面白い問題おしえて～な 31問目

面白い問題おしえて～な 31問目 at MATH

[前50を表示]
200:１３２人目の素数さん
20/02/07 03:19:17 9IJwzjmO.net
>>179
でけたかも。
まず(0,0)以外で漸化式
4e(i,j)=e(i+1,j) + e(i-1,j) + e(i,j+1) + e(i,j-1)
を満たす列を探す。
e(i,j)=∫[|x|,|y|<π] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
がこの条件を満たす。
また|i|,|j|→∞で0に行く。
そこで点i,jに電荷はe[i,j]-e[2-i,1-j]となる。(多分解は一意、ノーチェック)
e[0,0]=0, e[2,1]=32π-4π^2
であるから電位差は64π-8π^2。
e[1,0]=4π^2だから原点から隣接する4点に計16π^2の電流が流れる。
よって求める抵抗値は(32π-4π^2)/16π^2=4/π-1/2である。
またe[i,i]が
e[i,i]=∫(1-cosix))/(1-cos(x)cos(y))dxdy
であるが、yについて先に積分すると
e[i,i]=π∫(1-cosix))/|sin(x)|dx
となり、この値はπの有理数倍になる。
コレと漸化式によりe[i,j]はπとπ^2の有理係数の線形結合である。□
e[i,i]の計算が全く思いつかなかった。
e[i,j]の母関数って作れるのかな？

201:１３２人目の素数さん
20/02/07 08:18:59 YN6u30Ej.net
>>194
レスありがとうございます。

距離と新旧運賃と差額のグラフのアップロードを忘れておりました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
与えられたデータだけからは平均値上げ率は算出できない思っていたのが確認できました。
ある距離までの乗客数が同じと仮定したときの平均の値上げ率をグラフにすると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

> which.min((crs-0.0888)^2)
[1] 6869
> pir(6869)
[1] 0.08882413

6．9キロくらいの平均で8.9％の値上げ率になりました。

計算したひとはこういう数字を使ったのでしょう。

202:イナ
20/02/07 08:40:02.32 VtLCtPNo.net
前 >>187
>>193
角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。θで微分するか、θとxの両方で微分するかってとこですか。

203:１３２人目の素数さん
20/02/07 10:21:34.08 YN6u30Ej.net
>>197
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Oから出発してAを経て角度θで入水してS(p,q)に泳ぐとする
AJの長さをxとすると
tan(θ)=(10-p)/(q-x)だから
x=q-(10-p)/tan(θ)
となり、
所要時間の計算からxは消去できて
　10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
となる。
この極値を与えるθはp,qによらないのは>193に書いた通り。

204:１３２人目の素数さん
20/02/07 15:11:11.89 YN6u30Ej.net
>>197
>角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。
違う、角度を決めたら走る距離も泳ぐ距離も決まる

205:１３２人目の素数さん
20/02/07 15:12:19.07 YN6u30Ej.net
走る距離　10+((p-10)/tan(θ)+q)
泳ぐ距離　sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)

206:１３２人目の素数さん
20/02/07 20:35:27.63 CyUpE86n.net
>>179の解の一意性の証明ができないなぁ。
昔これエレガントな解答を求むかなんかで
4a[ij]=a[i+1j]+a[i-1j]+a[ij+1]+a[ij-1]
をみたす有界な列は定数に限る事を示せ
の形で出題されて2chにえらいエレガントな解答が上がって数セミに載ったっていう事件があったけど、あれどんな証明でしたっけ？
誰か覚えてます？

207:１３２人目の素数さん
20/02/07 20:48:28.93 oSzq3jEL.net
>>195
正解です。よく特殊解を探せましたね。
その特殊解を(i',j')個すらして符号を変えて重ね合わせて正規化すれば、
2点(i',j')--(0,0)間に1Aの電流を流した時の電位の式が出ます。
想定していた解答は、2点(2,1)--(0,0)間に1Aの電流を流した時の電位の式
e[i+1,j]+e[i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]-4e[i,j]=δi0δj0-δi2δj1
にexp(√-1 (ix+jy))をかけてi,jで和を取ると
(exp(-√-1 x)+exp(√-1 x)+exp(-√-1 y)+exp(√-1 y)-4)E(x,y)=1-exp(√-1 (2x+y))
(ここで E(x,y)=Σ[i,j:整数] e[i,j] exp(√-1 (ix+jy)) と置く)
より
E(x,y)=(1-exp(√-1 (2x+y)))/(2cosx+2cosy-4)
これをフーリエ級数の公式(留数定理)
e[i,j]=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π]E(x,y)exp(-√-1 (ix+jy))dxdy
を用いて逆変換すると、(2,1)--(0,0) 間の電位は
e[2,1]-e[0,0]=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π](exp(-√-1 (2x+y))-1)(1-exp(√-1 (2x+y)))/(2cosx+2cosy-4) dxdy
=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(2x+y))/(2-cosx-cosy) dxdy
=4/π-1/2
一般に(0,0)--(i,j)間の抵抗値は
(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(ix+jy))/(2-cosx-cosy) dxdy
=(1/(8π^2))∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(i(x+y)+j(x-y)))/(1-cosxcosy) dxdy
=(1/(8π^2))∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos((i+j)x)cos((i-j)y))/(1-cosxcosy) dxdy
=(1/(2π))∫[0,π] (1-cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|)/|sinx| dx
(0,0)--(i,i)間の抵抗値は
(1/(2π))∫[0,π] (1-cos((i+j)x))/|sinx| dx
=(2/π)(1+1/3+1/5+1/7+...+1/(|2i|-1))

208:１３２人目の素数さん
20/02/07 21:19:32.21 CyUpE86n.net
>>200
その解は
f(x,y)=Σe[kl]exp(ikx+ily)
が収束すると仮定して(仕事率の有限性から二乗は収束する)みたすべき関数方程式で見つけました。
見つかっちゃえば解答はコレが解だでいいハズなんですが、級数の収束性とかが自明でないのでコレのみが解なのか示せてなくて気持ち悪い。
まぁ入社試験ではそこまで求められないんだろけど。
>>201のエレガントな解答求むのやつは確か与式が等号でなくて不等号だったかな？
しかしそこから等号の有界な非自明解の存在が必要性で出てきて矛盾を導くという流れだったような。
検索しても出てこないなぁ？

209:１３２人目の素数さん
20/02/08 00:08:01.33 aj0WebTe.net
>>202
補足
特殊解(原点に8π^2の電流を注入した解)
∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos((i+j)x)cos((i-j)y))/(1-cosxcosy) dxdy
=4π∫[0,π] (1-cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|)/|sinx| dx
は|i|=|j|で 4πΣ[n=1,|i|] 1/(2n-1) になって |i|=|j|→∞で発散します。
一方、2点間(0,0)--(2,1)で符号を変えて重ね合わせた解((0,0)--(2,1)間に8π^2の電流を流した解)
∫[0,2π]∫[0,2π](cos((i+j)x)cos((i-j)y)-cos((i+j-3)x)cos((i-j-1)y))/(1-cosxcosy)dxdy
=4π∫[0,π](cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|-cos((i+j-3)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j-1|)/|sinx|dx
はリーマン・ルベーグの補題より|i|,|j|→∞で0に収束します。
ちなみに、3次元の無限格子ではこのような発散は起こりません。

210:１３２人目の素数さん
20/02/08 07:44:31.25 MW5Whxwa.net
隔離中のクルーズ船では
船内の換気が共通らしいから13日後に発症した奴がいるとその近くの部屋のやつはプラスで14日隔離しないといけない
それが今の船内の状況という。
こんな問題を考えてみた（答は自分でもまだ持ってません）。
計算には追加の設定がいるかもしれません。
両隣のどちらかが感染したら14日延長、どの部屋も1日で感染する確率pは1%
部屋の配置は長方形（つまり始まりも終わりもなし）。
発症するか、隔離期間が終われば下船できる。全員定員１の個室として客と乗務員を合わせた人数nは3000人。
クルーズ船から全員下船できる日数の期待値は？

211:１３２人目の素数さん
20/02/08 08:08:03 MW5Whxwa.net
>>190
正解が出てから誤答を連投する芸人をどう納得させるかというゲームだと思って俺は楽しんでる。

212:１３２人目の素数さん
20/02/08 08:11:36 MW5Whxwa.net
部屋の配置は長方形（つまり始まりも終わりもなし）。
どの部屋にも両隣があると言う意味。
長方形に意味なし、円形配置でも同じ。

213:１３２人目の素数さん
20/02/08 11:46:54 MU+ZFKMw.net
もし 4a[i,j] = a[i,j+1]+a[i,j-1]+a[i+1,j]+a[i-1,j] =: 4(Δa)[i,j] が全ての(i,j)で成り立つ状況なら、
閉領域[-n,n]^2に属する格子点(i,j)全体におけるa[i,j]の最大値、最小値は、
どちらも辺∂([-n,n]^2)上でとらなければならないから、一意性はこれが鍵になったりするのかなあ

状況的にはリウヴィルの定理に似てるから、その証明と同じ手法が使えたりはしないだろうか

214:１３２人目の素数さん
20/02/08 13:31:28.34 dmI15PZj.net
ある1点のみで微分可能であり、他の至る所で微分可能でないような関数の例を挙げよ。

215:１３２人目の素数さん
20/02/08 13:49:21.83 kYb/Jpp8.net
f(x)=x^2 (x: rational)
. =0 (otherwise)

216:イナ
20/02/08 17:08:45.78 JlYEzXuq.net
前 >>197
θで微分するのとθとxの両方で微分するのとどっちが妥当か考えてみたい。

217:１３２人目の素数さん
20/02/08 17:15:30.17 +JttXwIS.net
>>205
とても解析的には解けそうもないのでシミュレーションで計算してみた。
１０万回のシミュレーションで平均値
> mean(RE)
[1] 57.942
と計算された。

218:１３２人目の素数さん
20/02/08 17:37:24.71 +JttXwIS.net
>>205
１日で新たに3人ということなので感染確立を0.1％にしてシミュレーションしたら。
> k=1e4
> RE=replicate(k,sim())
> mean(RE)
[1] 30.8222
全員が下船できるのは１か月後という予想になった。

219:１３２人目の素数さん
20/02/08 19:56:19 kYb/Jpp8.net
>>208
それだな。
格子点の集合Sn={(k,l) | |k|+|l|≦n}を考えるとき任意のx∈Snに対して∂Sn上の関数w(y)でw(y)∈[0,1]Σw(y)=1、e(x)=Σw(y)e(y)を満たすものが存在する。
特にmax{|e(x)| ; x∈Sn}= max{|e(y)| ; y∈∂Sn}。
証明はnについての帰納法。

220:１３２人目の素数さん
20/02/08 22:42:10.34 +JttXwIS.net
>>205
シミュレーションで全員下船までの日数と1日の感染確率の関係をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｐを大きくするとシミュレーションが終わらない。
p=0.9999とかすると1日で全員下船と瞬時に終わるけど。

221:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/09 05:26:49 glwDVnx4.net
前>>211

222:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/09 05:35:52 glwDVnx4.net
前>>211
初めの座標のとり方から、文字の置き方まで人の数だけ異なる解法があっていいと思う。
4sin^4θ+4sin^3θ+5sin^2θ-4=0
シュクメルリの定理によりθ＜60°みたいな決定的な式をみつけたい。

223:１３２人目の素数さん
20/02/09 07:24:54.89 Unvdz8cL.net
ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
このとき、最後の児童が自分の座席に座れる確率は、クラスの児童数にかかわらず一定であることを証明せよ。

224:１３２人目の素数さん
20/02/09 08:42:25.56 +DmUozks.net
>>218
シミュレーションしてみたら、0.5前後の値が返ってきた。
seat.n <- function(n){ # n: 生徒の人数
s=1:n # 残り座席番号
s1=sample(s,1) # 最初の生徒１の座る席番号s1
s=s[-s1] # s1を残り座席から除く
for(i in 2:(n-1)){ # 生徒２から生徒n-1まで
if(i %in% s){ # 生徒iの座席iが残っていれば
s=s[-which(s==i)] # その座席をsから除く
}else{
ls=length(s) # 残り座席数 length of s
si=sample(ls,1) # 1:lsの中から1個選びsiとする
s=s[-si] # si番目の座席を除く
}
}
s==n # 生徒ｎの席番号はｎかの真偽を返す
}
sim <- function(n,k=1e4){
mean(replicate(k,seat.n(n)))
}

225:１３２人目の素数さん
20/02/09 08:58:40.02 +DmUozks.net
nを３から５０までに変化させて最後の児童が自分の座席に座れる頻度をだしてグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

226:１３２人目の素数さん
20/02/09 09:01:00.76 +DmUozks.net
>>217
>人の数だけ異なる解法があっていい
そして、正しければ答が一致する。

227:１３２人目の素数さん
20/02/09 09:18:05.66 a34FdUHe.net
>>218
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が正しい席にすわる)=1
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の最後の生徒の席にすわる)=0
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初と最後の生徒の席以外の席にすわる)=1/2 (∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
∴ p(最後の生徒が正しい席にすわる)=1/2。

228:１３２人目の素数さん
20/02/09 12:15:25 +DmUozks.net
数学的帰納法を使うんじゃないのか？

229:１３２人目の素数さん
20/02/09 13:25:33.82 BHX2wTJj.net
>>179の問題は自分的には納得できたのだけど >>201で書いたエレガントな証明が思い出せなくてムカつく。
ネットで検索すると、やはりあるのはあるはず
この↓インターネット上の匿名氏の証明。
誰か知りませんか？
URLﾘﾝｸ(www.cc.miyazaki-u.ac.jp)
というのが有名な雨宮問題であり、長年初等的証明は懸案であった。もともとは一松信による英語本の問題であったが、雨宮が初等的解法の存在を数セミの「エレガントな解法を求む」に出題したのである。最近では
０．もともとの英語本の著者による位相空間の端点理論を使う証明
１．名古屋大学の山田氏による証明
２．インターネット上の匿名氏の証明
３．（有界な場合のみ通用する）関数解析的証明
が存在することが知られている。

230:イナ
20/02/09 13:42:01.97 glwDVnx4.net
前 >>217
xを+にとったのはいい。
もう一度考えてみる。

231:１３２人目の素数さん
20/02/09 14:24:06 drHYoHKW.net
>>224
このリンク先に意味があるのかね？

232:イナ
20/02/09 15:46:18.09 glwDVnx4.net
51.56095029371006087°
前 >>225
うまく決まらないな。

233:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:31:29.03 31X3KU8h.net
>>218
m人が残っていているとき、このうち何人分の正しい席が残っているかと考えると、
m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
なぜそのようなことが言えるか？
m人、残っている状態で、ある人物Ｘがいて、自分の席に座ろうと、自分の席があるであろう場所に向かい、
他の生徒が座っているのを見たとする。問題では、全ての生徒が気弱設定なのかもしれないが、この人物Ｘは
たまたま強気で、「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」と追い出したとする。
この追い出された人物は、『自分だって本当の席に座りたかったんだ』と心の中で反論し、本当の自分の席に
向かい、さっき自分が言われたのと同じ台詞「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」を言って、
憂さを晴らした。これが繰り返されるとどうなるか？
最初にバスに乗り、適当に座った人物、以後これをＡと称すが、Ａだけが追い出される。
この追い出し作業の間、空席には、全く変化は無いし、Ａ以外、全て正しい席に座っている。
困ったＡは、残った席の中から、適当な席を見つけて座ったとする。
さて、ここで、Ａが座った席。これを、文頭で登場した人物Ｘを、問題通り気弱設定にして、
自分の席が他の人物に占拠されていて仕方なく適当に選んだ席に置き換えてみよう。
何が違うか？何も変わらない。
問題では、バスに最初に乗り込んだ人物が、自分の席が書かれた番号札を無くしたことになっているが、
残り、m人が残っている状態で乗り込んだ人物が、番号札を無くしていたのと同じ。
最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。

234:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:35:02.88 31X3KU8h.net
あ、間違った。
×：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
×：かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。
○：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
○：かつ、残りの席から、正しい席を選んだ確率に等しいとして計算できる。つまり、１／２である。

235:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:52:28 pAXGuv7W.net
>>223
>>222 の解答を丁寧に書くと
人数がn人のときの最後の人が自分の席に座る確率をp[n]として帰納法を用いる
n=2のとき明らかにp[2]=1/2
n>2のときp[n-1]=...=p[2]=1/2と仮定すると
1人目が自分の席に座る確率 = 1人目が最後の人の席に座る確率 = 1/n, 1人目が2からn-1人目の席に座る確率 = (n-2)/n
・1人目が自分の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 1
・1人目が最後の人の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 0
・1人目がk人目(2≦k≦n-1)の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = p[n-k+1] = 1/2
従って
p[n]=(1/n)*1+(1/n)*0+((n-2)/n)*1/2=1/2

236:１３２人目の素数さん
20/02/09 18:41:02.01 zmPDrO9K.net
>>222
>(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
この場合
2人目～最後の置かれた状況は1人目～最後の場合と異なっているけど帰納法使えるってなんで？

237:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:24:31.42 pAXGuv7W.net
>>231
1人目が2人目の席に座った場合、2人目は名簿を持っていないのと同じ状況になるから

238:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:31:11.92 zmPDrO9K.net
>>232
1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合の2人目の人はその可能性がないでしょ？

239:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:32:38.31 zmPDrO9K.net
ああそうか1人目の席に座る可能性があると言うことか
わかった

240:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:38:31.86 pAXGuv7W.net
>1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合は最後の席まで問題なく正しく決まり、条件付き確率は1になる(だから解答は３つの場合分けをしてある)

241:イナ
20/02/09 19:50:10.02 glwDVnx4.net
前 >>227計算に自信ない。極値与えるθに理由ない。
救出時間f(θ)=5+{x-(10-x)cosθ/sinθ}(1/2)+(10-x)/sinθ
=5+x/2-(5-x/2)cosθ/sinθ+10/sinθ-x/sinθ
=5+x/2-5cosθ/sinθ+xcosθ/2sinθ+(10-x)/sinθ
f'(θ)={5sin^2θ-(-5cos^2θ}/sin^2θ+(-xsinθ2sinθ-xcosθ2cosθ)/4sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
=5/sin^2θ-1/sin^2θ+10cosθ/sin^2θ-xcosθ/sin^2θ
=4/sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
f'(θ)の分子=0より、
2+5cosθ-xcosθ=0
xcosθ=2+5cosθ
x=2/cosθ+5
などかはしらねθ=60°と仮定すると、
x=2/(1/2)+5=4+5=9
f(60°)=5+{9-(10-9)cos60°/sin60°}(1/2)+(10-9)/sin60°
=5+(9-1/√3)(1/2)+√3/2
=5+9/2-1/2√3+√3/2
=19/2+1/√3
=(57+2√3)/6
=10.0773503……

242:１３２人目の素数さん
20/02/09 20:18:42.13 BHX2wTJj.net
>>236
心配するな。
お察しの通り間違ってる。

243:１３２人目の素数さん
20/02/09 21:08:01.72 .net
>>218もグーグル入社試験？

244:１３２人目の素数さん
20/02/09 21:08:05.73 zmPDrO9K.net
>>235
それも入れて2人目～で同じ状況でないといけないよ
で2人目には1人目の席に座る可能性があって
その場合が1人目が自分の席に座る場合と同様の展開になるってわけ
そのつもりでなかったの？

245:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:07:16.60 SF8a8rkr.net
>>224
多分こんな感じの流れで示すことはできそう
(Δa)[i,j] := (a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1])/4
と定めると、(Δ^(2n))a を展開した時の係数は ( (cosx+cosy)/2 )^(2n) を展開した時の係数と同一視することができ、
特に e^(i(2px+2qy)) の係数 c[p,q] は次を満たす：
c[p,q]=0 when |p|+|q|>n,
c[p,q]=c[p,-q]=c[-p,q],
|p|≧|p'| かつ |q|≧|q'| ならば c[p,q]≦c[p',q'].
これより (Δ^(2n)a)[0,0] - (Δ^(2n)a)[2,0] の各係数の絶対値の和は
=2Σ_(p,q∈Z, p≧0) |c[p,q]-c[p+1,q]|
=2Σ_(q∈Z) c[0,q]
=:S_n→0 (as n→∞)
であるから、配列a[i,j]が Δa=a かつ任意の(i,j)について |a[i,j]|≦M を満たすならば、
|a[0,0]-a[2,0]|≦MS_n (for∀n) より a[0,0]=a[2,0].
同様にして a[i,j]=a[i,j+2]=a[i+2,j] が導けるから、あとは容易。

246:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:19:26.26 BHX2wTJj.net
>>240
いや、残念ながら雨宮の問題で仮定できるのは正値だけ、上の有界性は仮定できないのです。

247:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:30:57.30 SF8a8rkr.net
ちなみにこの結果は、例えば原点以外だけで Δa=a を満たすような有界配列aを求める時にも使える。
この場合、そのようなaの具体例の一つは >>195で挙げられているのでa'とおくことにすると、
もし仮に原点以外だけで Δa=a を満たすような有界配列 a'' が a' とは別に存在するならば、
定数cを適切に定めれば a~:=a''-ca' が全ての格子点で Δa~=a~ を満たす有界配列になるため、a~は定数。
すなわち、a'' は a' と定数の線形結合でなければならない。
同様にして、あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
と表せることがわかる。

248:イナ
20/02/09 22:31:22.31 glwDVnx4.net
前 >>236
>>218
生徒数をxとすると、
1/2じゃないかな。勘で。

249:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:31:49.18 SF8a8rkr.net
>>241 まじか、見落としてたすまない

250:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:39:06.73 zmPDrO9K.net
>>244
>>201

251:１３２人目の素数さん
20/02/09 23:08:17.31 BHX2wTJj.net
>>244
いえいえ、少なくとも有界ケースについては定数解しかないという話は雨宮の問題はともかく >>179の問題には使える。
何故ならオレは物理そんなに詳しくないから自信ないけど流石に系において各点の電位は正電極より低く負電極よりは高いのはほぼ自明と言って良さそう。
むしろ無限遠で電位が0の方がよっぽどあやしい。
だから実は >>179の問題解くにはキルヒホッフの法則とオームの法則以外にその辺の知識もいるっちゃいるんだよな。

252:１３２人目の素数さん
20/02/09 23:26:59.76 pAXGuv7W.net
>>239
より丁寧に説明すると、誰も座ってない状況から
場合1: 1人目が1人目(自分)の席に座る場合 (全員正しい席に座れる)
場合2: 1人目が2人目の席に座る場合 (2人目がランダムに選ばなければならない)
場合3: 1人目が3人目の席に座る場合 (2人目は正しい席に座れて、3人目がランダムに選ばなければならない)
...
場合n-1: 1人目がn-1人目の席に座る場合 (2人目からn-2人目は正しい席に座れて、n-1人目がランダムに選ばなければならない)
場合n: 1人目がn人目(最後の人)の席に座る場合 (n人目は正しい席に座れない)
の場合分けを考えます。この場合の確率はすべて等しく
P(場合1)=P(場合2)=...=P(場合n-1)=P(場合n)=1/n
であり、最後の人が座れる条件付き確率は
P(n人目がn人目の席に座る|場合1)=1
P(n人目がn人目の席に座る|場合2)=p[n-1] (∵2人目がランダムに座る座席は1人目,3人目,...n人目のn-1席⇒n-1人の状況に還元)
P(n人目がn人目の席に座る|場合3)=p[n-2] (∵3人目がランダムに座る座席は1人目,4人目,...n人目のn-2席⇒n-2人の状況に還元)
...
P(n人目がn人目の席に座る|場合n-1)=p[2] (∵n-1人目がランダムに座る座席は1人目,n人目の2席⇒2人の状況に還元)
P(n人目がn人目の席に座る|場合n)=0
となります。そしてp[n]を計算すると
p[n]=P(n人目がn人目の席に座る)

253: =Σ[k=1,n]P(n人目がn人目の席に座る|場合k)P(場合k) =(1/n)+Σ[k=2,n-1]p[n-k+1](1/n) =(1/n)+(n-2)(1/2)(1/n) (∵帰納法の仮定p[n-1]=p[n-2]=...=p[2]=1/2より) =1/2

254:１３２人目の素数さん
20/02/10 00:15:28.72 Cj4YNvxv.net
>>247
1人目がk人目(k>1)の席に座る場合
2人目からk-1人目までは自分の席に座るから
k人目が1人目と同様の状況になるので帰納法の仮定が使える
ただしそこでk人目が1人目と同様の状況とは
k人目が1人目の席に座ればあとは皆自分の席に座ることになるということと
k人目が座るべきだった席には1人目が座っているから今ある席からランダムに席を選ぶしかないということが
1人目が自分の席に座ればあとは皆自分の席に座ることになるということと今ある席の中からランダムに席を選ぶしかないということと同じということ

255:イナ
20/02/10 01:17:58.05 Yw6JNRbB.net
／∥__`∥￣￣∥彡ミ､
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川
（　(`)∥　　∥цc_)
（っ⌒⌒　　｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~　∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼前 >>243偏微分とかいっちょ前に言いたげだけど要は1対2対√3の三角定規当てれば小学校低学年で解けるってことだからな。

256:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:29:53.99 XWhjucY0.net
>>218
帰納法使わなくても簡単に解けると思う。
最後の人の席をL、最初の人の席をFとする。最後の人はLに座れば勝ちとしよう。
最後の人の勝利条件は「LよりFが先に座られる」ことで、敗北条件は「FよりLが先に座られる」こと。
最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける（最初の人や自分の席が座られている人の場合はFもLも等確率で座られるし、自分の席が空いている人の場合FもLも座られる確率は0）。
よって、勝利条件と敗北条件が等価なので答えは1/2。

257:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:42:40.39 XWhjucY0.net
各人の座る席が正しいか正しくないかという考察ほぼほぼ無しで解けるの凄く美しいね

258:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:47:23.31 70pt9AB7.net
>>228
の解答だが
> m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
において、m-1人の正しい席が残っているときしか考慮してないように思うのだが...
m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
このときXは番号札を持っている状態に相当する
もし勘違いだったらすまん

259:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:58:04.66 FWWWRdtj.net
>>218
児童の数をn人とする
円周上にa1からanまでn個の点をとり、
これらをいくつか結んでa1を頂点に含む内接多角形をランダムに作る
（ただし便宜上、１角形と２角形も認める）
その多角形がanを頂点に含まない確率と同じ

260:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:00:30.77 421H1KJr.net
>>250
そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。

261:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:04:19.87 Mlme5M1c.net
>>253
本当にそのふたつの間に保測写像ある？
問題文の方は分母に1～nまでなんでも出てくるけど内接多角形の方は分母に二冪しか来ないけど？

262:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:10:38 FWWWRdtj.net
>>255
単純に多角形の数を数えて
anを含むk角形とanを含まないk-1角形の数が等しいので
全体として半分ずつになるって考えたんだがダメかな

263:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/10 03:14:35 Yw6JNRbB.net
前>>249前にx/√2にしてたx座標をxにして解きなおした。
最初に監視人がいる位置から救出地点(x,x)までの距離はx√2(m)
縁を端まで5秒、直角に曲がり、
{x-(10-x)/√3}(m)の地点まで、
{x-(10-x)/√3}(1/2)秒で行き、進行方向に対して60°の方向に飛びこんで泳ぎ、対角線上を泳いできた監視人と同時にアタックした。
(_(`.)っヾ(゜o゜)ノﾞc(`e'!彡
~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~
救出時間で立式すると、
x√2=5+{x-(10-x)(1/√3)}(1/2)+(10-x)(2/√3)
x√2=5+x/2-10/2√3+x/2√3+20/√3-2x/√3
x(√2-1/2-1+4)=5-10/2√3+20/√3
x=(30+10√3)/(3+2√6-√3)
=7.67326988……
x√2=10.8516423……(秒)
前にこの値出して最速じゃないとなったやつじゃないか。

264:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:33:58.76 b0ggZ9I3.net
>256
さぁ？
例えば6人だとして
325461
とすわる確率は
1/6x1x1/4x1x1/2
でこれは最後の人が自分の席に座れない場合にカウントされる軽率。
このような事象を全部足し合わせて1/2になる事を示せればいいといえばいい。
コレに3→5→6→3と結んで四角形と対応させてもいいけど確率は六角形から何点か好きに選ぶ1/64とはズレる。

265:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:42:27.34 FWWWRdtj.net
>>256
すまん訂正
anを含むk角形ができる場合とanを含まない(n+1-k)角形ができる場合が対応してるんだった

266:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:44:09.98 qRxWZgbb.net
>>256あ、でもこの多角形論法はうまくやると1/2説明できるね。
素晴らしい。

267:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/10 05:26:24 Yw6JNRbB.net
前>>257
>>237
どっかで見覚えがある数値だと思ったら、>>31ですでにあってたんじゃないの？

268:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:00:44 YjGt8s3q.net
>>252
最初の2行は、空席の中にせいぜい一つの席しか、過ちがないということを言いたかった。
「なぜそのようなことが言えるか？」と書き、主題をこの点の説明に当てている。
そして、その説明の延長として、
「自分の番号札を無くしたのが、1番目の人か、（後ろから数えて）m番目の人か、区別できない」
点を指摘し、m=2の時を使えば簡単に確率の計算ができるので、それを使って答えを求めている。

状況を、「m-1人の正しい席が残っている」場合と「m人全ての正しい席が残っている」場合
に分け、それぞれについて、説明を加えたわけではない。

m人が残っている状態で、「m-1人の正しい席が残っている」確率と「m人全ての正しい席が残っている」
確率を求め、数学的帰納法を用いて、答えを求める方法もあるが、>>218では、その手段を用いていない。

>> m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
>> このときXは番号札を持っている状態に相当する
これは、Xが登場するまえのだれかが、自分の席が占拠されているのを見て、適当な席に座った。ただし、
その席がたまたまＡの席であって、それ以降に乗車する人たちへの悪影響がこの時点で断ち切られている状況にあたる。
もちろん、一番最初に乗車したＡ自身が、適当に座った座席がたまたま、本来のＡの席であることも
「含まれ」はするものの、「ＡがＡの席に座る」には完全対応はしない。
繰り返すが、「ＡがＣ、ＣがＧ、ＧがＡ」のように解決した場合であり、これには、「ＡがＡ」も含まれる。

269:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:02:35 YjGt8s3q.net
上の218への引用は、>>228への引用の間違い

270:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:18:46 vVxwssud.net
>>254
> そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
> 例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。
そのルールは
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
には当たらないだろ？

> 確率は1/2でなくなるよ。
になっても何の問題ないだろう

>>250は帰納法の一種なんじゃじゃないかとは思うが

271:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:57:44.91 1+8rzOtr.net
>>264
その抽選論法で本当に正しい確率計算できるのか概略ではなく厳密に書き出したものを示してください。

272:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:28:51.75 vVxwssud.net
>>254の論法が間違っているって言っているだけだよ
というか、この程度の論法(>>250)が正しいかぐらい自分で確認しろよ
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
が真かを確認するだけだろ

273:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:33:13.78 1+8rzOtr.net
>>266
あなたは >>250の言ってる事がわかるんですか？
わたしにはFもLもなんか公平にやるゲームだから1/2って言ってるようにしか見えません。
正直戦略とかゲームとかいう言葉使いたいだけで証明もできてないんじゃないかと疑ってます。

274:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:37:20.07 1+8rzOtr.net
あ、戦略とかは使ってないのか。
勝利とかいってるからゲーム理論を気取ってるのかと思った。

275:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:18:42 70pt9AB7.net
>>262
ありがとう、理解できた。

276:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:45:00 YjGt8s3q.net
>>218
この問題は、次の問題と対応が可能。

カードがｎ枚あり、それぞれに、１からｎまでの数字が書かれている。
これらのカードを袋に入れる。
プレイヤーは、１からｎの中から、勝ち番号と、負け番号を決め、
勝ち番号、または、負け番号が書かれているカードが出るまで、袋の中からカードを選び続ける。

勝ち番号を引いて終了する確率は？　　　→ 　　当然1/2と考えられます。

取り出された数字列を、適当に選ばれて座られてしまった座席番号に対応させます。
（失念か、すでに占拠されていたか、理由は問わない）
先頭の人の本当の座席番号を先に引くか、最後の人の座席番号を先に引くかが、
先頭の人の本当の座席番号を引いて横取り連鎖が途中で終了するか、
最後の人の座席番号を引いて、横取り連鎖に最後の人も引き込むかが決定され、
問題で言うところの、最後の人が正しい席に座れるか、座れないかに対応可能です。

アイデアのほとんどは　>>250さんが指摘されたもので、対応がわかりやすくなるよう少々アレンジしてます。

277:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:50:09 KXMXye1h.net
日本最高学費の底辺私立医大では

１年：進級失敗１０人
２年：進級失敗１６人
３年：進級失敗３４人
４年：進級失敗９人
５年：進級失敗１０人
６年：卒業失敗２６人

一学年約120～130人前後。
同じ学年で二回留年すると退学
ｽﾚﾘﾝｸ(doctor板:1番)
であるという。

1年次学費総額 12,145,000円 2年次以降学費（年間）　7,030,000円

1学年を125人として上記データから算出した確率（例、1年次は10/125

278:の確率で留年）を用いて卒業できる確率と卒業生の在学年数の期待値を求めよ。また、退学になる確率と退学者の在学年数の期待値を求めよ。

279:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:56:54 XWhjucY0.net
>>254
その場合最初の人の着席においてFとLが等確率の抽選を受けていないので当然結果は変わってくると思いますが

280:１３２人目の素数さん
20/02/10 19:42:14 yBFcK3Lr.net
ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
クラスの人数をnとして自分の席に座れる生徒数の期待値をe[n]とするときlim e[n]/log(n)を求めよ。

自作。
できないかも。

281:１３２人目の素数さん
20/02/10 19:46:52.71 yBFcK3Lr.net
>>273
訂正
lim(n-e(n))/log(n)
です。

282:イナ
20/02/11 02:59:50.00 EsKbfXIQ.net
前 >>261
>>271卒業できる確率は、
8(4/23)+12.8(20/99)+(3400/99)(4/13)+(180/13)(5/14)+(125/7)(10/23)+(1300/23)
=83.7751427……(％)
在学年数の期待値は、
6(16/83.7751427……)+7{(83.7751427-16)/83.7751427}
=6.80901256(年)
退学になる確率は、
100-83.7751427……
=16.2248572……(％)
退学者の在学年数の期待値は、
1(10/125)(16/115)+2(10/125)(34/115)+3(/)+4(/)+5(/)+6(/)+7(/)もう少し。

283:１３２人目の素数さん
20/02/11 08:57:04.35 W39lcV+G.net
>>275
現実世界の計算しにくい問題にも関わらずレスありがとうございます。
面倒な計算を誤答をものとのせず続けられる気力にはいつも関心します。揶揄ではありません。
で、いつもの通り、用意した答とは違います。
自作問題ですが、シミュレーション値と合致した理論値が出せました。場合分けが面倒なので場合分けもプログラムにさせました。
シミュレーションは指定の確率で乱数発生させて計算させました。
ほぼ一致する値でした。

284:１３２人目の素数さん
20/02/11 09:56:58 5Rrv77pM.net
>>276

補足

シミュレーションでの結果は以下の通り

> mean(RE[,2]==7) # 卒業確率
[1] 0.85482
> mean(RE[RE[,2]==7,1]) # 卒業までの在学年数
[1] 6.712606
> mean(tu(RE[RE[,2]==7,1])) # 卒業までの学費
[1] 52304621
> mean(RE[,3]==2) # 退学確率
[1] 0.14518
> mean(RE[RE[,3]==2,1]) # 退学までの在学年数
[1] 4.99139
> mean(tu(RE[RE[,3]==2,1])) # 退学までの学費
[1] 40204472

q=1-p # 留年確率,p=進級確率
(P=prod(1-q^2)) # 卒業できる確率 Π{1 - (2年連続留年確率)}
(Q=1-P) # 退学となる確率
の結果と近似しています。

285:１３２人目の素数さん
20/02/11 10:08:53.30 1ttWTA4N.net
>>273
クラスの児童には1からnまでの番号が、座席には0からn-1までの番号がついていて、
座席に座る操作は番号が大きい順に行うものとする。
ここで座席に座る操作とは、自分の番号に一致する席が空いていればそこに、
空いてなければ空席のどこかにランダムに座る動作を言う。
この時、自分の番号が座席と違うような児童の人数の期待値をe'[n]とおく。
n-eとe'の計算で唯一異なる点は、座席番号0とnの違いにより生じるもののみ。
この違いが影響するのは、最初に番号nの児童が0の座席に座る場合のみであるから、
n-e[n]=e'[n]-1/n.
最初に児童nが座席m(<n)に座った場合、次にランダム性が生じるのは児童mが来た時であるが、
その時点で残りの児童は1からm、残りの座席は0からm-1であるから、
これはm人の児童とm個の座席で行う試行と一致。
（ただしn=0の時の試行は"何もしない"ことと定める。つまりe'[0]=0. ）
ゆえに、次のような漸化式が立てられる。
e'[n]=1+(1/n)Σ_(m=0,n-1)e'[m]
これより
ne'[n]-n = (n-1)e'[n-1]-(n-1) + e'[n-1]
から
e'[n] = Σ_(m=1,n) 1/m
が導かれ、求める極限値は1と計算できる。

286:１３２人目の素数さん
20/02/11 11:06:18.93 zI9vXMIC.net
>>278
正解です。
想定解答は >>222と一緒。
最後からk番目の生徒が正しい席に座れたとき0、そうでないとき1をとる変数をXkとする。
k:1～n-1のとき
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
= (最初の生徒が最後からk番目の席以外に座る|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
=k/(k+1)。
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が2番目の席から最後からk-1番目の席に座る)=k/(k+1)
(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)。
∴ p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる)=k/(k+1)。
∴E(Xk)=1/(k+1)
明らかにE(Xn)=(n-1)/n
∴n-e(n)=Σ[k:1～n-1]1/(k+1)+(n-1)/n～log(n)。

287:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:17:21 7sbhOFJk.net
オリジナルですが答えはありません。ただ気になったので投稿します

実数の配列 a[i,j] (i,j∊Z) が全ての格子点(i,j)で 4a[i,j]=a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1] を満たす時、aを調和配列と呼ぶことにする。
次を満たす実数α≧0の下限はいくらか：
調和配列aが任意の格子点Xについて |a[X]|≦|X|^α を満たすならばaは定数である。ただし、|X|は点Xの原点からの距離を表す。

288:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:23:06 j1jqA7X+.net
>>280
違う、上限でした

289:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:58:24 5Rrv77pM.net
卒業できる確率　：　4750970704397512 / 5551115123125783　= 0.85585879575891107187420816324627437826646454687092053

退学の確率　　　：　800144418728271 / 5551115123125783 = 0.144141204241088928125791836753725621733535453129079468759

290:１３２人目の素数さん
20/02/11 16:55:37.06 CVYz5IRs.net
単位円上の2n個の点A1,B1,‥,An,Bnを一様独立に選び円盤をn個の線分線分A1B1,‥,AnBnで分割するとき、できる小領域の個数の期待値を求めよ。

291:１３２人目の素数さん
20/02/12 00:29:09.72 Q6IpDgid.net
>>280
とりあえず今のところこのスレでは >>240さんの証明しか上がってない。
この方針でいくなら非負実数αが条件
Σ(c(p+2,q)-c(p,q)|(|p|+|q|}^α→0 (n→∞)‥‥(※)
が成り立つならそのαは >>280の条件をみたしたりしないかな？
まだ >>240が完全に理解できてはいないからわかんないけど。
もし(※)を満たす非負の実数が0しかないなら今んとこαを改善できる見込みあるレスは上がってないな。

292:イナ
20/02/12 02:21:36.56 hcOGUVCg.net
前 >>275
>>283
n=1のとき2(個)
n=2のとき、
3(1/2)+4(1/2)=3.5(個)
n=3のとき、
4(1/8)+5(1/8)+6(1/4)+7(1/2)=(9+12+28)/8
=6.125(個)
n=4のとき最大11個、最小5個
5(1/64)+6(1/64)+7(1/32)+8(1/16)+9(1/8)+10(1/4)+11(1/2)
=(5+6+14+32+72+160+352)/64
=10.015625(個)
n=5のとき最大16個、最小6個
=(6+7+16+36+80+176+384+640+192+1280+512+2560+1280)/1024
=(7149+8192)/1024
=15341/1024
=14.9814453……
n=6のとき、最小7、最大22
7(1/2)^15+8(1/2)^15+9(1/2)^14+10(1/2)^13+11(1/2)^12+12(1/2)^11+13(1/2)^10+14(1/2)^9+15(1/2)^8+16(1/2)^7+17(1/2)^6+18(1/2)^5+……+22(1/2)
n本の直線で分割した領域の個数の期待値は、
(n+1)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+2)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+3(1/2)^{n(n-1)/2-1}+……+{n(n+1)/2+1}(1/2)
ブロックくずしのように簡単になるのか、lim[n→+∞]に飛ばすのか、通分か。

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