面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～な 31問目 at MATH

[前50を表示]
650:１３２人目の素数さん
20/03/03 19:16:04 c1vEOOkk.net
>>633
> 　f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|)
コレは何故？

651:１３２人目の素数さん
20/03/03 19:33:35.70 KGTUQZbA.net
内角が (π-C)/2, (π-C)/2, C の二等辺三角形だから。

652:１３２人目の素数さん
20/03/03 19:41:15.55 c1vEOOkk.net
>>635
fは外接円の半径固定されてるんですよね？
二つに割って貼り直すと思うんですが外接円の半径変わっちゃうのでは？

653:１３２人目の素数さん
20/03/03 19:47:02.38 c1vEOOkk.net
あ、失礼、貼りなおさなくてもいいのか。
頂角を取り直すだけね。
なるホロ。

654:１３２人目の素数さん
20/03/03 23:13:37.44 c1vEOOkk.net
>>633
さんの方法は中々いいな。
この方法で内接円の面積最大とか3辺の長さの和最大とかが正三角形のときとかも初等的に示せるね。

655:１３２人目の素数さん
20/03/04 00:55:02 3AxDkYqV.net
>>631 >>633 は、内角で表わせば
　{A, B, C}
　{(π-C)/2, (π-C)/2, C}
　{(π-C)/2, π/6 + C/2, π/3}
　{π/3, π/3, π/3}
の順に面積が拡大するということですが、
この計算じたいは高校数学の範囲内でしょう。

その他にも、
　外接円の半径が一定の三角形の集合はどんな集合か？
　なぜうまくパラメータ表示できるのか？
といった問題もありますが、そちらは大学数学の問題でしょう。

656:１３２人目の素数さん
20/03/04 01:46:22.34 ncIVK0Vr.net
>>633
を使って初等的に示してみるまとめ。
半径1の円に内接する三角形ABCをとる、
A≦B≦Cとしてよい。
優弧BC上にDEFを∠BCD=π/3、∠CBE=π/3、∠BCF=∠CBFとなるようにとる。
EもしくはFのいずれかが弧CF上にある方をXとする。
この時
△ABC≦△XBC‥(✳︎)
であり∠XBCか∠XCBのいずれかはπ/3である。
前者のときY,ZをそれぞれC,B、後者のときはY,ZをそれぞれB,Cとすれば
△ABC≦△XYZ
であり∠Z=π/3
である。
Wを∠WXY=π/3
とすれば
△XYZ≦XYW‥(✳︎)
であり△XYWは正三角形である。□
証明の(✳︎)のところは面積のかわりに内接円の半径や三辺の和にしても初等的に示せるので内接円、三辺の和最大も処理できるし、面積をその系で示すこともできて中々気分がいい。

657:１３２人目の素数さん
20/03/04 03:30:36.65 fel9VZKy.net
正の整数nの任意の約数d<nに対し、ある正の整数mがあってmd+1<nがnと互いに素になるという。
nの必要十分条件を求めよ。

658:１３２人目の素数さん
20/03/04 05:12:28.40 3AxDkYqV.net
・優弧BC上に
　∠BCF = ∠CBF = (π-∠A)/2　( >π/3),
となるように点F をとる。
　△ABC < △CBF,
　∠BFC = ∠A < π/3,
・劣弧CF上に ∠EBF = π/3 となるように点E をとる。
　∠BEF = ∠BCF = (π-∠A)/2 > π/3,
すなわち
　∠CBF > ∠EBF > (π-∠BEF)/2,
∴　△CBF < △EBF,
・優弧EF上に ∠DEF = ∠DFE = π/3　となるように点D をとる。
　△DEF は正三角形
　△EBF < △DEF,
以上により
　△ABC < △DEF,

659:１３２人目の素数さん
20/03/04 06:35:55 lpGYoEdj.net
>>641
n≡2(mod 4)とするときd=n/2に対してdm+1<nを満たすmは1しかないが、このときdm+1みnみ偶数だから条件は満たされない。
m≡1,3(mod4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子p>2がとれるが、このときnとn/p+1の共通素因子はpしかあり得ず、pが共通素因子なら2n/p+1とnは共通素因子を持ち得ず互いに素である、
m≡0 (mod 4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子pにたいしp>2であれば先と同じようにしてmを選べる。
p=2のときは(n,n/2+1)=1でよい。
以上により与えられた条件はn≡0,1,3(mod4)と同値である。

660:イナ
20/03/04 17:36:59.43 OGTmh3Cc.net
前 >>626
>>292名高い灘高。
OA・OB=1しか条件ない。
あとは直線PQで垂直二等分されるADをどう使うか。
△PBD∽△OBQを示すために、OについてQと点対称なQ'を取り、△PBA∽△OBQ'を示したらどうか。
OA・OB=1と△PBA∽△OBQ'
どうつなげるか。
相似比PD:OQ=PA:1
見るからに相似なんだけど、相似条件がわからない。
2辺の比とその間の角が等しい、かな？
OB=1/OA=OQ/OA=OQ/PD=1/PD
接弦定理かな？
考え中？　まだ出ない？
相似だけどだれにも証明されていない問題？

661:
20/03/05 00:47:22.50 0idrlik+.net
前 >>644
平面図形に複素数なんかあるわけない。
相似条件は3つ。
3組の辺の比が等しい。
2組の辺の比とその間の角が等しい。
2角が等しい。
この3つの条件を探してみつけられなかったとしても探した奴、探そうとした奴を合格にすべきだと思う。

662:１３２人目の素数さん
20/03/05 08:34:31.13 y1DklE5e.net
>>292
半直線OABを実軸とする複素平面上で考える。
O(0)
A(a)　　0<a<1,
B(1/a)
P(e^(ip))
Q(e^(iq))
　0 < p < q < 2π,　0 < q-p < π,　
D(e^(ip) + e^(iq) - a･e^i(p+q))
とおくと
PD = e^(i(p+q)){e^(-ip) -a} = e^(i(p+q))AP~,
QD = e^(i(p+q)){e^(-iq) -a} = e^(i(p+q))AQ~,
|PD| = |AP|
|QD| = |AQ|
∴ Dは直線PQに関してAと線対称である。
OQ/OB = a･e^(iq) = PD/PB,
ゆえ相似だろうな。。。

663:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/05 13:16:55 0idrlik+.net
前>>645
検索したら似たような問題があって、複素数で解いてあった。
複素数を使わない解き方をみつけないといけない。
△BPA∽△BOQ'
かつ△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO

664:イナ
20/03/05 13:31:58.08 0idrlik+.net
PはADの中点、OはQQ'の中点だから、
△BPA∽△BOQ'
または△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO

665:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/05 15:50:14 0idrlik+.net
前>>648違うか。
AP=DPは言える。
AD⊥PQ
OA=t(0＜t＜1)とおくと、
OB=1/t
ADとPQの交点をR、BRとODの交点をSとすると、メネラウスの定理より、
(OB/BA)(AR/RD)(DS/SO)=1
{(1/t)(1/t-t)}(1/1)(DS/SO)=1
DS/SO=(1/t-t)/(1/t)=1-t^2
わからん。

666:１３２人目の素数さん
20/03/05 17:15:01 eeoU5lKD.net
>>292
ある人に初等幾何による解答を書いてもらったのでここに貼ります

仮定よりEACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円であることに注意すると
∠APC=∠CPB=:z
∴A,DはPQに関して線対称なので
DP:PB=PA:PB=AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
=OQ:OB·····?
(補足 OA=a,OB=1/aとすると)
∠OQB=x,∠OBQ=yとすると
∠BOQ=180-x-y
円周角の定理,タレスの定理などから
∠EPC=∠ECQ=90°-∠QEO=90°-(180°∠EOQ)/2
=(x+y)/2
∠APC=∠CPB=,線対称から∠DPQ=∠QPAより
∠DPB=2∠QPC=180°-2∠EPQ=180°-x-y=∠QOB·····?
??より
2辺比夾角相等から
△PBD∽△OBQ∎

URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

667:１３２人目の素数さん
20/03/05 17:33:40 o68Yrcxc.net
>>650

> ∠BOQ=180-x-y
> 円周角の定理,タレスの定理などから

この辺りが問題文で明示されてない点の配置でめちゃくちゃ場合わけしないとダメで実質証明にならない。

668:イナ
20/03/05 18:19:44.43 0idrlik+.net
前 >>649
>>651
PQが半直線ABをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bと同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。

669:１３２人目の素数さん
20/03/05 18:37:42.78 eeoU5lKD.net
>>651
これを証明した人に教えたら「PQに関してOABは同じ側だから場合分けは
上図のような場合とPQがひっくり返ったもののみだと思います」とのこと

670:１３２人目の素数さん
20/03/05 18:51:52.17 pJ9pcxTu.net
>>653
そんなわけないやん。
そもそもOA・OB=1てOAとOBどっちが長いとか直線ABとPQの位置の配置とかで角度の計算とか全部影響する。
円周角の配置になったり縁に内接する四角形の対角の位置にきたり。
それぞれに対して全部どっちとどっちを出すのか、引くのか、とか、完全に一致したり捕角の関係になったり。
OAが長いか、OBが長いかに始まって証明を分けざるを得ない配置の場合わけが3回くらい必要で、各々について2通りか3通りの場合わけが必要で10通りを超えた。
OB<OAの時は一応全部潰したけど、残りのケース全部潰したとしてもとても書く気にはならないだろうからやめた。
図が問題に与えられてて配置が決まってないと初等幾何の証明はそうなる事が避けられない。
もちろん図がなくてもきちんと言葉で確定してればいいけど >>292は無理。
長さ、角度の足し引きが出る証明はその点の並んでる順番の不定性がある時は必ずそうなる。

671:１３２人目の素数さん
20/03/05 18:57:52.75 eeoU5lKD.net
>>654
Aは円Oの内部だからOA<OBとのことです

672:１３２人目の素数さん
20/03/05 19:22:41.12 pJ9pcxTu.net
>>655
そうなん？
でもそれだけじゃすまない。
>>292の文章だけでは確定しない点の配置がメチャメチャ出てくる。
そんな事ないというなら >>650 の証明で"などから"なんてごまかししないで全部書いてみてよ。
それがホントに >>653で言うように　な2通りで済むのかどうか示してみてよ。

673:イナ
20/03/05 21:35:24.20 0idrlik+.net
前 >>652訂正。
>>650
PQが半直線BAをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bに対して同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。

674:イナ
20/03/06 05:29:26.74 PniBgS7R.net
前 >>657
>>650
∠EPC=∠ECQじゃないなぁ。
∠EPC=90°だから、移し間違いか文字化けか式が重なったか。
OA=tとおいてOB=1/tは同じだった。
∠APC=∠CPBは、たしかに見るからにそうなんだけど、すぐ言えるの？
どういうことだろう。
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
たしかに∠ACP=∠CPBに見えるんだけど。ここがこの問題の肝か。

675:哀れな素人
20/03/06 08:11:22.28 kKV2t8Di.net
>>650の回答を読んだ感想。
アポロニウスの円や調和点列の知識がないと解けない。
仮に知識があっても、
>EACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円である
>AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
これを見抜くのは難しい。
�

676:續ｼの説明は煩雑だが、要するに∠DPB=2∠QPC=∠QOB x、yその他の説明は不要。問題自身には何の不備もない。

677:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/06 15:14:44 PniBgS7R.net
前>>658
>>659
AC:CB=1-t:1/t-1
=1-t:(1-t)/t
=1:1/t
=t:1
EO:OB=1:1/t
=t:1
たしかにAC:CB=EO:OBだけど、AC:CB=EO:OBが知りたいという必要性がどうなって出てきたか。
おそらく2組の辺の比が等しいことを言いたいからだと推察する。
もうちょっとでつながりそう。

678:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/06 20:32:42 PniBgS7R.net
前>>660
>>292問題。
>>650を理解した。
半直線OAと円周の交点をC,
半直線BAと円周の交点をEとする。
OA=tとおくと、
OB=1/t
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
∠QOB=∠QOCは弧QCに対する中心角だから、
円周角∠QPCの2倍。
∠QOB=2∠QPC─?
線分PQは線分DAの垂直二等分線だから、
∠DPQ=∠QPA
△OPA∽△OBP(相似比t:1,相似条件2組とその間の角が等しいから)だから、
同一中心角を頂角とした二等辺三角形△OPCをはさむと、
∠APBはPCにより二等分され、
∠APC=∠CPB
4つの角を足した∠DPBと、内側2つを足した∠QPAで、
∠DPB=2∠QPC─?
??より∠DPB=∠QOB
△OBQにおいて、
OQ:OB=OE:OB=1:1/t=t:1─?
△PBDにおいて、
PD:PB=PA:PB=t:1─?
??よりPD:OQ=PB:OB
2組の辺の比とその間の角が等しいから、
△PBD∽△OBQ

679:１３２人目の素数さん
20/03/06 21:50:30.67 zFeFSDD3.net
なんか画像横になってるけどこれでしょ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

680:１３２人目の素数さん
20/03/06 22:08:09 kJFoYYVj.net
二元体上の既約多項式であって自己相反であるものが無限に存在することを示せ。
ただし、n次多項式f∈F_2[x]が自己相反であるとは、f(x)=f(1/x)x^n を満たすことを言う。

681:１３２人目の素数さん
20/03/06 23:02:31.70 D66ej/ua.net
>>663
q>4を二冪として写像f:Fq＼{0}→Fqをf(x)=x+1/xで定める。
S=im(f)＼{0}の各元yについてf(x)=yを満たすFq＼{0,1}の元xが2個ずつ存在するから
2#S=q-2
であり、#S=q/2-1<q-3であるからSにみF4「も属さないb∈Fqがとれる。
bのF2上の最小多項式をP(y)とする。
Q(x)=P(x+1/x)x^n (n=degP)とおく。
代数閉体Ωの元aをf(x)=bの解とすればaはQ(x)の根である。
ここで[Fq(a):F2]はqまたは2qであるからd=[F2(a):F2]は2q,q,2,1のいずれかである。
d=qとなるのは方程式F(x)=bがFqに解を持つ時であり、それはbの取り方に反する。
d=1,2となるときF2(b)⊂F2(a)最小⊂F4上となりやはりbの取り方に反する。
よってF2(a):F2]=2qとなりQ(x)はaの最小多項式であり既約である。
さらにQ(x)の根はP(x)の根βに対して方程式x+1/x=βの解をとるときの全体だから自己相反である。□

682:１３２人目の素数さん
20/03/06 23:17:34.90 D66ej/ua.net
>>664
訂正q=2^eとしてeは素数にとるでした。
[Fq:F3]=eで以外それに応じてエスパーおながいします。

683:１３２人目の素数さん
20/03/07 00:01:03.44 Ytx6ZrcL.net
>>664
実際に構成したのか…お見事
想定してたのは、F2上n次既約多項式全体の集合をS_nとおいて、S_nの元の個数が
(1/n)Σ_(d|n)μ(n/d)2^d
になること、これが無限個のnについて奇数になること、
それを利用してS_n上の対合 φ(f)(x)=f(1/x)x^n が固定点を持つことを示す、という感じでした

684:イナ
20/03/07 05:25:55.70 zZMNS4lO.net
前 >>661
>>662(1)(2)(3)の誘導付きだったか。
どんなけ難しいんじゃ、さすがｼ難高思たけど。

685:１３２人目の素数さん
20/03/07 06:39:41.04 sSvThzV4.net
ゼロで割ったらアカンどあれほど

686:１３２人目の素数さん
20/03/09 02:32:13 V6IMEB5h.net
>>631 >>639
　三辺の長さa,b,cの連続

687:関数は、　2変数の連続関数の合成で表わせます。(アーノルド,1958) 　→　ヒルベルト「数学の将来の問題」13番　しかし微分可能とは言えないので使えるかどうか････ >>652 >>653 　0 < p,q < 2π かつ　0 < |p-q| < π です。

688:１３２人目の素数さん
20/03/09 12:27:18.99 3u+TSzyD.net
縦n個、横n個のマス目のそれぞれに 1,2,3,...,n の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも、2つの対角線上にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。(2020京大文系　改)
この問題って普通に解けるのかな

689:１３２人目の素数さん
20/03/09 12:36:26.83 kig3pL/N.net
さすがにΣとか使いまくらないと無理じゃね？

690:１３２人目の素数さん
20/03/09 15:38:37 bYkUA0JQ.net
U+2026

691:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/09 17:11:52 otlyxJ1y.net
前>>667
>>670
ルービックキューブの白の面に油性の黒で１,２,３のいずれかの数字を書きこむとすると、
コーナーキューブの白の面に黒で１と書いたとき、
これととなりあうエッジキューブの白の面2つあるうちの1つに２と書いたらもう1つは３。
∵コーナーキューブの白の面に３が2つ来たらだめだから。
これで縦に１,２,３、横に１,３,２と並んだとして、
白の面のセンターキューブは必然的に１となり、
一方の対角線は３,１,２ないしは２,１,３と並べられるのに対し、
もう一方の対角線が１,１,１となり、題意を満たさない。
∴3が2でも4でもnでも不可能である。

692:１３２人目の素数さん
20/03/09 17:19:16 N/3DceFI.net
ばかだなぁ

693:１３２人目の素数さん
20/03/09 17:51:38.42 E6UD7Wty.net
>>670
n=1～5について1,0,0,48,480
一般式つくれる？

694:１３２人目の素数さん
20/03/09 18:30:15.06 2IyRnfE2.net
元の京大の問題はn=4で可能でちゃんと値は求められる

695:１３２人目の素数さん
20/03/09 19:02:15.65 0N1NTePA.net
>>670
０通り、じゃないかな？

696:１３２人目の素数さん
20/03/09 19:07:42.46 Wjh2UUFs.net
対角線の要素を考えなければ計算しやすくなったりするだろうか？
1,2,12,576,…

697:１３２人目の素数さん
20/03/09 19:55:12.97 0N1NTePA.net
>>676
プログラムのバグを修正したら、n=4で48通りとカウントされた。

698:１３２人目の素数さん
20/03/09 20:02:36.35 0N1NTePA.net
>>679
プログラムに列挙させると、
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 3 4 1 2
[3,] 4 3 2 1
[4,] 2 1 4 3
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 4 3 2 1
[3,] 2 1 4 3
[4,] 3 4 1 2
から始まって
> matrix(B[,counter[48]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 2 1 4 3
[3,] 1 2 3 4
[4,] 3 4 1 2
で終わり。

699:１３２人目の素数さん
20/03/09 20:17:16.73 kaHbC0fO.net
>>670
対角線めんどくせ

700:イナ
20/03/09 20:28:15.42 otlyxJ1y.net
前 >>673反省。
n=2,3のときは0通りだけど、
n=1のときが１の1通りとしたら、
n=4のとき対角線はクロスして、なんかやな感じがした。
縦に１,２,３,４、
横に１,２,４,３とすれば可能。
対角線は斜め下から、
４,１,２,３もしくは、
４,２,１,３の2通り。
最初が4通り。
縦の並びが6通りで24通り。
横に2通りで48通り。
n=1,2,3,……に対する通りの数ａ_nは、
ａ_n=1,0,0,48,……
=n^2(ａ_n-1)
縦と横をn通りずつ増やしたら必然的に斜めも増えるかな？
ａ_5はそんなに増えないか。

701:イナ
20/03/09 20:33:49.52 otlyxJ1y.net
前 >>682
ａ_5=480なら、
ａ_n=n^2(n-1)ａ_n-1
こうか？
480=5･5･4･48

702:イナ
20/03/09 20:48:10.94 otlyxJ1y.net
前 >>683
うまく掛けるか割るかして辺々足すと先頭と尻尾、
ａ_nとａ_4=48ら辺が残るんじゃないか？
ａ_n=(n^3ａ_n-1)-(n^2ａ_n-1)
ａ_n-1={(n-1)^3ａ_n-2}-{{(n-1)^2ａ_n-2}
ａ_n-2={(n-2)^3ａ_n-3}-{{(n-2)^2ａ_n-3}
……

703:１３２人目の素数さん
20/03/09 21:04:26.54 Wjh2UUFs.net
対角線の条件を含まないものは、ラテン方格と呼ばれるらしい
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
ラテン方格の総数についての明示的な公式は、おそらく見つかってなさそう
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
対角線の条件を含むものは diagonal latin square とか呼ばれてるみたいだけど、
こちらの方もますます研究されていなさそうだ

704:１３２人目の素数さん
20/03/09 22:29:30.36 0N1NTePA.net
>>680
対角線条件を外すと５７６通り
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 1 2
[4,] 4 3 2 1
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 2 1
[4,] 4 3 1 2
で始まって
> matrix(B[,counter[m-1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 3 4
[4,] 1 2 4 3
> matrix(B[,counter[m]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 4 3
[4,] 1 2 3 4
で終わり

705:１３２人目の素数さん
20/03/10 13:55:01.52 H1fx2jVB.net
シラミ潰しだとメモリ不足になった。
１億回シミュレーションしてようやく、1個みつかった。

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 5 4 3 1
[2,] 4 3 1 2 5
[3,] 1 2 5 4 3
[4,] 5 4 3 1 2
[5,] 3 1 2 5 4

706:１３２人目の素数さん
20/03/10 16:03:21 FoiTVu+g.net
深さ優先探索でやれ

707:１３２人目の素数さん
20/03/10 16:34:04 BSnoL6Fw.net
n=5 で対角線も考える場合
□□□□□
□■□■□
□□■□□
□■□■□
□□□□□
上の黒四角のどこにも同じ数字は入らない。
よって次のように固定して良い（重複度120）
□□□□□
□?■?□
□■?■□
□?■?□
□□□□□
四つの黒四角のうちどこか二つに同じ数字が入ると仮定すると、
中央の3x3の正方形に、ある特定の数字が３つ入ることになるが、
その数字が入ることが可能な残る場所は5x5正方形の四隅しかあり得ず、矛盾。
すなわち四つの黒四角に入る数字は全て異なるため、次のように固定して良い（重複度2）
□■□■■
□???□
■???■
□???□
■■□■□
黒四角のどこを決めても他の黒四角も全て決まることがわかる。白四角も同様。
ゆえに重複度は2*2=4.
以上から120*2*4=960通りになる…はずなんだけど>>675はどうやって計算した？

708:１３２人目の素数さん
20/03/10 18:57:05 H1fx2jVB.net
>>687
一つ見つかったから1 2 3 4 5 を各々例えば5 4 2 1 3　に置き換えるとかすれば、120個作れるな。

例
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 4 5 3 1 2
[2,] 3 1 2 4 5
[3,] 2 4 5 3 1
[4,] 5 3 1 2 4
[5,] 1 2 4 5 3

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 5 2 3 4 1
[2,] 3 4 1 5 2
[3,] 1 5 2 3 4
[4,] 2 3 4 1 5
[5,] 4 1 5 2 3

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 4 1 3 5
[2,] 1 3 5 2 4
[3,] 5 2 4 1 3
[4,] 4 1 3 5 2
[5,] 3 5 2 4 1
などなど

709:１３２人目の素数さん
20/03/10 19:28:10 2VZd/7KV.net
サイコロを1が出るまで振って、振った回数を当てるギャンブルがある。何回目にかけるのがベストか？

710:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:03:41.17 H1fx2jVB.net
>>691
直感だと１回

711:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:09:56.15 H1fx2jVB.net
>>691
１０万回シミュレーションして頻度をグラフ化
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
sim <- function(){
dice=0
i=0
while(dice!=1){
i=i+1
dice=sample(6,1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')

712:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:31:31.78 vC568XMn.net
霊感で一回

713:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:44:08.24 xGpgpXvb.net
>>691
n+1回目に始めて1が出る確率は1/6(5/6)^nで減少関数だから1回がベスト

714:イナ
20/03/10 20:45:37.39 SgyDBxw5.net
前 >>683
>>691
出るまで引くよりベストがあるなら、
1/6+(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(5/6)(1/6)=0.517746917……
5割超えんのは4回目。
∴4回目がベスト。

715:１３２人目の素数さん
20/03/10 21:02:06.67 2VZd/7KV.net
幾何分布の問題でした。
正解は1回目
解答
URLﾘﾝｸ(bellcurve.jp)

716:イナ
20/03/10 21:20:33.18 SgyDBxw5.net
前 >>696
単勝１番は0.166……
一方４番は125/1296=0.09645……
千円賭けて9,645円もらえるのかと思った。
n回目は5^(n-1)/6^n
下がる一方か。

717:イナ
20/03/10 21:40:50.28 SgyDBxw5.net
前 >>698
サイコロ振ってn回目までに1が出る確率は、
納n=1→n]5^(k-1)/6^k
ですか？
千人に1人が受賞する文学新人賞に応募するとき、何回目に受賞が期待(5割超え)できますか？

718:１３２人目の素数さん
20/03/10 21:48:58.80 YAq6/mFA.net
>>699
プログラム組めば解答でるけど、入試とかで出たら解答する方法はあるのだろうか？

719:イナ
20/03/10 22:07:46.17 SgyDBxw5.net
前 >>699
>>700
100回目までに1回も受賞しない確率は、
(99/100)^100
100回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^100=0.633967659……
69回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50016297……
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50516134……
見とおしが立った！

720:１３２人目の素数さん
20/03/10 22:17:33.64 YAq6/mFA.net
^69とかどうやって計算するのさ
まぁ出来ない事はないが

721:イナ
20/03/10 22:22:10.66 SgyDBxw5.net
前 >>701
693回目までに受賞する確率は、
1-(999/1000)^693=0.500099765……
年間7作。
100年要らない。99年で受賞する。

722:１３２人目の素数さん
20/03/10 23:29:31.45 IbQVYwum.net
対数表が与えられていれば分かるだろ

723:１３２人目の素数さん
20/03/10 23:32:59.02 9ehLsruf.net
自分で出題し自分で解くという新しい芸風

724:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/11 02:21:24 LbRSBTGq.net
前>>703
>>701訂正。
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^70=0.50516134……

725:１３２人目の素数さん
20/03/11 11:58:45 t9boZF0q.net
類題

1が累計二回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？

726:１３２人目の素数さん
20/03/11 12:15:54 avK6eeO9.net
>>707
2回目

727:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:00:47 t9boZF0q.net
>>708
残念

728:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:14:52 1JNnQUXE.net
6または7？

729:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:53:35.94 t9boZF0q.net
>>710
正解
n回目に賭けて当たる確率は (n-1)(5/6)^(n-2)*(1/6)^2 で、
これが最大になるのはn=6,7の時。

730:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:17:40 YQLdoe7U.net
EをR^N上のボレル集合、AをN×N行列、LをN次元ルベーグ測度とするこのとき
L(A(E))=|detA|L(E)
が成立することを証明せよ

731:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:19:30 3HNckciv.net
どちらかに賭けても勝率6.7%か

732:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:30:24 hVKkfTiV.net
>>711
10万回シミュレーションしてみた。

URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

"1が累計m(=2)回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？"

sim <- function(m=2){
pip1=0 # １の目の出た回数
i=0 # サイコロを振った回数
while(pip1 < m){
i=i+1
pip1 = pip1 + (sample(6,1)==1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')

733:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:15:06 hVKkfTiV.net
>>711
100回目までを計算してみた。

> sapply(1:100,bg)
[1] 1 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
[21] 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234
[41] 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 306 312 318 324 330 336 342 348 354
[61] 360 366 372 378 384 390 396 402 408 414 420 426 432 438 444 450 456 462 468 474
[81] 480 486 492 498 504 510 516 522 528 534 540 546 552 558 564 570 576 582 588 594

bg <- function(x,print=FALSE){ # big gambling
f <- function(n,m=x,p=1/6) choose(n-1,m-1)*p^(m-1)*(1-p)^(n-m)*p
nn=1:(10*x)
y=optimize(function(n) f(n),nn,maximum=TRUE)$maximum
if(print){
plot(nn,sapply(nn,f),bty='l',pch=19)
yy=c(floor(y),ceiling(y))
cat(c(f(yy[1]),f(yy[2])),'\n')
}
return(floor(y))
}
sapply(1:100,bg)

734:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/11 16:31:01 LbRSBTGq.net
前>>706
>>707
6回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、4回のはずれに対し5通りあるから、
5(5/6)^4(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
7回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、5回のはずれに対し6通りあるから、
6(5/6)^5(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
6回目と7回目は約6.69795953％の確率で2回目の当たりが出るが、これだけでベストかどうかはわからず、前後を調べる必要がある。
8回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、6回のはずれに対し7通りあるから、
7(5/6)^6(1/6)^2=7･5^6/6^8
=0.065119051……
5回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、3回のはずれに対し4通りあるから、
4(5/6)^3(1/6)^2=4･5^3/6^5
=125/1944
=0.0643004115……
9回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、7回のはずれに対し8通りあるから、
8(5/6)^7(1/6)^2=8･5^7/6^9
=5^7/6^6･3^3
=0.0620181438……
∴5回目、8回目、9回目辺りはいずれも6％を超えていて大差ないけど、6回目か7回目に賭けるのがベター。

735:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:39:52 hVKkfTiV.net
>>715
最初の１を除けば等差数列にみえるな。

736:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:46:21 hVKkfTiV.net
1が累計1000回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？

6*1000-6 = 5994 と 5995回に賭けるのがベストぽいな。

多分、計算名人のイナ氏が検証してくれると思うｗ

737:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:32:14.87 hXdWKFHv.net
確率pで成功する試行で、n回目の試行でm回成功する確率をP(n)と置くと
P(n)=C[n-1,m-1]p^m(1-p)^(n-m)だから、
P(n+1)=C[n,m-1]p^m(1-p)^(n+1-m)=n/(n+1-m)(1-p)P(n)
1≦P(n+1)/P(n)のとき、1≦n/(n+1-m)(1-p)、n+1-m≦n-np、n≦(m-1)/p=999/(1/6)=6000-6
なので5994または5995がベスト

738:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:43:41.17 6p8KFnbi.net
>>707
青チャートに１が三回のバージョンがあった、最近解いた

739:１３２人目の素数さん
20/03/11 20:02:08.69 hVKkfTiV.net
>>719
ありがとうございます。

740:１３２人目の素数さん
20/03/11 21:54:30.90 UDcjpAEJ.net
サイコロを全ての目が最低1回出るまで振り続ける。振る回数の期待値を求めよ。

741:１３２人目の素数さん
20/03/11 22:02:49.23 nurrYDlF.net
6(1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6)

742:１３２人目の素数さん
20/03/12 06:18:47 ggB+4VIO.net
１万回のシミュレーション

> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=all(1:6 %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.7221
>

743:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:47:25.15 NnHS9/Ym.net
>>723
残念

744:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:47:38.94 NnHS9/Ym.net
>>724
正解

745:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:53:40.63 NnHS9/Ym.net
=6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1
=14.7

746:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:56:14.15 ggB+4VIO.net
100万回で>
k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.70651

747:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:18:12 NnHS9/Ym.net
最初の1つがでるまでの回数の期待値
=6/6

1つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/5

2つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/4

以下同様

回数の期待値なので、単純に上記の和を求めればよい

748:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:42:22 HLafz7hZ.net
成功確率pの試行を繰り返すとき、最初に成功するまでの試行回数の期待値は 1/p
これを使って計算する

749:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:50:06 +Rsy6sl8.net
>>730
幾何分布とか名前がついていたような。

750:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:52:30 HLafz7hZ.net
>>731
そうです。ファーストサクセス分布(Fs分布)とも言います。

751:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:07:14 HLafz7hZ.net
訂正します。

成功するまでに失敗した回数の分布
=幾何分布
成功するまでの回数の分布
=ファーストサクセス分布

でした。

752:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:32:16 JYe4Js2p.net
クーポンコレクター問題

753:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:58:21.78 z4kbZ3QY.net
クーポンコレクター問題の一般化
サイコロふって1,2,3が出る事をA、4,5が出る事をB、6が出る事をCとする。
ABCが全て少なくとも一回起こるまでの平均は？

754:１３２人目の素数さん
20/03/12 10:36:06 +Rsy6sl8.net
>>735
1万回のシミュレーション結果

> A=1:3
> B=4:5
> C=6
>
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=any(A %in% pips) & any(B %in% pips) & any(C %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.2577
>

755:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:11:23 +Rsy6sl8.net
10万回だと
> k=1e5
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.30537

756:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:35:46 0d6KLd2P.net
>>736
答えは？

757:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:02:45 HLafz7hZ.net
難しい
これがABC予想というやつか

758:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:08:38 ab2iyO1k.net
これ貼っとこか

0508 １３２人目の素数さん 2018/06/30 02:42:25
>>505
問題を一般化して、
カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1)
カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、
初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。
よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A))
これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d

カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A)
どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。

M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B))
これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b)
整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b)

同様の計算で、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c)

カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、
M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
　　　　　 + 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。

759:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:34:32 +4qdqMNu.net
>>740
ありゃ、出ちゃったか。

760:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:39:16 p+P9uShJ.net
a=3/6, b=2/6, c=1/6 として
E=1/a+1/b+1/c-1/(b+c)-1/(c+a)-1/(a+b)+1/(a+b+c)
=2+3+6-1.5-2.0-1.2+1.0
=7.3

ほんとだ。シミュレーションと一致した。

761:１３２人目の素数さん
20/03/12 14:11:14 ddMlrvcN.net
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=1399/180=7.772222...

762:１３２人目の素数さん
20/03/12 15:09:55 U3HOlh4d.net
>>737
100万回シミュレーション結果　7.3ぽいね。

> k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.300615

763:１３２人目の素数さん
20/03/12 17:50:49 ddMlrvcN.net
>>743　訂正
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=73/10

764:１３２人目の素数さん
20/03/12 18:20:32.98 fHSLdc4D.net
>>745
不正解

765:１３２人目の素数さん
20/03/12 21:11:11 ddMlrvcN.net
>>746
何故>>745だけなんですか

766:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:18:49 fHSLdc4D.net
>>747
計算機に入れてみた

767:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:23:54 y8hLNrTr.net
p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))

main = do
print $ sum [p n| n<-[3..10000]]

-------
0.9999999999999996

768:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:28:30 y8hLNrTr.net
あ、失礼しました。
コード間違ってた。
正解でした。

p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))

main = do
print $ sum [(fromInteger n)*(p n)| n<-[3..10000]]

------------

7.300000000000009

769:１３２人目の素数さん
20/03/12 23:26:10.85 V/f7Uy6p.net
>>735
大学入試ではこの手の出題は御法度
なぜなら終わらないことを試行としてはいけないから

770:１３２人目の素数さん
20/03/12 23:59:54 y8hLNrTr.net
>>751
ココ入試レベル縛りないでしょ？
むしろ入試レベルじゃ満足しない人の方が多いのでは？

771:１３２人目の素数さん
20/03/13 00:11:24.13 2BG+LT6A.net
>>751
ん？終わるでしょ。

772:１３２人目の素数さん
20/03/13 00:13:44.72 IbYZYELm.net
入試レベル
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数の期待値は？
期待値が範囲外になったので入試では使えないけど。

773:１３２人目の素数さん
20/03/13 07:34:24.77 ZlFDi94b.net
>>754
１０万回シミュレーション
balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
picked=NULL # 取り出された玉の配列
flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
sim <- function(){
while(flag==FALSE){
i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
balls=balls[-i]　　　　　 # ballsの配列から除く
flag=sum(picked==1)==7　　# 赤玉が全部取り出されたか
}
sum(picked==2) # 取り出された白玉の数を返す
}
k=1e5
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 5.24854

774:１３２人目の素数さん
20/03/13 07:51:51.90 ZlFDi94b.net
>>755
白玉の個数の分布をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 5.00 6.00 5.25 6.00 6.00
５．２５が答みたいだなぁ。
解析解は賢者にお任せ。

775:１３２人目の素数さん
20/03/13 08:23:45.26 l20VjRfO.net
〔補題〕
0<p≦1 とする。
確率pで事象Aが起こるような試行を繰返し行なう。
初めて事象Aが起こるまでに試行した回数nの期待値は 1/p.
(略解)
　E{n} = p {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
　= {1 - (1-p)} {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
　= 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ････
　= 1/p.

776:１３２人目の素数さん
20/03/13 08:35:28 9IyekctU.net
XiをX≧iのとき1、そうでないとき0と定めてq=1-pとすれば
E(X)
=ΣE(Xi)
=Σq^(i-1)
=1/(1-q)
=1/p

777:１３２人目の素数さん
20/03/13 11:33:57.90 l20VjRfO.net
最後の赤玉が出たのがn回目とする。(7≦n≦18)
・(n-1)回目までに取り出す白玉/黒玉はn-7個で、　Ｃ[11,n-7] とおり。　(*)
・取り出すn個が決まったとして、順番を入れ替える方法は
　1～(n-1)回目　　(n-1)! とおり
　n回目　　　　　　7 とおり
　(n+1)～18回目　　(18-n)! とおり　〔実際は取出さないが･･･〕
これらをを掛ければ
　Σ[n=7,18] 7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[11,n-7]
　= 11!Σ[n=7,18] 7(n-1)(n-2)････(n-6)
　= 11!Σ[n=7,18] {n(n-1)････(n-6) - (n-1)････(n-6)(n-7)}
　= 11!(18!/11!)
　= 18!　　　　　　(←当然)
次に、n回目までの白玉の数w の期待値を求める。
wを掛けてたすと (*)の所が 6Ｃ[10,n-8] となる。
　Σ[n=7,18] 6･7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[10,n-8]
　= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] 8(n-1)(n-2)････(n-7)
　= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] {n(n-1)････(n-7) - (n-1)････(n-7)(n-8)}
　= (6･7/8)10!(18!/10!)
　= (6･7/8)18!
∴　E{w} = 6･7/8 = 5.25
*)
　7≦n≦12　のとき　Σ[w=0,n-7] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
　13≦n≦18　のとき　Σ[w=n-12,6] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････

778:１３２人目の素数さん
20/03/13 11:56:03 l20VjRfO.net
(n-1)回目までの白玉の数wの分布は　　　　　>>756
　P_w = (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),

　Σ[w=0,6] P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] (w+1)(w+2)････(w+6)
　= (6!/13!)Σ[w=0,6] {(w+1)････(w+6)(w+7) - w(w+1)････(w+6)}
　= (6!/13!)(13!/6!)
　= 1.

E{w} = Σ[w=1,6] w･P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] w(w+1)(w+2)････(w+6)
　= (7!/13!)Σ[w=1,6] (1/8){w････(w+6)(w+7) - (w-1)w････(w+6)}
　= (7!/13!)(1/8)(13!/5!)
　= (7･6/8)
　= 5.25

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