面白い問題おしえて～な 31問目
at MATH
[前50を表示]
450:イナ
20/02/18 04:25:37.43 JQdcAHMa.net
前>>438訂正。大通り右折できるわ。
>>431
Xから東西0号を東へ。南北Σn[n=1→3n+1]号との交差点を左折し北へ。適宜右折してYに着く経路。
∴(3n+1)^2通り
451:イナ
20/02/18 05:15:28.51 JQdcAHMa.net
前>>439訂正。生活道路も掛けてた。
>>431
(n+1)^2通り
452:イナ
20/02/18 05:18:33.06 JQdcAHMa.net
前>>440訂正。
>>431
11(n+1)通り
453:イナ
20/02/18 05:20:21.05 JQdcAHMa.net
前>>441
>>431
4(n+1)通り
454:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:09:53.29 emC4HTnA.net
>>431
これは、どうやってシミュレーションするかなぁ。
とりあえず、ｎ＝７のときで道路を作図
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
455:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:17:10.65 emC4HTnA.net
>>443
大通りの太さを区別してなかったので修正。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
456:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:33:27.55 ZlcMzP2c.net
>>444
NG
457:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:50:53.56 ZlcMzP2c.net
南から大通りに入る生活道路は全部カット（最短で進めないから）
大通りから東に入る生活道路も全部カット（最短で進めないから）
あとは自由に考える
大通りで囲まれた区画でなら
1+4C2=7通り
これを
左端の大通りは１
それ以外の南北の大通りが6
東西の大通りは１
で考えたら良いのではないかね
458:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:51:47.78 emC4HTnA.net
>>444
南北にも大通りがあったので再度、修正。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
459:１３２人目の素数さん
20/02/18 11:03:18.75 ZlcMzP2c.net
大通りの直進左折右折で変わるから>>446だと考えにくい
左から直進が1通り
左から左折が6通り
下から直進が1通り
下から右折が1通り
これで考えるんだな
あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
460:１３２人目の素数さん
20/02/18 11:11:53.12 ZlcMzP2c.net
>>448
>あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
書きやすく南北逆転させてみたら
１ １ １ １ １ １ １
１ ６ ６ ６ ６ ６ ６ ６
１ ７ 13 19 25 31 37
１ 12 48 84 19*6+6-120
１ 13 61 61+84=145
こんな感じか
461:１３２人目の素数さん
20/02/18 12:05:42.55 bKAplv3x.net
「遠回りしない」という条件の下、東西、および、南北の0号、3号で囲まれる
3×3の区画内のいずれかの生活道路を使用する場合、
(1,0)か(2,0)から進入し、(3,1)か、(3,2)から出る場合しかなく、合計5通りある。
つまり、生活道路同士の交差点、(3p+s,3q+t) (s,t=1,2)を利用する場合、
必ず、大通り同士の交差点(3p,3q)と(3p+3,3q+3)を利用している。
題意の条件に従い、通った大通り同士の交差点のみをプロットし、結ぶと、
“横に変化”、“上に変化”、“斜めに変化”の三通りに分類できる。
“斜めに変化”の回数がk回だとすると、“横に変化”は、n-k回、“上に変化”は3-k回となる。
斜めに変化の場合、生活道路の通り方で、5通りあるので、
Σ[k=0,3] 5^k*((n-k)+(3-k)+k)!/{(n-k)!*(3-k)!*k!} で計算できることが判る。
答え 36n^3-54n^2+36n+1
462:１３２人目の素数さん
20/02/18 13:29:45 QuEz/3Tk.net
>>450
正解
ちなみに東西線3m+1本、南北線3n+1のときは
Σ[0≦i≦m]C[m,i]C[n,i]6^i
(ただしj<kのときC[j<k]=0とする)
になります。
>>450さんの証明よく読めばできます。
ちなみに超幾何関数というのを使って
3F2(-m,-n,1;6)
とも表示されます。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
463:１３２人目の素数さん
20/02/18 17:04:26 bKAplv3x.net
なるほど。ということは、
Σ[k=0,m] C[m,k]*C[n,k]*(x+1)^k = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]*C[n,k]*x^k
が成立しそうですが、証明はどうやるんだろう．．．。
464:１３２人目の素数さん
20/02/18 18:34:17 06v9pOD9.net
自然数nに対してm=C[n+1,2]変数の多項式Pn(x[12],‥,x[n-1,n])で次の条件を満たすものが存在する事を示せ。
n次元ユークリッド空間の点p0,‥pnに対し、その凸包をK、m個の正の実数a[12],‥,a[n-1n]をd(pi,pj)を並べたものとするとき
vol(K)^2=Pn(a[12],‥,a[n-1n])
が成立する。(高次元のヘロンの公式)
またこの時次が成り立つ事を示せ。
実数の組みa[12],‥,a[n-1n]が任意の{1,‥,n}のk元集合Sと添字が
465:Sに入るC[k2]個のa[ij]を選ぶとき Pk(a[ij])>0 が成立するときn次元ユークリッド空間の点p0,‥pnでa[12],‥,a[n-1n]がd(pi,pj)を並べたものと一致するようなものがとれる。(高次元の三角不等式) 例 p1(x)=x P2(x,y,z)=(1/16)(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z) でn≦2では成立しています。
466:１３２人目の素数さん
20/02/18 23:44:09 8DNhS0j5.net
>>399
n=3の時は、f(x,y)の値を
1 (xもyも有理数の時)
2 (xとyの片方だけが無理数)
3 (xとyの両方無理数)
とすれば良い。fpの値が1か3で定数の場合は明らかにpも定数。
fpの値が常に2である時、pが定数でないと仮定。すると、任意の有理数qについて
C(q):=p^(-1)({q}×R) も C'(q):=p^(-1)(R×{q}) も区間[0,1]の閉集合になる。したがって
[0,1]=∪_(q:有理数) C(q)∪C'(q)
は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
そのような分割は不可能であるため矛盾。
467:１３２人目の素数さん
20/02/19 00:40:12 v8JOxEBI.net
>>454
>は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
[0,1]=[0,1]∪Φ
468:１３２人目の素数さん
20/02/19 02:37:51.22 eq0pwpep.net
>>452
(1+xz)^n = Σ[i=0,n]C[n,i]x^i z^i
(1+z)^m = Σ[j=0,m]C[m,j]z^j
(1-z)^(-n-1) = Σ[j=0,∞]C[n+j,j]z^j
より
(1+xz)^n (1+z)^mのz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[m,m-k]C[n,k] x^k
(1+xz)^n (1-z)^(-n-1)のz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]C[n,k] x^k
だから
f(z) = (1+z+xz)^n (1+z)^m/z^(m+1)
g(z) = (1+xz)^n (1-z)^(-n-1)/z^(m+1)
のz=0における留数が等しいことを示せばよい。
これはz=t/(1-t)と置くとf(z)dz=g(t)dtより明らか
469:１３２人目の素数さん
20/02/19 08:32:16.66 WE6EaV92.net
>>455
例えば C(q)=[0,1] の場合、pの第一成分が常にq、第二成分が常に無理数をとる訳だけど、
その場合は第二成分も定数でなければならないから、結局pも定数関数であることがわかる。
C'(q)の場合も同様。
470:１３２人目の素数さん
20/02/19 16:44:13 z1VUWsY5.net
>>455
の反例は乗り切ってるかもだけど[0,1]が高々可算無限個の非自明な非交和になり得ないは正しいのかな？
反例も証明も分からん。
471:１３２人目の素数さん
20/02/19 16:47:27 k7LsatWJ.net
>>412
イナさんは
おじさん(♂)だったんですか？
472:１３２人目の素数さん
20/02/19 16:58:02 k7LsatWJ.net
Ｑ.１，２，４，８、・・・、２＾ｎという数列から１つ数を選んだとき、その最高桁が１となる確率はいかほどか？
(初めから無限個の集合で考えなくてもＯＫです
ｎを有限としてｎ→∞としてもかまいません)
473:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:08:33 z1VUWsY5.net
log[10]2、
ちな最高位が3の確率？はlog[10](3/2)
474:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:12:58 eq0pwpep.net
>>460
jlog2(10)≦i<jlog2(10)+1を満たす整数iはjに対して必ず1つ存在するので
2^nがm桁の数とすると{1,2,4...,2^n}にはm個の最高桁が1となる数が存在する
この確率はm/(n+1)=ceil(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでceil(x)はx以上の最小の整数
475:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:23:32 eq0pwpep.net
>>462 訂正
m/(n+1)=floor(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでfloor(x)はx以下の最大の整数
476:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:42:24 v8JOxEBI.net
>>458
閉集合だと無理だと「現代数学の系譜・・・」スレでやってた
477:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/19 18:48:36 zH0JvmWI.net
/＿/＿/人人_/＿/＿/＿
/＿/_（＿^_)/＿/＿/＿
/＿/_（＿＿)/＿/＿/＿
/＿/_（ (^o)/＿/＿/＿
/＿/_（＿っ-┓_/＿/＿
/＿/_◎ﾞ┻υ◎ﾞ/＿/＿/＿/__/__/__/__/__/＿/＿/＿/＿/＿/あのどろだらけのすに～かぁじゃ～♪ ぉいこせない～の～わぁ～♪ ごめん、>>423の前>>417だった。
前>>442でんしゃ～でも♪ じかんでもなく♪ ぼくかもしれなぃ～け～ど～♪ ♪♪
478:１３２人目の素数さん
20/02/19 19:11:43.18 maZgQuwo.net
>>458
さすがに省略しすぎてしまった、申し訳ない
>>454 の補足
閉区間[0,1]が、可算無限個の空でない閉集合により
[0,1]=∪_(n=0,1,…)C'_n (ただし 0∈C_0, 1∈C_1, n≠mならばC_n∩C_m=φ とする)
と分割されると仮定。
ここで、数列{a_n}, {b_n}を次のように定める。
まず、区間[0,1]におけるC_0∪C_1の補集合の、連結な部分集合を与える開区間(a_1,b_1)を１つとる。
つまり、a_1,b_1∈C_0∪C_1 であることに注意。
(i)nが奇数の時、a_(n+1)=a_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = min((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
（開区間(a_n,b_n)の両端はどちらもある C_m' (m'<m) の元であるため、
(a_n,b_n)∩C_m = [a_n,b_n]∩C_m. よってminが存在。）
(ii)nが偶数の時、b_(n+1)=b_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = max((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
以上のように定めた数列{a_n}, {b_n}は a_n<a_(n+2)<b_(n+2)<b_n を満たすため、どちらもn→∞で収束。
しかし、例えばa_nの極限Aは全てのn≧1について A∈(a_n,b_n) を満たすため、
どの C_n (n≧1) にも属さない。よって矛盾。
479:１３２人目の素数さん
20/02/19 19:40:12.87 maZgQuwo.net
>>466 で変なところに C'_n が出てきてるけど、これは普通に C_n として処理してくだせえ…
余談ではあるけど、>>399 の問題におけるR^2を全てR^mで置き換えてできる問題を考えれば、
同様の方法で、求めるnの最小値は2以上(m+1)以下の整数であることがわかる。
具体的には、関数 f:R^m→{1,2,…,m+1}を
f(X)=1+(Xの成分のうち有理数であるものの個数)
と定めれば、>>454 と同様の方法で(fpが定数ならばpも定数)を示せるはず。
480:１３２人目の素数さん
20/02/19 21:08:37.40 2hWCM518.net
>>463
解答例は現在ガロアスレで絶賛展開中です。ご参考下さい。
481:１３２人目の素数さん
20/02/20 02:45:46.65 Nvc8ojbF.net
>>456
御下賜ありがとうございます。
当初、目が点状態でしたが何とかフォローできました。
二重、三重に驚きました。鮮やかな手法に恐れ入るばかりです。
>>これはz=t/(1-t)と置くと
恐らく、z=t/(1+t) のミスだったのではないかと思います。
他の方の為に、記しておきます。
482:１３２人目の素数さん
20/02/20 03:10:19.22 w9za8ANa.net
正の整数a,bを互いに素とする。
ある非負整数x,yがあってn=ax+byと書ける時nは良い整数であると定義する。
正の整数であって良い整数でないものの個数をa,bで表せ。
483:イナ
20/02/20 03:38:19.26 PRyo8w16.net
前>>465
>>470
正の整数でax+byと書けないものは、1,2
∴2個
484:１３２人目の素数さん
20/02/20 06:56:18.29 g3Lggi6S.net
まずは定数と変数の違いを理解できるようにしよう
485:１３２人目の素数さん
20/02/20 09:19:34 BWBgHqRp.net
(a-1)(b-1)/2
486:１３２人目の素数さん
20/02/20 09:53:59.67 TZOsntWL.net
>>470
>正の整数であって良い整数でないものの個数をa,bで表せ。
(a,b)>1の時は無限大
(a,b)=1の時は面倒くさい
487:１３２人目の素数さん
20/02/20 10:35:13.96 bZRqCWPO.net
nが良くない整数、かつn+a,n+bのどちらも良い整数である時、
n+a=bm, n+b=ak より a(k+1)=b(m+1).
これよりk=bk'-1であるから
n=a(bk'-1)-b.
nの良くない性より n≦ab-a-b であるから、k'=1.
以上から、任意の良くない整数 n<N:=ab-a-b について、n+a,n+bの少なくとも一方は良くない整数。
したがって、0≦n≦N を満たす整数nについて、nが良くない整数ならばN-nは良い整数であることが導ける。
また、N=N-0が良くない整数であることと、
(N-nが良くない整数ならばN-(n+a)もN-(n+b)も良くない整数である)ことから、
0≦n≦N を満たす整数nについて、nが良い整数ならばN-nは良くない整数であることが導ける。
以上の議論から、整数n∈[0,N]について、nとN-nの片方だけが良くない整数であることがわかる。
ゆえに、求める個数は(1+N)/2=(a-1)(b-1)/2.
488:１３２人目の素数さん
20/02/20 11:03:06.57 bZRqCWPO.net
>>399 の類題と言えるかも知れない問題、こちらも出題者には未解決
実数全体からなる集合をRとおく。Rの任意の部分集合Aについて、次の主張は成り立つか：
Aの補集合とAの少なくとも一方は、Rの非可算な閉部分集合を含む。
489:哀れな素人
20/02/20 11:27:45.80 Wd/N0aBi.net
実数全体からなる集合などというものは存在しないし、
実数は非可算ではない（笑
490:１３２人目の素数さん
20/02/20 11:28:07.68 BWBgHqRp.net
>>476
R={有理数}∪{無理数}でよくない？
{無理数}が閉集合Fを含むとするとU=R＼Fは{有理数}を含む開集合で{有理数}はdenseだからU=R。
∴{無理数}が含む閉集合は空集合のみ。
491:１３２人目の素数さん
20/02/20 11:33:43.06 BWBgHqRp.net
>>478
はダメだ。吊ってくるorz
492:１３２人目の素数さん
20/02/20 12:02:15.00 bZRqCWPO.net
>>478
一応説明しておくと、例えば無理数の部分集合を
{x∈[0,1] : xを２進展開した時、小数点以下第(2n)位はnが平方数の時1、それ以外の時0}
等と定めればこれはカントール集合と同相になります
493:１３２人目の素数さん
20/02/20 12:27:18.70 BWBgHqRp.net
>>480
カントール集合って閉集合だっけ？
494:１３２人目の素数さん
20/02/20 12:55:06.08 w9za8ANa.net
>>475
正解です
495:１３２人目の素数さん
20/02/20 12:55:54.20 w9za8ANa.net
>>471
？？
496:１３２人目の素数さん
20/02/20 13:35:30.57 bZRqCWPO.net
>>481
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
のExampleや、カントール集合の記事の『歴史的注意』にある通り、閉集合。
497:１３２人目の素数さん
20/02/20 19:32:41.29 g3Lggi6S.net
>>454
これってx,y,の両方が無理数の時と
それ以外の場合で分けてやっても同じようにpが定数は言えないの？
498:１３２人目の素数さん
20/02/20 19:36:55.61 g3Lggi6S.net
まあカントール集合って構成的に閉集合の共通部分だし
499:１３２人目の素数さん
20/02/20 20:52:25.56 TZOsntWL.net
>>485
可算
500:１３２人目の素数さん
20/02/20 20:56:26.46 TZOsntWL.net
Rを稠密で内点のない2つの連続濃度の部分集合に分割して欲しい
501:イナ
20/02/20 22:13:26.57 PRyo8w16.net
(1/4845)(4Ｃ2)(16Ｃ1)(4Ｃ1)
=6･16･4/4845
=2･64/1615
=128/1615
=0.07952569659……
前>>148
∴約7.952569659％
502:イナ
20/02/20 22:17:39.72 PRyo8w16.net
前>>498
スレ違いました。
503:１３２人目の素数さん
20/02/21 01:00:23.38 mdcv3RW3.net
>>485
その場合、p:[0,1]→R^2を例えば p(t)=(0,t) と定めた時にp(t)がずっと R^2-{無理数}^2 に属することになるね
504:１３２人目の素数さん
20/02/21 08:23:47 WqlF6ncx.net
無理数集合はR上の閉集合の可算和では書けないことを証明せよ
505:１３２人目の素数さん
20/02/21 10:03:34.87 mdcv3RW3.net
>>492
R\Q=∪_(n≧1) C_n と可算個の閉集合に分割できたと仮定。
0以上1以下の全ての有理数を {q_n}_(n≧1) と番号づけすると、
∪_(n≧1) ((C_n∩[0,1])∪{q_n}) = [0,1]
により、可算個の閉集合による区間[0,1]の非自明な分割が与えられてしまい、>>466と矛盾。
506:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:34:54 WqlF6ncx.net
>>493
なるほど素晴らしい
想定解はベールのカテゴリー定理を使うものでした
507:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:43:38 +4K3m1jQ.net
>>494
想定解ギボン
508:１３２人目の素数さん
20/02/21 12:25:40 WqlF6ncx.net
>>495
R\Q=U_{n∈N} C_nと可算和で書けたとする
Q= {q_n}_{n∈N}とすると
R=U_{n∈N} (C_n ∪ {q_n})となる
ここでRは完備距離空間より
ベールのカテゴリー定理「空でない完備距離空間は内点を持たない閉集合の可算和にはならない」
から、あるC_nは内点を持つがC_nはR\Qの部分集合のため矛盾
509:１３２人目の素数さん
20/02/21 13:09:10.57 mdcv3RW3.net
>>476 はどうやら否定的に解決されてるみたいだ…Bernstein集合が反例になっている
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
Bernstein集合の存在性については、下のpdfの定理3.7で示されている
URLﾘﾝｸ(yamyamtopo.files.wordpress.com)
そして多分同じ手法で、>>399の答えが2であることもわかる。
ポイントは、（非可算な）閉集合全体からなる集合の濃度が、R^2と同じ連続体濃度である、ということ。
510:１３２人目の素数さん
20/02/21 13:55:03.32 +4K3m1jQ.net
>>497
そのポイントから>>399の答えが2になる事をも少しkwsk
511:１３２人目の素数さん
20/02/21 14:37:11.55 4drFG/zF.net
連続と離散を統一した！
URLﾘﾝｸ(x0000.net)
R* := R ∪ { e }
(0 ≠ e ≠ dx)
a + e = a = a – e (a ∈ R)
ne = e (n ∈ Z)
応用例：
Vistaかwin7のファイルの表示方法を設定するメニューがその例です。
512:１３２人目の素数さん
20/02/21 16:10:15.80 mdcv3RW3.net
色々整ったので>>399の答えが2であることを示します。
ちなみにR^2からR^nに変えても同様で、答えが2であることも言えます。
R^2は可算な開基を持つので、R^2の開集合の個数は連続体濃度。
よって、R^2の閉集合全体からなる集合の濃度も同じく連続体濃度である
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
Pの各元が閉集合であるため、同じく連続体濃度を持つ。
これより、連続体濃度を持つ最小の基数をΩとおくと、PからΩへの全単射ωが存在。
超限帰納法により、R^2の点列 {a_p}_(p∈P), {b_p}_(p∈P) であって、
任意のp∈Pについて a_p≠b_p かつ
a_p, b_p ∈ p＼∪_(p'∈P, ω(p')<ω(p)){a_p',b_p'}
を満たすものが存在。
（任意のp∈Pについてpは連続体濃度を持つことと、
p'∈P であって ω(p')<ω(p) を満たすものの個数は連続体濃度未満であることに注意。）
B={b_p:p∈P} とおけば、任意のp∈Pについて
b_p∈p∩B, a_p∈p∩(R＼B)
を満たすので、これを用いて関数 f:R^2→{1,2} を
f(X)=1 (X∈Bの時), 2 (それ以外)
と定めれば良い。
513:１３２人目の素数さん
20/02/21 16:34:43.55 fwC6A4r9.net
>>500
BとR＼Bで>>488の例になるかな
514:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:20:15 mdcv3RW3.net
>>501
BもR＼Bも、どの弧とも共通部分を持たなければならないことを考えると、なると思う
でも、そのような例であれば他にも
Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合みたいな分割はできそう
515:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:35:15 +4K3m1jQ.net
>>500
まって。よくわからない。
b_pを構成するところにもfが出てくるけどコレは我々が作らないといけない関数f:R^2→{0,1}のfとは別物だよね？
目標としてる命題は
∃f:R^2→{0,1} ∀p:[0,1]→R^2 ‥‥
だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
516:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:35:42 fwC6A4r9.net
>>502
>Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合
なーるほど
ありがとう
517:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:37:06 fwC6A4r9.net
>>503
>だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
まずBを作ってそこからｆを作ってるから大丈夫
518:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:42:40 +4K3m1jQ.net
>>505
Bを作る時にPが出てきて、そのPはfから来てるけど、fは[0,1]からR^2への連続関数で好きなものとってくるの？
519:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:03:08 fwC6A4r9.net
>>506
納得いかないならPを定義しているところのｆはｇにでも名前変えてみたら？
520:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:03:59 +4K3m1jQ.net
>>507そのgはどんな関数を使ってもいいんですか？
521:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:07:10 +4K3m1jQ.net
わかった。
連続写像の像として得られる閉集合の全体がPか。
なるホロ
522:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:10:46 +4K3m1jQ.net
なるホロ、理解できた！
素晴らしい！
523:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:40:02.37 tq3pzDtc.net
やべえ、fを複数箇所で使っちまった
必要であれば>>500は以下のように訂正して読んでくださ
524:い 誤 ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、 正 ゆえに、区間[0,1]からR^2への定数でない連続写像の像全体からなる集合Pは、
525:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:44:26.08 c3JnyBXm.net
一辺10[m]の正方形ABCDのプールがある
点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない
点Aから正方形の中心まで泳ぐのに掛かる最短時間を求めよ
526:１３２人目の素数さん
20/02/21 20:03:43.60 +4K3m1jQ.net
>>512
> 点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない
コレはその地点ではどっちの向きを向いていてもr/10？
Dに向かっていようがいまいが？
527:１３２人目の素数さん
20/02/21 20:24:20.47 TVsWXWvp.net
>>513
とりあえず問題文の通りどの向きでもr/10
さすがに向きによってスピード変わると難しくなる
そんな湧き出し方が現実に存在するかどうかは知らん
528:１３２人目の素数さん
20/02/21 21:07:21.95 +4K3m1jQ.net
>>514
なるほど。
じゃあ測地線求めよみたいなもんなのかな？
529:１３２人目の素数さん
20/02/21 21:21:12.09 fwC6A4r9.net
>>513
無意味な文章題だよな
こんな問題出題したら大顰蹙だ
530:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:20:28.44 TVsWXWvp.net
>>515
測地線というより断面積最小化かな
>>516
まあじゃあ湧き出しじゃなくて場所によって水質や重さが違うってことにしてくれ
531:イナ
20/02/21 22:32:56.90 aeOjnxR9.net
前>>490
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって弧を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=2π･5(1/4)t-at^2/2=5π/2
2t-at^2=5π
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=5π
(1+1/√2)t=5π
t=5π/(1+1/√2)
=5π√2/(√2+1)
=5π√2(√2-1)
=π(10-5√2)
=9.20151185……(秒)
532:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:49:36.41 TVsWXWvp.net
>>518
不正解
533:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:55:38.65 0m7ajDhv.net
>>517
断面積？
中心をE、AからEへのpathをp(t)(0<t<1)として所要時間は
T=∫[0,1] 10/r |x'(t)|dt
だから計量が
ds^2=(dx^2+dy^2)/r^2
のときの測地線を求めよになるのでは？
534:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:03:16.38 TVsWXWvp.net
>>520
失礼しました
f(x)=1/||x||のグラフ上で線積分をしてるから断面積を最小化するという考えです
たしかにそれなら測地線問題ですね
535:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:03:35.42 BKwvheo5.net
>>512
Dを原点として極座標(rcosθ,rsinθ)を取り
曲線θ=f(r), 5π/4=f(10√2)=f(5√2)上を泳ぐときの時間は
T(f)=∫[5π/4,10√2]√((cosθ-rsinθdθ/dr)^2+(sinθ+rcosθdθ/dr)^2)/(r/10)dr
=10∫[5π/4,10√2]√(1/r^2+(f'(θ))^2)dr
この最小値はf'(θ)=0のときで
minT(f)=10∫[5π/4,10√2](1/r)dr
=10log2
536:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:11:34.45 TVsWXWvp.net
>>522
不正解です
f’=0の場合、境界条件を満たしません
537:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:15:31.64 BKwvheo5.net
すまん、CとDを間違えた、522は取り消し
538:１３２人目の素数さん
20/02/22 00:34:08.75 P3wMpySS.net
>>512
極座標の曲線r=f(θ), 10=f(-π/2), 5√2=f(-π/4)上を泳ぐ時間は
T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(f'(θ)/f(θ))^2)dθ
δT(f)=0に対するオイラーラグランジュの方程式は
-(f'/f)^2/(f√(1+(f'/f)^2))-(d/dθ)((f'/f)/(f√(1+(f'/f)^2)))=0
整理すると
(f'^2-f''f)(f^2+f'^2)^(-3/2)=0
539:この解はf(θ)=a e^(bθ)で境界条件を合わせると f(θ)=10e^((-θ-π/2)(2log2)/π) このとき T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(2log2/π)^2)/dθ =(5/2)√(π^2+4(log2)^2)
540:イナ
20/02/22 01:05:26.06 XhKI0L4t.net
前>>518
8秒切るのかよ─。
泳ぐ経路は放物線か？
541:イナ
20/02/22 01:13:29.24 XhKI0L4t.net
前>>526
5/{4log(√5+2)}+5√5/2
=7.58390826(秒)
542:１３２人目の素数さん
20/02/22 01:18:59.63 gDsAB6h+.net
>>525
素晴らしい
正解です
>>527
不正解
543:イナ
20/02/22 04:04:04.64 XhKI0L4t.net
前>>527
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって放物線を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=1.4789･5
2t-at^2=14.789
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.789
(1+1/√2)t=14.789
t=14.789/(1+1/√2)
=14.789√2/(√2+1)
=14.789√2(√2-1)
=14.789(2-√2)
=8.66319563……(秒)
544:１３２人目の素数さん
20/02/22 05:31:26.48 E6KJT570.net
>>529
不正解
545:１３２人目の素数さん
20/02/22 12:16:05.82 0VJUtvuH.net
イナって小数好きだよね
546:イナ
20/02/22 12:49:16.26 XhKI0L4t.net
__∩∩__/__/__/__/__/
_((`.`)_/__/__/__/__/
_(っц~`～っﾞ_/∩∩_/
∥￣￣υ∥￣￣(`) )/
∥＼／∥∥＼／,U⌒ヽ/
__/__/__/__/_(＿＿＿)
__/__/＿/＿/＿/_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/少数……。前>>529
__/__/__/__/__/__/__/
__/__/__/__/__ﾁｭ_/__/
__/_ц~_/__∩∩∩ξ､/
∥￣￣∥∥( (-(`) )/
∥＼／∥∥(`っ,U⌒ヽ/
__/__/__/_ι_(______)
__/＿/＿/＿υυ_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/>>531好きだよ。愛してる。せやて数の大きさが実感できるじゃないか。
547:１３２人目の素数さん
20/02/22 16:04:26.49 InYZG21C.net
>>525
左上の頂点Dを極とする極座標ですね。
DP = f(θ) = 5･e^{-(2log2)θ/π} = 5･2^(-2θ/π),
T(f) = (5/2)√{π^2 + (2log2)^2} = 8.584657992882624266 (秒)
経路は対数らせん。
548:１３２人目の素数さん
20/02/22 17:47:24 InYZG21C.net
>>529
t秒後の速度と位置を
v = 1 - at,
AP = t - (a/2)tt,
とする。
AD=10(m), ∠PAD = 45ﾟ ゆえ
第二余弦定理より
(DP/10)^2 = 1 - (√2)(AP/10) + (AP/10)^2
≧ 1 - (√2)(AP/10)
= 1 - (√2){t -(a/2)tt}/10,
また
v^2 = (1-at)^2,
題意 (v ≦ DP/10) を満たすために
a = 1/(10√2),
とすると、到達時間は
t｡ - (a/2)t｡^2 = 5√2 = 1/(2a),
より
t｡ = 1/a = 10√2 = 14.1421356 (秒)
となり、止まってしまう････orz
549:イナ
20/02/22 18:37:12.15 XhKI0L4t.net
;;;;;;;;人;;;;;;;;;;
;;;;;;（＿）;;;;;;;;
;;;;;（＿＿);;;;;;;;
;;;;;（＿(`);;;;;;;;
;;;;;（＿_っ┓;;;;;;
;;ε=◎ﾞ┻υ◎ﾞ;;;;;
ﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝ……。螺旋状に正方形の中心に近づくように泳いだほうがいいな。前>>532標的に対しできれば右回りで、左回りでもいいけどじゅうぶん近づいてから中心に切りこむ。湧水による減速を最小限にとどめるべきだ。
550: 【大吉】
20/02/23 00:37:59 2zPyHRoL.net
前>>535
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かってまっすぐ直線をt秒間泳ぐと、速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=5√2
2t-at^2=14.1421356
?を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.1421356
(1+1/√2)t=14.1421356
t=14.1421356/(1+1/√2)
=20/(√2+1)
=20(√2-1)
=20･0.41421356……
=8.28427123……(秒)
あれ？ まっすぐ泳いだほうが速いのか。
551:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:43:44 IKEuiMDY.net
>>536
経路も計算も不正解
552:１３２人目の素数さん
20/02/23 01:52:48.94 6rqZMHpY.net
長さが1の正三角形ABCの辺を単位長さが1オームの導線で結び、
辺AB,BC,CAに中点E,F,Gを取り、EF,FG,GEに対しても同じ導線で結ぶ。
さらに辺BCを共有する�
553:O角形EBFと三角形GFCに対しも同様にして辺の中点を取り導線で結ぶ。 この操作を無限に繰り返したとき、AB間とBC間の抵抗値を求めよ。
554:１３２人目の素数さん
20/02/23 02:59:55.72 D9pzXkW3.net
Aから、Dを中心とする半径10mの円周に沿って30ﾟ進む。v=1 (m/s)
20π/12 = 5.235988 (秒)
そこから対角線の交点に向かって y軸方向に直進する。
点(5,y) での速度は v ≦ DP/10 = (1/10)√(25+yy)
T = ∫[5,5√3] (1/v)dy
≧ ∫[5,5√3] (10/DP)dy
= ∫[5, 5√3] 10/√(25+yy) dy
= [ 10 arcsinh(y/5) ](5, 5√3)
= 10 (1.3169579-0.8813736)
= 4.355843 (秒)
これを合計して 9.591831 (秒)
555:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:04:18.09 IKEuiMDY.net
>>539
不正解
556:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:22:55 eIKUodWL.net
イナとかいう計算機にぶち込んで出てきた小数を脳死でレスして毎回間違う意味わからんクソコテ何者だよ
557:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:04:02.45 D9pzXkW3.net
>>536
v = 1-at,
AP = t -(a/2)t^2,
より
v^2 - (DP/10)^2
= (1-at)^2 - {1 -(√2)(AP/10) +(AP/10)^2}
= AP(10√2 -200a -AP) /100,
・ここで a = 1/(10√2) なら
v^2 - (DP/10)^2 = -(AP/10)^2 ≦ 0,
v ≦ DP/10 で題意を満たす。
・ところが
1-at｡= 1/√2,
t｡ -(a/2)t｡^2 = 5√2,
と置くと
a = 1/(20√2),
v^2 - (DP/10)^2 = AP(5√2 -AP)/100 ≧ 0,
v ≧ DP/10,
となり、題意を満たさない。
558:１３２人目の素数さん
20/02/23 06:49:54 rxwEFURs.net
F:R→RはC^2級で以下の条件を満たすとする
・ある定数0<c,Cがあり、c≦F’’(x)≦C (x∈R)
・x^2≦F(x) (x∈R)
このとき、min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) }が存在することを示せ.
559:１３２人目の素数さん
20/02/23 09:58:15 rxwEFURs.net
>>543
失礼しました修正します
任意のa,b∈Rに対して
min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) ,u(0)=a, u(1)=b}が存在することを示せ.
です
560:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 10:45:08 2zPyHRoL.net
前>>536
>>538
EA間の抵抗値は1/2[Ω]のはずだが、Eで三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/2)^3/(1/2+1/2+1/2)
=(1/8)/(3/2)
=1/12
になる。
BEの中点からEまでの間の抵抗値は1/4[Ω]のはずだが、BEの中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/4)^3/(1/4+1/4+1/4)
=(1/64)/(3/4)
=1/48
になる。
BとBEの中点の中点からBとBEの中点までの間の抵抗値は1/8[Ω]のはずだが、BとBEの中点の中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/8)^3/(1/8+1/8+1/8)
=(1/512)/(3/8)
=1/192
AB間の抵抗値は、
1/12+1/48+1/192+1/768+1/3072+……)
=(1/3)(1/4+1/16+1/64+1/256+1/1024+……)
=(1/3){1/(1-1/4)}
=4/9[Ω]
BC間の抵抗値は、
CA間の抵抗値がAB間の抵抗値と同じ4/9[Ω]だから、
推定すると、1/9[Ω]
561:１３２人目の素数さん
20/02/23 11:22:55.26 6rqZMHpY.net
>>545
不正解
562:１３２人目の素数さん
20/02/23 11:23:58.21 FPOdVTcq.net
イナさん絶好調
563:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 12:37:29 2zPyHRoL.net
前>>545
>>512
Aから初速1[m/秒]、加速度-a[m/秒^2]で螺旋を描くようにＬ[m]を減速しながらt[秒]泳ぎ、終速1/√2[m/秒]で正方形の中心に到達したとすると、
速度について1-at=1/√2
at=1-1/√2
距離についてt-(1/2)at^2=Ｌ
t{1-(1/2)(1-1/√2)}=Ｌ
t(1-1/2+1/2√2)=Ｌ
t(1/2+1/2√2)=Ｌ
t(2√2+1)/2√2=Ｌ
t=Ｌ･2√2/(2√2+1)
=Ｌ･2√2(2√2-1)/7
=Ｌ(8-2√2)/7
もしも今対数螺旋とかいうＬが、
Ｌ=5･(√2)^eなら、
t=5･(√2)^e･(8-2√2)/7
=9.4762526……(秒)
螺旋泳ぎおっせー。
短距離だからかな。
564:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:12:59.17 x1qWF4GD.net
Aから対角線の交点まで直進する。
A付近では加速度aを大きく {a=1/(10√2)} せねばならんが、
そのままａ一定にすると、後半で遅くなり過ぎる。 >>534
制限速度いっぱいで直進すると
v = DP/10
= √{１ - (√2)AP/10 + (AP/10)^2}
= (1/√2)√{１ + (1 - AP/5√2)^2},
T = ∫[0,5√2] (1/v) dAP
= 10 ∫[0,1] 1/√(1+uu) du {← u = 1 - AP/(5√2)}
= 10 [ arcsinh(u) ](u=0,1)
= 10 arcsinh(1)
= 10 log(1+√2)
= 8.81373587 (秒)
2.7%ぐらい遅いが。。。
565:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:18:34.00 x1qWF4GD.net
A(0,-10)
B(10,-10)
C(10,0)
D(0,0)
とし、放物線 y = bxx -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから b=1/5.
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + (1-bxx/10)^2}
= √{1 - ((20b-1)/100)x^2 + (bb/100)x^4},
ds = √{1+(2bx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2} (10/DP) dx
= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2}/√{1 -((20b-1)/100)x^2 +(bb/100)x^4} dx
= 8.6463092 (秒)
0.72%ほど遅い。。。
566:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:56:48 x1qWF4GD.net
>>550
3次関数 y = cx^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから c=1/25.
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + [1 - (c/10)x^3]^2},
ds = √{1 + (3cxx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2} (10/DP) dx
= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2}/√{(x/10)^2 + [1-(c/10)x^3]^2} dx
= 8.78206166 (秒)
2.3%ぐらい遅い。遠回りし過ぎ？
567:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 15:15:40 2zPyHRoL.net
前>>548
一辺10[m]のプールのA側の1/4を使って螺旋状に泳ぐべく右蹴り足をやや強く蹴り、左に旋回しながら一周で半径と同じピッチ上がる螺旋の長さのぶんだけ時間がかかると考えて、
ピタゴラスの定理より、
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
=7.95283141……(秒)
最速!!
568:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 15:39:58 2zPyHRoL.net
前>>552
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって螺旋を描くようにt秒間で7.952813141[m]泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=7.952813141
2t-at^2=15.905626282……
?を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=15.905626282……
(1+1/√2)t=15.905626282……
t=15.905626282(2-√2)
=9.31730016……(秒)
たいして速くない。
569:１３２人目の素数さん
20/02/23 15:44:26 x1qWF4GD.net
n次関数 y = d x^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから d=1/5^(n-1).
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + [1 - (d/10)x^n]^2},
ds = √{1 + [nd･x^(n-1)]^2} dx,
T(n) = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+[nd x^(n-1)]^2} (10/DP) dx
n T(n)
----------------------------------------------------
1 8.8137358702 +2.67% >>549
2 8.6463092000 +0.718 >>550
3 8.7820616603 +2.30% >>551
4 8.9261905925 +3.98%
5 9.0515773221 +5.44%
6 9.1577166076 +6.675
----------------------------------------------------
正解 8.5846579929 >>525 >>533
近似式 (n≧2)
8.584658{1 +0.0182(n-1.62) -0.0007(n-1.62)^2}
570:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:15:53.38 UpuezNYO.net
>>512はもう>>525で答え出てるんじゃないの？
571:イナ
20/02/23 16:23:02.86 2zPyHRoL.net
√{π^2+(2log2)^2}
水平距離がπ、2πr=πとすると半径r=1/2
ピッチが2log2
─どういうことや？
前>>553ピタゴラスの定理より、螺旋の長さは、
√{π^2+(2log2)^2}
湧水の影響を避け螺旋状に中心に向かって右から旋回しながら中心に至る経路が最速なのはわかる。なんでピッチが2log2と一意に決まるのか。
572:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:26:55 x1qWF4GD.net
訂正
n次関数 y = d･x^ｎ -10 でした。
n→∞ のときは直角に近づく。
横： A(0,-10) → (5,-10)
DP = √(100+xx),
∫[0,5] (10/DP)dx = 10∫[0,5] 1/√(100+xx) dx
= 10 [ arcsinh(x/10) ](x=0,5)
= 10 arcsinh(1/2)
= 10 logφ {φ=(1+√5)/2=1.618034}
= 4.8121182506 (秒)
縦：(5,-10) → X(5,-5)
DP = √(25+yy),
∫[5,10] (10/DY) dy = 10∫[5,10] 1/√(25+yy) dy
= 10 [ arcsinh(y/5) ](y=5,10)
= 10 {arcsinh(2) - arcsinh(1)}
= 10 {log(2+√5) - log(1+√2)}
= 10 (1.443635475 - 0.88137358702)
= 5.6226188816 (秒)
これを合計して
T(∞) = 10 log{(2+√5)(√2 -1)φ} = 10.4347371322 (秒)
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