面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～ ..

328:１３２人目の素数さん
20/02/13 19:53:39.15 uH+myoBI.net
n,kは自然数でk≦nとする。
穴の開いた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひもを通して輪を作る。
このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け、
どちらの組も白玉k個、黒玉n-k個からなるようにできることを示せ。
(某大学文系過去問 - 中学生の知識で解ける)

329:１３２人目の素数さん
20/02/13 20:23:54.06 iOaxVOmG.net
>>321
上半分の赤の個数について考える。
玉一つ分時計回りに回したとき上半分のあかの数はそままか、一個増えるか一個減るのいずれか。
半周回したとき上半分と下半分が入れ替わるのでどっかの時点でピッタリ半分になる。

330:１３２人目の素数さん
20/02/13 20:38:32.25 uH+myoBI.net
>>322
早いね、正解。
要は離散版中間値の定理(自明)。

331:１３２人目の素数さん
20/02/13 22:30:53.03 VUrdGB1K.net
>>280
でけた。上限は1。
全域で調和的な配列aが、ある α<1 について a[X]=O(|X|^α) を満たしていると仮定。
((Δ^n)a)[0,0] における a[-n+p+q,p-q] の係数c_n[p,q]は
((1+x)(1+y)/4)^n における (x^p)(y^q) の係数と一致。つまり
c_n[p,q] = 4^(-n)･C(n,p)･C(n,q).　（ただし大文字のCは二項係数）
よって、 (Δ^(2n+1)a)([1,0]+[-1,0]-[0,1]-[0,-1]) の係数の絶対値の総和は
Σ_(p,qは整数) 4^(-n)･|C(2n+1,p)-C(2n+1,p-1)|･|C(2n+1,q)-C(2n+1,q-1)|
=4C(2n+1,n)^2
=K/n･(1+o(1)). （ただしKはある定数）
であるから、
|a[1,0]+a[-1,0]-a[0,1]-a[0,-1]|
≦K(1+o(1))･2^α･n^(α-1)→0 (as n→∞)
より a[1,0]+a[-1,0]=a[0,1]+a[0,-1].
これと Δa=a より a[1,0]+a[-1,0]=2a[0,0].
同様にして、任意にjを固定した時に a[i,j] が等差列をなすことがわかるが、|a[X]|=o(|X|) より a[i,j] はiに依存しない。
同様にしてjに依存しないこともわかるため、aは定数。

332:１３２人目の素数さん
20/02/13 22:35:41.28 iOaxVOmG.net
>>324
おお、素晴らしい。gj

333:１３２人目の素数さん
20/02/13 23:51:21.39 iOaxVOmG.net
このスレで度々見かける某パズル本からの出題。
2人の修行僧がそれぞれ二つの山を登る。
2人とも同じ海抜の麓の地点から登頂を始め、ゴールの山頂の海抜も同じである。
各々の僧は山頂までの一本道の山道のみを移動する。
どちらの道も途中の地点ではスタート地点より海抜が高く、ゴール地点より海抜は低い。
この時2人の僧の登頂をうまく調節していずれの時点でも2人の海抜が完全に一致する様にして登頂をすることは可能であろうか？
2人の僧に許される行動は山道を進むか戻るか立ち止まるかのみである。
この問題の原題の設定はこれだけで当然暗黙の了解としてスタート地点からの道のりと海抜を与える関数が連続である事は仮定できます。
それはいいんですが、(そりゃそうでしょう)、パズル本の模範解答はできるで、私にはその解答はその連続関数になにか区分的に滑らかみたいな仮定がないと成立してないように思えます。
どなたか連続だけの仮定の元での肯定的な解答作れますでしょうか？

334:イナ
20/02/13 23:58:27.97 7VewwRjX.net
前 >>316
>>322-323赤玉どっから出てきたん？　白玉と黒玉やろ。

335:１３２人目の素数さん
20/02/14 00:01:24.99 ekmNRCqQ.net
ちゃんと数学的に書けば
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
です。
f,gの連続性にある程度強い仮定があれば簡単なんですけど。

336:１３２人目の素数さん
20/02/14 00:02:35.07 ekmNRCqQ.net
>>328は >>326の続きです。

337:１３２人目の素数さん
20/02/14 01:33:49.02 1dEsnuQN.net
>>328
f(x)=2x (0≦x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x<3/4)
f(x)=2x-1 (1/4≦x≦1)
g(x)=1/2+|x-1/2|sin((π/4)/(x-1/2))
の場合は登山五合目付近でp(t)が不連続になると思われる

338:１３２人目の素数さん
20/02/14 02:57:15.90 ekmNRCqQ.net
>>330
その程度の関数なら本に載ってる解答の肯定的解答がそのまま通用します。

339:１３２人目の素数さん
20/02/14 02:59:45.62 1dEsnuQN.net
>>328
条件を強くして道のりが微分可能でもダメみたい。
f(x)=1/2-(1/2)e^(4+1/(x-1/4)) (x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x≦3/4)
f(x)=1/2+(1/2)e^(4-1/(x-3/4)) (3/4<x≦1)
g(x)=1/2+8(x-1/2)^4 sin((π/4)/(x-1/2))
のとき
f^(-1)(g(x))は不連続で、f(x)の道の人は無限の距離を歩かないといけない

340:１３２人目の素数さん
20/02/14 03:17:50.97 ekmNRCqQ.net
>>332
とりあえず道のりの有限性を仮定すれば大丈夫です。
もう少し緩めてf,gが共に有界変動なら大丈夫です。
問題は有界変動性がないとき、>>328のp,qとして有界変動性がない連続関数まで含めて存在し得ない例を私は持ってないのです。
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。

341:１３２人目の素数さん
20/02/14 03:42:11.48 ekmNRCqQ.net
ちなみにfが有界変動連続関数のとき
f1(x)=fの[0,x]における全変動、
f2(x)=f1(x)-f2(x)
とおけば
f(x)=(f1(c)+x)-(f2(x)+x)
と二つの狭義単調増大連続関数の差となります。
gも有界変動連続ならgも同じような分解を持ってしまうので本の証明が通用してしまいます。

342:１３２人目の素数さん
20/02/14 03:43:07.46 ekmNRCqQ.net
あ、ポコポコ間違ってるけど適当にエスパーしてください。

343:１３２人目の素数さん
20/02/14 08:39:16 8zGfmT3q.net
>>331
ん？肯定的？否定的解答じゃなくて？
328の条件を満たす連続関数p,qが存在しないのは間違いないのでは？

344:１３２人目の素数さん
20/02/14 09:28:04.83 ekmNRCqQ.net
>>336
今上がってるケースぐらいではp,qは存在するします。
p,qは連続でありさえすれば有界変動性は要求されません。

345:１３２人目の素数さん
20/02/14 09:32:16.08 ekmNRCqQ.net
あ、いま上がってるケースくらいならp,qも有界変動に取れます。

346:１３２人目の素数さん
20/02/14 09:44:02.90 1dEsnuQN.net
>>338
>連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
>p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
>を満たすものがとれるか？
の問いに対する
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。は矛盾するように思えるのだが >>332の例でp,q連続関数かつf(p(t))=g(q(t))と仮定すると中間値の定理よりq(th)=1/2となるth∈[0,1]が存在し、 t_0=0と置くとq(t_i)=1/2-1/(4i+2)となるt_i∈[t_(i-1),th] (i=1,2...)が存在するしかし p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))<1/4 (i:even) p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))>3/4 (i:odd) さらにt_iは単調有界列だから収束してp(t)はlim t_iで不連続となり矛盾何か誤解していれば指摘してほしい

348:１３２人目の素数さん
20/02/14 10:27:02.14 ekmNRCqQ.net
>>339
あれ？
そうですね？
>>332は反例なってますね？
有界変動じゃないのかな？

349:１３２人目の素数さん
20/02/14 10:37:54.73 ekmNRCqQ.net
ダメだ。すぐにはわからない。
もう問題のレベル下げます。>>328改
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。
コレで肯定的に解決します。
有界変動では無理なのかな？

350:１３２人目の素数さん
20/02/14 10:39:54.56 ekmNRCqQ.net
>>341
補足。
PLの区分は有限個までです。

351:１３２人目の素数さん
20/02/14 11:55:32.12 UISPIlpq.net
>>340
君が見たという本が嘘なんじゃない？

352:１３２人目の素数さん
20/02/14 11:58:33.09 UISPIlpq.net
>>341
>ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。
めっちゃレベル下げすぎだな

353:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:00:56.70 rp7n7TvM.net
>>343
本では設定なしなんですよ。
ただ連続とだけ。
さすがにそれは無理だろうと。
数学的な面白さは激減しますがとりあえずplはら大丈夫、どこまで突っ込めるのかは謎。

354:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:12:29.42 ZE8w945W.net
奇跡の数「142857」に隠された神秘を知っていますか
URLﾘﾝｸ(gendai.ismedia.jp)

355:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:43:58.29 8zGfmT3q.net
plから条件をゆるめるとしても『区分的に広義単調』あたりが限界じゃないかな…
関数の値が無限回上下することを許してしまうと、どうしても >>330みたいな例が作れてしまうと思う。
逆に関数値の上下が有限回であれば、問題なくできそう（証明は多少面倒かもだけど）

356:１３２人目の素数さん
20/02/14 13:02:47.54 rp7n7TvM.net
まぁplまでかな？
変に広げてもgeneral nonsenseかも。

357:１３２人目の素数さん
20/02/14 13:04:38.80 8zGfmT3q.net
待て、逆に『どの区間においても定数ではない』という条件でもいけるか？
単に成り立ちそうだから書いてみただけで、確かめた訳ではないけど

358:１３２人目の素数さん
20/02/14 14:43:01.01 G8wZZuo4.net
所持金が一万円の貧乏人が、金持ちの友達相手に掛け将棋を持ちかけた
一局ごとに一万円を掛けた2n+1番勝負で、どちらかが先にn+1勝した時点で終了とする
ただし、貧乏人だけは途中で一番でも負け越した時点で所持金を失い続行不可能となる
実力は互角で、引き分けはないものとする
貧乏人が得する確率は？

359:１３２人目の素数さん
20/02/14 14:53:50.89 UISPIlpq.net
>>345
>本では設定なしなんですよ。
本が嘘
あるいは君が条件読み落とし

360:１３２人目の素数さん
20/02/14 15:28:01.36 ekmNRCqQ.net
僧が3人だとダメなのかな？

361:１３２人目の素数さん
20/02/14 15:34:23.96 ekmNRCqQ.net
>>350
貧乏人も金持ちも途中で降りるのはなし？
必ずどちらかがn+1勝するか、貧乏人が負け越すかまで続けられる？

362:１３２人目の素数さん
20/02/14 16:23:42.86 ekmNRCqQ.net
>>350
貧乏人の獲得賞金をXとする。
最初に貧乏人がi勝する事象をAiとして
E(X|Ai)=iである事をnとiについての帰納法で示す。
n=1では明らか。
またi=nでも明らか。
n<Nで正しいとしてn=Nとしi>Iで正しいとしてi=Iとする。
このとき
E(X|Ai)=
1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人勝ち)
+ 1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人負け)
である。
右辺第1項は帰納法の仮定により(i+1)/2である。
第2項はnが1少ない場合の貧乏人がi-1連勝した状況と同じになるのでやはり帰納法の仮定から(i-1)/2である。
よって主張は示された。
特にi=0の場合により貧乏人の獲得賞金の期待値は0。□

363:イナ
20/02/14 16:44:46.29 Glw+icxw.net
前 >>327ふ～ゆ～に～ぉ～ぼえ～た～♪ う～た～ぉ～わ～すれ～て～♪ す～と～ぉ～ぶ～のな～か～♪ の～こ～ぉ～た～せき～ゆ～♪
/＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（(`o')/＿/（o^) )_
/_（_υ_)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿>>292メネラウスの定理で考えてたんだけど >>312はAとHが重なって描けないよね。こんな難しい作業やらせるか？

364:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:35:32.44 VcIiPg2O.net
>>354
0なわけねーだろ

365:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:51:01.49 ekmNRCqQ.net
獲得金額ってもちろん参加費差っ引いた額ね。
具体的に書いてみればわかる。
以下Aを貧乏人、Bを金持ちとしてAのw勝l負をw/lで表す。
その時のAの獲得金額xと確率pでおわるときx(p)であらわす。
n=0のとき
1/0→1(1/2)、0/1→-1(1/2)
∴ 期待値0
n=1のとき
2/0→2(1/4)、2/1→1(1/8)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
n=2のとき
3/0→3(1/8)、3/2→2(1/4)、3/1→1(2/32)、
2/3→-1(2/32)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0

366:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:56:55.14 ekmNRCqQ.net
あ、問題文は
貧乏人が得する確率は
か。
期待値求めるんじやないのね。

367:１３２人目の素数さん
20/02/14 18:13:54.83 G8wZZuo4.net
>>353
途中で降りるのはなし
 >>354
期待値はおっしゃる通り
期待値が0なのに、貧乏人は負けてもたった一万で済み勝てばそれ以上が得られるのは、
得する確率は小さいが勝った時のリターンが大きい勝負をしているからだ
この得になるケースが起こる確率はいくらか？が実は聞きたかった

368:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/14 19:24:24 Glw+icxw.net
∥人人∥前>>355
（_(＿)>>292裏技がある
（(-.-)のか ∩∩
（っγ)ﾞな (^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒)　？ υυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~
メネラウスとか。

369:１３２人目の素数さん
20/02/14 19:35:09 ekmNRCqQ.net
>>359とすると
(2^(2n)-C[2n+1,n])/2^(2n+1)
かな？
カタラン数計算するのと同じテク。

370:１３２人目の素数さん
20/02/14 20:19:34.18 ekmNRCqQ.net
あ、違う。
C[2n+1,n]/2^(2n+1)

371:１３２人目の素数さん
20/02/14 20:43:56.77 ekmNRCqQ.net
気持ちよく期待値0になっておおぉぉぉと思ったけど当たり前なのか‥‥

372:１３２人目の素数さん
20/02/14 21:22:52 G8wZZuo4.net
>>362
正解！！！

次のように問題を改変する
貧乏人が途中で負け越しても借金して続け、どちらかが先にn+1勝しても2n+1番まで続ける
そのときに、貧乏人が途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる場合を考える
勝敗条件はまったく変わらないので上記の確率を求めればいい

途中で一度は負け越してから勝ち越しで終わる場合、途中に初めて負け越した黒星が必ずある
その黒星より後で二番以上の勝ち越しがあることにより最後は勝ち越しとなる
このときもしその黒星より後の星の勝敗が逆であれば三番以上の負け越しで終わる
逆に、三番以上の負け越しで終わる場合、途中に初めて負け越しとなった黒星が必ずあり、
その後に二番以上の負け越しがあることで三番以上の負け越しで終わるので、
その勝敗が逆なら、途中の負け越しから二番以上を返し、最後勝ち越しで終わることになる
従って、途中で負け越してから勝ち越しで終わる場合と三番以上の負け越しで終わる場合は、
一対一に対応し、その確率は等しい

題意の確率=途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-途中で負け越してから勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-三番以上の負け越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-(負け越しで終わる確率-一番の負け越しで終わる確率)
=1/2-(1/2-n勝する確率)=n勝する確率=C[2n+1,n]/2^(2n+1)

373:イナ
20/02/14 21:41:52.84 Glw+icxw.net
前 >>360
>>292
OA=tとすると、
OA･OB=1よりOB=1/t
AB=OB-OA=1/t-t

374:１３２人目の素数さん
20/02/14 21:48:27.27 R20D62da.net
n ＝１～７で虱潰しにプログラムに数えさせて頻度を出してみた。
> data.frame(n,p)
n p
1 1 0.3750000
2 2 0.3125000
3 3 0.2734375
4 4 0.2460938
5 5 0.2255859
6 6 0.2094727
7 7 0.1963806

375:１３２人目の素数さん
20/02/14 22:26:53.90 R20D62da.net
C[2n+1,n]/2^(2n+1)
に代入すると、
> choose(2*n+1,n)/(2^(2*n+1))
[1] 0.3750000 0.3125000 0.2734375 0.2460938 0.2255859 0.2094727 0.1963806
同値。プログラムでのカウント漏れはなさそう。

376:哀れな素人
20/02/14 22:49:27.49 ENo7Ubcw.net
>>312に書いたことは間違いだったので訂正しておく。
PB、DB、QBと小円との交点をE、F、G、
GからQOに平行に引いた平行線と、AB、小円との交点をH、I
IFとPBとの交点をJとすると、△JFB∽△HGBで、
この二つの三角形は出題の三角形とも相似。
但し△OQB∽△HGBだけは明らかだが、
その他の相似は、今のところ、示せない。
もしかしたら小円など利用しなくても解けるのかもしれない。

377: 【中吉】
20/02/15 00:55:59 UO46pwdD.net
前>>365小円なん　∩∩
((-_-)か思いつ　(^_^))
[￣]c) かんやろ。U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ (γ)
____/＼/,,(`.`))⌒ヾU
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___/ |
□　| ∥￣~U~U~￣∥ |
____| ∥ □　□　∥ |/
_____`∥_________∥／

378:１３２人目の素数さん
20/02/15 08:06:57.62 zzpS6PjC.net
あるカジノに次のようなカードゲームがある
n枚のカードがあり、親は裏に互いに異なる数を書き込み、よく切って重ねて伏せる
プレーヤーは一枚ずつカードをめくり、好きなところで止める
また、途中で止めずに最後の一枚をめくった場合はそこで止める
止めたときのカードが親が書き込んだ最大の数であるとき、プレーヤーの勝ちとなる
プレーヤーは次のような作戦で止める箇所を決めることにした
m枚目までは止めない
m+1枚目からは、それまでに見た最大の数を超えていたら止めて、そうでなければ止めない
この方法を使ったとき、勝率はいくらか？
nが大きいとき、上記勝率の最大はいくらか？

379:１３２人目の素数さん
20/02/15 10:51:21.54 JNGZDcu7.net
>>349 が気になって夜も眠れないから正式に投稿（眠れたけど）
もちろん自分では未解決。
↓↓ここから問題↓↓
連続関数 f,g:[0,1]→[0,1] は f^-1({0})=g^-1({0})={0}, f^-1({1})=g^-1({1})={1}, を満たし、
どの区間 [a,b] (0≦a<b≦1) においても定数でない。
この時、連続関数 p,q:[0,1]→[0,1] であって、p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1 かつ
f(p(t))=g(q(t)) (∀t∈[0,1]) を満たすものは存在するか。
↑↑ここまで問題↑↑
[0,1]^2 の部分集合Sを S = { (x,y)∈[0,1]^2 : f(x)=g(y) } とおくと、
二点(0,0)と(1,1)がSの同じ連結成分に属することは証明できる。
この問題は、この二点が同じ『弧状』連結成分に属するかどうか、と言い換えられる。

380:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:25:04.01 JNGZDcu7.net
難問ばかりなのもアレなので解決済みのものを１つ
連続関数 f:R→R は非可算個の点で極大値をとり得るか。

381:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:32:43 JNGZDcu7.net
>>372
しまった、ここでは関数 f が点 x_0 で極大値をとるとは、
x_0 のある開近傍 U が存在して
x∈U かつ x≠x_0 ならば f(x)<f(x_0)
を満たすこととします。

382:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:44:39 h/D6xsZJ.net
>>372
不可能。
極大値をとるx=aの集合をSとする。
Sの元aに対し開集合Uaをf(a)がUaにおいてmaxとなるようにとると異なるa,bに対してUaとUbはdisjoint。
さらにUaから有理数qaを選べばqはSからQへの単射を与える。

383:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:45:52 h/D6xsZJ.net
あ、勘違い>>374は無かった事にorz

384:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:52:00 h/D6xsZJ.net
逆だな。
Rは可分なので可算近傍系Cをとれる。
C'={U∈C|fはCで狭義の最大をとる。}
m:C'→{極大点}をm(U)=(最大値をとる点)
で定めればこれは{極大点}への全射を与える。

385:１３２人目の素数さん
20/02/15 12:34:02 JNGZDcu7.net
>>376
正解！お見事

386:１３２人目の素数さん
20/02/15 14:24:30 p5FKhw4y.net
>>370
ざっと考えて(n-m+1)/n

387:１３２人目の素数さん
20/02/15 14:52:02 dftQOULi.net
m≦k≦n-1に対して
p(プレーヤー勝ち|k+1枚目が最大)
=p(1～k枚目までの最大が1～m枚目にある)
=m/k
だから
pm:=
p(プレーヤー勝ち)
=1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k
よって
p(m+1)-pm
= 1/n(Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k -1)。
∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1
ここで
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k
=∫[m+1,n] 1/[x] dx
> ∫[m+1,n] 1/[x] dx
=log n/(m+1)、
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k
=∫[m+1,n] 1/[x] dx
<∫[m+1,n] 1/(x-1) dx
=log (n-1)/m
とlog(n-1)/m < log n/mによりpmが最大となるのはm=[n/e]のとき。

388:イナ
20/02/15 15:56:25.82 UO46pwdD.net
前 >>369
>>370
まずm/nの確率でm枚目までに最大が出てるから絶対に負ける。
勝つ確率の最大値は1-m/n
問題はm+1枚目からn枚目までのm-n枚を引く途中で今まで見た最大を見てしまい、残りの枚数で最大が出る可能性を残したままゲームを終わらせてしまうこと。
m+k枚目で今まで見た最大が出たとすると、
(m+k)/n
まだ勝つかわからない。
勝つ確率k/(n-m)
(n-m-k)/(n-m)は負ける。
トータルで負ける確率は、
m/n+(n-m-k)/(n-m)
{m(n-m)+n(n-m-k)}/n(n-m)
=(n^2-m^2-nk)/n(n-m)
トータルで勝つ確率は、
k/n
これらが足して1だから、
(n^2-m^2-nk)/n(n-m)+k/n=1
n^2-m^2-nk+k(n-m)=n(n-m)-m^2-mk=-mn
k=n-m
∴勝つ確率=(n-m)/n
=1-m/n
だからこれは最大値だって。
(n-m)/nより小さい。
今まで見た最大値ならそこで見切るって言ってんだから勝つ確率は1-m/nより確実に小さい。
(n-m)/nを掛ければいいのか？
勘で(1-m/n)^2

389:イナ
20/02/15 19:22:55.66 UO46pwdD.net
前 >>380
>>370
勝つ確率は1-m/nでnがじゅうぶん大きいとき1に近づく、つまり限りなく100％勝つ。

390:１３２人目の素数さん
20/02/15 21:28:32.82 Xfawjoh3.net
p(プレーヤー勝ち)=1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k
�

391:ﾁて狽Oしたきれいな式にはならないのか。

392:１３２人目の素数さん
20/02/15 21:59:36.07 cY6cTvWp.net
自然数の逆数和ならディガンマ関数による表示法があるぞ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)

393:イナ
20/02/15 22:03:44.86 UO46pwdD.net
前 >>381
>>379たとえば親が同じスートのA,2～Q,Kのカードを1枚ずつ持ってたら、
13/e=4.……だから、
5枚目以降に最大値が出るやいなや勝負に出たほうが勝つ確率が高いってこと？

394:１３２人目の素数さん
20/02/15 22:31:34 h/D6xsZJ.net
>>384
この問題の設定はあくまで子が親の数を選ぶ分布について知りようがないという設定。
もちろん親が1～13の整数しか選ばないという情報があるならKが出てストップかけないのはバカ。
しかしその手の情報はなく、単に出た数の大小しか情報がないという設定。
そして親の数の選び方の分布が問題に与えられてないので本来解答不可能。
例えば親が常に単調増加になるように数を選ぶのなら子が勝てるのはm=n-1だけだし、常に単調減少に選ぶならm=0しか子は勝てない。
しかしそんな事は多分数学科卒でないとわからないだろうから、その辺はエスパーしないといけない。
>>379の解答は親の数の選び方の分布がn!通りある大小の分布が同様に確からしいという仮定を追加した場合の解答。
例えば親のn枚のカードの数をiidで選んだ場合などでは通用する。

395:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/15 22:33:20 UO46pwdD.net
前>>384いや、それは変だぜ。ジャックやクイーンが5枚目に出て、まだキングが出てないのに飛びついたら負けじゃないか。
mを1にしてnを最大にしてなるべく長く待つスタンスをとるにしても、肝心のキングが来なきゃ意味がない。

396:１３２人目の素数さん
20/02/15 23:12:42.69 zzpS6PjC.net
>>379
正解！素晴らしい！
>>378
>>380-381
残念ながら不正解！
>>385
ランダム性を持たせるため「よく切って重ねて伏せる」という文を入れておいた
これによりn!通りある順位のパターンは同様に確からしいと言えると思う

397:１３２人目の素数さん
20/02/15 23:35:24.23 Xfawjoh3.net
>>383
狽謔闌ｩた目が複雑そう

398:イナ
20/02/15 23:48:38.54 UO46pwdD.net
前 >>386
>>379はlog{(n-1)/m}かlog{n/(m+1)}かどっちが答えなの？

399:１３２人目の素数さん
20/02/15 23:55:44.95 cY6cTvWp.net
>>388
ガンマ関数の微分をって閉じた形で書ける利点があるにしろ、確かにそう捉えるのも自然だけれども
指数関数や多項式、あとそれらの積みたいに、部分和が閉じた形で書ける関数って案外少ないからなあ

400:１３２人目の素数さん
20/02/16 00:23:17.40 M7sc9CPo.net
>>388
いや、見た目は簡単で
p(プレーヤー勝ち)=(m/n)(ψ(n)-ψ(m))
この極限はディガンマ関数の漸近公式ψ(n)=log(n)+O(1/n)より
=(m/n)(log(n/m)+O(1/n)+O(1/m))
=-xlog(x)+O(1/n), x=m/n

401:１３２人目の素数さん
20/02/16 03:06:22.72 i66c5anA.net
>>279です。
残念ながら計算間違いがあった。
Σ[1/m+‥1/(n-1)>1を満たす最大のmまではあってるけどこの方程式解き損なってる。
mのよりよい近似値として
m=[(n-1/2)/e+1/2]
は出せるけど、>>279よりはマシなだけでこれでもずれる。
(計算機使ってみると100項中1こずれてた)
>>370は完全に正確に答え解こうとすれば既出のディガンマ関数とかその逆関数とか使わ

402:ないと無理かもしれない。

403:哀れな素人
20/02/16 16:46:27.64 mvTUUaXe.net
>>292の問題について考えていて思い付いた問題をひとつ。
中心をＯとする半径１の円があり、半径上に任意の点Ａがある。
ＯＡの延長上にＯＡ・ＯＢ＝１となる点Ｂを作図せよ。

404:哀れな素人
20/02/16 16:50:34.08 mvTUUaXe.net
ついでだから、もう一問。
↓この問題には別解がある。それを示せ。
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
但し、コメント欄にある別解は禁止。
コメント欄の別解とは違う別解を挙げよ。

405:１３２人目の素数さん
20/02/16 17:33:40 dzgTO0Y1.net
>>393
そう言うのを円による反転という。
初等幾何のイロハのイ。

406:哀れな素人
20/02/16 23:22:28 mvTUUaXe.net
反転。初耳なので少し調べたが、>>393の問題とは関係ない（笑

ま、ここの連中は初等幾何の問題などバカにして答えないだろうと思っていた（笑

407:１３２人目の素数さん
20/02/16 23:24:45 KKT7Tfzq.net
調べてわからないのか。
馬鹿だなぁ。

408:１３２人目の素数さん
20/02/16 23:26:34 uZMfv53j.net
半直線に垂直に線引いて交点での接線を引き、半直線との交点をとるだけだろ

409:１３２人目の素数さん
20/02/17 00:35:40.51 ZSzGQZkQ.net
あと連続関数絡みで、前スレだったかで置き去りにされてた問題（を改編したもの）も出題しておこうかな
以前のものと同様、未解決ですが
次を満たす関数 f:R^2→{1,2,…,n} が存在するような正の整数nのうち、最小のものを求めよ：
連続関数 p:[0,1]→R^2 について、もしpとfの合成が定関数ならばpも定関数である。

410:１３２人目の素数さん
20/02/17 00:44:07.68 uYhhJbB7.net
>>396
>393そのものじゃん

411:１３２人目の素数さん
20/02/17 01:00:57.74 7wYuJpOT.net
反転でトレミーの定理証明　
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

412:１３２人目の素数さん
20/02/17 01:04:28.82 IBQ0KY2w.net
>>396
長さaの線分の逆数1/aを作図せよという問題なら
検索キーワードは"作図逆数"で解答がたくさん出てくる
四則演算と平方根は作図可能というのが作図の基礎知識

413:１３２人目の素数さん
20/02/17 02:03:49 kdGYKNgW.net
>>399
a:(0,1)×(0,1)→(0,1)を二進表示を交互に編み込む連続関数とする。
さらにb(x,y)=((atan(x)+2)/4,(atan(y)+2)/4)とする。
g:(0,1)→{1,2}をQ∩(0,1)の特性関数とする。
f=gabと定める。
p:(0,1)→R^2が定数でない連続関数とするとabpも定数でない連続関数である。
この時任意の相異なる有理数の間には無理数が存在する事と相異なる無理数の間には有理数が存在する事からgabpは定数でない。
よってfpも定数でない。
よって求める最小値は2。

414:１３２人目の素数さん
20/02/17 02:42:01 /HnwZz/g.net
あ、しまった。
aは連続じゃないや。>>403は撤回します。

415:哀れな素人
20/02/17 09:41:46.56 XLoZlq8v.net
>>393の問題は、円による反転とか、そんな難しい問題ではない（笑
単に方べきの定理の応用問題である（笑
それに初等幾何のイロハのイというが、
反転なんて小中高でも習ったことはない（笑
それを「初等幾何のイロハのイ」と書いているところに、
お前らの虚栄心が現れている（笑
もちろん >>402のように考えて解いてもいいが、もっと簡単な方法がある。
ＯからＯＡに垂直な直径を引き、円との交点をＰ、Ｑとし、
ＰＡの延長と円との交点をＲとし、
ＱＲの延長とＯＡの延長との交点をＢとすると、Ｂが求める点である。

416:１３２人目の素数さん
20/02/17 10:18:39.50 /HnwZz/g.net
虚栄心しかないやつが何言ってんの？
こんなもん理系の人間で知らん人間いない常識問題だっていってんだよ？
検索したらアホほどでてくるやろが？
こんな常識問題でも知らないで出すのはしょうがない。
調べてみて頻出、常識問題だとわからないのがアホだと言ってる。
人の書いた文章理解する能力ないんかね？
そもそも一番最初にでてる >>294の証明にもでてくるやろ？
読んでないの？
読んでもわからないの？

417:１３２人目の素数さん
20/02/17 10:59:33.92 /HnwZz/g.net
>>399
未解決ですがというのは出題者も答え持ってないという意味？

418:１３２人目の素数さん
20/02/17 11:03:00.25 LXWKraH0.net
別に初歩的な問題を初歩的と知らないで出題するのはいいけどね
それを指摘されて訳のわからないキレ方をするのはみっともない

419:哀れな素人
20/02/17 12:32:25.00 XLoZlq8v.net
訳のわからないキレ方をしているのはお前らの方だ（笑
僕は虚栄心のために0.99999……≠１と説いているのではないし、
検索して >>405のような答えが出て来るとも思えないし、
>>294は初等幾何的証明ではないのである。
>>394の問題にしても、お前らは、答えが分っていても、書かないだろう、
と僕は最初から思っていた（笑
なぜなら、>>393-394のような問題はお前らのプライドを傷つけるからだ。
というわけで、お前らは、僕のことは無視して、数学の腕比べに励めばよい。
しかし、お前らがどんなに優秀であろうと、0.99999……＝１だと言った途端に、
世間の聡明な人々からは、お前らは笑われる（笑
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
ここでも作者は５＝4.99999……という間違いを平気で犯しているが、
お前らはこの作者と同レベルなのである。

420:１３２人目の素数さん
20/02/17 12:44:25.85 ZSzGQZkQ.net
>>407
紛らわしくて申し訳ない、そういう意味です
既に誰かが答えを与えていないかどうかまでは調べられてないです

421:１３２人目の素数さん
20/02/17 13:58:19 /HnwZz/g.net
>>409
もういいからここには書くなよ。
自分の学力がこのスレではハナクソレベルなのがなんでわからんのかねぇ？
灘中の入試レベルでまだ四苦八苦してるレベルで。

422:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/17 14:13:44 K1rLSA1v.net
/＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（e^) )/＿/（o^) )_
/_（υ＿)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ちょ～しっぱずれの～♪
よし晴れてきた、洗濯もん乾くぞ！前>>389とかいのろじうらでぇ～♪ 勝つ確率にlogはねえよ。のんだくれたかえりに～♪ 確率にlog出てきたんじゃ訳わかんねえよなぁ。しこたまはいたぁ～♪ 髭剃るか。

423:イナ
20/02/17 15:33:55.02 K1rLSA1v.net
∥人人確率がlogって
（_(＿)どういう
（(-.-)意味なんだ？
（っγ)ﾞ
（⌒⌒)
~~~~~~~~~~~~~~~
log{n/(m+1)}が答えなのか？

424:哀れな素人
20/02/17 17:21:52.58 XLoZlq8v.net
>>411
では >>292の問題の初等幾何的な証明を書いてくれ（笑
どうせ書かないだろうが（笑
何で初歩的な問題を投稿するだけで、
こんなに叩かれ嘲笑されなければならないのか（呆
荒らしをしているわけではないのに、荒らし扱いだ（呆

425:１３２人目の素数さん
20/02/17 17:36:26.09 Nzms6mON.net
>>414
だから馬鹿だっていってるんだよ。
なんで初等幾何的証明だれも書かないかわかってないだろ？
書きたくても問題文の条件だけじゃ配置が不定なのでめちゃめちゃ書きにくいんだよ。
既に >>294で証明上がってる方針を初等的に焼き直すとき∠BPD=∠BOQを示すのが気もになる。
方針として >>294のCをとってBPとCQの交点をEとしてBEOQが同一円周上にある事を利用する手があるけど、そのときBPEの位置配置とBECQの円周上の配置によって∠BPD、∠BEQ、∠BOQの位置関係が微妙に変わる。
この三�

426:pがすべて等しい時もあれば捕角を取らないといけないときも出てくる。おそらく原題では図が与えられてて位置配置が細かく決定してるんだろう。あなたその中の勝手な一個の位置配置決め打ちして証明してるけどそんなの証明として通用しないんだよ。しかもそんな事しなくても複素座標とれば全部のケースひっくるめて一撃で証明できるのになんでそんな意味ない事するの？そもそもOA・OB=1という条件見た瞬間に反転幾何学≒複素座標使ってみようと思う発想が出てこない時点であんた失格なんだよ。もんいいからでてけよ。あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。スレ汚し。

427:哀れな素人
20/02/17 19:59:01.87 XLoZlq8v.net
>>415
>あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。
そんなこと最初から分かっている(笑
しかしこのスレはスレタイからして難問を出すスレではないから、
初等幾何の問題を出してもいいはずなのだ。
だからスレ汚しなどと叩かれる筋合いはない。
それに >>292の問題は灘高校の入試問題だというから、
複素数など使って証明する問題ではなく、
初等幾何で解けるはずの問題なのである。
これ以上書くと荒らしだと思われるかもしれないから、ここで止める。
お前らも僕に対する嘲笑とか攻撃はここで止めるように。
もちろんやりたければどんどんやればいい(笑

428:イナ
20/02/17 21:02:48.22 K1rLSA1v.net
∥人人∥前 >>413
（_(＿)>>292も >>370も
（(-.-)納得∩∩でき
（っγ)ﾞる(^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒)答えυυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ではないなぁ。>>292は相似。相似比も相似条件もまだわからん。>>370は確率。すべての場合分のその場合の数。すべての場合がいくつでその場合がいくつなのかまだわからん。

429:１３２人目の素数さん
20/02/17 21:52:33 Nzms6mON.net
>>416
こいつここまで丁寧に説明してまだ何言われてるのかわからんのか。
どこまでアホなん？

430:１３２人目の素数さん
20/02/17 21:55:41.85 CdzYXHaY.net
住処に帰るって言うのなら帰せばいいじゃないか

431:１３２人目の素数さん
20/02/17 22:05:28.36 Us7azE/m.net
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)なるn以下の非負整数の組(a,b,c,d,e,f)はいくつあるか。
分かスレの問題
全然わからん

432:１３２人目の素数さん
20/02/17 22:17:31.33 Nzms6mON.net
>>420
それは多分解答もなんも作ってない奴が適当に文字並べただけの問題だと思う。
あのスレはわからん問題なら何書いてもいいという独特なロジックでその手の問題がよく上がってるから注意しないと。

433:１３２人目の素数さん
20/02/17 22:28:49.03 BDpnwWQY.net
>>421
やっぱそうだよね
一応頑張って解こうとしたけど約数の個数とかその辺を一般化しなきゃいけないっていう壁にぶち当たった
プログラム組んでOEISにぶち込んでも何も出てこないし無理ゲー

434:イナ
20/02/17 22:44:22.78 K1rLSA1v.net
>>420前 >>418
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)
4･3=6･2
a=6,e=2,b=4,f=1,c=8,d=3
n=8のとき、6･2=4･3もありうるから、
a=8,e=2,b=3,f=1,c=6,d=4
a=8,e=1,b=4,f=2,c=3,d=6のとき8･1=2･4で成り立つ。
もう一つあれば、
n以下の数で√n通りあるとか大胆な予想が立つけど。

435:１３２人目の素数さん
20/02/17 23:26:01.19 xxqdZaWU.net
>>422
え？そんな手があるの？あのOEISって検索できるん？

436:１３２人目の素数さん
20/02/17 23:37:29.11 uMEGbIOm.net
この数列の法則性は？
なんて聞かれたときは検索機能が重宝する

437:１３２人目の素数さん
20/02/17 23:51:49.70 7cIb3gS8.net
いいこと聞いた

438:１３２人目の素数さん
20/02/18 00:33:40 CSeACSeT.net
>>399
これってn＝2の場合でも難しい感じ？

439:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:08:39.46 5azt0L51.net
>>427
いや、nが大きいほど簡単でしょ？
n=3のときのfはすぐできる。
n=2のときにfが作れるのか？が問題。
最小値は3 or 2。

440:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:18:51.36 ZlcMzP2c.net
R^2の点をpathconnected componentが1点になるようないくつの部分集合に分けられるかか
R^1なら有理数と無理数でイイから
A={(x,y) | x, y∈Q} B=R^2-A
でよくない？
アーダメかy=eがB内だわ
4つに分けて
A=Q^2 B=Q×I C=I×Q D=I×I（I=R-Q）
ならいいでしょ
p1,p2:R^2→R
につなげたらいいから
しかしn=2,3でダメということはどう言えば良いのか？

441:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:19:22.97 ZlcMzP2c.net
>>428
>n=3のときのfはすぐできる
どう作る？

442:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:25:15.55 Ft3883nd.net
某大学入試過去問改
東西に10本、南北に3n+1本の道路が碁盤の目状に走った町がある。
この町の道路は最南端にある東西に走る道路を南から順に東西0号線から東西9号線、南北に走る道路を西から順に南北0号線から南北3n号線と呼ぶ。
3の倍数3kに対し南北3k号線、東西0、3、6、9号線は大通り、その他は生活道路と呼ばれる。
各交差点には以下のような規則が定められている。
・生活道路と大通りの交差点においては、生活道路から進入する場合には左折して大通りに合流する事のみしか出来ず直進、右折はできない。大通りから進入する場合には左折して生活道路にはいるか、そのまま直進する事はできるが右折は禁止である。
・大通り、生活道路どうしの交差点では右左折、直進すべて可能である。
この町の南西端をX、北東端をYとするときのXからYへ規則に従う最短経路の数を求めよ。
原題はn=7の場合です。

次ページ