4 2 1 3 に置き換えるとかすれば、120個作れるな。
例
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 4 5 3 1 2
[2,] 3 1 2 4 5
[3,] 2 4 5 3 1
[4,] 5 3 1 2 4
[5,] 1 2 4 5 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 5 2 3 4 1
[2,] 3 4 1 5 2
[3,] 1 5 2 3 4
[4,] 2 3 4 1 5
[5,] 4 1 5 2 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 4 1 3 5
[2,] 1 3 5 2 4
[3,] 5 2 4 1 3
[4,] 4 1 3 5 2
[5,] 3 5 2 4 1
などなど
709:１３２人目の素数さん
20/03/10 19:28:10 2VZd/7KV.net
サイコロを1が出るまで振って、振った回数を当てるギャンブルがある。何回目にかけるのがベストか？
710:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:03:41.17 H1fx2jVB.net
>>691
直感だと１回
711:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:09:56.15 H1fx2jVB.net
>>691
１０万回シミュレーションして頻度をグラフ化
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
sim <- function(){
dice=0
i=0
while(dice!=1){
i=i+1
dice=sample(6,1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
712:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:31:31.78 vC568XMn.net
霊感で一回
713:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:44:08.24 xGpgpXvb.net
>>691
n+1回目に始めて1が出る確率は1/6(5/6)^nで減少関数だから1回がベスト
714:イナ
20/03/10 20:45:37.39 SgyDBxw5.net
前>>683
>>691
出るまで引くよりベストがあるなら、
1/6+(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(5/6)(1/6)=0.517746917……
5割超えんのは4回目。
∴4回目がベスト。
715:１３２人目の素数さん
20/03/10 21:02:06.67 2VZd/7KV.net
幾何分布の問題でした。
正解は1回目
解答
URLﾘﾝｸ(bellcurve.jp)
716:イナ
20/03/10 21:20:33.18 SgyDBxw5.net
前>>696
単勝１番は0.166……
一方４番は125/1296=0.09645……
千円賭けて9,645円もらえるのかと思った。
n回目は5^(n-1)/6^n
下がる一方か。
717:イナ
20/03/10 21:40:50.28 SgyDBxw5.net
前>>698
サイコロ振ってn回目までに1が出る確率は、
納n=1→n]5^(k-1)/6^k
ですか？
千人に1人が受賞する文学新人賞に応募するとき、何回目に受賞が期待(5割超え)できますか？
718:１３２人目の素数さん
20/03/10 21:48:58.80 YAq6/mFA.net
>>699
プログラム組めば解答でるけど、入試とかで出たら解答する方法はあるのだろうか？
719:イナ
20/03/10 22:07:46.17 SgyDBxw5.net
前>>699
>>700
100回目までに1回も受賞しない確率は、
(99/100)^100
100回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^100=0.633967659……
69回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50016297……
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50516134……
見とおしが立った！
720:１３２人目の素数さん
20/03/10 22:17:33.64 YAq6/mFA.net
^69とかどうやって計算するのさ
まぁ出来ない事はないが
721:イナ
20/03/10 22:22:10.66 SgyDBxw5.net
前>>701
693回目までに受賞する確率は、
1-(999/1000)^693=0.500099765……
年間7作。
100年要らない。99年で受賞する。
722:１３２人目の素数さん
20/03/10 23:29:31.45 IbQVYwum.net
対数表が与えられていれば分かるだろ
723:１３２人目の素数さん
20/03/10 23:32:59.02 9ehLsruf.net
自分で出題し自分で解くという新しい芸風
724:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/11 02:21:24 LbRSBTGq.net
前>>703
>>701訂正。
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^70=0.50516134……
725:１３２人目の素数さん
20/03/11 11:58:45 t9boZF0q.net
類題
1が累計二回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
726:１３２人目の素数さん
20/03/11 12:15:54 avK6eeO9.net
>>707
2回目
727:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:00:47 t9boZF0q.net
>>708
残念
728:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:14:52 1JNnQUXE.net
6または7？
729:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:53:35.94 t9boZF0q.net
>>710
正解
n回目に賭けて当たる確率は (n-1)(5/6)^(n-2)*(1/6)^2 で、
これが最大になるのはn=6,7の時。
730:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:17:40 YQLdoe7U.net
EをR^N上のボレル集合、AをN×N行列、LをN次元ルベーグ測度とする このとき
L(A(E))=|detA|L(E)
が成立することを証明せよ
731:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:19:30 3HNckciv.net
どちらかに賭けても勝率6.7%か
732:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:30:24 hVKkfTiV.net
>>711
10万回シミュレーションしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
"1が累計m(=2)回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？"
sim <- function(m=2){
pip1=0 # １の目の出た回数
i=0 # サイコロを振った回数
while(pip1 < m){
i=i+1
pip1 = pip1 + (sample(6,1)==1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
733:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:15:06 hVKkfTiV.net
>>711
100回目までを計算してみた。
> sapply(1:100,bg)
[1] 1 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
[21] 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234
[41] 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 306 312 318 324 330 336 342 348 354
[61] 360 366 372 378 384 390 396 402 408 414 420 426 432 438 444 450 456 462 468 474
[81] 480 486 492 498 504 510 516 522 528 534 540 546 552 558 564 570 576 582 588 594
bg <- function(x,print=FALSE){ # big gambling
f <- function(n,m=x,p=1/6) choose(n-1,m-1)*p^(m-1)*(1-p)^(n-m)*p
nn=1:(10*x)
y=optimize(function(n) f(n),nn,maximum=TRUE)$maximum
if(print){
plot(nn,sapply(nn,f),bty='l',pch=19)
yy=c(floor(y),ceiling(y))
cat(c(f(yy[1]),f(yy[2])),'\n')
}
return(floor(y))
}
sapply(1:100,bg)
734:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/11 16:31:01 LbRSBTGq.net
前>>706
>>707
6回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、4回のはずれに対し5通りあるから、
5(5/6)^4(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
7回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、5回のはずれに対し6通りあるから、
6(5/6)^5(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
6回目と7回目は約6.69795953％の確率で2回目の当たりが出るが、これだけでベストかどうかはわからず、前後を調べる必要がある。
8回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、6回のはずれに対し7通りあるから、
7(5/6)^6(1/6)^2=7･5^6/6^8
=0.065119051……
5回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、3回のはずれに対し4通りあるから、
4(5/6)^3(1/6)^2=4･5^3/6^5
=125/1944
=0.0643004115……
9回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、7回のはずれに対し8通りあるから、
8(5/6)^7(1/6)^2=8･5^7/6^9
=5^7/6^6･3^3
=0.0620181438……
∴5回目、8回目、9回目辺りはいずれも6％を超えていて大差ないけど、6回目か7回目に賭けるのがベター。
735:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:39:52 hVKkfTiV.net
>>715
最初の１を除けば等差数列にみえるな。
736:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:46:21 hVKkfTiV.net
1が累計1000回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
6*1000-6 = 5994 と 5995回に賭けるのがベストぽいな。
多分、計算名人のイナ氏が検証してくれると思うｗ
737:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:32:14.87 hXdWKFHv.net
確率pで成功する試行で、n回目の試行でm回成功する確率をP(n)と置くと
P(n)=C[n-1,m-1]p^m(1-p)^(n-m)だから、
P(n+1)=C[n,m-1]p^m(1-p)^(n+1-m)=n/(n+1-m)(1-p)P(n)
1≦P(n+1)/P(n)のとき、1≦n/(n+1-m)(1-p)、n+1-m≦n-np、n≦(m-1)/p=999/(1/6)=6000-6
なので5994または5995がベスト
738:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:43:41.17 6p8KFnbi.net
>>707
青チャートに１が三回のバージョンがあった、最近解いた
739:１３２人目の素数さん
20/03/11 20:02:08.69 hVKkfTiV.net
>>719
ありがとうございます。
740:１３２人目の素数さん
20/03/11 21:54:30.90 UDcjpAEJ.net
サイコロを全ての目が最低1回出るまで振り続ける。振る回数の期待値を求めよ。
741:１３２人目の素数さん
20/03/11 22:02:49.23 nurrYDlF.net
6(1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6)
742:１３２人目の素数さん
20/03/12 06:18:47 ggB+4VIO.net
１万回のシミュレーション
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=all(1:6 %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.7221
>
743:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:47:25.15 NnHS9/Ym.net
>>723
残念
744:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:47:38.94 NnHS9/Ym.net
>>724
正解
745:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:53:40.63 NnHS9/Ym.net
=6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1
=14.7
746:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:56:14.15 ggB+4VIO.net
100万回で>
k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.70651
747:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:18:12 NnHS9/Ym.net
最初の1つがでるまでの回数の期待値
=6/6
1つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/5
2つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/4
以下同様
回数の期待値なので、単純に上記の和を求めればよい
748:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:42:22 HLafz7hZ.net
成功確率pの試行を繰り返すとき、最初に成功するまでの試行回数の期待値は 1/p
これを使って計算する
749:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:50:06 +Rsy6sl8.net
>>730
幾何分布とか名前がついていたような。
750:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:52:30 HLafz7hZ.net
>>731
そうです。ファーストサクセス分布(Fs分布)とも言います。
751:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:07:14 HLafz7hZ.net
訂正します。
成功するまでに失敗した回数の分布
=幾何分布
成功するまでの回数の分布
=ファーストサクセス分布
でした。
752:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:32:16 JYe4Js2p.net
クーポンコレクター問題
753:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:58:21.78 z4kbZ3QY.net
クーポンコレクター問題の一般化
サイコロふって1,2,3が出る事をA、4,5が出る事をB、6が出る事をCとする。
ABCが全て少なくとも一回起こるまでの平均は？
754:１３２人目の素数さん
20/03/12 10:36:06 +Rsy6sl8.net
>>735
1万回のシミュレーション結果
> A=1:3
> B=4:5
> C=6
>
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=any(A %in% pips) & any(B %in% pips) & any(C %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.2577
>
755:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:11:23 +Rsy6sl8.net
10万回だと
> k=1e5
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.30537
756:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:35:46 0d6KLd2P.net
>>736
答えは？
757:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:02:45 HLafz7hZ.net
難しい
これがABC予想というやつか
758:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:08:38 ab2iyO1k.net
これ貼っとこか
0508 １３２人目の素数さん 2018/06/30 02:42:25
>>505
問題を一般化して、
カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1)
カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、
初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。
よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A))
これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d
カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A)
どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。
M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B))
これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b)
整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b)
同様の計算で、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c)
カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、
M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
+ 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。
759:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:34:32 +4qdqMNu.net
>>740
ありゃ、出ちゃったか。
760:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:39:16 p+P9uShJ.net
a=3/6, b=2/6, c=1/6 として
E=1/a+1/b+1/c-1/(b+c)-1/(c+a)-1/(a+b)+1/(a+b+c)
=2+3+6-1.5-2.0-1.2+1.0
=7.3
ほんとだ。シミュレーションと一致した。
761:１３２人目の素数さん
20/03/12 14:11:14 ddMlrvcN.net
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=1399/180=7.772222...
762:１３２人目の素数さん
20/03/12 15:09:55 U3HOlh4d.net
>>737
100万回シミュレーション結果 7.3ぽいね。
> k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.300615
763:１３２人目の素数さん
20/03/12 17:50:49 ddMlrvcN.net
>>743 訂正
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=73/10
764:１３２人目の素数さん
20/03/12 18:20:32.98 fHSLdc4D.net
>>745
不正解
765:１３２人目の素数さん
20/03/12 21:11:11 ddMlrvcN.net
>>746
何故>>745だけなんですか
766:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:18:49 fHSLdc4D.net
>>747
計算機に入れてみた
767:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:23:54 y8hLNrTr.net
p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [p n| n<-[3..10000]]
-------
0.9999999999999996
768:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:28:30 y8hLNrTr.net
あ、失礼しました。
コード間違ってた。
正解でした。
p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [(fromInteger n)*(p n)| n<-[3..10000]]
------------
7.300000000000009
769:１３２人目の素数さん
20/03/12 23:26:10.85 V/f7Uy6p.net
>>735
大学入試ではこの手の出題は御法度
なぜなら終わらないことを試行としてはいけないから
770:１３２人目の素数さん
20/03/12 23:59:54 y8hLNrTr.net
>>751
ココ入試レベル縛りないでしょ？
むしろ入試レベルじゃ満足しない人の方が多いのでは？
771:１３２人目の素数さん
20/03/13 00:11:24.13 2BG+LT6A.net
>>751
ん？終わるでしょ。
772:１３２人目の素数さん
20/03/13 00:13:44.72 IbYZYELm.net
入試レベル
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数の期待値は？
期待値が範囲外になったので入試では使えないけど。
773:１３２人目の素数さん
20/03/13 07:34:24.77 ZlFDi94b.net
>>754
１０万回シミュレーション
balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
picked=NULL # 取り出された玉の配列
flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
sim <- function(){
while(flag==FALSE){
i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
}
sum(picked==2) # 取り出された白玉の数を返す
}
k=1e5
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 5.24854
774:１３２人目の素数さん
20/03/13 07:51:51.90 ZlFDi94b.net
>>755
白玉の個数の分布をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 5.00 6.00 5.25 6.00 6.00
５．２５が答みたいだなぁ。
解析解は賢者にお任せ。
775:１３２人目の素数さん
20/03/13 08:23:45.26 l20VjRfO.net
〔補題〕
0<p≦1 とする。
確率pで事象Aが起こるような試行を繰返し行なう。
初めて事象Aが起こるまでに試行した回数nの期待値は 1/p.
(略解)
E{n} = p {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= {1 - (1-p)} {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ････
= 1/p.
776:１３２人目の素数さん
20/03/13 08:35:28 9IyekctU.net
XiをX≧iのとき1、そうでないとき0と定めてq=1-pとすれば
E(X)
=ΣE(Xi)
=Σq^(i-1)
=1/(1-q)
=1/p
777:１３２人目の素数さん
20/03/13 11:33:57.90 l20VjRfO.net
最後の赤玉が出たのがn回目とする。(7≦n≦18)
・(n-1)回目までに取り出す白玉/黒玉はn-7個で、 Ｃ[11,n-7] とおり。 (*)
・取り出すn個が決まったとして、順番を入れ替える方法は
1～(n-1)回目 (n-1)! とおり
n回目 7 とおり
(n+1)～18回目 (18-n)! とおり 〔実際は取出さないが･･･〕
これらをを掛ければ
Σ[n=7,18] 7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[11,n-7]
= 11!Σ[n=7,18] 7(n-1)(n-2)････(n-6)
= 11!Σ[n=7,18] {n(n-1)････(n-6) - (n-1)････(n-6)(n-7)}
= 11!(18!/11!)
= 18! (←当然)
次に、n回目までの白玉の数w の期待値を求める。
wを掛けてたすと (*)の所が 6Ｃ[10,n-8] となる。
Σ[n=7,18] 6･7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[10,n-8]
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] 8(n-1)(n-2)････(n-7)
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] {n(n-1)････(n-7) - (n-1)････(n-7)(n-8)}
= (6･7/8)10!(18!/10!)
= (6･7/8)18!
∴ E{w} = 6･7/8 = 5.25
*)
7≦n≦12 のとき Σ[w=0,n-7] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
13≦n≦18 のとき Σ[w=n-12,6] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
778:１３２人目の素数さん
20/03/13 11:56:03 l20VjRfO.net
(n-1)回目までの白玉の数wの分布は >>756
P_w = (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
Σ[w=0,6] P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] (w+1)(w+2)････(w+6)
= (6!/13!)Σ[w=0,6] {(w+1)････(w+6)(w+7) - w(w+1)････(w+6)}
= (6!/13!)(13!/6!)
= 1.
E{w} = Σ[w=1,6] w･P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] w(w+1)(w+2)････(w+6)
= (7!/13!)Σ[w=1,6] (1/8){w････(w+6)(w+7) - (w-1)w････(w+6)}
= (7!/13!)(1/8)(13!/5!)
= (7･6/8)
= 5.25
779:１３２人目の素数さん
20/03/13 12:21:36 eu0owVym.net
>>760
正解！
想定解出してもいいけど実はある事に気づくと数行で終わります。
どうしよう？
夜まで待ってみますね。
780:１３２人目の素数さん
20/03/13 12:49:17 l20VjRfO.net
白玉の個数wの分布
0個 1個 2個 3個 4個 5個 6個
1/1716, 7/1716, 28/1716, 84/1716, 210/1716, 462/1716, 924/1716
0.06% 0.41% 1.63% 4.90% 12.24% 26.92% 53.84%
781:１３２人目の素数さん
20/03/13 13:11:02.52 m1uM3VjH.net
黒玉は無視
赤玉7個を並べておき、その前後と間の8ヶ所に白玉6個をランダムに入れていく（重複あり）
赤玉の後ろに白玉がいくつあるかを考えるとき、白玉1個につき期待値1/8となるので6個なら6/8=3/4
従ってそれ以外のところにある白玉の個数の期待値は6-3/4=5.25
782:１３２人目の素数さん
20/03/13 13:12:33.86 eu0owVym.net
>>763
それです。
お見事。
783:１３２人目の素数さん
20/03/13 13:14:30.61 m1uM3VjH.net
赤玉の後ろ以外にいくつあるかを考えるとき白玉1個につき期待値7/8なので6個なら6*7/8=5.25でよかったわ
784:１３２人目の素数さん
20/03/13 14:10:27.98 qPbrkgFl.net
>>754
P(k)=Σ[k=0,6]Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=kP(k)=21/4
785:１３２人目の素数さん
20/03/13 15:04:09.49 eu0owVym.net
>>766
さすがにダメやろ。
いくら原理的にはコレ計算したらできるって立式を書いても、その計算が最低目で追えるものを見せないと正解とは認定されない。
786:１３２人目の素数さん
20/03/13 15:27:09.74 Pzzsy05r.net
最小交点数がｎの結び目は何種類あるのか。
787:１３２人目の素数さん
20/03/13 16:45:01 l20VjRfO.net
黒玉は無視する。(13個で考える)
(最後の赤玉が出る前の) 白玉の数をwとすると、
最後の(6-w)個が白玉、その直前が赤玉、他は不問だから
P_w = (6/13)(5/12)････((w+1)/(w+8))・(7/(w+7))
= (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
あとは >>760 で
788:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:07:52 qPbrkgFl.net
>>767
これは、よく分からないがwolframで計算してみたら一致した
偶然一致するとは思えないが？
789:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:14:21 qPbrkgFl.net
>>767
P(k)の値(k=0～6)は>>762と一致する
790:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:20:08 ieVI6aZ4.net
なるほど
時系列で考えていくと発想が広がりにくいが、並べて考えるとわかりやすいな。
参考になる
791:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:34:42 qPbrkgFl.net
>>767
C[7,6]C[6,k]C[5,j]/C[18,6+k+j]
ここの�
792:舶ｪが、赤6、白k、黒jの計6+k+j回玉を取り出したときの確率 分子と分母は、玉に番号を付けた場合の場合の数になっている 最後に1/(12-k-j)で赤を取り出す確率を掛ける
793:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:37:26 eu0owVym.net
>>770
いや、コレを計算できれば答えが出るなんて式たてるだけなら受験レベルの問題ならできて当たり前。
受験レベルで解くという意味ならその中で二十分程度で無理なく実際にできるというところまでやって見せてみて初めて正解。
計算機ならできるでは、受験レベルを超えてるようなやつならともかく受験レベルの問題と銘打って出題されてるんだから、通用しない。
794: 【大凶】
20/03/13 22:15:14 OegQL28o.net
前>>716
>>754
6(7/8)=5.25
795:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:39:53 qPbrkgFl.net
>>774
この問題は難しいから受験で出題されるとは思わない
796:１３２人目の素数さん
20/03/14 01:23:48.44 Qtllr5m8.net
え？
797:１３２人目の素数さん
20/03/14 01:27:44.99 j/jXCgRq.net
このスレは受験で有効な解答のみ正解という訳ではなかろう
798:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/14 02:19:09 V5zn1x6j.net
_____∩ っﾞ___
＼ (-_-)) /|
＼＼υ⌒υ､ /|
￣￣￣￣|υ/|
________｢￣|
九九を習った小学2年生なら解けるんだよな。
前>>775滑り台の角度も摩擦係数も知らない、ましてや静止距離など。
799:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:30:01.48 a/1EREm4.net
こうしたらどうなる？
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を４個取り出した時点で終了とする。取り出した白玉の個数の期待値は？
800:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:32:20.86 uXVhjaRg.net
7/8が4/8にかわるだけでは？
801:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:40:16.33 a/1EREm4.net
>>781
6*4/8=3でいいのか。
802:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:45:58.12 5sXkLHY6.net
>>780
P(k)=Σ[j=0,5]4C[7,3]C[6,k]C[5,j]/(C[18,3+k+j](15-k-j)
E=Σ[k=0,4]kP(k)=881/429
803:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:50:54.02 rjLc6zup.net
整数の無限部分集合Aであって、どの互いに異なる a,b∈A をとっても
|a-b| が平方数にならないものは存在するか。
804:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:51:33.67 Qtllr5m8.net
>>754
7/8 * 6=21/4
>>780
4/8 * 6=3
805:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:02:50.20 Qtllr5m8.net
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値の期待値は？
806:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:17:16 xUS1bw+b.net
>>784
レピュニット数を元とする無限集合とすればいい
807:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:18:04 5sXkLHY6.net
>>766 訂正
P(k)=Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=Σ[k=0,6]kP(k)=21/4
808:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:25:25 5sXkLHY6.net
>>786
E1=Σ[k=0,6](k-(5-j))P(k)=37/8
E2=Σ[k=0,6](k-(6-k))P(k)=9/2
E3=Σ[k=0,6](k(5-j))P(k)=35/12
E4=Σ[k=0,6](k(6-k))P(k)=35/12
809:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:54:58 XpWNijuu.net
>>786
最初の２つは線形性でいける。
3番目は独立性。
暗算で苦しいのは最後だけだな。
黒玉ひとつに着目して取り出される確率がp=7/8。
よって取り出される個数Xの分布はp=7/8, n=6の二項分布。
X^2の期待値は
E(X^2) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k^2=93/32。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
810:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:02:50 rjLc6zup.net
>>787
残念。|111-11|=100 は平方数になります
811:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:05:48 43XV3aTx.net
おっと脳内で問題変わってたw
E(x(6-x)) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k(6-k)=105/32。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
812:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:11:55 CncPdwb0.net
>>784
2×4^nで桶
813:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:16:30 xUS1bw+b.net
>>791
確かにそうだった
814:１３２人目の素数さん
20/03/14 14:53:15 rjLc6zup.net
>>793
お見事、それがあったか
815:１３２人目の素数さん
20/03/14 14:55:15 iH59lf4s.net
>>784
A = {1, c, c^2, c^3, ････| c>2}
c^n - c^m = (c^m) {c^(n-m) - 1},
c^(n-m) > 1, (n>m)
カタラン予想（ミハイレスクの定理) により
c^(n-m) - d^2 = 1 となる d >1 は存在しない。
∴ c^(n-m) - 1 は平方数でない。
c^m と c^(n-m) -1 は互いに素だから | c^n - c^m | は平方数でない。
A = {2, 8, 32, 128, 512, ････} も同様？
816:１３２人目の素数さん
20/03/14 19:40:53.31 joJxF0LZ.net
>>789
シミュレーションで近似してみました。
> balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
> picked=NULL # 取り出された玉の配列
> flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
> sim <- function(){
+ while(flag==FALSE){
+ i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
+ picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
+ balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
+ flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
+ }
+ # 取り出した白玉の個数
+ a0=sum(picked==2)
+ # 取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値
+ a1=sum(picked==2)-sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値
+ a2=sum(picked==2)-sum(balls==2)
+ # 取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値
+ a3=sum(picked==2)*sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値
+ a4=sum(picked==2)*sum(balls==2)
+ return(c(a0,a1,a2,a3,a4))
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,sim())
> apply(re[2:5,],1,mean)
[1] 4.627792 4.500442 2.904962 2.916039
> c(37/8,9/2,35/12,35/12)
[1] 4.625000 4.500000 2.916667 2.916667
817:１３２人目の素数さん
20/03/14 22:15:14 Qtllr5m8.net
>>790,792
サンクス
期待値の線形性独立性の問題としてちょうど良さげかと
2項分布の分散がnpqということを使えば最後もそれほど難しくはない
V(X)=E(X^2)-E(X)^2=6(7/8)(1/8)=21/32
E(X^2)=21/32+(21/4)^2=903/32
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-903/32=105/32
818:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:06:20 Qtllr5m8.net
>>784
a1=1
a2=min{x>a1 | x-a1≠n^2}=3
a3=min{x>a2 | x-a1, x-a2≠n^2}=6
…
a[n+1]=min{x>an | x-a1,,,x-an≠n^2}
819:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:15:16 Ior9sgvQ.net
>>798
二項分布の分散‥‥そんなのあったあったw
忘却の彼方ww
820:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:26:01 Qtllr5m8.net
>>797
後2問シミュレーションと随分違うな
何故？
37/8, 9/2, 105/32, 105/32
を想定
821:１３２人目の素数さん
20/03/15 00:54:39.47 ijdl7Zl+.net
>>801
しまった。
黒玉iが取り出される事象は独立でない。
取り出される事象の特性関数をXiとして
E(Xi)=E(Xi^2)=7/8
i≠jのときE(XiXj)=7/8×8/9=7/9
なので独立ではない。
よってX=ΣXiとすれば
E(X)=6×7/8=21/4
E(X^2)=6×7/8+30×7/9=343/12
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-343/12=35/12
でした。
吊ってくるorz。
822:１３２人目の素数さん
20/03/15 02:00:29 v+yfiMnW.net
>>802
あー
2項分布じゃないってことか
こりゃ不味いわめんどくさ
823:１３２人目の素数さん
20/03/15 02:03:24.48 v+yfiMnW.net
白黒も独立ではないなあ
こりゃ面倒くさすぎだった
824:１３２人目の素数さん
20/03/15 18:11:23 G3nSul4k.net
シミュレーションでなくて数え上げで計算してみたら>>789が正しそう
825:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:35:56.64 63iW3LdD.net
面倒な問題だな
826:１３２人目の素数さん
20/03/15 20:18:17.77 OTl1KJku.net
>>780
黒は無視して、赤白計13個で総当たりで計算してみた。
TEnr <- function(n,r,zero=0,one=1){ # n(=5),r(=3)を指定して 0 0 1 1 1から1 1 1 0 0までの順列行列を作る
f=function(x){
re=rep(zero,n) # 容れ子
re[x]=one # 指定のindexにoneを代入
re
}
t(combn(n,r,f)) # oneを入れる組み合わせに上記関数fを実行して転置
}
TE=TEnr(13,7,0,1) # 0:白 1:赤 13個の並びの行列 1111111000000 から 0000001111111まで13C7(=1716)個
(x=TE[1000,]) # 1000行目のエントリ
f <- function(x){ # 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 -> 2 赤(1)が4個に達すまでの0の数を返す
i4=which(cumsum(x)==4)[1] # 累積和が最初に４になったindexをi4として
sum(x[1:i4]==0) # i4までの白(0)の個数を返す
}
re=apply(TE,1,f)
sum(re)
length(re)
mean(re)
> sum(re)
[1] 5148
> length(re)
[1] 1716
> mean(re)
[1] 3
答は３
827:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:08:54.75 v+yfiMnW.net
>>806
白単独なら2項分布と同じで
白黒などでも線形なら2項分布で計算しても正しい値になるから
単に答えだけ見るのだと
正しい考察の結果かどうか分からないので
これ>>786の第1，2問は悪問だな
第3，4問だけなら2項分布で計算すると正しい答えにならないからこれは良問
828:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:43:58.90 ijdl7Zl+.net
>>808
いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。
二項分布の公式は使えないけど例えば第一問なら黒玉iが取られる事象の特性関数をBi、白玉jが取られる事象の特性関数をWjとすれば一問目の求める期待値は
E(ΣWj-(5-ΣBi))=ΣE(Wj)-5+ΣE(Xi)=6×7/8-5+5×7/8=37/8。
コレは独立性いらない。
829:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:48:53.64 cWmNKZcu.net
n個からr個を選んで得られる順列の総数をP(n, r)とする. 任意のr>1に対して, P(n, r)は平方数でないことを示せ.
830:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:53:22.66 ijdl7Zl+.net
エルデシュktkr
831:１３２人目の素数さん
20/03/16 00:26:55 xw7qN3/R.net
>>809
>いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。
それは分かってる
だからこそ2項分布で解いてしまっても間違いが分からないのが悪問ってコトだよ
832:１３２人目の素数さん
20/03/16 00:31:06 xw7qN3/R.net
>>812
>それは分かってる
もともと白－黒と白－白にしたのは独立性に関係しないことを認識しているかどうかを主眼としたかったから（白と黒が独立と思ってた）
独立線形
非独立線形
独立非線形
非独立非線形
で4題にできて上手く行ったと思ってた
悔しい
833:１３２人目の素数さん
20/03/16 06:19:30 FQrBPIz6.net
A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改）
834:１３２人目の素数さん
20/03/16 08:51:01.03 CVVw1pKV.net
>>814
総当たりで計算
# A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改）
library(gtools)
v=rep(1:7,c(3,2,rep(1,5)))
pm=try(permutations(10,10,v,set=F))
tail(pm)
f <- function(x){
n=length(x)
flg=FALSE
for(i in 1:(n-1)){
if(x[i]==x[i+1]){
flg=TRUE
break
}
}
return(flg)
}
(x=pm[10000,])
re=sum(apply(pm,1,f))
library(gmp)
N=nrow(pm)
as.bigq(re/N)
re/N
Big Rational ('bigq') :
[1] 1388609885105903/2251799813685248
> re/N
[1] 0.6166667
835:１３２人目の素数さん
20/03/16 09:32:03.26 6K81jsqz.net
同じ文字が一度も隣合わないような場合の数を考える。
そのためにCDEFGを全てXで置き換え、『AとBは一度も隣合わない』ような場合の数を考える。
（つまりXだけは隣り合っても良い）
AとBだけに着目した時の並びが
(1)AAABBである時、最低でも AXAXABXB というスペースの空け方が必要。
このAとBで区切られた６つの区間に残りの二つのXが入るから、求める場合の数は 7C2=21.
(2)AABABである時、最低でも AXABAB というスペースの空け方が必要。
６つの区間に残りの四つのXが入るから、求める場合の数は 9C4=126.
…
以上のように計算を進めると、求める場合の数の合計は
2*7C2 + 3*8C3 + 4*9C4 + 10C5 = 966
A,B,Xの並べ方の総数は 10C5 * 5C2 = 2520 であるから、求める確率は
966/2520 = 23/60.
ゆえに元々の問の答えは 1-23/60=0.6166666…
836:１３２人目の素数さん
20/03/16 12:00:30.78 ktTTjCEF.net
半径1の球面上の4点を一様独立に選ぶとき、その4点の凸包の体積の期待値を求めよ。
837:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/16 18:51:48 thhgKhx4.net
／∥__`∥￣￣∥ ｡◯゜
∥∩∩ ∥ □ ∥ ﾟ｡
（(-_-)∥ ∥______
（っ⌒⌒ﾞ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥∩∩╂
＼■υυ■___∥_ _))⌒つ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`>>817前>>779
凸包の期待値=(4π/3)1^3=4π/3=4.1887902……
838:１３２人目の素数さん
20/03/17 02:08:40.83 Rdjv/Owr.net
>>817
4π/105
839:イナ
20/03/17 05:19:54.91 jcKSZR9M.net
てつはう。前>>818最初見た人鉄砲とよう読んだなぁ。
凸包は正四面体なのか、4点を包む最小の球なのか。
840:１３２人目の素数さん
20/03/17 07:53:05.59 Ze9EuNOD.net
>>820
四面体で１００万回シミュレーションして平均値をだしてみた。
vertices <- function(r=1){
a=runif(2,-pi,pi) # 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
theta=a[1]
phi=a[2]
x=r*sin(theta)*cos(phi)
y=r*sin(theta)*sin(phi)
z=r*cos(theta)
c(x,y,z) # 直交座標を返す
}
sim <- function(r=1){
vectors=replicate(4,vertices(r)) # ４点の直交座標
abs(det(vectors[,2:4]-vectors[,1]))/6 # 四面体の体積
}
k=1e6
re=replicate(k,sim())
mean(re)
> mean(re)
[1] 0.1069067
841:１３２人目の素数さん
20/03/17 09:10:52.71 Ze9EuNOD.net
球の場合（最小球か否かは考慮せず）の１０万回シミュレーションの平均値
library(nleqslv)
Abs <- function(x) sqrt(sum(x^2))
sphere <- function(CR){ # CR:Center,Radius
C=CR[1:3]
R=CR[4]
v4=replicate(4,vertices())
c(
Abs(v4[,1]-C),Abs(v4[,2]-C),Abs(v4[,3]-C),Abs(v4[,4]-C)
)-R
}
sphere(1:4/10) # example
sim2 <- function(){
r=nleqslv(1:4/10,sphere)$fvec[4] # 初期値 1:4/10 c(0.1,0.2,0.3,0.4)
4/3*pi*r^3
}
sim2()
k=1e5
re=replicate(k,sim2())
mean(re)
> mean(re)
[1] 1.8112
842:１３２人目の素数さん
20/03/17 10:56:05.58 jkHV1VNx.net
>>822
その数値の厳密値を
843:１３２人目の素数さん
20/03/17 11:25:44 Xb0J7ujj.net
>>821
＞# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
経度緯度を一様分布にしたら極に分布が偏らないかい？
844:１３２人目の素数さん
20/03/17 12:05:03.60 k85T9ON2.net
>>824
グラフにしてみました。
ご指摘どおり、偏りがでました。
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