面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～な 31問目 at MATH

[前50を表示]
500:１３２人目の素数さん
20/02/20 20:56:26.46 TZOsntWL.net
Rを稠密で内点のない2つの連続濃度の部分集合に分割して欲しい

501:イナ
20/02/20 22:13:26.57 PRyo8w16.net
(1/4845)(4Ｃ2)(16Ｃ1)(4Ｃ1)
=6･16･4/4845
=2･64/1615
=128/1615
=0.07952569659……
前 >>148
∴約7.952569659％

502:イナ
20/02/20 22:17:39.72 PRyo8w16.net
前 >>498
スレ違いました。

503:１３２人目の素数さん
20/02/21 01:00:23.38 mdcv3RW3.net
>>485
その場合、p:[0,1]→R^2を例えば p(t)=(0,t) と定めた時にp(t)がずっと R^2-{無理数}^2 に属することになるね

504:１３２人目の素数さん
20/02/21 08:23:47 WqlF6ncx.net
無理数集合はR上の閉集合の可算和では書けないことを証明せよ

505:１３２人目の素数さん
20/02/21 10:03:34.87 mdcv3RW3.net
>>492
R\Q=∪_(n≧1) C_n と可算個の閉集合に分割できたと仮定。
0以上1以下の全ての有理数を {q_n}_(n≧1) と番号づけすると、
∪_(n≧1) ((C_n∩[0,1])∪{q_n}) = [0,1]
により、可算個の閉集合による区間[0,1]の非自明な分割が与えられてしまい、>>466と矛盾。

506:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:34:54 WqlF6ncx.net
>>493
なるほど素晴らしい
想定解はベールのカテゴリー定理を使うものでした

507:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:43:38 +4K3m1jQ.net
>>494
想定解ギボン

508:１３２人目の素数さん
20/02/21 12:25:40 WqlF6ncx.net
>>495
R\Q=U_{n∈N} C_nと可算和で書けたとする
Q= {q_n}_{n∈N}とすると
R=U_{n∈N} (C_n ∪ {q_n})となる
ここでRは完備距離空間より
ベールのカテゴリー定理「空でない完備距離空間は内点を持たない閉集合の可算和にはならない」
から、あるC_nは内点を持つがC_nはR\Qの部分集合のため矛盾

509:１３２人目の素数さん
20/02/21 13:09:10.57 mdcv3RW3.net
>>476 はどうやら否定的に解決されてるみたいだ…Bernstein集合が反例になっている
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
Bernstein集合の存在性については、下のpdfの定理3.7で示されている
URLﾘﾝｸ(yamyamtopo.files.wordpress.com)
そして多分同じ手法で、>>399の答えが2であることもわかる。
ポイントは、（非可算な）閉集合全体からなる集合の濃度が、R^2と同じ連続体濃度である、ということ。

510:１３２人目の素数さん
20/02/21 13:55:03.32 +4K3m1jQ.net
>>497
そのポイントから >>399の答えが2になる事をも少しkwsk

511:１３２人目の素数さん
20/02/21 14:37:11.55 4drFG/zF.net
連続と離散を統一した！
URLﾘﾝｸ(x0000.net)
R* := R ∪ { e }
(0 ≠ e ≠ dx)
a + e = a = a – e (a ∈ R)
ne = e (n ∈ Z)
応用例：
Vistaかwin7のファイルの表示方法を設定するメニューがその例です。

512:１３２人目の素数さん
20/02/21 16:10:15.80 mdcv3RW3.net
色々整ったので >>399の答えが2であることを示します。
ちなみにR^2からR^nに変えても同様で、答えが2であることも言えます。
R^2は可算な開基を持つので、R^2の開集合の個数は連続体濃度。
よって、R^2の閉集合全体からなる集合の濃度も同じく連続体濃度である
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
Pの各元が閉集合であるため、同じく連続体濃度を持つ。
これより、連続体濃度を持つ最小の基数をΩとおくと、PからΩへの全単射ωが存在。
超限帰納法により、R^2の点列 {a_p}_(p∈P), {b_p}_(p∈P) であって、
任意のp∈Pについて a_p≠b_p かつ
a_p, b_p ∈ p＼∪_(p'∈P, ω(p')<ω(p)){a_p',b_p'}
を満たすものが存在。
（任意のp∈Pについてpは連続体濃度を持つことと、
p'∈P であって ω(p')<ω(p) を満たすものの個数は連続体濃度未満であることに注意。）
B={b_p:p∈P} とおけば、任意のp∈Pについて
b_p∈p∩B, a_p∈p∩(R＼B)
を満たすので、これを用いて関数 f:R^2→{1,2} を
f(X)=1 (X∈Bの時), 2 (それ以外)
と定めれば良い。

513:１３２人目の素数さん
20/02/21 16:34:43.55 fwC6A4r9.net
>>500
BとR＼Bで >>488の例になるかな

514:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:20:15 mdcv3RW3.net
>>501
BもR＼Bも、どの弧とも共通部分を持たなければならないことを考えると、なると思う

でも、そのような例であれば他にも
Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合みたいな分割はできそう

515:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:35:15 +4K3m1jQ.net
>>500
まって。よくわからない。
b_pを構成するところにもfが出てくるけどコレは我々が作らないといけない関数f:R^2→{0,1}のfとは別物だよね？
目標としてる命題は
∃f:R^2→{0,1} ∀p:[0,1]→R^2 ‥‥
だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？

516:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:35:42 fwC6A4r9.net
>>502
>Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合
なーるほど
ありがとう

517:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:37:06 fwC6A4r9.net
>>503
>だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
まずBを作ってそこからｆを作ってるから大丈夫

518:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:42:40 +4K3m1jQ.net
>>505
Bを作る時にPが出てきて、そのPはfから来てるけど、fは[0,1]からR^2への連続関数で好きなものとってくるの？

519:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:03:08 fwC6A4r9.net
>>506
納得いかないならPを定義しているところのｆはｇにでも名前変えてみたら？

520:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:03:59 +4K3m1jQ.net
>>507そのgはどんな関数を使ってもいいんですか？

521:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:07:10 +4K3m1jQ.net
わかった。
連続写像の像として得られる閉集合の全体がPか。
なるホロ

522:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:10:46 +4K3m1jQ.net
なるホロ、理解できた！
素晴らしい！

523:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:40:02.37 tq3pzDtc.net
やべえ、fを複数箇所で使っちまった
必要であれば >>500は以下のように訂正して読んでくださ

524:い誤ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、正ゆえに、区間[0,1]からR^2への定数でない連続写像の像全体からなる集合Pは、

525:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:44:26.08 c3JnyBXm.net
一辺10[m]の正方形ABCDのプールがある
点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない
点Aから正方形の中心まで泳ぐのに掛かる最短時間を求めよ

526:１３２人目の素数さん
20/02/21 20:03:43.60 +4K3m1jQ.net
>>512
> 点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない
コレはその地点ではどっちの向きを向いていてもr/10？
Dに向かっていようがいまいが？

527:１３２人目の素数さん
20/02/21 20:24:20.47 TVsWXWvp.net
>>513
とりあえず問題文の通りどの向きでもr/10
さすがに向きによってスピード変わると難しくなる
そんな湧き出し方が現実に存在するかどうかは知らん

528:１３２人目の素数さん
20/02/21 21:07:21.95 +4K3m1jQ.net
>>514
なるほど。
じゃあ測地線求めよみたいなもんなのかな？

529:１３２人目の素数さん
20/02/21 21:21:12.09 fwC6A4r9.net
>>513
無意味な文章題だよな
こんな問題出題したら大顰蹙だ

530:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:20:28.44 TVsWXWvp.net
>>515
測地線というより断面積最小化かな
 >>516
まあじゃあ湧き出しじゃなくて場所によって水質や重さが違うってことにしてくれ

531:イナ
20/02/21 22:32:56.90 aeOjnxR9.net
前 >>490
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって弧を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=2π･5(1/4)t-at^2/2=5π/2
2t-at^2=5π
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=5π
(1+1/√2)t=5π
t=5π/(1+1/√2)
=5π√2/(√2+1)
=5π√2(√2-1)
=π(10-5√2)
=9.20151185……(秒)

532:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:49:36.41 TVsWXWvp.net
>>518
不正解

533:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:55:38.65 0m7ajDhv.net
>>517
断面積？
中心をE、AからEへのpathをp(t)(0<t<1)として所要時間は
T=∫[0,1] 10/r |x'(t)|dt
だから計量が
ds^2=(dx^2+dy^2)/r^2
のときの測地線を求めよになるのでは？

534:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:03:16.38 TVsWXWvp.net
>>520
失礼しました
f(x)=1/||x||のグラフ上で線積分をしてるから断面積を最小化するという考えです
たしかにそれなら測地線問題ですね

535:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:03:35.42 BKwvheo5.net
>>512
Dを原点として極座標(rcosθ,rsinθ)を取り
曲線θ=f(r), 5π/4=f(10√2)=f(5√2)上を泳ぐときの時間は
T(f)=∫[5π/4,10√2]√((cosθ-rsinθdθ/dr)^2+(sinθ+rcosθdθ/dr)^2)/(r/10)dr
=10∫[5π/4,10√2]√(1/r^2+(f'(θ))^2)dr
この最小値はf'(θ)=0のときで
minT(f)=10∫[5π/4,10√2](1/r)dr
=10log2

536:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:11:34.45 TVsWXWvp.net
>>522
不正解です
f’=0の場合、境界条件を満たしません

537:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:15:31.64 BKwvheo5.net
すまん、CとDを間違えた、522は取り消し

538:１３２人目の素数さん
20/02/22 00:34:08.75 P3wMpySS.net
>>512
極座標の曲線r=f(θ), 10=f(-π/2), 5√2=f(-π/4)上を泳ぐ時間は
T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(f'(θ)/f(θ))^2)dθ
δT(f)=0に対するオイラーラグランジュの方程式は
-(f'/f)^2/(f√(1+(f'/f)^2))-(d/dθ)((f'/f)/(f√(1+(f'/f)^2)))=0
整理すると
(f'^2-f''f)(f^2+f'^2)^(-3/2)=0

539:この解はf(θ)=a e^(bθ)で境界条件を合わせると f(θ)=10e^((-θ-π/2)(2log2)/π) このとき T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(2log2/π)^2)/dθ =(5/2)√(π^2+4(log2)^2)

540:イナ
20/02/22 01:05:26.06 XhKI0L4t.net
前 >>518
8秒切るのかよ─。
泳ぐ経路は放物線か？

541:イナ
20/02/22 01:13:29.24 XhKI0L4t.net
前 >>526
5/{4log(√5+2)}+5√5/2
=7.58390826(秒)

542:１３２人目の素数さん
20/02/22 01:18:59.63 gDsAB6h+.net
>>525
素晴らしい
正解です
 >>527
不正解

543:イナ
20/02/22 04:04:04.64 XhKI0L4t.net
前 >>527
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって放物線を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=1.4789･5
2t-at^2=14.789
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.789
(1+1/√2)t=14.789
t=14.789/(1+1/√2)
=14.789√2/(√2+1)
=14.789√2(√2-1)
=14.789(2-√2)
=8.66319563……(秒)

544:１３２人目の素数さん
20/02/22 05:31:26.48 E6KJT570.net
>>529
不正解

545:１３２人目の素数さん
20/02/22 12:16:05.82 0VJUtvuH.net
イナって小数好きだよね

546:イナ
20/02/22 12:49:16.26 XhKI0L4t.net
__∩∩__/__/__/__/__/
_((`.`)_/__/__/__/__/
_(っц~`～っﾞ_/∩∩_/
∥￣￣υ∥￣￣(`)　)/
∥＼／∥∥＼／,U⌒ヽ/
__/__/__/__/_(＿＿＿)
__/__/＿/＿/＿/_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/少数……。前 >>529
__/__/__/__/__/__/__/
__/__/__/__/__ﾁｭ_/__/
__/_ц~_/__∩∩∩ξ､/
∥￣￣∥∥( (-(`)　)/
∥＼／∥∥(`っ,U⌒ヽ/
__/__/__/_ι_(______)
__/＿/＿/＿υυ_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/>>531好きだよ。愛してる。せやて数の大きさが実感できるじゃないか。

547:１３２人目の素数さん
20/02/22 16:04:26.49 InYZG21C.net
>>525
左上の頂点Dを極とする極座標ですね。
　DP = f(θ) = 5･e^{-(2log2)θ/π} = 5･2^(-2θ/π),
　T(f) = (5/2)√{π^2 + (2log2)^2} = 8.584657992882624266 (秒)
経路は対数らせん。

548:１３２人目の素数さん
20/02/22 17:47:24 InYZG21C.net
>>529
t秒後の速度と位置を
　v = 1 - at,
　AP = t - (a/2)tt,
とする。
AD=10(m), ∠PAD = 45ﾟ　ゆえ
第二余弦定理より
(DP/10)^2 = 1 - (√2)(AP/10) + (AP/10)^2
　≧ 1 - (√2)(AP/10)
　= 1 - (√2){t -(a/2)tt}/10,
また
　v^2 = (1-at)^2,

題意 (v ≦ DP/10) を満たすために
　a = 1/(10√2),
とすると、到達時間は
　t｡ - (a/2)t｡^2 = 5√2 = 1/(2a),
より
　t｡ = 1/a = 10√2 = 14.1421356　(秒)
となり、止まってしまう････orz

549:イナ
20/02/22 18:37:12.15 XhKI0L4t.net
;;;;;;;;人;;;;;;;;;;
;;;;;;（＿）;;;;;;;;
;;;;;（＿＿);;;;;;;;
;;;;;（＿(`);;;;;;;;
;;;;;（＿_っ┓;;;;;;
;;ε=◎ﾞ┻υ◎ﾞ;;;;;
ﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝ……。螺旋状に正方形の中心に近づくように泳いだほうがいいな。前 >>532標的に対しできれば右回りで、左回りでもいいけどじゅうぶん近づいてから中心に切りこむ。湧水による減速を最小限にとどめるべきだ。

550: 【大吉】
20/02/23 00:37:59 2zPyHRoL.net
前>>535
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かってまっすぐ直線をt秒間泳ぐと、速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=5√2
2t-at^2=14.1421356
?を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.1421356
(1+1/√2)t=14.1421356
t=14.1421356/(1+1/√2)
=20/(√2+1)
=20(√2-1)
=20･0.41421356……
=8.28427123……(秒)
あれ？　まっすぐ泳いだほうが速いのか。

551:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:43:44 IKEuiMDY.net
>>536
経路も計算も不正解

552:１３２人目の素数さん
20/02/23 01:52:48.94 6rqZMHpY.net
長さが1の正三角形ABCの辺を単位長さが1オームの導線で結び、
辺AB,BC,CAに中点E,F,Gを取り、EF,FG,GEに対しても同じ導線で結ぶ。
さらに辺BCを共有する�

553:O角形EBFと三角形GFCに対しも同様にして辺の中点を取り導線で結ぶ。この操作を無限に繰り返したとき、AB間とBC間の抵抗値を求めよ。

554:１３２人目の素数さん
20/02/23 02:59:55.72 D9pzXkW3.net
Aから、Dを中心とする半径10mの円周に沿って30ﾟ進む。v=1 (m/s)
　20π/12 = 5.235988 (秒)
そこから対角線の交点に向かって y軸方向に直進する。
　点(5,y) での速度は v ≦ DP/10 = (1/10)√(25+yy)
　T = ∫[5,5√3] (1/v)dy
　≧ ∫[5,5√3] (10/DP)dy
　= ∫[5, 5√3] 10/√(25+yy) dy
　= [ 10 arcsinh(y/5) ](5, 5√3)
　= 10 (1.3169579-0.8813736)
　= 4.355843 (秒)
これを合計して　9.591831 (秒)

555:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:04:18.09 IKEuiMDY.net
>>539
不正解

556:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:22:55 eIKUodWL.net
イナとかいう計算機にぶち込んで出てきた小数を脳死でレスして毎回間違う意味わからんクソコテ何者だよ

557:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:04:02.45 D9pzXkW3.net
>>536
　v = 1-at,
　AP = t -(a/2)t^2,
より
　v^2 - (DP/10)^2
　= (1-at)^2 - {1 -(√2)(AP/10) +(AP/10)^2}
　= AP(10√2 -200a -AP) /100,
・ここで a = 1/(10√2) なら
　v^2 - (DP/10)^2 = -(AP/10)^2 ≦ 0,
v ≦ DP/10 で題意を満たす。
・ところが
　1-at｡= 1/√2,
　t｡ -(a/2)t｡^2 = 5√2,
と置くと
　a = 1/(20√2),
　v^2 - (DP/10)^2 = AP(5√2 -AP)/100 ≧ 0,
　v ≧ DP/10,
となり、題意を満たさない。

558:１３２人目の素数さん
20/02/23 06:49:54 rxwEFURs.net
F:R→RはC^2級で以下の条件を満たすとする
・ある定数0<c,Cがあり、c≦F’’(x)≦C (x∈R)
・x^2≦F(x) (x∈R)

このとき、min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) }が存在することを示せ.

559:１３２人目の素数さん
20/02/23 09:58:15 rxwEFURs.net
>>543
失礼しました修正します

任意のa,b∈Rに対して
min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) ,u(0)=a, u(1)=b}が存在することを示せ.

です

560:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 10:45:08 2zPyHRoL.net
前>>536
>>538
EA間の抵抗値は1/2[Ω]のはずだが、Eで三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/2)^3/(1/2+1/2+1/2)
=(1/8)/(3/2)
=1/12
になる。
BEの中点からEまでの間の抵抗値は1/4[Ω]のはずだが、BEの中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/4)^3/(1/4+1/4+1/4)
=(1/64)/(3/4)
=1/48
になる。
BとBEの中点の中点からBとBEの中点までの間の抵抗値は1/8[Ω]のはずだが、BとBEの中点の中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/8)^3/(1/8+1/8+1/8)
=(1/512)/(3/8)
=1/192
AB間の抵抗値は、
1/12+1/48+1/192+1/768+1/3072+……)
=(1/3)(1/4+1/16+1/64+1/256+1/1024+……)
=(1/3){1/(1-1/4)}
=4/9[Ω]
BC間の抵抗値は、
CA間の抵抗値がAB間の抵抗値と同じ4/9[Ω]だから、
推定すると、1/9[Ω]

561:１３２人目の素数さん
20/02/23 11:22:55.26 6rqZMHpY.net
>>545
不正解

562:１３２人目の素数さん
20/02/23 11:23:58.21 FPOdVTcq.net
イナさん絶好調

563:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 12:37:29 2zPyHRoL.net
前>>545
>>512
Aから初速1[m/秒]、加速度-a[m/秒^2]で螺旋を描くようにＬ[m]を減速しながらt[秒]泳ぎ、終速1/√2[m/秒]で正方形の中心に到達したとすると、
速度について1-at=1/√2
at=1-1/√2
距離についてt-(1/2)at^2=Ｌ
t{1-(1/2)(1-1/√2)}=Ｌ
t(1-1/2+1/2√2)=Ｌ
t(1/2+1/2√2)=Ｌ
t(2√2+1)/2√2=Ｌ
t=Ｌ･2√2/(2√2+1)
=Ｌ･2√2(2√2-1)/7
=Ｌ(8-2√2)/7
もしも今対数螺旋とかいうＬが、
Ｌ=5･(√2)^eなら、
t=5･(√2)^e･(8-2√2)/7
=9.4762526……(秒)
螺旋泳ぎおっせー。
短距離だからかな。

564:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:12:59.17 x1qWF4GD.net
Aから対角線の交点まで直進する。
A付近では加速度aを大きく {a=1/(10√2)} せねばならんが、
そのままａ一定にすると、後半で遅くなり過ぎる。　　>>534
制限速度いっぱいで直進すると
v = DP/10
　= √{１ - (√2)AP/10 + (AP/10)^2}
　= (1/√2)√{１ + (1 - AP/5√2)^2},
T = ∫[0,5√2] (1/v) dAP
　= 10 ∫[0,1] 1/√(1+uu) du　　{← u = 1 - AP/(5√2)}
　= 10 [ arcsinh(u) ](u=0,1)
　= 10 arcsinh(1)
　= 10 log(1+√2)
　= 8.81373587　(秒)
2.7%ぐらい遅いが。。。

565:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:18:34.00 x1qWF4GD.net
A(0,-10)
B(10,-10)
C(10,0)
D(0,0)
とし、放物線 y = bxx -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから b=1/5.
v = DP/10
　= √{(x/10)^2 + (1-bxx/10)^2}
　= √{1 - ((20b-1)/100)x^2 + (bb/100)x^4},
ds = √{1+(2bx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
　= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2} (10/DP) dx
　= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2}/√{1 -((20b-1)/100)x^2 +(bb/100)x^4} dx
　= 8.6463092　(秒)
0.72%ほど遅い。。。

566:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:56:48 x1qWF4GD.net
>>550
3次関数 y = cx^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから c=1/25.

v = DP/10
　= √{(x/10)^2 + [1 - (c/10)x^3]^2},

ds = √{1 + (3cxx)^2} dx,

T = ∫[0,5] (1/v) ds
　= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2} (10/DP) dx
　= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2}/√{(x/10)^2 + [1-(c/10)x^3]^2} dx
　= 8.78206166　(秒)

2.3%ぐらい遅い。遠回りし過ぎ？

567:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 15:15:40 2zPyHRoL.net
前>>548
一辺10[m]のプールのA側の1/4を使って螺旋状に泳ぐべく右蹴り足をやや強く蹴り、左に旋回しながら一周で半径と同じピッチ上がる螺旋の長さのぶんだけ時間がかかると考えて、
ピタゴラスの定理より、
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
=7.95283141……(秒)
最速!!

568:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 15:39:58 2zPyHRoL.net
前>>552
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって螺旋を描くようにt秒間で7.952813141[m]泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=7.952813141
2t-at^2=15.905626282……
?を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=15.905626282……
(1+1/√2)t=15.905626282……
t=15.905626282(2-√2)
=9.31730016……(秒)
たいして速くない。

569:１３２人目の素数さん
20/02/23 15:44:26 x1qWF4GD.net
n次関数 y = d x^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから d=1/5^(n-1).

v = DP/10
　= √{(x/10)^2 + [1 - (d/10)x^n]^2},

ds = √{1 + [nd･x^(n-1)]^2} dx,

T(n) = ∫[0,5] (1/v) ds
　= ∫[0,5] √{1+[nd x^(n-1)]^2} (10/DP) dx

　n　　　T(n)
　----------------------------------------------------
　1　　8.8137358702　　+2.67%　>>549
　2　　8.6463092000　　+0.718　>>550
　3　　8.7820616603　　+2.30%　>>551
　4　　8.9261905925　　+3.98%
　5　　9.0515773221　　+5.44%
　6　　9.1577166076　　+6.675
　----------------------------------------------------

正解　8.5846579929　　　>>525 >>533

近似式 (n≧2)
　8.584658{1 +0.0182(n-1.62) -0.0007(n-1.62)^2}

570:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:15:53.38 UpuezNYO.net
>>512はもう >>525で答え出てるんじゃないの？

571:イナ
20/02/23 16:23:02.86 2zPyHRoL.net
√{π^2+(2log2)^2}
水平距離がπ、2πr=πとすると半径r=1/2
ピッチが2log2
─どういうことや？
前 >>553ピタゴラスの定理より、螺旋の長さは、
√{π^2+(2log2)^2}
湧水の影響を避け螺旋状に中心に向かって右から旋回しながら中心に至る経路が最速なのはわかる。なんでピッチが2log2と一意に決まるのか。

572:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:26:55 x1qWF4GD.net
訂正
　n次関数 y = d･x^ｎ -10　でした。

n→∞ のときは直角に近づく。

横：　A(0,-10) → (5,-10)
　DP = √(100+xx),
　∫[0,5] (10/DP)dx = 10∫[0,5] 1/√(100+xx) dx
　　= 10 [ arcsinh(x/10) ](x=0,5)
　　= 10 arcsinh(1/2)
　　= 10 logφ　　　　{φ=(1+√5)/2=1.618034}
　　= 4.8121182506　(秒)

縦：(5,-10) → X(5,-5)
　DP = √(25+yy),
　∫[5,10] (10/DY) dy = 10∫[5,10] 1/√(25+yy) dy
　　= 10 [ arcsinh(y/5) ](y=5,10)
　　= 10 {arcsinh(2) - arcsinh(1)}
　　= 10 {log(2+√5) - log(1+√2)}
　　= 10 (1.443635475 - 0.88137358702)
　　= 5.6226188816　(秒)

これを合計して
　T(∞) = 10 log{(2+√5)(√2 -1)φ} = 10.4347371322　(秒)

573:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:56:24.49 eIKUodWL.net
円卓の席に座る方法を考える。
4人席の場合、既に着席している4人が1,2,3,4と書かれたくじを引いて、反時計回りに1,2,3,4と並ぶように座り直すことにする。1の席が固定されているということはない。
すると、どのようにくじを引いたとしても高々2人の移動で済むことが簡単な考察で分かる。
では一般にn席あって着席済のn人が1,2,…,nと書かれたくじを引く時、移動しなければならない人は高々何人だろうか？

574:イナ
20/02/23 17:55:09.17 2zPyHRoL.net
前 >>556
>>558
4人いたら2人移動。
5人いたら3人移動。
n人いたら、
高々n-2人移動すれば半時計回りに番号順に並べると思う。

575:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:33:17.01 SsuGIXB0.net
>>558
n人が『時計回りに』1,2,…,nの番号を引いた場合、
動かずに済む人数は、nが偶数の時2人、奇数の時1人となる。
また、どのようにくじを引いても1人は動かずに済むことから、
nが奇数の時の答えはn-1人であることがわかる。
nを偶数とし、Z/nZ上の任意の全単射fをとる。
g(x):=f(x)-x もZ/nZ上の全単射を与えていると仮定すると
Σ_(x∈Z/nZ) g(x) = Σ_(x∈Z/nZ) f(x) = Σ_(x∈Z/nZ) x = n/2 + nZ
となるが、これは
Σg(x) = - Σx + Σf(x)
と矛盾。ゆえにgは全単射でない。
したがって、f(x)-f(y)=x-y を満たす異なる x,y∈Z/nZ が存在。
以上の考察から、n人がどのようにくじを引いても、2人は動かずに済む。
よって、nが偶数の時の答えはn-2人。

576:１３２人目の素数さん
20/02/23 23:22:59 UpDOmukV.net
>>560
素晴らしい

577:哀れな素人
20/02/24 10:25:37 Rt+v/L/g.net
以前、たしかこのスレに、
円に内接する多角形を三角形に分割したとき、
どのように分割しても、
それらの三角形の内接円半径の和は一定である、
という問題があったが、四角形の場合の証明が分った。

円に内接する四角形を、右上から左回りにABCDとし、
各辺をAから左回りにa、b、c、dとする。
円の中心Oからa、b、c、dに下ろした垂線をe、f、g、hとし、
対角線AC、BDに下ろした垂線をi、jとする。
また円の中心Oは△ABC、△BCDの外にあるとする。

また外接円半径をR、
△ABC、△ACDの内接円半径をr1、r2
△BCD、△ABDの内接円半径をr3、r4とする。

するとカルノーの定理により、
e+f-i=R+r1、g+h+i=R+r2 ⇒e+f+g+h=2R+r1+r2
f+g-j=R+r3、h+e+j=R+r4 ⇒e+f+g+h=2R+r3+r4
∴ r1+r2=r3+r4

578:１３２人目の素数さん
20/02/24 10:42:38 /4cfnoQR.net
それ日本の定理っていう名前がついてるやつか
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)

579:１３２人目の素数さん
20/02/24 10:50:29.59 GWc2cyTj.net
へぇ、そんな名前がついてるのか。

580:１３２人目の素数さん
20/02/24 16:44:00.49 Gb7vk4DT.net
>>557
楕円 y = -√(100-kxx) に沿って進む。
対角線の交点X(5,-5) を通るから k=3,
　v = DP/10
　　= (1/10)√{100-(k-1)xx},　
　dy/dx = kx/√(100-kxx),
　ds = √{(100+k(k-1)xx)/(100-kxx)} dx,
T = ∫(1/v) ds
　= 10∫[0,5] (1/DP)(ds/dx)dx
　= 10∫[0,5] √{(100+k(k-1)xx)/((100-kxx)(100-(k-1)xx))} dx
　= 8.6698357840
0.992%ほど遅い。
近似式
　T(n) = 10.434737 - 4.8644/n^0.6 + 3.2450/n^1.2

581:１３２人目の素数さん
20/02/24 22:47:05.10 Gb7vk4DT.net
この式は n=1.61693 の辺りで極小値 8.61175 となる。(0.315%遅い)
この辺が曲線 y = 5(x/5)^n -10 に沿って進む場合の限界かな～

582:１３２人目の素数さん
20/02/25 13:34:37.50 xlZ4iTwN.net
URLﾘﾝｸ(matome.naver.jp)
Naver まとめ
おもしろく、素敵で、考えさせられる、大学入試問題 519gugさん 2015年01月23日
最も短い入試問題　（京都大学編）
tan１°は有理数か。
2006年　京都大学　後期　理系　第6問
超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。
出典
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)

583:１３２人目の素数さん
20/02/25 14:05:48.96 WMW0bPzH.net
>>567
>ほとんどの受験生が解けなかった
なんで？加法定理は有理式じゃん

584:１３２人目の素数さん
20/02/25 14:13:38.29 INCWFL/L.net
京都の後期受ける人ならみんな解けそうだけどな

585:１３２人目の素数さん
20/02/25 14:56:45.78 1YFg5R8p.net
>>567
tan１°が有理数であるならばtan30°も有理数で矛盾

586:１３２人目の素数さん
20/02/25 15:26:52.86 0KQ2py8l.net
4Dエンジンを作った。
回転する4Dの超立方体のサンプルが付いている。
画像とソースコードは：
URLﾘﾝｸ(x0000.net)

587:１３２人目の素数さん
20/02/25 20:20:32 9H9AGGze.net
そういう知識の活用ができる人は少ないって事でしょう

588:１３２人目の素数さん
20/02/26 21:29:35.91 3UGv2jT6.net
正の有理数 x,y,z は xyz=1 を満たし、自然数 a,b,c と
a=12x(y+1),b=12y(z+1),c=12z(x+1)
の関係がある。
　a+b+c　の値が 100と最も近いもの　および、1000 と最も近いもの、および、10000 と最も近いものを見つけよ。

589:１３２人目の素数さん
20/02/27 02:03:08.51 f9GfmhOJ.net
1=144/(ab)+144/(bc)+144/(ca)+3456/(abc)
以下ry

590:１３２人目の素数さん
20/02/27 17:00:07 5cc8+UEj.net
(tan(x))^2が有理数となるxを決定せよ。

591:１３２人目の素数さん
20/02/27 18:49:07.28 hxZioUH7.net
訂正
(tan(π/n))^2が有理数となる自然数nを決定せよ。

592:１３２人目の素数さん
20/02/27 20:16:26.22 6SmBw6gg.net
>>570
tan(30ﾟ) が有理数でないことを示すには
　sin(30ﾟ) = s とおく。
　1 = sin(90ﾟ) = 3s -4s^3,
　(s+1)(2s-1)^2 = 0,
　s≠-1 だから s=1/2,
　tan(30ﾟ) = s/√(1-ss) = 1/√3,
1/√3 が有理数でないことを示せばよい。
　1/√3 が有理数だったと仮定すると
　1/√3 = p/q　　　(p,qは自然数)
　q^2 = 3p^2,
ここで両辺を素因数分解すると
　左辺の3の指数は偶数(または0)、右辺の3の指数は奇数
となって UFD に反する。　(矛盾)

593:１３２人目の素数さん
20/02/27 20:29:00.81 6SmBw6gg.net
>>575
　{ sign(q)･arctan(√|q|) + nπ | q∈Q, n∈Z }
かな

594:１３２人目の素数さん
20/02/28 00:09:34.34 6+sDQgwJ.net
和を1/2に保ちながらエジプト分数の項数を二倍に増やす
1/2=1/3+1/6=1/4+1/10+1/12+1/15=1/5+1/14+1/20+1/21+1/24+1/28+1/35+1/40=
1/6+1/18+1/30+1/30+1/33+1/36+1/44+1/45+1/60+1/65+1/63+1/70+1/77+1/84+1/88+1/104=
1/7+1/22+1/39+1/42+1/42+1/52+1/55+1/60+1/66+1/70+1/85+1/90+1/99+1/112+1/117+1/119+
1/126+1/126+1/130+1/133+1/144+1/152+1/154+1/165+1/168+1/170+1/198+1/204+1/209+1/228+1/234+1/273=1/2

595:１３２人目の素数さん
20/02/28 09:17:13.90 gtbRddYz.net
有理数rに対して、rを約分しきった時の分子と分母の積をh(r)とおく。
ある実数xについて tan(x)^2=p/q (p,q>0 は互いに素な整数) が成り立っていると仮定すると、tan(2x)^2=4pq/(p-q)^2.
(i)p,qのうち片方が0でない偶数の時、もう片方は奇数であるから p-q は奇数。
ゆえに、4pq と (p-q)^2 は互いに素であるから
h(tan(2x)^2) = 4pq(p-q)^2 > h(tan(x)^2).
(ii)p,qの両方が奇数でありかつ少なくとも一方が5以上の時、4pq と (p-q)^2 の最大公約数は4.
したがって、h(tan(2x)^2)=(1/4)pq(p-q)^2.
仮に h(tan(x)^2)≧h(tan(2x)^2) が成り立っているならば、|p-q|=2 より tan(2x)^2=pq.
(p≧5 または q≧5) かつ |p-q|=2 より、pとqのどちらも3以上であるから、|1-pq|>2.
ゆえに、h(tan(4x)^2) = (1/4)pq(1-pq)^2 > pq = h(tan(x)^2).
以上の議論から、tan(x)^2=p/qが(i)と(ii)のどちらかの条件に当てはまるならば、
数列 {tan(2^n･x)}_(n≧1) は周期的にならない。
一方、xがπの有理数倍の時はこの数列が必ず周期的になるので、
x/πとtan(x)^2の両方が有理数になるのは tan(x)^2=0,1/3,1,3 の時のみ。
これは x/π-n = 0, ±1/6, ±1/4, ±1/3 の場合に相当。

596:１３２人目の素数さん
20/02/28 10:52:23 TIr8ReLJ.net
>>580
正解です。
中々面白い解答で素晴らしい。
想定の解答は

(tan(mπ/n))^2 が有理数でm,nが違いに素ならQ(tan(π/n))はQの2次拡大なのでこのようなnを決定すればよい。
cos(2π/n)∈Q(tan(π/n)、[Q(cos(π/2):Q]=φ(n)/2 (n≧3) なのでφ(n)≦4が必要。
よってn=1,2,3,4,5,6,8,10,12が必要。
以下ry

でした。

597:１３２人目の素数さん
20/02/28 20:04:08.62 yyQ2syhj.net
(tan(2π/n))^kが有理数となる自然数n,kを決定せよ。

598:イナ
20/02/28 22:04:49.54 TMuPrCsw.net
前 >>559
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＲ

599:イナ
20/02/28 22:09:53.42 TMuPrCsw.net
前 >>583訂正。有理数の記号はＱでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＱ

600:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/29 02:12:36 Bn4PpVB4.net
前>>584訂正。自然数の記号はＮでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＮに対して、
与式=1^k=1эＮ
∴n=8のとき、kは任意の自然数。
n≠8のとき、k=0
もっとありそうな感じがする。

601:１３２人目の素数さん
20/02/29 13:04:11 fSHRQCgW.net
>>582の確認。
こんなの感でも答えはtan(2π/n)=1、またはk≦2のときに限られるのはわかります。
題意はそれを証明しなさいです。
すなわち

(tan(2π/n)^kが有理数となるのはtan(2π/n)=1、または(tan(2π/n)^2が有理数の場合に限る事を証明せよ。

です。

602:１３２人目の素数さん
20/02/29 16:36:14.05 3cJe9Ye6.net
K:=Q(tan(2π/n))⊂Q(e^(2πi/n)) より K/Q はアーベル拡大であるから、
tan(2π/n)^k=p/q において k=2 とできなければならない。
あとは >>580と同じ…というのは飛ばし過ぎだろうか

603:イナ
20/02/29 18:11:59.79 Bn4PpVB4.net
前 >>585
1+tan^2θ=1/cosθより、
tan^2θ=1/cosθ-1
tanθ=√(1/cosθ-1)
θ=2π/nとして、
tan(2π/n)=√{1/cos(2π/n)-1}
tan^k(2π/n)={1/cos(2π/n)-1}^(k/2)
n=1のとき、
tan^k(2π)={1/cos2π-1}^(k/2)
0=0^(k/2)
kは任意の自然数。
n=2のとき、
tan^kπ={1/cosπ-1}^(k/2)
1^k=(-2)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
n=8のとき、
tan^kπ/4={1/cos(π/4)-1}^(k/2)
1=(√2-1)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
∴n=1,kは任意の自然数。
もしあってたとしても、どこが面白いかはわからない。

604:１３２人目の素数さん
20/02/29 19:45:46 GgyIebsL.net
>>587
まぁそれがほぼ想定解です。
しかしさすがに飛びすぎ。

実数tにおいてある自然数kにおいてt^kが有理数、かつQ(t)がQ上のアーベル拡大のときt^2が有理数である事を示せ。

です。

605:１３２人目の素数さん
20/03/01 06:37:29.57 +B38pBXy.net
正方形の一辺の垂直二等分線を定規のみで作図せよ

606:１３２人目の素数さん
20/03/01 08:54:32.79 vlQ4BnF6.net
>>590
A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)を4頂点とする。
E(a,0) (0<a<1/2) を適当にとる。
直線AC∩直線BD=F(1/2,1/2)∈S
直線DE∩直線AC=G∈S
直線BG∩直線AD=H(0,a)∈S
直線AH∩直線BC=I(1,1-a)∈S
直線EI∩直線CD=J(1+a,1)∈S
直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S
この時□AEJCと□KACLのそれぞれの対角線の交点を結べば良い。

607:１３２人目の素数さん
20/03/01 09:03:43.81 zJUT57J7.net
最近面白い問題がないな

608:１３２人目の素数さん
20/03/01 09:20:09.03 g3yGUOWL.net
>>589はダメ？

609:１３２人目の素数さん
20/03/01 10:48:21.70 YZSiuLon.net
じゃあまた投稿者には未解決だけど一つ
任意の複素数係数多項式 F∈C[x] について、次を満たす f,g,h∈C[x] は存在するか：
F(x) = f(x)^3 + xg(x)^3 + (x^2)h(x)^3

610:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/01 14:45:50 Yhf86Vyf.net
/∥__∥　□　∥ |ﾟ○。
|∩∩∥　　｡∥ ∩∩ ﾟ
( (`e)　 [￣]∥(`)　)ﾟ
(￣,`っ｢￣￣]∥(_υ_)~
(_(__∩∩__□∥∩∩~ ~
~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~　~~~ ~~~ ~ ~ ~　~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~　>>590正方形の対角線の交点は垂直二等分線が通る。前>>588あともう一点、垂直二等分線上の点が必要。定規にシャーペンを固定してコンパスみたいに回したらどうかな。

611:１３２人目の素数さん
20/03/01 19:04:19 +B38pBXy.net
>>591
直線AH∩直線BC→ 直線FH∩直線BC

直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S → K(-a,0)
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S → L(1-a,1)

ということかな？
平行四辺形二つ作って刺す感じですか
なるほど正解です

想定していた解法はチェバを使うものでした

612:１３２人目の素数さん
20/03/01 19:07:53 +B38pBXy.net
>>595
ここでいう「定規」とは以下の能力しか持たない抽象的な道具です

・与えられた二点を結ぶ線分を引く
・線分を延長する

また、点とは「線と線の交点」、「線分の端点」のことを指します

613:１３２人目の素数さん
20/03/01 20:05:10.17 b16SM21O.net
>>596
チェバの解放ﾌﾟﾘｰｽﾞ

614:１３２人目の素数さん
20/03/01 20:18:55.24 fSBfHqBl.net
>>598
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

615:１３２人目の素数さん
20/03/01 20:19:30.63 fSBfHqBl.net
>>599
この要領で対辺にも中点を作ってそれらを結べばよい

616:１３２人目の素数さん
20/03/01 20:21:51.07 b16SM21O.net
>>599
なる
thx

617:１３２人目の素数さん
20/03/01 21:38:30.26 YZSiuLon.net
ユークリッド平面上に三点(-1,0),(0,0),(1,0)だけが作図されている状態から、
任意の有理数rについて点(r,0)を作図できることを示せ。

618:１３２人目の素数さん
20/03/01 21:38:59.87 YZSiuLon.net
>>602
すまん、定規だけで。

619:１３２人目の素数さん
20/03/01 23:14:20.87 i2VXPeIF.net
>>602
補題1
A1,A2,A3が同一直線上にこの順に等間隔に並ぶとき、この直線上の点A4をA1,A2,A3,A4が等間隔に並ぶようにできる。
∵)Pを直線外にとり線分PA2上にQを任意にとる。
PA1とQA3の交点をB1、PA3とQA1の交点をB3とすればB1B3//A1A3となる。
同じ手順をQを取り替えて行えばさらに線分PB1上のC1と線分PB3上のC3をとってB1B3//C1C3とできる。
C1C3とPA2の交点をC2とすればC2B3とA1A3の交点が求めるA4である。□
補題2
A1A2と線分PA1上のB1とPB2上のB2においてB1B2が平行でA1ある時A1とA2の中点がとれる。
∵)A1B2とA2B1の交点をQとする時、PQとA1A2の交点が求める中点である。□
補題3
n≧1と補題1の設定の元にA1A2を1:2^(n+1)-2に内分する点Xと2:2^(n+1)-3に内分する点Yがとれる。
∵)Pを直線外心に任意にとる。
補題1によりA1A2を2^n:2^n-1に外分する点Qがとれる。
Rを線分PA1上に任意にとりQRとPA2の交点をSとする。
A1SとA2Rの交点をTとしPTとA1A2の交点をUとすればUはA1A2を2^n:2^n-1に内分する点である。
補題2により中点を取る操作を何度もくりかえせばXとYが得られる。□
定理
補題1の設定の元に任意の1未満の正の有理数tに対しA1:A2をt:1-tに内分する点がとれる。
∵)t=a/bとなる自然数をとる。
補題2によりbが奇数の時しめせば十分である。
自然数nを2^n-1がbの倍数であるようにとれる。
この時2^n-1=bcとおけばa/b=ac/(2^n-1)であるから補題1,補題3により可能である。□

620:１３２人目の素数さん
20/03/02 00:25:47.44 OADBUKH6.net
>>604
わあすごい、お見事
想定していた流れは
・y=0 以外でy軸に平行な直線Lが作図可能。
・全ての整数nについて点(n,0)は作図可能。
・ゆえに、直線L上に、任意に長い等差点列を作図可能。
・任意の整数n,a>0,b>0について、二点(n,0),(n+1,0)をa:bに内分する点を作図可能。
最後のは、例えば直線Lが y=√2 で表され、なおかつ全ての点 (e+πm,√2) (m∈Z) が作図できたとして、
二点(n,0),(e,√2)を結ぶ直線と二点(n+1,0),(e+π(a+b),√2)を結ぶ直線の交点をPとおけば、
二点P,(e+πa,√2)を結ぶ直線とy=0の交点が求める点になる。

621:１３２人目の素数さん
20/03/02 01:12:21 qc9vWQ77.net
簡単かもしれないけど
“円に内接する三角形で面積最大のものは正三角形である事”

を初等幾何で証明できますか
まあ解ける人はサクッと解けるのだろう

622:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/02 04:25:07 6RLywf+z.net
前>>595
>>590あ、わかった！
正方形を折り紙みたいにぴったり半分に折ればいいんだ。
で、その折り目に沿って定規で線を引く。

623:１３２人目の素数さん
20/03/02 04:35:43 0ORHzB3W.net
>>606
△ABC = (1/2)AB･CH
ここで　CHは、頂点Cと直線ABの距離。
2頂点 A,B を固定し、中心Oから辺ABに垂線を下ろす。
垂線と円周の交点をX1,X2とする。
辺ABも、X1, X2 で引いた接線も、直径X1-X2 に垂直だから互いに平行。
円周は、この2本の接線の間にある。
Cがこの円周上を動くとき、 △ABCが最大になるのは CH が最大のとき。
すなわち Cが、2つの接点Xのうち ∠AXB が鋭角の方であるとき。
このとき AC=BC

A,B,Cを入れ替えても同様だから、正三角形。

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